凸函数的几个等价定义
凸函数的等价命题及其应用举例
凸函数的等价命题及其应用举例一、凸函数的定义及其等价命题定义1：f 在区间I 上有定义，如果对[]1,0,,,2121∈∀<∈∀t x x I x x ， 有)()()1())1((2121x tf x f t tx x t f +-≤+-，则f 称在I 上为凸函数。
这个一般定义下，我们得到了凸函数的几个等价命题： 命题1：下面几个命题等价： （1）)(x f 为区间上的凸函数；（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1221211;x x x x t x x x x t --=---=于是有)()()(21211122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤；（3）对,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--；（4）对),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==ni it11，有;)()(11∑∑==≤ni i ini i i x f tx t f ；（5）对,,00R I x ∈∃∈∀α，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。
引理:若f 为定义在)(0x U +上的单调有界函数,则左极限)(lim 0x f x x +→存在.下面给出凸函数的一个重要性质:性质:)(x f 是[]b a ,上的凸函数,则)(x f 上()b a ,连续. 证明:本证明分两步:首先证明)(x f 是()b a ,上的凸函数,则)(x f 在()b a ,内任一点0x 都存在左右导数.下面只证明凸函数)(x f 在0x 存在右导数,同理可证明也存在左导数.事实上,由命题1(3),设2031020121,,0h x x h x x x x h h +=+==<<,(这里取充分小的2h ,使()b a h x ,20∈+).则,)()()()(20201010h x f h x f h x f h x f -+≤-+令hx f h x f h F )()()(00-+=,由上式可见)(h F 为递增函数,现取0),,(x x b a x <'∈',则对任何0≥h ,只要),,(0b a h x ∈+,由命题1(3)也有)()()()()(0000h F hx f h x f x x x f x f =-+≤-''-,于是上面不等式左端为定数,因而函数)(h F 在0>h 上有上界,根据引理得)(lim 0h F h +→存在.即)(0x f +存在.再证明)(x f 在0x 存在左右导数,则)(x f 在0x 连续.事实上,在0x 存在右导数,则)(x f 在0x 右连续)(x f 在0x 存在左导数,则)(x f 在0x 左连续 故, )(x f 在0x 连续.综上,性质得证.命题2[：如果)(x f 在I 上任一闭区间上有上界，则它是凸函数的充分条件是：（6）2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +≤+∈∀推论1：将上一命题中“在I 上任一闭区间上有上界”换成“在I 上连续”，结论仍然成立。
凸函数的几种定义
凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。
1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。
2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。
综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。
无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。
凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。
此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。
然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西 汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。
凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。
本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。
首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。
然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。
后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。
然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。
最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。
【关键词】 凸函数；等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar 的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。
凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。
微积分中凸函数概念的等价性
引理2 设f(x)在区间[a ,b]上连续， [ 在开区间(a,b) 内单侧可导， 则 必存在t e (a,b) ， 使得弦斜率F(b,a)介于H C )和f+(g)之间。
这是推广的微分中值定理。
可使有些叙述和证明过程变得较为简便。 显然F(x,y)=F(y,x)， 两
者不必加 以区别 。
、 导数(切线倾角) 的单增性也可作为下凸函数的定义， 它与定义的等 价性不必附加条件， 只需对切线、 导数作一些广泛的理解即可。
参考文献
任意点x0， 存在单侧导数， 并且对任意x e D, 以下不等式成立 { - f(xo + f+'(xo xo (x)) )(x- ) (6) Ax)- f(xo + f- ,(xo X ) )(x- .) (7) 在严格下凸意义下， (6)(7)为严格不等式。
这里给出充分性证明和严格下凸意义下的必要性证明。
充分性 对任意x,<xo ， <x, 在(6)式中取x=x， 可得F(xo,x1)- f+(xo , ) 取x=x: 可得F(xo,x}- f+(xo 于是(2)式得证， )， 故f(x)下凸。 得F(xo,y)<F(xo 仿照一般下凸的必要性证明， ,x)。 可得f- (x,)- f+(xo - F )(X,y)， . 结合起来即f- (xo - f+(xo ))<F(xo 将此不等式乘以(x- xo)即得对 ,x)， ( 应于(6 ) , (7)的严格不等式。类似可证x<x,〕 的情形。 不等式(6) , (7) 的几何意义是“ 曲线位于左、 右切线的上方”所以 ，
37对象访问策略对象访问策略用来确定一个角色可以具有哪些访问权限可以表示为一个二元组角色权限列表其中权限列表包含了所有的角色可以拥有的权限而权限又可以表示为一个二元组对象操作列表其中操作列表包含所有的角色所具有的可以对该目标进行的操作
02凸优化理论与应用_凸函数
6
下水平集(sublevel set)
定义：集合
C { x dom f | f ( x ) }
称为 f 的 下水平集。
定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
7
函数上半图(epigraph)
定义：集合
epi f {( x , t ) | x dom f , f ( x ) t }
称为函数
f
的上半图。
f
定理：函数
为凸函数当且仅当
f
的上半图为凸集。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
8
Jensen不等式
f
为凸函数，则有：
yC
凸函数的透视算子
g ( x , t ) tf ( x / t )
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
11
共轭函数(conjugate function)
定义：设函数 f : R 定义为
*
n
R
，其共轭函数 f : R
T
*
n
R
，
f ( y ) su p ( y x f ( x )).
n
为真锥，函数 f : R
n
R
称为 K 单调增，若函数 f ( x ) 满足：
x K y f (x) f ( y)
广义凸函数的定义：设K R 均有
m
为真锥，函数 f : R
n
R
m
称为 K 凸，若函数 f ( x ) 满足对 x , y dom f , 0 1
21第二十一讲 凸函数的等价条件,例
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
例 2 讨论函数 f ( x) = arctan x 的凹凸区间.
解 因为
f
′(
x)
=
1
1 + x2
,
x ∈ (−∞, + ∞),
= f ′′( x)
−2 x (1 + x2 )2 ,
x ∈ (−∞, + ∞).
所以当 x ∈ (−∞, 0)时, f ′′( x) > 0 , f ( x) 为凸函数； 当 x ∈ (0，+ ∞) 时, f ′′( x) < 0, f ( x) 为凹函数 .
= f ( x2 )
f= +′( x2 )
f ′( x2 ),
所以 f ′( x1 ) ≤ 故 f ′( x) 递增.
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ x2 − x1
f ′( x2 ),
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
y
O x1 − h x1
x2 x2 + h x
对于 x1 > x2 ,仍可得到相同的结论.
(ii) f ′( x) 为 I 上的增函数 ; (iii) 对于 I 上的任意两点 x1, x2 , 有
f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) + f ′( x1 )( x2 − x1 ).
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
将(6)式乘以λ，(7) 式乘以(1 − λ )作和，并注意到
λ x1 + (1 − λ ) x2 − x0 =0, 得 λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x 2 ) ≥ f ( x=0 ) f (λ x1 + (1 − λ ) x2 )
凸(凹)函数的3种定义及其等价关系研究
长 江 大 学 学报 （ 然科 学版 ） ２ １ 年 ６ 第 ７ 第 ２ ： 自 ００ 月 卷 期 理工
（ （ｘ ＋ （ －， ２ ≥ ， ｚ ） （ － Ａ ｆ ｘ ） ｆ Ａ ｌ １ Ｄｘ ） ｌ １ ＋ １ ） （ ２ ） ｆ（
则称 ， ｚ 为 Ｊ 的凸 （ （） 上 凹）函数 。 定 义 ２。 设 函数 厂 ｚ 在 区间 Ｊ 连续 ， Ｖｚ ，。∈ ， ： （） 上 若 ｚ 有
１ 凸 （ 凹） 函数 的 ３种定 义
凸 （ 凹）函数的曲线具有如下特征 （ 图 １ ： 如 ）
ｒ
１ ）凸 （ 凹） 函数 的 曲线上 任 意 ２点 间 的弧
度 总在 ２点连线 的下 （ 上）方 ；
．
ｊ（ ）
２ ）凸 （ 凹）曲线 总位于该 曲线 上任 意 点切 线 的上 （ ）方 。 下 由曲线 的特点 可 以得 到如下 ３种定 义 。 定义 １ ］ 设 ， ｚ 口 （ ）为定 义在 区间 Ｊ上 的 函
（） 函数 ａ凸
／ 。 ｝
Ｏ 一
（） ｂ 凹函数
图 １ 凸 （ ） 函数 的 曲线特 征 凹
数 ， Ｙｚ ， ２∈ ， ∈ （ ，） 有 ： 若 １ｚ Ｖ Ｏ１，
厂（ ＋ （ －Ａ ｘ ） １ ） ｚ ≤ （ ＋ （ － Ａ ｆ（ ｚ ｚ） １ ） ｘ）
— 一 一
） ｔ 一 ） ≤
Ｚ１
！ ． 二
Ｚ２一 Ｚ１
２
令 ห้องสมุดไป่ตู้
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本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。
关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。
本文从凸函数的定义出发,先是总结和部分证明了凸函数各种等价定义，归纳了凸函数的相关性质；其次，总结了凸函数的一些应用。
1 凸函数的定义定义1 设2R D ⊂为凸集， R D f →:．如果对于D 中任意两点'x 与"x ，以及任一实数λ()10<<λ， 恒有)"()1()'()"x )1('(x f x f x f λλλλ-+<-+则称f 是凸集D 上的严格凸函数。
注：若()f -是严格凸函数，则称f 是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。
下图中的()a 和()b 分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象,2 凸函数的等价定义和性质函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。
2.1 凸函数的等价定义定义2 设()f x 是定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ,2x ,恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭则称()f x 为I 上的凸函数。
定义3 若在定义I 上成立不等式（1x ≠2x ）122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭<()()122f x f x +则称()f x 是I 上严格的凸函数。
定义4 下面几个定义等价： （1）)(x f 为区间上的凸函数；（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1221211;x x xx t x x x x t --=---=于是有)()()(21211122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤；（3）对 ,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--；（4）对),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==ni it11，有∑∑==≤ni i i ni i i x f t x t f 11)()(；（5）对R I x ∈∃∈∀α,0，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。
定义5 如果)(x f 在上I 一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：)(x f '在I 上单调递增，I x x x x f x f x f I x ∈∀-'+≥∈∀),)(()()(,00000)(x f 的图形在某任一点))(,(00x f x 的切线的上方。
定义6如果)(x f 在I 上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：0)(≥''x f 。
定义7 可微函数)(x f ：R R n →是凸函数的充要条件是：)(x f 作为n R 在中任一直线{}n R p x R p x ∈∈+,,αα上的一元函数)(p x f y α+=满足))((R p x f ∈+'ααα单调增。
定义8 设n R S ⊂是非空开凸集，)(x f 是定义在I 上的二次可微函数，则)(x f 是凸函数的充分必要条件是：在S 的每一点Hesse 矩阵半正定,其中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=''221212212)(n n n x f x x fx x f x f x f 为Hesse 矩阵。
定义9 )(x f 为()b a ,上的连续凸函数的充分必要条件是：()(){}y x f b a x y x A ≤∈=)(,,且为凸集（水平集）。
定义10 )(x f 在I 上是凸函数的充分必要条件是：)(x f 对任意定义于()1,0上，值域()[]I g ⊂1,0的可积函数()x g ，有()()⎰⎰≤121)((dx x g f dx x g f ，只要右边有意义。
2.2 凸函数的性质性质1 设()x f 在区间I 上为凸函数，对任意0≠k ，则:0>k 时，()x kf 在区间I 上为凸函数;0<k 时，()x kf 在区间I 上为凹函数。
性质2 设()x f ，()x g 是间I 上的凸函数，则其和()()x g x f +也是I 上的凸函数。
性质3 若设()x f ，()x g 是间I 上的凸函数，则()(){}x g x f ,m ax为I 上的凸函数。
性质4 设()u ϕ是单调递增的凸函数，=u ()x f 是凸函数，则复合函数()[]x f ϕ也是凸函数。
性质5 设()x f 为区间I 上的凹函数，()0>x f ，则()x f 1为区间I 上的凸函数，反之不真。
性质6 若()x f 在区间I 上为凸函数，对任意I x ∈，则x 为I 的内点. 则单侧导数()()x f x f '',+-皆存在，且()()x f x f ''+-≤。
性质7 ()x f 为区间[]b a ,上的凸函数，对任意[],,,0R b a x ∈∃∈α对任意I x ∈有()()()00x f x x x f +-≥α。
性质8 设)(x f 是区间I 上的凸函数，则在I 的任一闭子区间上)(x f 有界[]I b a ⊂, ，∀x ∈[]b a ,，取λ=ab a x --则b a x λλ+-=)1()(x f ≤()M b f a f ≤+-)()(1λλ( 此处)(),(max(b f a f M =) 再令=c2ba +，∀x ∈[]b a , 存在x 关于c 的对称点x '， 由)(x f 的凸性得到M x f x f x f c f 21)(212)()()(+≤'+≤因此，)(x f ≥ m M c f =-)(2。
性质9 设)(x f 是区间()b a ，上的凸函数，则在()b a ，的任一闭子区间上)(x f 满足Lipschitz 条件。
3凸函数等价定义的应用举例 3.1一些集合上的凸函数凸函数是建立在凸集上的一类函数，以下是相应集合上的凸函数的举例： 1.实数域R 上的二次函数：R x x x f ∈=,)(2；2.Euclid 空间R n 上的范数函数：1,,)()(11>∈==∑=p R x p x xx f pni i p,其中T n x x x ),,(1 =，特别221)(n x x x x f ++==是R n 上的凸函数。
3.Banach 空间ℜ中凸集S 上的距离函数：ℜ∈-=∈x y x x ds sy ,inf )(。
4.线形拓扑空间X 中凸集S 上的Minkowski 函数（泛函），{}X x s x x u s ∈∈>=,0inf )(αα。
5.线形空间V 上的仿射函数：,,,)(V x x x l ∈+>=<βα其中R V ∈∈βα,。
6.线形空间V 中凸集S 上的指示函数：⎩⎨⎧∈∞+∈=Vx sx x s ,,0)(δ。
3.2 运用凸函数等价定义证明不等式 3.2.1.Jensen 不等式：设)(x f 在I 上是凸函数，),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n p p p I x x x n n∑==ni ip11,∑∑==≤ni i i n i i i x f p x p f 11)()(，(1)设),2,1(0n i a i =>,有.111212121na a a a a a a a a nnn n n++≤≤+++(2)设),,2,1(0,n i b a i i =>,有qni i p pni i p ni ii b a ba 11111)()(∑∑∑===≤其中111,1,1++>>qp q p 。