结构力学 第二章 结构的几何组成分析
结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学 2几何组成分析
II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
返回
§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
返回
例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
返回
例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
结构力学第2章 结构的几何构造分析
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；
经微小位移后又成为几何不变体系；
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移
可变体系
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I
可发生以O为中心的微小转动， O点
称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片I与基础相
连接， 则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起的作用。
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束 例 2-4 试计算图示体系的W。 方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0 方法二： j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10
第2章
§2-1 §2-2
结构力学第二章结构的几何组成分析
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第二章杆件结构的几何组成分析
本章目的:为后续各章奠定基础。 本章假定:所有构件均为刚体。
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
A
A
B
B C
结构必须是几何不变体系。
二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
y xA y x
几何特征 超静定结构
静力特征
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两
两相联,构成无多余约束的几何不变体系.
例2-3 确定图示体系是否为几何不变体系。
1
2
3
无多余约束的 几何不变体系
几何可变体系
有多余约束的 几何不变体系
例2-4 确定图示体系是否为几何不变体系。
A
Ⅰ
B
C
Ⅱ
例2-6 确定图示体系是否为几何不变体系。
Ⅰ Ⅱ
例2-7 确定图示体系是否为几何不变体系。
C
C
A
B
A
B
练习：
讨论：三杆平行或三杆交于一点
常变体系
练习
A
瞬变体系
A
瞬变体系 常变体系
三. 二元体规则 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个
新结点的装置.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质. 例2-8 确定图示体系是否为几何不变体系。
根据计算自由度能否判
思考：支座是不是约束？刚结点是不是约束？
刚片 几何形状不能变化的平面物体
本章假定:所有构件均为刚。 构成无多余约束的几何不变体系. 无多余约束的几何不变体系为静定结构
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
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第二章结构的几何组成分析李亚智航空学院·航空结构工程系2.1 概述结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。
即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。
在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。
在载荷作用下的系统可分为三类。
2.1.1 几何可变系统特点：不能承载，只能称作“机构”。
213 4P2’3’2.1.2 几何不变系统特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。
2.1.3 瞬时几何可变系统特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。
P21342’3’2’3’P21345∞→=2321N N 123P内力巨大，不能作为结构。
N 21N 23P2由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。
系统几何组成分析的目的：（1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构使用；（2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理的结构；（3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算方法。
2.2 几何不变性的判断2.2.1 运动学方法将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度；将结构中的另一些元件看成约束。
如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。
所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。
1、自由度与约束（1）自由度的定义决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。
平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3xyy∆x∆AA 'xyAy Ax AzAz A 'O空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3xyAy A x AzA z A 'OBB 'αθxyy∆x∆AA 'OAx A y θ∆一个空间刚体有6个自由度，n =6θα,,,,A A A z y x ( )，n =5（2）约束的定义约束定义为减少自由度的装置，用c 来表示。
（a ）杆的约束平面内一点被一根两端带铰的杆子（链杆）铰接在原点。
Ay Ax x yAO只需要一个角度α就可以决定A 点的位置，或者说x A 和y A 中只有一个独立，A 点原有两个自由度变成了一个。
平面内一根两端有铰链的杆子是一个约束，c =1。
空间一点A 原有3个自由度，被一根两端带铰的杆子铰接在原点后，只需要两个独立变量α和θ就可确定其位置。
xyAy Ax AzAz A 'Oαθ空间内一根两端有铰链的杆子也是一个约束，c =1。
（b ）支座的约束平面中的可动铰支座能消去1个自由度，但不能消除转动，因此对应1个约束，c =1结构系统结构系统结构系统平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度,因此对应3个约束，c =3平面固支，c =3空间固支，c=6结构系统结构系统结构系统（c ）铰链平面两个刚片的自由度:平面单铰相当于2个约束xyAOAx Ay αβ单铰623=⨯=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:βα,,,A A y x 4=n 246=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰xyAO复铰m 个刚片原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：mm n 33=⨯=mn +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。
)1(2-mm 个铰的总自由度数：系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。
123456m-1m连接m 个铰的平面刚片和刚片连接后只剩下3个自由度mm n 22=⨯=32-=∴m c 连接m 个铰的平面刚片具有个约束。
32-m 小结：当把元件看成自由体时，铰和支座就看成约束；当把铰看成自由体时，元件和支座可看成约束。
要保证系统的几何不变性，就要求系统内自由体的约束数足以控制其自由度数。
例2-1分析图示桁架的几何不变性方法一：结点（铰）视为自由体，杆件视为约束分析：这3个自由度对应于系统整体刚体位移，不影响几何不变性，故判断时可不考虑，即满足几何不变的最小约束数c min =n -3。
PPP P 123455个结点1052=⨯=n 7根杆7=c 3=-c n ，多出3个自由度。
如果将1、5两个结点固定铰支，则c n>所以，对系统被固定的情况，minc n=P P 123455个结点1052=⨯=n 7根杆，2个固定铰支座11227=⨯+=c 约束比自由度多1。
方法二：杆件视为自由体结点视为约束1个4杆复铰，多出的3个自由度为刚体位移。
显然第二种方法比第一种方法麻烦一些，故可尽量采用第一种方法，即将结点视为自由体，杆件视为约束。
PPP P 123457根杆2173=⨯=n 2个单铰422=⨯=c 2个3杆复铰82)13(22)1(2=⨯-⨯=⨯-=m c 2(1)12(41)6c m =-⨯=⨯-=18684=++=c 合计3=-c n 评论：满足系统几何不变的最小约束数为c min ，f 称为多余约束数。
⎩⎨⎧=-=nc n c min min 3固定结构（不可移动）自由结构（可移动）对平面系统⎩⎨⎧=-=nc n c min min 6固定结构（不可移动）自由结构（可移动）对空间系统m in m in ,0c c c c f ≥≥-=或系统几何不变的充分条件是元件布置合理。
总结：为保证系统几何不变的必要条件。
f =0时（无多余约束），称为静定结构；在平面系统几何构造分析中，最基本的几何不变系统是三杆（三刚片）铰接系统，没有多余约束。
这就是三角形规律。
123123f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。
如果元件安排合理，则布置不合理f=0 f =1布置合理，1次超静定f =0布置合理，静定2、几何不变体的组成规律实铰与虚铰的概念：平面一个单铰相当于两个约束，而一根连杆相当于一个约束，因而两根杆子的作用相当于一个单铰。
实铰定义为两杆的交点铰；平面上一个刚片原有3个自由度，当用两根不平行的链杆1和2把它和基础相连，则此刚片只有一个自由度。
实铰12单铰是实铰；虚铰12当两杆不相交时构成虚铰；虚铰是两杆延长线的交点，是刚片的瞬时转动中心；虚铰的位置在刚片运动过程中不断改变，所以虚铰也被称为“瞬铰”。
12相交于∝虚铰的特例：两杆平行，延长线交于无穷远。
瞬时转动中心无穷远，刚片开始瞬间的运动为平动。
几何不变系统的组成规则（三刚片规则）:三个刚片之间用不在同一直线上的铰（实铰或虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。
三刚片规则的推论：（1）一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体；（2）两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的连杆相连，或两个刚片用三根不全平行也不交于一点的连杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。
ABC3、瞬变系统的判断判断方法：三个刚片用共线的三个实（虚）铰相连，则系统瞬变。
几何可变几何瞬变几何瞬变几何瞬变ⅠⅡ例2-2 分析图示桁架系统的几何不变性并计算多余约束数两个无多余约束的“刚片”Ⅰ和Ⅱ，用三根不全平行也不交于一点的杆相连，构成无多余约束的几何不变系统。
解：例2-3 分析图示桁架系统的几何不变性并计算多余约束。
解:3个无多余约束的“刚片”，通过2个实铰4、6和一个虚铰（杆7-8和杆9-l0相交于无穷远处）两两相连，。
f3铰共线，为瞬变系统。
123 45678910 123 45678910例2-4 分析图示体系的几何组成解：三个虚铰不共线，所以为无多余约束的几何不变体系。
ABCDEFO 1O 2O 3将AD 、BE 和CF 三杆视为三个刚片。
三刚片两两之间通过三个虚铰O 1、O 2和O 3相连。
例2-5 对图示体系作几何组成分析A BCDE折杆AD 和BE 可看成链杆，则该体系可看成两个刚片通过三根杆AD 、CF 和BE 相连，但三根杆延长线可交于一点O ，系统瞬变。
ABC DEO F解：，满足几何不变的必要条件。
例2-6 对图示体系作几何组成分析解：ABCDEF 若进行运动学分析可将结点视为自由体，杆和支承视为约束。
10个结点，6个链杆（折杆DF 和EF 分别相当于直杆）,2个带3铰刚片，4个固定铰支座。
自由度：20102=⨯=n 约束:20422)332(61=⨯+⨯-⨯+⨯=c c n =可以将系统看成3个刚片，通过一个实铰B 和两个虚铰（H 和G ）两两相连。
ABCDEF HG 三个铰不共线，构成无多余约束的几何不变系统。
4、空间桁架的几何构造分析（1）空间桁架系统，每增加一个结点，须用3根不在同一平面中的杆连接；无多余约束的基本空间桁架结构（2）一个刚体和另一个刚体相连需要6根杆（消除6个自由度），则a）如果有3根杆交于一点而不在同一平面，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；b）如果有3根杆位于同一平面而不交于一点，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；例2-4书上例2-4。
图示空间系统，用6根杆子固定一个机翼，试判断其几何不变性。
将机翼视为刚体，具有6个自由度，用6根杆子来固定，满足最小约束数。
f ozy x451236解：ozy xAA4512361、2、3杆共面，2、4、6杆共面；两个面的交线为A-A ；杆5与A-A 平行，相当于和A-A 交于无穷远。
机翼可以绕A-A 转动，系统几何可变。
所有杆交于一条线A-A;ozy xAA4512364’如果将杆4改成4’，则6根杆仍然相交于A-A ；仍可以瞬时绕A-A 转动；系统几何瞬变。
随后4’杆起作用；o zy xA 1A 1AA512364’4’’如果将杆4’改成4’’，则1、4’’、6杆共面，1、2、3杆共面，两个面的交线为A 1-A 1；杆5与A 1-A 1线既不平行，也不相交；绕A 1-A 1轴的转动受到杆5制约，系统几何不变。
a ）1、2、6杆交于一点而不在同一平面，6根杆不交于同一直线，组成无多余约束几何不变体；ozyxA 1A 1512364’’用前述方法判断：a ）如果有3根杆交于一点而不在同一平面，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；b ）如果有3根杆位于同一平面而不交于一点，当6根杆不交于同一直线时，组成无多余约束的几何不变体；b ）1、2、3（或1、4’’、6杆）位于同一平面而不交于一点，6根杆不交于同一直线，组成无多余约束几何不变体。
例2-8判断几何不变性。
451236451236（a ）451236（b ）（c ）451236（a ）解（a ）：1、2、3杆位于同一平面但不交于一点，6根杆不交于同一直线，无多余约束，几何不变。