国内学者对凸函数理论的若干研究成果介绍

全国第七届初等数学研究学术交流会大会报告论文国内学者对凸函数理论的若干研究成果介绍张小明1石焕南21.浙江广播电视大学海宁学院 浙江海宁 314400 2．北京联合大学师范学院电气信息系, 北京, 100011一、国内学者对凸函数的一些研究一百多年来，凸函数及其推广是分析不等式研究中的一个热点，参考文献也难于统计.近十年来，国内对实的凸函数的研究也是很多的（不过其中的一部分是重复研究），主要学者有胡克、石焕南、王挽澜、祁锋、文家金、张小明、杨镇杭、王良成、吴善和、刘证、于永新、李世杰和于小平等.本文把其中的一部分列为参考文献，读者可从其中了解我国学者在此方面一些研究.下面我们仅介绍让初学者容易理解的一些结果.1、凸函数和S-凸函数的定义及微分判别定理我国现行分析教材中，凸（凹）函数的定义是比较混乱.但国际通用的为如下定义1.定义1 设D 是()1,nn n ≥∈ 上的凸集，:f D → ，若任取,x y D ∈，01λ≤≤，有()()()()()11fx y f x f y λλλλ+-≤+-成立，则称f 为D 上的凸函数.当f -为凸函数时，称f 为凹函数.定义2 设D 是()1,nn n ≥∈上的凸集，:f D → ，若任取,x y D ∈，有()()11222x y f f x fy +⎛⎫≤+⎪⎝⎭成立，则称f 为D 上的中点凸函数.当f -为中点凸函数，称f 为中点凹函数.从定义中可以看出，凸函数一定是中点凸函数，反之则不然，其实开区间内的可测的或有界的中点凸函数为凸函数.其实Jensen 在1905年也是把定义2作为凸函数的定义.定义3([4][5]) 设,nx y R ∈满足(ⅰ) [][]11, 1, 2,... , 1kki i i i x y k n ==≤=-∑∑, (ⅱ) ∑∑===ni i n i i y x 11则称x 被y 所控制, 记作y x . 其中[][][]12n x x x ≥≥≥ 是x 的分量的递减重排. 例1 设()14,12,14x =，()13,13,13y =，则y x ,的重排分别为()12,14,14和()13,13,13，且有,3121≥,31314121+≥+,313131414121++=++成立，所以y x .定义 4([4][5]) 设 ,:nR R ϕΩ⊂Ω→. 若在Ω上()()x y x y ϕϕ⇒≤ , 则称ϕ为Ω上的Schur 凸函数，简称S-凸函数; 若ϕ-是Ω上Schur 凸函数, 则称ϕ为Ω上Schur 凹函数，简称S-凹函数.定理A 设函数φ在开区间I ⊆ 上一次可微，则φ在I 上为凸函数当且仅当()'t φ在区间I 为单调增加．定理B 设函数φ在开区间I ⊆ 上二次可微，则φ在I 上为凸函数当且仅当()''0t φ≥对I t ∈恒成立．定理C 设nH ⊆ 为开凸集，φ在H 上二次可微，则φ在H 上为凸函数当且仅当()111212122212n nnn nnL x φφφφφφφφφ''''''⎛⎫⎪'''''' ⎪= ⎪ ⎪''''''⎝⎭在H 上半正定． 定理D 设集合nH ⊆ 是有内点的对称凸集，:H φ→ 连续，且在H 中的内点都可微，则φ为S-凸函数的充分必要条件是φ在H 上对称且对H 的任意内点x ，都有()12120x x x x φφ⎛⎫∂∂--≥ ⎪∂∂⎝⎭．2、关于凸函数的一些研究结果定理1（[6]） 设[]():,f x a b f x ∈→为凸函数，数列{}[]1,k k x a b +∞=⊆，又{}1k k p +∞=为任一非负数列，定义()()1111nn nk k k k k k nk k k k p x F n p fx p f p ====⎛⎫⎪=-⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑.则(){}1n F n +∞=为单调增加数列.定理1推广了凸函数的Jensen 不等式：()1111nnk k k k k k nnk k k k p fx p x f p p ====⎛⎫⎪≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑.关于此类不等式的推广的研究在国外研究也很多，比如对于非凸函数但可微的函数f ，如何用[](),m a x |'|x a b f x ∈或[](),m ax |''|x a b fx ∈来表示()1111n nk k k k k k n nkk k k p fx p x f p p ====⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭∑∑∑∑的上下界；如何继续加细()1111n n k k k k k k n nkk k k p fx p x f p p ====⎛⎫⎪≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∑等等.这些研究较多地集中澳大利亚不等式研究小组的网站.au/RGMIA/issues.asp 上.定理2（[32]） 设(),f x y 是定义在D 上的一次齐次函数且两阶可微,则(),f x y 是严格凸的充要条件是:()2,0fx y xy x y∂⋅<∂∂.定理3（[32]） 设()20,D ⊂+∞,(),f x y 是定义在D 上的正n 次齐次函数且两阶可微,则()(),ln ,uvg u v f e e=严格凸的充要条件是()()2ln ,0f x y x y∂<∂∂.定理4（[32]） 设()20,D ⊂+∞,(),f x y 是D 上的0 次齐次函数且二阶可微,则(),uvf e e为严格凸的充要条件是()2,0fx y x y∂<∂∂.凸函数的Hadamard 不等式（又称Hermite-Hadamard 不等式）指的是()()()122b a f a f b a b f f x dx b a++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰,其中I ⊆ 为区间，:f I → 为凸函数，,a b I ∀∈.若对于[]():,0,f a b →+∞，(),,,0,r s x y ∈∈+∞ .记()()()()()()()1,,;ln exp ,.r s b r abs a r sb r a bs a f x r s f x M f f x f x r s f x -⎧⎛⎫⎪ ⎪≠⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⎰⎰()()()()()()()1111,0;1,0,0;ln ln ,;,1,,0;0;.,r rrr s r s s r r rr rx y x r y r y x rs r s x y s y x y x s r x y r y x E r s x y x r s r x y e y r s x y x --⎧⎛⎫-⎪⋅--≠ ⎪-⎪⎝⎭⎪⎛⎫-⎪⋅=-≠ ⎪⎪-⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫=-≠⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪==⎪⎪=⎩. 1990年,杨镇杭把凸函数的Hadamard 不等式推广到幂平均的情形.定理5（[26]） 设f 是[,]a b 上正的连续函数, 且在(),a b 内二次可微, 若()0f x ''>, (),x a b ∈, 则对任意的α, 有()()()()11,1;,ba f x E f a fb b a αα⎛⎫⎪<+ ⎪- ⎪⎝⎭⎰.若对于(),x a b ∈，有()0f x ''<, 则以上不等式反向. 这一结果后被孙明保推广到双参数情形.定理6([25]) 设f 是[],a b 上正的连续函数,, 且在(),a b 内导数()f x ' 连续递增 , 则对任意,r s 有()()()(),,;,r s M fE r s f a f b ≤,（2） 仅当f 为正的线性函数时等号成立.若在(),a b 内导数()f x '连续递减, 则(2)的不等号反向.2003年, 杨镇杭进一步将凸函数的幂平均不等式和双参数平均不等式推广到非对称拟算术平均不等式, 得到了下列结果定理7([24]) 设（1）f 在[],m M 上严格单调；（2）φ在[]b a ,上严格凸，且有一阶导数()'x ϕ，()m x M φ≤≤； （3）)(x p 在[]M m ,上恒正并可积． 则有()()()()()()()()()()()()()11b b a abb a a p x f x dx p x f x dx ff p x dx p x dx φφφφφφφ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰， （3） 当()()a b φφ=时，不等式（3）右边被定义为 ()()()1ff a a φφ-⎡⎤=⎣⎦. 作为其特例, 还得到了对数凸函数（即()ln :ln f x f x →为凸函数）的Hadamard 不等式.推论1([24]) 设F 为[]b a ,上的对数性凸函数，,r s ∈ ，有()()()1(),;,()br sr a bs a F x dx E r s F a F b F x dx -⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰．3、关于S-凸函数的一些研究结果文[7]考虑了函数平均关于积分上下限的Schur 凹凸性（定义见文献[4][5]），借助于Hadamard 不等式，建立了如下重要的结果.定理E （[7]）设I 为一区间，f 是I 上的连续函数, ()212,x x x I =∈，()()()2112211121,,,.x xf t dt x x x x x f x x x φ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩⎰则φ是2I 上的Schur 凸(凹)函数当且仅当f 是I 上的凸(凹)函数.我们在[3][8]中把此结果加强为定理8 设I 为一区间，f 是I 上的连续函数, ()212,x x x I =∈，()()()2112211121,,,.x x f t dt x x x x x f x x x φ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩⎰则φ是2I 上的凸(凹)函数当且仅当f 是I 上的凸(凹)函数.显然(),;,E r s x y 关于(),,,0,r s x y ∈∈+∞ 是连续的,文[10]证明了(),;,E r s x y 关于,,,r s x y 为单调增加的,[11]解决了(),;,E r s x y 对于()()2,0,x y ∈+∞关于,r s ∈ 的S-凸性问题.[12]试图研究(),;,E r s x y 对于确定的,r s ∈ 关于()()2,0,x y ∈+∞的S-凸性问题,得到一个结果.[13]指出定理B 错误的同时,给出若干充分条件.即下定理3.定理9（[13]） (1)若22r s <<或22s r ≤≤，则则(),;,E r s x y 关于(),x y 在()20,+∞是S-凸函数.（2）若(){}{}{},2,012,0101r s r s r r s r s s s r ∈<≤<≤⋃<≤<≤⋃<<≤ {}{}{}012020r s s r r s ⋃<<≤⋃≤<⋃≤<，则(),;,E r s x y 关于(),x y 在()20,+∞是S-凹函数.在文[14]中，作者得到(),;,E r s x y 式对于,r s ∈ 关于(),0,x y ∈+∞为S-凸或S-凹的充要条件，即下定理4.定理10（[14]） (1)(),;,E r s x y 关于(),0,x y ∈+∞为S-凸函数,当且仅当1s ≥,1r ≥和3s r +≥.(2)(),;,E r s x y 关于(),0,x y ∈+∞为S-凹函数,当且仅当3s r +≤，1r ≤或1s ≤. 推论2（[14]）（1）当1s ≥,1r ≥和3s r +≥时，(),;,2x y E r s x y +≥;当3s r +≤，1r ≤或1s ≤时，(),;,2x y E r s x y +≤.（2）(),1;,E r x y 被称为广义对数平均，则有当2r ≥时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凸函数；当2r ≤时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凹函数([12]).（3）(),;,E r r x y 被称为广义指数平均，则有当32r ≥时,其关于(),0,x y ∈+∞为S-凸函数；当1r ≤时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凹函数.（4） (),2;,r r x y E 被称为幂平均，则当1r ≥时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凸函数；当1r ≤时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凹函数.（5） (),1;,r r x y E +被称为单参数平均，则当1r ≥时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凸函数；当1r ≤时，其关于(),0,x y ∈+∞为S-凹函数.关于此类研究还可见[13][14][15]二、几何凸函数的研究介绍在几何凸函数没有正式定义之前，已有文[33][34]利用一种变换，来研究它的一些性质，而正式定义应该由文[35]最先给出的.在不知情的情况下，国内的文[36]中也出现这个概念.文[37][38][39]首次各自给出了一维几何凸函数的微分判据．定义5 设:f I ++++⊆→ 连续，如果存在自然数2≥n ，对于任一i x I ∈和0i λ>，1,2,,i n = .当11ni i λ==∑时，f≤f ⎛≤ ⎝,()11()i in n i i i i fx fx λλ==≤∏∏之一成立，则称f 在I 上是几何凸函数；若不等式之一反向，称f 在I 上是几何凹函数．大量的事实表明,几何凸函数具有凸函数同样的优点,即能够把许多已知的用不同方法得到的不等式,用一种统一的模式推导出来,是证明和推广已知不等式、发现新的不等式的一个强有力的工具;另一方面,几何凸函数与凸函数作为两个证明和发现不等式的工具来说,各有所长,不能互相替代.这两个工具具有同样的重要性,不可偏废、不能厚此薄彼.定理11([37][40]) （ⅰ）若():,g c d → 是连续的凸函数，则()(ln )g x f x e=是(),cdee上的几何凸函数．（ⅱ）反之,若0a ≥,():,f a b ++→为几何凸函数，则()()ln x g x f e =是()ln ,ln a b 上的凸函数．定理12([37][38][39]) 设区间I ++⊆ ,函数:f I ++→为二阶可导．则f 为几何凸(凹)函数,当且仅当()()()()()()()2"''0x f x f x f x f x f x ⎡⎤-+≥≤⎣⎦.对于任x I ∈恒成立．著名的Gamma 函数在数学中占据着重要的地位，我们可以通过讨论与Γ有关的函数的几何凸性，来得到一个较强结果.如：当n ++∈时，有Minc-Sather 不等式：()())()()11111!!1n nn n n n +≤+≤+，成立．后H. Alzer 把其改进为（[41]）()()()()1111!1211!n nn n n n n n +++-+≤≤++.文献[3]把它们改进为下定理10.定理13（[3]） 1n ≥，n N ∈时，有()()()()())110.7411434411!2211!n n n nn n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.下面这个定理出自于[34],文[37]称其为“惊奇”的结果,其中的证法二是我们给出的． 定理14（[34][37]） 设b ++∈ 为常数, [)[):0,0,f b →+∞为连续，在()0,b 上为几何凸的，那么()()0:0,xF x b f t dt ∈→⎰为几何凸函数．相对于定理11,以下结果更优美.定理15([3][43]) 设0b a >>,[]:,f a b ++→ 为几何凹，对于[],x a b ∈,设()()b xg x f t dt =⎰, ()()x ah x f t dt =⎰，则g ,h 为[],a b 上的几何凹函数.几何凸函数的Hadamard 不等式指的是以下结果. 定理16([3]) 设0b a ≥>,函数[]:,f a b ++→为几何凸(凹)函数，任取],[b a c ∈，记()()()1c cf c f c η--'=+,()()()1c cf c f c η++'=+,当满足()0c η-≠，()0c η+≠和()()af a bf b ≠时，则有()()()()()()()()()()()()11c c c c c c f c f c cabcc cc cηηηηηηηη--++-+---+⋅-+⋅-()()()()()()()()()lnln ln babf b af a b f x dx abf b af a -≤≥≤≥⋅-⎰，等号成立当且仅当f 是幂函数或常函数．借鉴凸函数一般平均不等式的证明方法, 杨镇杭进一步得到了几何凸函数的对称拟算术平均不等式.定理17([29]) 设φ在[](),0,a b ⊂+∞上严格几何凸函数, ()m x M φ≤≤; f 在[,]m M 上严格单调. 则有()()()111ccb B aAccf x dx f xdx f f b a B Aφ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪< ⎪⎪-⎝-⎭⎝⎭⎰⎰,(0.1)其中()()()ln ln ,,ln ln b a A a B b c A B B Aφφ-===≠-.当()A B a b =≠时,上式右边被定义为A .当φ严格几何凹时, 上不等式反向成立.设0x >,n ++∈,()0!nkn k S x x k ==∑, ()(),xn n T x e S x =-．对于这个余项，[1,P.368][2,P.290]中有这样的一个估计：当01x n <<+时，有()()11!n n xT x n x n +≤-+．利用n S 的几何凸性，我们得到了下定理14.几乎同理可证下定理15. 定理18（[3]） (ⅰ)当1,n ≥02x n <<+时，有()()()()1221!n n n x T x n x n ++≤+-+. (ⅱ)当1,n ≥0x >时，有()()1121!!n n n xxT x n n ++≥=+.定理19（[3]） 设n ++∈，()0,2x π∈，()()()321sin 13!21!n nn x xS x x x n -=-+++-- ,()()()221cos 112!2!nn n xxP x x n +=-+++- ，则()()()()()()()()()212122221222321!22121!2223n n n n n n n xxS x n n n xn n n x +++++⋅≤≤⋅+++++++. ()()()()()()()()()()()2222222122232422!212222!2324n n n n n n n xxP x n n n x n n n x++++++⋅≤≤⋅++++++++． 同样我们可以定义S-几何凸函数和多维几何凸函数.对于（1）式，文[42]证明了下定理20.定理20（[42]） (ⅰ)(),;,E r s x y 关于,x y ++∈ 为几何凸函数,当且仅当0s r +≥.(ⅱ)(),;,E r s x y 关于,x y ++∈为几何凹函数,当且仅当0s r +≤.关于S-几何凸函数的研究，读者可参考文献[3].参考文献[1]D.S.密特利诺维奇．解析不等式[M]，张小萍，王龙译．北京：科学出版社，1987． [2]匡继昌．常用不等式(第三版)[M]．济南：山东科学技术出版社,2004年.[3]张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月.[4]Albert W ．Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M]．New York :Academic Press,Inc,1979．[5]王伯英．控制不等式基础[M]．北京：北京师范大学出版社，1990年． [6]胡克.不等式进一步的性质.江西师范学院学报，1984，1：1-2.[7]Elezovic N and Pecaric J, A note on Schur-convex fuctions [J], Rocky Mountain J. Math. 2000, 30 (3): 853-856.[8]Zhang Xiaoming,Chu Yuming.Convexity of the integral arithmetic mean of a convex function. Rocky Mountain Journal of Mathematics,to appear.[9]K. B. Stolarsky, Generalizations of the logarithmic mean, Mag. Math., 48,1975: 87–92. [10]E. B. Leach, M. C. Sholander. Extended mean values. Amer. Math. Monthly, 85,1978: 84–90.[11]F. Qi, A note on Schur-convexity of extended mean values, Rocky Mountain J.Math. 35 , 5, 2005,1787–1793.[12]F. Qi, J. Sandor, S. S. Dragomir and A. Sofo. Notes on the Schur-convexity ofthe extended mean values, Taiwanese J. Math. 9(3),2005: 411–420.[13]H.N. Shi, S.H. Wu and F. Qi, An Alternative note on the Schur–convexity of the extended mean values. Math.Ine.App.9(2),2006:219–224.[14]Yuming Chu,Xiaoming Zhang.Necessary and sufficient conditions such thatextendfd mean values are Schur-convex or Schur-concave.Journal of Mathematics of Kyoto University.48(1),2008,231-238.[15]石焕南. Gini平均的Schur凸性和Schur几何凸性.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2007,14(2),P.194-197.[16]Huan-Nan Shi. Schur-Convex functions related to Hadamard-type inequalities.Jour. Math. Ineq.. 2007, 1(1): 127-136./cont.asp?what=jmicont&vol=1.[17]Feng Qi and Bai-Ni Guo.Monotonicity of sequences involving convex function andsequence. Mathematical Inequalities and Applications,2006,9(2): 247-254. [18]Zhang Rixin,Wang Wanlan,Wen Jiajin. A Class of Reverse Jensen Inequalities.西南师范大学学报(自然科学版),2004,29(5):744-748.[19]王福利. 经典Hadamard 不等式的高维推广.数学的实践与认识,2006,39(6):370-373.[20]于永新,刘证. 另一个新的与Hadamard不等式相关的映射. 纯粹数学与应用数学,2008,24(3):547-550.[21]文家金.涉及Jensen函数的不等式.系统科学与数学,2007,4(1):208-218.[22]萧振纲.凸函数的一个积分性质的推广.湖南理工学院学报（自然科学版），2008，21(2)：1-4.[23]Wen Jia-jin，Wang Wanlan. On Some Refinements of the Jensen Inequality. 成都大学学报(自然科学版),2002,21(2）:1-4.[24]杨镇杭.关于凸函数的一般平均不等式.数学实践与认识，2003，33（8）:136-141.[25]孙明保.凸函数的双参数平均不等式.数学研究与评论.1997，17，（4）：631-632.[26]杨镇杭.凸函数的又一性质.数学通报，1984（2）：32-33.[27]Huan-nan Shi, Shan-he Wu. Refinement of an inequality for the generalizedlogarithmic mean, 数学季刊, 2008，23（4）：594-599.[28] Huan-nan Shi, Shan-he Wu. Majorized proof and refinement of the discreteSteffensen's inequality， Taiwanese Journal of Mathematics, 2007，11（4）：1203-1208[29]杨镇杭.几何凸函数的对称拟算术平均不等式.北京联合大学学报(自然科学版),2005,19(3),P.25-29.[30]Zhen-Hang Yang.On the Monotonicity and Log-Convexity of a Four-ParameterHomogeneous Mean.Journal of Inequalities and Applications，Volume 2008, Article ID 149286, 12 pages.[31] Zhen-Hang Yang. On the log–convexity of two-parameter homogeneous functions.Mathematical Inequalities & Applications,2007, 10(3): 499–516.[32]杨镇杭.齐次函数凸性的简易判定及应用. 高等数学研究,2004,7(4):14-19.[33]L.G.Lucht, Mittelwertungleichungen fur losungen gewisser differenz-engleichungen. Aequationes Math. 39(1990),204-209．[34]P.Montel. Sur les functions convexes et les fonctions sousharmoniques. Journalde Math. 1928, 9(7),P.29–60.[35]J.Matkowski.L p-like paranorms,Selected topics in functional equations anditeration Theory.Proceedings of the Austrian-Polish seminar, Graz Math. Ber.316(1992),103-138．[36]张承宇．广义凸函数性质初探．中学数学,1998(4)．[37]Constantin P．Niculescu. Convexity Aacording to the geometric mean．MathematicalInequalities & Applications ．2000(2):155-167．[38]于小平．谈广义凸函数[Z]．第四届初等数学研究学术交流会．2000，8．北京．[39]Carlos E. Finol and Marek Wojtowicz. Multiplicative properties of real functionswith applications to Classical Functions. Aequationes Math, 2000, 59(1-2), P.134-149．[40]李世杰．广义凸函数定义和性质之我见．中学数学 ,1999(5)．[41]H.Alzer.One an inequality Of H.minc and L.Sathre.J.Math.Anal.Appl.,1993,179,P.396-402.[42]褚玉明,张小明.二元广义平均的几何凸性.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2008,15(4).[43] Xiaoming Zhang,Yuming Chu.The geometrical convexity and concavity of integralfor convex and concave functions. International Journal of Modern Mathematics.2008,3(3). /.[44]石焕南,张小明.一对互补对称函数的Schur凸性.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2007,14(2),P.126-133.[45]王良成.凸函数及其不等式[M].成都:四川大学出版社,2001年.[46]郑宁国,张小明,褚玉明.N元指数和对数平均的凸性和几何凸性.物理数学学报,2008,28(5).[47]石焕南，李大矛．凸数列的一个等价条件及其应用.曲阜师范大学学报（自然科学版），2001,27(4),P.4-6.[48]杨定华．关于离散Karamata不等式及其应用.应用数学学报, 2002,25(4),P.681-685.[49]张小明.利用几何凸函数的性质证几个积分不等式.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2005,12(2),P.153-158.[50]钱伟茂,金小萍,张小明.与GA凸函数有关的几个单调性定理. 不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2007,14(3),P.376-379.[51]周银海,张小明.N元正数的Stolarsky平均的几何凸性．北京联合大学学报．2006,20(2)．[52]张小明.关于几何凸函数的HADAMARD不等式．数学实践与认识，2004,34(9)．[53]李世杰.一元二次和三次函数的几何凸性的判别. 中学数学研究,2004(1),P.17-20.[54]吴善和．几何凸函数与琴生不等式．数学的实践与认识，2004(3)．[55]张小明,石焕南.二个Gautschi型不等式及其应用.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2007,14(2),P.179-191.[56]李大矛,石焕南.广义指数平均的Schur凸性和Schur几何凸性.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2007,14(2),P.137-143.[57]顾春,石焕南.Lehme平均的Schur凸性和Schur几何凸性. 不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2008,15(1),P.21-26.[58]张小明,褚玉明,祁峰.GA凸函数的Hadamard不等式和Psi函数的GA凸性.不等式研究通讯(中国不等式研究小组主办),2007,14(3), P.266-274.[59]Huan-Nan Shi, Schur-Convex Functions relate to Hadamard-type inequalitiesJournal Mathematical Inequalities, Volum 1, Number 1, (2007), 127-136 [60]Huan-Nan Shi, Da-Mao Li, and Chun Gu, Schur-Convexity of a Mean of ConvexFunction，Applied Mathematics Letters ， 22 (2009), pp. 932-937[61]Huan-Nan Shi, Generalizations of Bernoulli's Inequality with Applications，Journal Mathematical Inequalities, Volum 2, Number 1, (2007), 101-107[62]Huan-nan Shi, Mihaly Bencze, Shan-he Wu and Da-Mao Li，Schur Convexity ofgeneralized Heronian Means involving two parameters.Journal of Inequalities and Applications, Volume 2008, Article ID 879273, 9 pages doi:10.1155/2008/879273.。