凸几何分析简介48页PPT
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凸体投影的极值问题及不等式
本博士论文的研究内容隶属于几何分析中的凸体理论（简称凸 几何或凸几何分析）,该理论的核心内容是Brunn-Minkowski理 论（又称为混合体积理论）.本文主要致力于研究凸体投影问题 在凸几何分析中的应用,这是该领域研究的热点问题之一,本文 主要涉及关于对偶Minkowski型不等式,关于凸体不等式的函数 化,广义质心体的非对称以及极体和对偶星体的OrliczBrunnMinkowski不等式等问题的研究.凸体的投影问题一直是凸几何 中研究的热点之一.在本文第二章,研究了Orlicz-Brunn Minkowski理论的对偶问题,我们给出了对偶的Orlicz-Brunn Mgt;p</sub>混合体积的 推广.我们还给出了星体的对偶调和组合的定义,并研究了对偶
本博士论文的研究内容隶属于几何分析中的凸体理论（简称凸 几何或凸几何分析）,该理论的核心内容是Brunn-Minkowski理 论（又称为混合体积理论）.本文主要致力于研究凸体投影问题 在凸几何分析中的应用,这是该领域研究的热点问题之一,本文 主要涉及关于对偶Minkowski型不等式,关于凸体不等式的函数 化,广义质心体的非对称以及极体和对偶星体的OrliczBrunnMinkowski不等式等问题的研究.凸体的投影问题一直是凸几何 中研究的热点之一.在本文第二章,研究了Orlicz-Brunn Minkowski理论的对偶问题,我们给出了对偶的Orlicz-Brunn Mgt;p</sub>混合体积的 推广.我们还给出了星体的对偶调和组合的定义,并研究了对偶
凸优化课件
针对非线性约束条件，需要采用约束优化方法，如拉格朗日乘子法 、罚函数法等。
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
第1章凸分析的基本概念
基于上述原因，我们将引入扩充实值 (extended real-valued)函数的 概念，即定义在全空间 n 上且可在一些点上取值 −∞ 或 ∞ 的函数. 为了 刻画这样的函数，我们先来介绍上图 (epigraph) 的概念.
6
凸优化理论
考虑定义域为某子集 X ⊂ n 的函数 f : X → [−∞, ∞]，则其上图是 n+1 的子集，定义如下
epi(f ) = (x, w) | x ∈ X, w ∈ , f (x) w .
函数 f 的有效定义域 (effective domain)则定义为如下集合
dom(f ) = x ∈ X | f (x) < ∞
(见图 1.1.4). 我们易得出
dom(f ) = x | 存在 w ∈ 使得(x, w) ∈ epi(f ) , 即 dom(f ) 为 epi(f ) 在 n (自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义 域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到
(λ1 + λ2)C = λ1C + λ2C.
(d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集.
证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x，y. 由于每个 Ci 都是凸集，x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集.
我们试图为扩充实值函数定义凸性，传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难，若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞，则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生，但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题，其引申出的凸函数定义如下.
6
凸优化理论
考虑定义域为某子集 X ⊂ n 的函数 f : X → [−∞, ∞]，则其上图是 n+1 的子集，定义如下
epi(f ) = (x, w) | x ∈ X, w ∈ , f (x) w .
函数 f 的有效定义域 (effective domain)则定义为如下集合
dom(f ) = x ∈ X | f (x) < ∞
(见图 1.1.4). 我们易得出
dom(f ) = x | 存在 w ∈ 使得(x, w) ∈ epi(f ) , 即 dom(f ) 为 epi(f ) 在 n (自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义 域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到
(λ1 + λ2)C = λ1C + λ2C.
(d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集.
证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x，y. 由于每个 Ci 都是凸集，x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集.
我们试图为扩充实值函数定义凸性，传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难，若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞，则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生，但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题，其引申出的凸函数定义如下.
第三章 凸分析2015
第三章 凸分析
2、判定： （1）根据图形判断： 凸函数的图形为下单峰，凹函数的图形为上单峰， 仿射函数的图形为直线。 （2）由二阶导信息：
一元 n元
凸函数 f”(x) ≥0 H(x) ≥0
凹函数 f”(x) ≤0 H(x) ≤0
2 f 其中H ( x) xi x j
第三章 凸分析
(Convex Analysis)
3.1 凸集与凸集分离定理 3.2 凸函数与次微分
第三章 凸分析
凸分析是上世纪60年代以后 ，由于数学规划、博弈论、数理 经济学、变分学等多方面需求而 发展起来的一个数学分支。 美国华盛顿州立大学的洛克 菲拉1970年所著凸分析为该分支 的早期发展做出了重要贡献。
第三章 凸分析
例3：设C为R n中不含原点的非空凸集。证明存在p R n， p 0，使对任意x C，都有pT x 0。 （首先说明：单点集和空集是凸集。）
存在一个超平面H x | pT x 把0 与C分离。 即对任意x C， 0 0，有：pT x ，pT 0 ， pT x 0。 pT即为所求的向量。 （但，若此p使pT x ，该怎么办？）
思考题：理论的力量——例举10个数学理论对经济管理 学科发展做出重要贡献的例子。
第三章 凸分析
3.2 凸函数与次微分
一、凸函数
1、定义：设X 是R n中的凸集，f : X R1，若对于任 意的x，y X ， [0，，有 1] f ( x (1 ) y ) f ( x) (1 ) f ( y )， 则称f 为X 上的凸函数；若以上不等式中不等号是严 格的，则称f 为严格凸函数；若函数( f )是凸函数， 则称f 是凹函数；若f 既是凸函数又是凹函数，则称 f 为仿射函数。
凸几何分析简介
ε →0
+
V ( K + εL) − V ( K )
ε
.
⇔ V ( K , n − 1; L) =
1 ∫−1hL (u )dS ( K , u ). n Sn
5
2011-10-11
Steiner 对称与亮度函数
K
Su K
Steiner 对称
u
K
亮度函数 (brightness function)
u⊥ K u⊥
s K (u) = s L(u) ∀u ⇒ K = L.
2011-10-11 11
截
1
面
1.5 1
体
(Intersection Bodies) Bodies)
0.5 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-1.5
-1
-0.5 -0.50.51Fra bibliotek1.5
-0.5 -1
-1.5 -1
ρ IK = s K
2011-10-11
bK (u) = bL(u) ∀u ⇒ K = L.
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
1 bK (u) = ∫ |u ⋅ v | dS ( K , v ) 2 S n −1
K的表面积测度
2011-10-11
Cauchy投影公式
8
Shephard问题 Shephard问题
• Shephard (1964)问: 对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有
-0.5 0.5 -0.25 0 0.25 0
-0.5 0.5 -0.25
0
0
0.5
0.25
0.5
+
V ( K + εL) − V ( K )
ε
.
⇔ V ( K , n − 1; L) =
1 ∫−1hL (u )dS ( K , u ). n Sn
5
2011-10-11
Steiner 对称与亮度函数
K
Su K
Steiner 对称
u
K
亮度函数 (brightness function)
u⊥ K u⊥
s K (u) = s L(u) ∀u ⇒ K = L.
2011-10-11 11
截
1
面
1.5 1
体
(Intersection Bodies) Bodies)
0.5 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-1.5
-1
-0.5 -0.50.51Fra bibliotek1.5
-0.5 -1
-1.5 -1
ρ IK = s K
2011-10-11
bK (u) = bL(u) ∀u ⇒ K = L.
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
1 bK (u) = ∫ |u ⋅ v | dS ( K , v ) 2 S n −1
K的表面积测度
2011-10-11
Cauchy投影公式
8
Shephard问题 Shephard问题
• Shephard (1964)问: 对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有
-0.5 0.5 -0.25 0 0.25 0
-0.5 0.5 -0.25
0
0
0.5
0.25
0.5
凸轮机构 课件
机械基础
第七章 凸轮机构（建议6课时）
一、考试要求
了解
理解
掌握
1.了解凸轮机构的分类、特点 和应用。
2.了解压力角、基圆半径、滚 子半径、行程等参数对机 构工作性能的影响。
理解压力角、基 圆半径、滚子半 径、行程等参数 的概念。
掌握从动件具有等速运动 规律和等加速等减速运动 规律凸轮机构的工作特点、 应用场合。
（5）该机构推程时必须满足α__≤__3_0_°。条件才
图6-9
能避免产生自锁现象，若不满足该条件时，
可以适当增大_基__圆__半__径___来满足要求。
【解题思路】 1.回忆凸轮机构应用特点和适用范围。 2.理解相关概念，运用概念和公式来进行有关计算。
【拓展训练】图6-10为组合机构的传动简图。单线蜗杆1的轴线与蜗轮2的轴线在空间
问题二
如图6-6所示的凸轮机构，已知圆盘凸轮逆时针方向转动，其半径r=25mm，凸 轮回转中心“O2”距圆盘几何中心“O1”的距离e=10mm，试解答下列问题：
1.指出实际轮廓线和理论轮廓线，画出基圆； 2.从动件的推程运动角为_1_8_0_度，回程运动角1. 为_1_8_0_度；画出当凸轮由图示位置转过90°后， 从动件的位移s，标出从动件的行程h，并求出 行程h=_____；20mm （3）分别画出在图示位置接触和在D点接触时 的压力角，当凸轮A、B两点与从动件接触时， 压力角为_0_度；
（2）要使该机构的从动件的运动规律为等加
速等减速，则必须改变凸轮的___轮__廓__形__状___，
此时该机构会产生_柔__性__冲击。
（3）该机构逆时针转过45º时，该机构将作
_上_升__（上升、下降）运动，在图中作出此时
的压力角。（略）
第七章 凸轮机构（建议6课时）
一、考试要求
了解
理解
掌握
1.了解凸轮机构的分类、特点 和应用。
2.了解压力角、基圆半径、滚 子半径、行程等参数对机 构工作性能的影响。
理解压力角、基 圆半径、滚子半 径、行程等参数 的概念。
掌握从动件具有等速运动 规律和等加速等减速运动 规律凸轮机构的工作特点、 应用场合。
（5）该机构推程时必须满足α__≤__3_0_°。条件才
图6-9
能避免产生自锁现象，若不满足该条件时，
可以适当增大_基__圆__半__径___来满足要求。
【解题思路】 1.回忆凸轮机构应用特点和适用范围。 2.理解相关概念，运用概念和公式来进行有关计算。
【拓展训练】图6-10为组合机构的传动简图。单线蜗杆1的轴线与蜗轮2的轴线在空间
问题二
如图6-6所示的凸轮机构，已知圆盘凸轮逆时针方向转动，其半径r=25mm，凸 轮回转中心“O2”距圆盘几何中心“O1”的距离e=10mm，试解答下列问题：
1.指出实际轮廓线和理论轮廓线，画出基圆； 2.从动件的推程运动角为_1_8_0_度，回程运动角1. 为_1_8_0_度；画出当凸轮由图示位置转过90°后， 从动件的位移s，标出从动件的行程h，并求出 行程h=_____；20mm （3）分别画出在图示位置接触和在D点接触时 的压力角，当凸轮A、B两点与从动件接触时， 压力角为_0_度；
（2）要使该机构的从动件的运动规律为等加
速等减速，则必须改变凸轮的___轮__廓__形__状___，
此时该机构会产生_柔__性__冲击。
（3）该机构逆时针转过45º时，该机构将作
_上_升__（上升、下降）运动，在图中作出此时
的压力角。（略）
凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件
X αx1+(1-α)x2 X2
.
23
f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
.
24
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1kq
ykq
.
P41 2.37
26
凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
.
1
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
.
7
凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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