三维空间上凸函数的判定

三维空间3R 上凸函数的判定

刘 风

（宿州学院 数学系， 2005级数学与应用数学，安徽 宿州 234000）

摘要：本文从凸集入手，着力讨论空间3R 上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定空间

3R 上凸函数的几个充要条件。

关键词：凸集；凸域； 凸函数;上图

1引 言

在数学分析里面，我们已经讨论了平面上凸函数的一些性质，但是对于多元函数却没有给出凸函数的定义及判定凸函数的充要条件。本文以空间3R 为代表，讨论3R 上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定其凸函数的几个充要条件。 2

凸 集

定义2.1 设X 是任意一实线形空间，M 是X 的一个集合，如果对任意的,x y M ∈以及[]0,1λ∈，都有

()1x y M λλ+-∈， （1）

则称集合是凸集。

例2.1 设X 是任意一实线形空间，则对任意给定的非零向量z X ∈以及实数c ，集合{}|,H x x z c x X =?≥∈是X 上的一个凸集。

证明：12,x x H ?∈显然有12,x z c x z c ?≥?≥。令()[]121,0,1x tx t x t =+-?∈由于

[]0,1t ∈，故有()()12,11tx z tc t x z t c ?≥-?≥-，从而有

()()1211x z tx z t x z tc t c ?=?+-?≥+-。

即得x H ∈，由凸集的定义可知，H 是X 上的一个凸集。

定义2.2 若区域2

D R ?上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸域。即若D 是

2R 上的凸域，则对任意两点()()111222,,,P x y P x y D ∈以及对任意的实数[]0,1λ∈，都有

()()()1

2

1

2

1,1P

x x y y D λλλλ+-+-∈ 。 （2）

显然，凸域为2R 上的凸集，因此易推出凸域的以下基本性质：

1> 任意多个平面凸域的交集是平面凸域。

2> 任意多个平面凸域的代数并是平面凸域，其中对任意两个凸域E 与F ，代数并 E F +定义为

()()(){}

1212111222,|,,,E F P x x y y P x y E P x y F +=++∈∈。 （3）

3> 任取2R 上的一个凸域D ，作2R 到R 的一个线形映射σ，则()D σ是R 上的凸集。

3 3R 上的凸函数

定义 3.1 设(),f x y 为定义在凸域2D R ?上的二元函数，若对D 任意两点

()()111222,,,P x y P x y 以及实数()0,1λ∈，都有

()()()()()()121211221,1,1,f x x y y f x y f x y λλλλλλ+-+-≤+-， （4）

则称f 为D 上的凸函数。反之，如果总有

()()()()()()121211221,1,1,f x x y y f x y f x y λλλλλλ+-+-≥+-， （5）

则称f 为D 上的凹函数。

如果（4）（5）两式中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数与严格凹函数。

容易证明：若-(),f x y 为凸域D 上的凸函数，则(),f x y 为凸域D 上的凹函数，因此只需讨论凸函数的性质即可。下面将给出判定二元凸函数的几个充要条件。

定理3.1 设(),f x y 为定义在凸域2

D R ?上的可微函数，则f 为凸函数的充要条

件是：对D 上任意两点()()111222,,,P x y P x y ，都有

()()()()()()221111211121,,,,x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≥+-+-。 （6）

证明：()??()()111222

,,,P x y P x y D ∈以及()0,1λ?∈，设()333,P x y ，其中

()()3123121,1x x x y y y λλλλ=+-=+-。显然

3P D ∈，由已知条件得 ()()()()()()13313313x y f P f P f P x x f P y y ≥+-+-， ()()()()()()23323323x y f P f P f P x x f P y y ≥+-+-。

且有

()()()()131213121,1x x x x y y y y λλ-=---=--，

()()23212321,x x x x y y y y λλ-=--=-。

将这些式子联立便有

()()()()1231f P f P f P λλ+-≥。

即

()()()()()()121211221,1,1,f x x y y f x y f x y λλλλλλ+-+-≤+-。

从而由定义3.1知f 为D 上的凸函数。

()?设f 为凸域D 上的凸函数，则对D 上任意两点()()1112

22,,,P x y P x y 以及()0,1λ?∈恒有

()()()()()()121222111,1,1,f x x y y f x y f x y λλλλλλ+-+-≤+-。

即得

()()()()()()

121121112211,,,,f x x x y y y f x y f x y f x y λλλ

+-+---≥

。

令()()()()

121121,f x x x y y y λλλΦ=+-+-，则由题设条件知()λΦ为()0,1内的连续可导函数，故由(),L Hospital 法则及复合函数求导法则得

()()()()()()

1211211122110

,,,,lim

f x x x y y y f x y f x y f x y λλλλ

→+-+---≥

()()()()121121210

lim[,x f x x x y y y x x λλλ→=+-+--

()()()()12112121,]y f x x x y y y y y λλ++-+-- ()()()()11211121,,x y f x y x x f x y y y =-+-。

从而必要性得证。

注<1>：定理3.1的几何意义在于：凸曲面(),z f x y =总是在它的任一切平面的上方(图略)，这是可微凸函数的几何特征。

例 3.1 若函数(),f x y 为定义在凸域2

D R ?上的可微凸函数，()000,P x y D ∈，

则0P 为f 的极小值点的充要条件0P 是为f 的稳定点。 证明：()?由极值的充要条件知，必要性显然。

()?由(),f x y 为定义在凸域2

D R ?上的可微函数知，(),P x y D ?∈有

()()()()()()00000000,,,,x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≥+-+-。

由0P 为f 的稳定点知()()0000,0,,0x y f x y f x y ==，进一步得()()00,,f x y f x y ≥ 从而0P 为f 的极小值点。

定理3.2 设(),f x y 为定义在凸域2D R ?上的二元函数，则f 为凸函数的充要条件是：对D 上任意两点()()111222,,,P x y P x y ，函数()12;,t P P ?关于()0,1t ∈为凸函数，其中的()12;,t P P ?定义为

()

()()()121212;,1,1t P P f tx t x ty t y ?+-+-。 （7）

证明：()()0,1λ??∈，有()110λλλ=?+-?，任取D 上两点()()111222,,,P x y P x y 由()12;,t P P ?的凸性知

()()()()1212121,1;,f x x y y P P λλλλ?λ+-+-=

()()()12121;,10;,P P P P λ?λ?≤+- ()()()1122,1,f x y f x y λλ=+-。

故f 为D 上的凸函数。

()()()111222,,,P x y P x y D ??∈以及()()120,1,,0,1t t λ?∈∈，令

()()31112311121,1x t x t x y t y t y =+-=+-， ()()42122421221,1x t x t x y t y t y =+-=+-。

则有

()()()()()341211221111x x t t x t t x λλλλλλ??+-=+-+-+-??，

()()()()()341211221111y y t t y t t y λλλλλλ??+-=+-+-+-??。

从而由f 的凸性知

()()()()()121234341;,1,1t t P P f x x y y ?λλλλλλ+-=+-+-

()()()3344,1,f x y f x y λλ≤+- ()()()112212;,1;,t P P t P P ?λ?=+-。

故函数()12;,t P P ?关于()0,1t ∈为凸函数。

定理3.3 (),f x y 为凸域2D R ?上凸函数的充要条件是：对D 上任意点(),i i i P x y 及()1

01,2

,1n

i i i i n λλ=>==∑，有

()111

,,n n

n

i i i i i i i i i i f x y f x y λλλ===??≤ ???∑∑∑。 （8）

证明：()?当2n =时，()()111222,,,P x y P x y D ?∈以及()01,2i i λ>=且121λλ+=有

()()()11221122111222,,,f x x y y f x y f x y λλλλλλ++≤+。

即

()()()()()()111211*********,1,1,f x x y y f x y f x y λλλλλλ+-+-≤+-。

故f 为D 上的凸函数。

()?利用数学归纳法证明：当2n =时，由定义3.1知命题显然。

假设n k =时命题成立，即(),i i i P x y D ?∈以及()1

01,2

,1k

i i i a i k a =>==∑，都有

()111

,,k k

k

i i i i i i i i i i f a x a y a f x y ===??≤ ???∑∑∑。

那么当1n k =+时，现设()111

01,2

1,1k k i i i P D i k λλ++=∈>=+=∑及，令1

1i

i k a λλ+=

-

()1,2

i k =，则得1

1k

i i a ==∑，由数学归纳可知

11

11111111,,k k k k

i i i i i i k k i i k k i i i i f x y f x x y y λλλλλλ++++++====????=

++ ? ?????

∑∑∑∑

()()11111111111,111k k

i i k i k k k i k k i i k k f x x y y λλλλλλλλ++++++==++??=-+-+ ?

--??

∑∑

()()111111,1,k k

k k k k i i i i i i f x y f a x a y λλ++++==??

≤+- ???

∑∑

()()()11111

,1,k

k k k k i i i i f x y a f x y λλ++++=≤+-∑

()()1111

,,k

k k k i i i i f x y f x y λλ+++==+∑

()1

1

,k i i i i f x y λ+==∑。

从而对任意正整数()2n ≥，不等式（8）恒成立。

定理3.4 设(),f x y 为定义在凸域2D R ?上的二元函数,定义f 的上图()epigraph

()

()()(){},|,,,epi f P r P x y D r R r f P ∈∈≥， （9）

则f 为凸函数的充要条件是：()epi f 在乘积空间2R R ?上为凸集。

证明：()?设()epi f 是2R R ?上的凸集，则()()111222,,,P x y P x y D ?∈以及

()0,1λ?∈，有

()()()()()()()()11112222,,,1,,,x y f x y x y f x y epi f λλ+-∈。

即

()()()()()()()()1

2

1

2

1

1

2

2

1,1,,1,x x y y f x y f x y epi f λλλλλλ+-+-+-∈。

则

()()()()()()121211221,1,1,f x x y y f x y f x y λλλλλλ+-+-≤+-。

故f 为D 上的凸函数。

()?设f 为D 上的凸函数，则()()()()()111222,,,,,x y r x y r epi f ?∈以及[]0,1λ∈， 由()epi f 的定义知

()()()()1211221,1,r r f x y f x y λλλλ+-≥+-。

又由f 的凸性知

()()()()()()11221

2

1

2

,1,1,1f x y f x y f x x y y λλλλλλ+-≥+-+-。

因而有

()()()()()()1

2

1

2

1

2

1,1,1x x y y r r epi f λλλλλλ+-+-+-∈。

即

()()()()()()111222,,1,,x y r x y r epi f λλ+-∈。

故()epi f 在乘积空间2R R ?上为凸集。

例3.2 设I 为任意指标集，{}:l f l I ∈是凸集2D R ?上的一簇凸函数，

则()f P 为D 上的凸函数。其中()f P 定义为

()

()sup l l I

f P f P ∈。 （10）

证明：容易验证()()l l I

epi f epi f ∈=

，由定理3.4知，对任意l I ∈，都有()l epi f 为

凸集，则

()l l I

epi f ∈也为凸集，故有()epi f 为凸集。再由定理3.4可知，()f P 为D 上的

凸函数。

定理3.5 设(),f x y 为定义在凸域2

D R ?上的可微函数，且在D 上具有二阶连续

偏导数，则f 为D 上的凸函数的充要条件是：对D 上任意点(),P x y ，()f Hesse H P 矩阵都是正半定的。

证明：()000,P x y D ?∈，由泰勒定理知，对D 上任意点()00,Q x h y k ++，存在

()0,1θ∈使得

()()()()2

00001,2f Q f P h k f P h k f x h y k x

y x y θθ????

????=++++++ ? ????????? （11）

()?设()f H P 对任意点(),P x y D ∈都是正半定的，则有

()2

00,0h k f x h y k x

y θθ????+++≥ ?????。

由（11）式得

()()()000000,,,f x h y k f x y h k f x y x

y ??

??++-≥+ ?????

()()0000,,x y f x y h f x y k =+。

故由点0,P Q 的任意性和定理3.1知f 为D 上的凸函数。

()?假设存在一点()000,P x y D ∈，使得()0f H P 为负定的，则()000,M h k ?且

22000h k +≠，有

()2

0000,0h k f x y x y ????+< ?????

。 由f 的二阶偏导数的连续性知，0δ?>，使得()()0,;P x y P δ?∈

，恒有

()2

00,0h k f x y x

y ??

??+< ?????。

（12） 令()(

)00,,,0h k c h k c =<<

设且()()00,,x y x h y k =++，显然有

()()(

)00,,,,0,1x y x h y k D θθθδ++∈∈<，由（12）式得

()2

0000,0h k f x h y k x

y θθ??

??+++< ?????。

同时也有

()()22

2000000,,0h k f x h y k c h k f x h y k x y x

y θθθθ????????+++=+++< ? ?????????。

由（11）式得

()()()()()00000000,,,,,x y f x y f x y h k f x y f x y h f x y k x

y ??

??-<+=+ ?????。

故由定理3.1知()0;f P D δ?为

上的严格凹函数，这显然与题设矛盾，所以对任意

点(),P x y D ∈，()f Hesse H P 矩阵都是正半定的。

注<2>:对于定理3.2与定理3.5，2

R 上的凸函数无此结论。 4

结 语

本文主要给出了判定3

R 上凸函数的五个充要条件，其实在此基础上还可给出严格凸函数与一致凸函数的定义及性质，并可将这些结果推广到n 维线形空间，由于篇幅所限，故在

此不做深入讨论。另加说明，在经济学分析中经常会用到凸分析中的非光滑分析知识，而凸函数却在其中占有非常重要的地位，因此对凸函数的研究无论是在理论上还是在实际应用上都具有十分重要的意义。 参考文献：

[1]游兆永，龚怀云，徐宗本.非线形分析.西安：西安交通大学出版社，1986 [2]Wendell H.Heming(美).多元函数（上）.北京：人民教育出版社，1981 [3]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.北京：高等教育出版社，1980

The Conclusion of Convex Functions in 3R

LIU Feng

(Department of mathematics,mathematics and applied mathematics in

2005 of Suzhou College,Suzhou Anhui 234000)

Abstract:The article begins with convex set,it makes efforts to discuss the geometric characteristics of conxex(concaxe) surface in the three dimensional space,and gives several necessary and sufficient conditions of concluding the three dimensional convex function.

Key words:convex set;convex field; convex function;epigraph