等几何分析

等几何分析研究进展摘要等几何分析是一种刚刚兴起的数值分析方法，对现有的CAE产生了很大的影响。

等几何分析法的出现于发展，缓解和消除了困扰CAE多年的难题，开启了一条结合设计、分析和优化等三方面的途径。

本文阐述了等几何分析产生的背景、意义和相关的定义，还介绍了等几何分析从首先提出到现如今的10年发展历程，包括基础理论体系的发展与完善，新型样条的构建，网格细分方法的研究，计算效率的提高，以及其他方面（如边界条件的施加、接触分析、结构优化等）的进展，展示了等几何分析相对于基于拉格朗日插值的有限元法的优势。

关键字等几何分析有限元 NURBS 发展现状1 前言有限元分析是目前应用最广泛的一种数值分析方法，且由于结合了能够高速运算的计算机，有限元法得到了大多数人的支持。

有限元法是将连续的物体离散成有限个单元，单元之间通过节点连接在一起，并将节点处的未知量作为基本未知量，使得无限自由度问题转换成了有限自由度的问题，在利用力学原理近似的求解出未知量。

这一突出优点使得有限元法得到广泛应用，各类有限元软件也层出不穷，如ABAQUS、ANSYS、LS-DYNA、HyperMesh等。

不过这一突出的优点也大大的限制了有限元的进一步发展。

首先，有限元法求得的结果的精确度与网格的细化程度有关，网格越细，则计算结果的精度越高，而计算时间和计算所需的内存也将随之增加，而以目前的水平来看，还无法做到超高精度的细化网格。

Sandia国家实验室曾做过一项统计，在汽车、航空航天和造船行业，大约全部分析时间的80%用于网格划分及划分前的几何模型准备[1]。

其次，网格划分使得应力不连续，且在处理大变形问题中，单元的过度扭曲导致精度严重损失。

第三，网格划分工具对几何形状的识别精度较低，特别是划分复杂高级曲面时无法精确划分，容易划分出大变形网格。

再者，网格划分是建立在几何模型的基础上，若几何模型发生改变，那么须得重新划分网格，花费大量时间。

最后，在处理网格畸变、网格移动如动态裂纹扩展、冲压成型等问题时需要进行网格重构，不仅浪费计算时间，还会损害计算精度[2]。

网格是有限元分析的基础，而以上缺陷都是网格划分造成的，是有限元法无法避免的。

基于以上原因，在2005年，Hughes等[3]提出等几何分析的思想。

该方法直接结合了CAD中的几何模型，将其中的几何信息作为有限元分析的输入信息，大大地节省划分网格的时间。

等几何分析与有限元法有许多相同之处，可以说是有限元法的发展，但其具有一套独立的理论体系。

该方法采用描述几何形状的NURBS函数作为基函数，具有几何精确特性，且离散的几何形状不随单元的稀疏而改变，这意味着即使是比较稀疏的网格划分，也能精确描述研究对象的几何形状，具有很高的数值精度[4]。

NURBS本身就具有网格，一个NURBS实体包含若干个NURBS单元，分析时，这些单元成为精确描述几何形状的实体单元。

另外，类似于有限元的网格，NURBS单元也可以细分，基函数的次数也可提高，计算结果更加精确，但几何形状不改变。

于是，Hughes将其命名为等几何分析。

2 等几何分析简介2.1 B 样条基函数由于NURBS 基函数是B 样条基函数的线性组合[5]，这里先讨论B 样条基函数的构造。

B 样条基函数由节点矢量构建，如 ，式中u i 为节点，n 和p 分别是B 样条基函数的个数和阶数。

基函数由Cox-de Boor 递推公式定义为[6]：当p =0时，()⎩⎨⎧<<=+其他,0,110,i i i u u u u N 当p >0时，()()()u N u u u u u N u u u u u N p i i p i p i p i i p i i p i 1,11111,,-++++++-+--+--= 由基函数N i,p (u )和控制点P i 可表示出B 样条曲线：()()11,+=≤≤=∑n p n i ip i u u u P u N u C由于B 样条曲线具有局部性质，因而，可将上面的p 次B 样条曲线方程改写为分段表示形式：()()[][]11,,,++-=⊂∈=∑n p i i i p i j j p i u u u u u P u N u C 若给定(m +1)×(n +1)个控制点P i,j （i =1, 2, …, m ，j =1, 2, …, n ）的阵列，构成一张控制网格。

又分别给定参数u 和v 的阶数p 和q ，以及两个节点矢量 和V = ，这样，就定义了一张p ×q 次张量积B 样条曲面，方程为：()()()1010,,,,,+=+=≤≤≤≤=∑∑n q m i m p n j ji q j p i v v v u u u P v N u N v u S由于B 样条曲面也具有局部性质，可将其分段表示为：()()()[][][][]1111,,,,,,,,+++-=+-=⊂∈⊂∈=∑∑n q f f m p e p e i e e f q f j j i q j p i u u v v v u u u u u P v N u N v u S 2.2 NURBS 曲线和曲面2.2.1 NURBS 曲线一条p 次NURBS 曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数：{}121,,,++=p n u u u U {,1u U ={}121,,,++q n v v v }12,,++p m u u()()()∑∑===n i pi i n i ip i i u N P u N u C 0,0,ωω式中， 被称作权或全因子，分别与控制点相联系。

2.2.2 NURBS 曲面类似于B 样条曲面，NURBS 曲面也可分段表示为：()()()()()∑∑∑∑=====m i nj j i qj p i m i n j j i j i qj p i v N u N P v N u N v u S 00,,,00,,,,,ωω 同样的，一个三变量NURBS 实体也可表示为：()()()()()()()∑∑∑∑∑∑=======m i n j lk kj i rk q j p i m i n j l k k j i k j i rk q j p i w N v N u N P w N v N u N w v u V 000,,,,,000,,,,,,,,,ωω 2.3 计算流程基于NURBS 的等几何分析法的分析思路如下[3]：1）由节点向量积确定NURBS 片；2）通过节点插值将计算域细分为单元；3）每个基函数的支撑域包含少量单元；4）由基函数的控制点定义几何模型；5）采用等参概念，即场变量与几何模型采用相同的基函数表示，而基函数的系数即为自由度或控制变量；6）通过节点插值或基函数阶数可进一步细化单元，有h 型细化、p 型细化和k 型细化；7）采用类似于有限元的方法，可将等参NURBS 片构建的数组组装成全局数组；8）施加Dirichlet 边界条件有几种方法。

最粗糙的方法是加在控制变量上，这种近似法会导致比较大的误差。

然而，对于一些特殊情况，如齐次边界条件，该方法能满足精确度要求。

此外，Dirichlet 边界条件常常通过变分近似法或几何近似法施加。

3 等几何分析的发展3.1 基础理论体系Hughes 等提出了等几何分析的概念后，Bazilevs 等[7]用数学的知识对其进行分析和误差估计，证明了等几何分析的收敛性和稳定性等特征，这个结论为之后等几何分析的发展奠定了扎实的理论基础。

Cottrell 和Hughes [8]研究了等几何分析中网格的细化和近似连续性。

Gomez 等[9]通过等几何分析研究了Cahn-Hilliard),,2,1(n i i =ω),,2,1(n i P i =相域建模问题。

Lipton等[10]研究了等几何离散化的鲁棒性。

Sevilla等[11]提出了增强的NURBS有限元方法。

Shaw和Roy[12]创立了基于NURBS的参数无网格法。

Hughes等[13]人发现对B样条使用高斯积分计算效率并不理想，因而基于Half-Point-rule提出了一种宏单元积分法，该方法比高斯积分成本减少一半.3.2 网格细化等几何分析中主要有3种细化方法[14]：基于节点插入的h型细化方法，基于基函数升阶的p型细化方法以及升阶和节点插入相结合的k型细化方法。

之后，为了提高计算精度，Xu等[15]提出了可优化计算域内部控制点的位置的r型细化方法。

徐岗等[16]在r型细化方法的基础上提出了r-p型细化方法，并应用于二维热传导问题上。

没多久，徐岗、朱亚光等[17]提出了基于局部误差估计的自适应r 细化方法，大大提高计算域参数化的优化效率。

Pilgerstorfer等[18]进一步从理论层面挖掘了计算域参数化以及节点分布对等几何分析求解的影响，发现对一般问题而言，求解误差与计算域的等参数线网格（或等参数面网格）的均匀性及正交性有关，这也为构造适合分析的计算域参数化提供了重要的理论依据。

3.3 新型样条最初的等几何分析采用的基函数是CAD中最广泛应用的B样条和NURBS基函数，后来许多学者陆续采用T样条等新兴样条[19]。

T样条是由Sederberg等[20]在2003年提出的，可以实现局部加密，使单个样条表示复杂模型的能力大大提升。

Bazilevs等[7]率先将T样条用于等几何分析，并用于简单地二维和三维结构问题。

Wang等[21]提出一种将任意非结构化二次网格转化为标准T样条表面的方法。

不过，T样条的局部细分结果依赖于控制网的拓扑结构，其复杂性也是不确定的，另外T样条的混合函数不一定总是线性无关的[22]。

于是，Nguyen-Thanh 等[23]提出了PHT样条（多项式分层T样条），PHT样条是定义在层次T网格上双三次C1连续的样条空间，其继承了NURBS和T样条的所有优点，解决了NURBS和T样条相互转化的困难的问题。

PHT样条具有很好的局部加细性质，这使其在拟合、缝合、简化、自适应曲面重构和等几何分析中得到了广泛的应用[22]。

Bernard Mourrai等[24]研究了一般T网格上的维数计算公式，为将PHT样条向一般情形推广奠定了基础。

3.4 计算效率由于等几何分析法采用了高阶基函数，使得刚度矩阵相比于有限元法要稠密的多，大大地增加了计算时间，为此，许多学者展开了相关的研究。

郭利财等[25]提出了一种基于矩阵分解的并行算法，从刚度矩阵的装配上节省计算时间。

而后他们[26]还提出了直接使用粗网格的精确解作为细网格的初始解，大大提高了迭代速度。

Veiga等[27]提出一种基于重叠加法型施瓦茨预条件算子的重叠计算域分解方法，证明等几OAS算子关于子区域数是可扩展的。