凸函数判定方法的研究要点

凸函数判定方法的研究

鸡冠山九年一贯制学校

张岩

2013年12月15日

目录

摘要 (ii)

关键词 (ii)

Abstract (ii)

Key words (ii)

前言 (iii)

一、凸函数的基本理论 (1)

1、预备知识 (1)

2、凸函数的概念及性质 (2)

二、凸函数的判定方法 (4)

（一）一元函数凸性的判定方法 (4)

1、利用作图判断函数凸性 (4)

2、其它判定方法 (5)

（二）多元函数凸性的判定方法 (8)

1、多元凸函数的有关概念 (8)

2、多元函数凸性的判定方法 (9)

三、凸函数几个其他判定方法 (12)

四、总结 (14)

参考文献 (14)

致谢 (15)

凸函数判定方法的研究

摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。

关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理

Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given.

Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem

前言

提起凸函数,人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确,凸函数是一个十分重要的数学概念,它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。在数学分析和高等数学教材中,函数的凹性和凸性一直都占据着重要的位置,关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中.

凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大的效益。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。但是,凸分析的局限性也是很明显的,实际问题中的大量函数是非凸的,因此,各种广义凸函数的定义相继出现,特别是近年来,“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题,它们是凸分析的拓广和发展。

本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性，接下来给出了一些一元函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些等价条件，接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸性的几个其他的方法。

一、凸函数的基本理论

（一）预备知识

1.梯度：若n 元函数()f x 对自变量12(,,,)T n x x x x =…的各分量i x 的偏导数

()

i

f x x ??(1,2,)i n =…都存在，则称函数()f x 在x 处一阶可导，并称向量 12()()()()(

,)T

n

f x f x f x f x x x x ????=???,..., 为函数()f x 在x 处的梯度或一阶导数。

2 . Hesse 矩阵：若n 元函数()f x 具有二阶偏导数，即2()

(,1,2,)i j f x i j n x x ?=??…,都

存在，则称矩阵

22211121222221

22

2222

1

2

()()()()()()()()()()n n n n n n f x f x f x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x f x f x f x x x x x x x ??

???

??????? ? ?

???

??=?????? ? ?

? ?

???

?????????

┅┅

┇┇┇┅

为()f x 在x 处的Hesse 矩阵（海色矩阵）。 3. 泰勒展式

（1）一阶泰勒展式：设()f x 在点_

x 处具有一阶连续偏导，则()f x 在点_

x 处的泰勒展开式

____

()()()()()f x f x f x x x x x ο=+?-+-

其中_

()x x ο-为变量

_

x x -的高阶无穷小量_

()x x →，或者

_

_

()()()()T

f x f x f x x ξ=+?-，其中_

_

()(01)x x x ξθθ=+-<<。

（2）二阶泰勒展式：设()f x 在点_

x 处二阶连续可微（或具有二阶连续偏导数），

则()f x 在点_

x 处的二阶泰勒展开式为

2

_

_

_

____

2

1()()()()()()()()2

T T f x f x f x x x x x f x x x x x ο=+?-+-?-+-

或者 _

__

__

2

1()()()()()()()2

T

T f x f x f x x x x x f x x ξ=+?-+-?-，

其中 __

()(01)x x x ξθθ=+-<<。

（二）凸函数的概念及性质

定义 1.1 设函数()f x 在区间I 上有定义, 若12,x x I ?∈,总有

()()()121211

()22

f x x f x f x ??+≤+ ??? （1.1）

则称()f x 为I 上的凸函数. 若在定义 1.1中当12x x ≠且不等式严格成立, 则称

()f x 为I 上的严格凸函数.

定义 1.2 设()f x 为定义在区间I 上的函数, 若对I 上的任意两点12,x x 和任意的()0,1λ∈总有

()()1222(1)()1()f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1.2）

则称()f x 为I 上的凸函数.若（1.2）改为严格不等式，则称()f x 为严恪凸函数 定义 1.3 设函数()f x 在区间I 上有定义,若()12,,2n x x x I n ?∈≥…，，总有

()()()1212+n n f x f x f x x x x f n n +++++??≤

???…… (1.3) 则称()f x 为I 上的凸函数.

1．凸函数的一些基本性质

（1）若()x f 1、()x f 2均为[]b a ,上的凸函数，则()()x f x f 21+也是[]b a ,上的凸函数。

（2）设()x f 为[]b a ,上的凸函数，k 为正常数，则()x kf 也为[]b a ,上的凸

函数。

（3）设()x f u =为[]b a ,上的凸函数，()u g 在[]b a ,上单调递增，且也为

[]b a ,上的凸函数，则复合函数()()x f g 也是[]b a ,上的凸函数。

（4）若()x f u =是奇函数，且当0≥x 时，()x f u =是凸函数，则当0≤x 时，()x f u =是凹函数。

（5）若()x f u =是偶函数，且当0≥x 时，()x f u =是凸函数，则当0≥x 时，()x f u =是凸函数。

（6）若()x f y =是[]b a ,上的连续递增的凸函数，则()y f x 1-=是递增的凹函数。

（7）若()x f y =是定义在区间()b a ,上的凸函数，则()x f y =在()b a ,上连续。

（8）若()x f y =是()+∞∞-,上的凸函数且不恒为常数，则存在一点c 使得()x f y =在()c ,∞-上递减，在()+∞,c 上递增。

2．凸函数的一些重要性质

性质1.1 设函数()f x 在I 上连续,若()f x 是I 上Jensen 意义下的凸函数,则

12,x x I ?∈及[]0,1λ∈都有(1.2)成立。

性质 1.2 (性质1的逆命题)设()f x 是定义在区间I 上的, 若对12,x x I ?∈ ,

[]0,1λ∈都有()()1222(1)()1()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则()f x 在I 内连续。

性质 1.3 若()f x 在区间I 上连续,且满足 ()()()21

122121

x x x x f x f x f x x x x x --≤

+-- 其中12,x x I ∈,则()f x 是I 上的凸函数。

性质 1.4 若()f x 是闭区间[a,b]上有界的凸函数,()f x 在[a,b]内必连续。

性质 1.5 若函数()f x 是区间I 上的连续凸函数, 则有

1) 函数()f x 在I 内处处存在左、右导数()'f x -与()'f x + , 且()()''f x f x -+≤； 2) ()'f x -与()'f x +都是x 的不减函数.

二、凸函数的判定方法

（一）一元函数凸性的判定方法

1.利用作图判断函数凸性

x 3

x 2

x 1

B C

A

O

图1-1

上图是一个凸函数()f x 的几何图像，其中12(1)x x x λλ=+-，1()A f x =，

2()A f x =，(1)C A B λλ=+-。若函数()y f x =在区间I 内有定义，如果对于

12,x x I ?∈，连接11(,())x f x 和22(,())x f x 两点的弦都在介于这两点的弧段之下，则可以判定（由定义1.1）该函数在区间I 内是凸函数。定义1.1是对凸函数的几何特性的直观描述，可以通过作图判断函数的凸性。

2.其它判定方法

引理 2.1 f 为I 上的凸函数的的充要条件是：对I 上的任意三点123x x x <<， 总有

()()()()

21322132

f x f x f x f x x x x x --≤

-- （2.1） 定理 2.1 设函数()f x 在区间I 可导,()f x 在区间I 内是凸函数

?12,x x I ?∈,且12x x ≤,有()()12f x f x ''≤。

证明：必要性 若()f x 在区间I 上式凸函数，且12,x x I ?∈且12:x x x x ?<<， 由（2.1）式有

()()()()

1212

f x f x f x f x x x x x --≤

-- 已知函数()f x 在1x 与2x 皆连续可导，根据极限保号性定理有

()()12'112()f x f x f x x x -≤

- ()()21'221

()f x f x f x x x -≤-

于是 ()()()()

1221''121221

()()f x f x f x f x f x f x x x x x --≤

≤≤--

充分性：123,,x x x I ?∈，且12x x x <<，根据微分中值定理，

121122,:x x x ξξξξ?<<<<

有()()1'

11()f x f x f x x ξ-=-与()()

2'22

()f x f x f x x ξ-=-。已知''12()()f f ξξ≤即

()()()()

1212f x f x f x f x x x x x --≤

-- 由引理（2.1）知函数()f x 在I 上是凸的。 定理 2.2 设函数()f x 在区间I 可导, ()f x 在区间I 内是凸函数?曲线

()y f x =位于它们的任意一点切线的上方。

证明：必要性 0x I ?∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线方程

'000()()()()y x f x f x x x =--，从而 '000()()()()()()f x y x f x f x f x x x -=---=

''''00000()()()()[(()()]()f x x f x x x f f x x x ξξ---=--，其中ξ在x 与0x 之间，若函数()f x 在I 上是凸的，由定理1，则''0()()f f x ξ-与0x x -同号，于是x I ?∈，有

()()0f x g x -≥。即曲线()y f x =在其上任意点00(,())x f x 的切线上方。

充分性 若0,x x I ?∈，有'000()()()()()()0f x y x f x f x f x x x -=---≥，于是

12,,x x x I ?∈，且12x x x <<，有

()()()()

1212f x f x f x f x x x x x

--≤

--由引理1， ()f x 在I 上是凸函数。

定理 2.3 设函数()f x 在区间I 上存在二阶导数, ()f x 在区间I 内是凸函数

?x I ?∈,有()0f x ''≥。

证明：必要性 12,x x I ?∈，且12x x <，已知()f x 在区间I 上是凸函数，根据 定理 2有 '12122()()()()f x f x x x f x ≥-+ 与 '21211()()()()f x f x x x f x ≥-+ 从而 ''211221()()

()()()

f x f x f x f x x x -≤

≤-

即函数'()f x 在区间I 上单调增加，于是又 x I ?∈有()0f x ''≥。 充分性 12,(,)x x a b ?∈，由泰勒公式，'22112121()

()()()()()2!

f f x f x f x x x x x ξ=+-+

- 其中ξ在1x 与2x 之间，已知x I ?∈有()0f x ''≥，则'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-，即()f x 在区间I 上是凸函数。

定理 2.4 设()f x 在区间I 上有定义, 则()f x 在区间I 内为凸函数当且仅当

?123,,x x x I ∈，且123x x x <<有

()()()()()()

213132213132

f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤

--- 证明：必要性 已知()f x 在区间I 上为凸函数，有定义13,x x I ?∈，设13x x <，有

()()1313(1)()1()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

（2.2） 将

31212131()()

()()()()

f x f x f x f x x x x x --≤--乘以21()x x -移项变形可知：

3221

2313131

()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤

+-- （2.3）

可见213(,)x x x ?∈，令21

31x x x x λ-=

-时，则3231

1x x x x λ--=-， 3221

313123131

(1)x x x x x x x x x x x x x λλ--+-=

+=-- 从而由（2.2）式可推到（2.3）式。 同理类推，由（1.2）得

31323132

()()()()

f x f x f x f x x x x x --≤

--。 充分性 123,,x x x I ?∈且123x x x <<，有

()()()()()()

213132213132

f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤

--- 若(0,1)x ?∈，令231(1)x x x λλ=+-，则21

31

x x x x λ-=-， 从而由（2.3）式可推到（2.2）式。 同理类推，由

31323132

()()()()

f x f x f x f x x x x x --≤

--推得（2.2）式。 定理 2.5 若()f x 在区间I 上连续,且满足

()()()

112

21101

x f x x f x x f x ≥

其中12,x x I ∈,则()f x 是I 上的凸函数。 下面举几个例题说明这些判别方法的使用。

例 2.1 求证,a b R ?∈，有1

()2

a b a b e e e +≤+

证明：,a b R ?∈，不妨设a b <，考察函数x y e =，因为'''0x y y e ==>，故x

y e =是R 上的凸函数。

令1x a =，22

a b

x +=，3x b =，由定理2.5知

11223

31()

1()01()

x f x x f x x f x ≥，

即 2

11

021a a b b

a

e a b

e

b

e ++≥，

故 2

10

020a

a b

a b a

a

e b a

e

e b a

e e +--≥--，

故 2()()()02a b

b a

a b a e e b a e e +-----≥， 所以 21()2

a b

b a

a e e e e +-≥-，

因此 1

()2

a b a b e e e +≤+。

例 2.2 证明不等式1()(

)(0,0,,1)22

n n n

x y x y x y x y n ++>>>≠>成立。 证明： 取函数(),((0,))n f t t t =∈+∞

'1''2(),()(1),((0,))n n f t nt f t n n t t --==-∈+∞ 当1n >时，''()0f t >，((0,))t ∈+∞ 因此，()n f t t =在(0,)+∞内是凸函数， 故对任何0,0,x y x y >>≠，恒有

1[()()]()22

x y

f x f y f ++>， 即不等式1()(

)(0,0,,1)22

n n n

x y x y x y x y n ++>>>≠>成立

（二）多元函数凸性的判定方法

1.多元凸函数的有关概念

定义 2.1 设n D R ?,对12,x D x D ?∈∈,数[]0,1λ∈, 1x 及2x 为n 维向量,若均

有12(1)x x D λλ+-∈,则称D 为凸集,即如果D 中的任意两点1x ,2x 的连线也在D 内,则称D 为n R 中的一个凸集。

多元凸函数的定义可由一元凸函数的定义推广得到。 定义 2.2 设n D R ?为非空凸集, ,,(0,1)x y D λ?∈?∈,若有

()()(1))()1()f x y f x f y λλλλ+-≤+-,

则(,)f x y 为D 上的凸函数；若上述为严格不等式,则(,)f x y 是D 上的严格凸 函数。

我们可以利用函数的梯度和二阶偏导数矩阵(Hesse 矩阵)来判断多元函数的凸性。

2.多元函数凸性的判定方法

定理 2.6 设()x f 为凸集n R D ?内可微函数，则()x f 为D 内的凸函数的充要条件是：对()()()x x f x f x x f ,D x x ,D x T

??+≥?+∈?+∈?，其中

12n x x x x ?? ? ?= ? ???… 12n x x x x ??? ?? ??= ? ????… ()12

n f x

f x gradf x f x ???

?? ? ?? ??= ? ?

?? ? ?

??

?▽… 12(,,)T n x x x x =…，

证明： 必要性 设()f x 为D 内的凸函数，对[]0,1α?∈，恒有 [()(1)]()(1)()f x x x f x x f x αααα+?+-≤+?+-

()()

()()f x x f x f x x f x αα

+?-≤+?-

令α从正趋向于0，则0

()()

lim ()T f x x f x f x x ααα

+

→+?-=??，所以

()()()T f x x f x x f x ??≤+?-

充分性 设x D ?∈，x x D +?∈，有()()()T f x x f x f x x +?≥+??成立。

设12,x x D ∈，令12(1)x x x αα=+-，01α<<，则

11()()()()T f x f x f x x x ≥+?- （2.6） 22()()()()T f x f x f x x x ≥+?- （2.7）

α×（2.6）+(1)α-×（2.7）式得：

12121()(1)()()()[()(1)()]T f x f x f x f x x x x x αααα+-≥+?-+--

或

12()(1)()()f x f x f x αα+-≥ 即

1212()(1)()[(1)]f x f x f x x αααα+-≥+-

所以，()f x 是D 内的凸函数。

定理 2.7 ()f x 是定义在凸集n D R ?内的二次可微函数,则()f x 为D 内的凸函数的充要条件为()f x 的二阶偏导数矩阵()2f x ▽处处半正定。类似的，()f x 为

D 内严格凸函数的充要条件为()2f x ▽处处正定。

证明： 必要性 设2()A f x =?，对任意的x ?，由泰勒公式得：

1

()()()2

T T f x x f x f x x x A x +?=+??+??

由题意知()()()T f x x f x f x x +?≥+??，所以0T x A x ??≥， 即2()A f x =?处处半正定。 充分性 由泰勒公式得

1

()()()2

T T f x x f x f x x x A x +?=+??+??

若A 处处半正定，对任意x ?，恒有0T x A x ??≥，则()()()T f x x f x f x x +?≥+?? 由定理 2.6 知，()f x 为D 内的凸函数。

例 2.3 求证：二元函数22(,)2f x y x xy y x y =-+++为2R 上的凸函数。 （证法一）证明：因为

()()221(,)11222

x x f x y x y y y -??????=

+ ??? ?-??????

，

令1(,)()2

f x y f x x x b x T

T ==

A +，其中 x x y ??= ???，2222-??A = ?-??，11b ??

= ???

。

任取1221212,a a x x R b b ????

==∈ ? ?????

，(0,1)t ∈，则

121212*********((1))

((1),(1))

(()(1)())()(1)()

f tx t x f ta t a tb t b t a b t a b t a b t a b +-=+-+-=-+--+++-+

122

2

11221122()(1)()

()(1)())()(1)()

tf x t f x t a b t a b t a b t a b +-=-+--+++-+

利用一元函数2()g x x =为x R ∈上的凸函数可知

211222

2

1122(()(1)())()(1)())

t a b t a b t a b t a b -+--≤-+--

因此二元函数22(,)2f x y x xy y x y =-+++为2R 上的凸函数。 （证法二）证明：

2222

222222z

z x x y A z z x y

y ??

?? ?

-????? ?== ? ?-????

??????

，因为2220z

x ?=>?，det 0A =， 则A 为半正定，所以二元函数22(,)2f x y x xy y x y =-+++为2R 上的凸函数。 例 2.4 求函数222(,)10(4)(14)f x y y x y =-+-的极小值。 解： 首先讨论(,)f x y 的凸性，求出它的Hesse 矩阵

22222

2232016016012016032z z y x x y A y y x z z x y

y ??

?? ?

-?????

?== ? ?--+????

??????

因为223200z

x

?=>?，2det 2560(5204)A y x =-+

当det 0A >时，A 为正定，即252040y x -+>是(,)f x y 为严格凸函数的条件。

令'(,)0x f x y =，'(,)0y f x y =，即11,644x y =

=，而11

,644

x y ==满足不等式252040y x -+>，所以(,)f x y 有唯一极小值，11

(,)0644

f =。

三、凸函数几个其他判定方法

定义3. 1 令n S R ?是一个非空集，:f S R →

()()}{,,,epif x a f x a x S a R =

≤∈∈称集合1

n epif R

+?是f 的上图像。

定理 3.1 令n S R ?是一个非空凸集, :f S R →在S 上是凸的当且仅当f 的上图像epif 是凸集。

证明：充分性 因为f 在S 上是凸的，对121122,,(,),(,),(0,1)x x S x a x a epif λ?∈∈∈ 有

()()121212(1))()1()(1)f x x f x f x x x λλλλλλ+-≤+-≤+-

由于S 是凸集，故12(1)x x S λλ+-∈，则

1212((1),(1))x x a a epif λλλλ+-+-∈

即f 是凸的。

必要性 因为epif 是凸的，对121122,,(,()),(,()),(0,1)x x S x f x x f x epif λ?∈∈∈，有

1212((1),()(1)())x x f x f x epif λλλλ+-+-∈

即

()()1212(1))()1()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

得证。

定理 3.2 设n S R ?为一非空凸集合, :f S R →为凸的当且仅当对v ?,函数

:h S R →, ()()h t f x tv =+在{}t x tv S +∈上是凸的。

定理 3.3 设n S R ?为一非空开凸集合, :f S R →在S 上可微,则f 为凸的当且仅当对()()()

()1221121,,T

x x S f x f x f x x x ?∈-≥-▽。

定义 3.2 令:n n f S R R ?→, 0S S ?。 称f 在S 上是单调的,若对0,x y S ??,有()()

()0T

f x f y x y --≥成立。

定理 3.4 设n S R ?为一非空开凸集合, :f S R →在S 上可微,则f 在S 上为凸的当且仅当▽f 单调,即对12,x x S ?∈,有()()()()12120T

f x f x x x --≥▽▽。

例 3.1 函数1()2

T

T f x x Ax b x c =

++，其中()ij nn A a =为半正定的对称阵，12(,,)T n b b b b =…为给定的常向量，为常数，则()f x 为凸函数。 证明：利用定理3.4来验证。 1212(,),(,)x x x y y y S ?==∈ 有

()T T f x A x b ?=+，()T T f y A y b ?=+，1122(,)T x y x y x y -=-- 则()()()T f x f y A x y ?-?=-，

于是(()())()()()T f x f y x y x y A x y ?-?-=--，由于()ij nn A a =为半正定的对称阵，于是()()0T x y A x y --≥，即(()())()0f x f y x y ?-?-≥，所以()f x 为凸函数。

四、总结

凸函数在整个优化问题的研究，以至于在工程和金融管理方面都发挥着重要的作用，因为许多提炼出来的数学模型归根结底是优化问题的求解，而凸规划又是优化问题的一个重要分支，凸函数的判定又是这一切研究工作的基础。

本文主要研究判定函数凸性的一系列充分必要条件。首先，回顾一些对判定函数凸性有用的概念，如梯度、Hesse 矩阵及泰勒展式等。其次，给出凸函数的几个等价定义，并讨论它们的等价性。接下来对凸函数的性质做一个简单的介绍，然后提出几个有利用价值的重要的性质，为后文判断函数的凸性提供了研究的理论基础。再次，给出本文的重点，既，凸函数的判定方法，第一部分说明利用函数的图像可以判断函数的凸性，这里只是做了简单介绍，而不是本文重点，第二部分给出一元函数凸性的判定方法，给出了五种不同的判定方法，其中每种方法都有其优点，相应的给出例题说明遇到不同问题时，使用的判定方法也不尽相同。接下来，介绍了多元凸函数的有关概念，并且研究了多元函数凸性的判定方法及其应用。最后，给出了凸函数的几个其他的判定方法，并且给出实例加以应用和验证。

参考文献

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致谢

本论文从选题、设计到最后的定稿都是在我的指导老师沈洁老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。沈洁老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向沈洁老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬老师、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!

最后，再次对关心、帮助我的同事表示衷心地感谢！