凸函数判定方法的研究
凸函数详细论文
目录一、凸函数的定义及其关系 (3)（一）凸函数的几种不同定义 (3)（二）不同定义之间的相互联系 (4)二、凸函数的性质 (4)（一）凸函数的一些简单运算性质 (4)（二）凸函数的其他性质 (7)三、函数凸性的判断方法 (11)四、凸函数的应用 (14)（一）有关凸函数的两个重要不等式 (14)（二）凸函数的性质在证明几个经典不等式中的应用 (15)（三）凸函数在初等不等式证明中的应用 (17)（四）凸函数在积分不等式中的应用 (19)五、总结 (20)参考文献 (18)凸函数的性质及应用马志霞（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070）摘要:凸函数是一类非常重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划等学科的理论基础和有力工具。
本文由凸函数的定义出发，给出了凸函数的七种等价定义，讨论了凸函数的有关性质,研究了函数凸性的判定方法，以及它在证明不等式中应用.关键词: 凸函数；不等式；性质；判别；证明；应用The properties and application of convex functionMa Zhixia(School of mathematical and statistical Northwest Normal University，Gan Su LanZhou 730070) Abstract: Convex function is a kind of very important function, the concept of the earliest it can be found in Jensen writings in pure mathematics and applied mathematics has extensive application in many fields, has become the basic theory of mathematical programming disciplines and powerful tool. In this paper, starting from the definition of convex function, seven equivalent definition of convex function are given, some properties of convex function are discussed, the methods for judging the convex function, and its application in proving inequality in.Key words：Convex function；inequalitye；property；distinction；proof；application一、凸函数的定义及其关系（一）凸函数的几种不同定义定义 1 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1),λ∈有()()()21211)()1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义2 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意不同的两点12,x x ，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ ,则称)(x f 是I 上的凸函数. 定义3 设函数)(x f 定义在区间I 上,对于任意的I x x x n ∈,,21 ，,有()()nx f x f x f n x x x f n n +++≤+++ 2121)()(， 则称)(x f 是区间I 上的凸函数. 定义4 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，()()()232313131212)()(()x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--，则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义5 利用二阶导数判断曲线的向来定义函数的凸性：设函数()f x 在区间(,)a b 内存在二阶导数,则在(,)a b 内有 ()0()f x f x ''>⇒在(,)a b 内严格凸数。
函数单调性与凸性的判别法
函数凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点; 曲线凹凸与拐点的判别
思考与练习
1. 设在 [0 , 1] 上 f ( x ) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
证 在 [a , b] 上任取两点 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,
在 [ x1 , x2 ] 上应用拉格朗日中值定 , 得 理
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
( x1 x2 )
x2 x1 0, 若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加.
则称曲线 y f ( x) 在 I 内是上凸的 (或称凸弧) .
(等价的定义）:
设f ( x)在区间 I 内有定义, 若对任意两点 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 及对任一 (0,1) , 恒有 :
f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ),
的单调区间 .
yx
o
3
x
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x3 , 例如, y x 0 0, 但 x 0 时 , y 0 ,
在( , )上单调增加.
例5 讨论函数 f ( x ) x sin x 的单调性.
解
由此定理可证明方程 x sin x 0在R上只有 唯一的根 x 0.
凸函数的判别和应用
初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理 １通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型． 【答辩】： 1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？
该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用 自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问 题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出 一般的情形.
该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总 论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到 学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文.
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字： 签字：
年月日 年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义， 文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意 义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明 几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等 数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮 助和实用价值.
初评成绩：
签字：
年月日4毕业论文（设计答辩记录学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸 函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常
函数单调与凸性
函数单调性，凸性及判定1 单调性判定2凸曲线与凸函数3曲线的渐近线1 函数单调性的判定1212():()().f x x x f x f x <≤单调非减若，则1212():()().f x x x f x f x <<单调增加若，则1212():()().f x x x f x f x <≥单调非增若，则1212():()().f x x x f x f x <>单调减少若，则单调非减单调非增单调增加单调减少命题1I ,f 设在区间处处存在导数1.()0,f x ′≥若()0,f x ′>若().f x 则单调非减().f x 则单调增加证明1.()0,f x ′≥若1212[,],,a b x x x x <则对于中任意满足的两点)()()()(1212x x f x f x f −⋅′=−ξ12(,),x x ξ∈存在使得12()0()().f f x f x ξ′≥≤于是由推出根据拉格朗日定理根据拉格朗日定理，，命题3(),f x 若单调非减或增加()0.f x ′≥则证明证明：：0()()()lim0.x f x x f x f x x+∆→+∆−′=≥∆(),f x 若单调非增或减少()0.f x ′≤则第二个结论可以同样证明第二个结论可以同样证明..只证第一个结论只证第一个结论...)(存在假设x f ′.)()(0x f x x f x ≥∆+>∆时有注意到当所以命题命题444.()0,f x ′≡若()(),f x g x ′′≡若().f x 则恒等于常数.反之亦然()().f x g x c =+则.反之亦然x y tan =π0 ,2x <<求证当时有不等式：.tan 3 3x x x <+例133x x y +=证明;tan x x <首先证明第一个不等式首先证明第一个不等式..()tan f x x x =−令.)2π0(01sec )(2<<>−=′x x x f π()[0,).2f x 于是在单调增加(0)0f =由于，π(0,)()0.2f x >所以在有tan .x x >即xy =3π()tan (0).32x f x x x x =−−≤<令.)2π0(0tan 1sec )(2222<<>−=−−=′x x x x x x f 3tan .3x x x +<再证明π()[0,).2f x 于是在单调增加(0)0f =由于，π(0,)()0.2f x >所以在有21tan .3x x x >+即函数的凸性与曲线的凸性,,,,a b c d 观察同一区间上的四条曲线abcd,,a b 所表示的函数都单调减少,c d 表示的函数都单调增加，;但它们的形态很不相同这给与我们一个提示这给与我们一个提示：：还需要考察函数在区间上的凸性还需要考察函数在区间上的凸性...但它们增加的规律差异很明显仅有单调性不足以精确地反映函数的变化规律仅有单调性不足以精确地反映函数的变化规律..函数下凸严格定义函数下凸严格定义：：.,)(b x a x f y ≤≤=12[,]x x a b ∈如果对于任意两点，，12121()[()()]22x x f f x f x +<+都有.],[)(为下凸函数在则称b a x f a b)(x f y =12()2x x f +121[()()]2f x f x +1x 2x 定理定理11.)(存在导数在区间假设I x f 下凸的充分必要条件是在则I x f )(.)(单调增加在I x f ′证明：只证充分性只证充分性，，略去必要性证明.().f x I ′假设在单调增加)(2121x x x x I <，任取两点在区间)(21210x x x +=))(()()(01101x x f x f x f −′+=ξ根据拉格朗日定理得到20220()()()()f x f x f x x ξ′=+−),(011x x ∈ξ201(,)x x ξ∈))(()()(01101x x f x f x f −′+=ξ20220()()()()f x f x f x x ξ′=+−),(011x x ∈ξ201(,)x x ξ∈12021211()()2()[()()]()2f x f x f x f f x x ξξ′′+=+−⋅−21()()()f x f f ξξ′′′>单调增加推出于是120()()2()f x f x f x +>从而120()()().2f x f x f x +>下凸函数的几何意义下凸函数的图像的特点下凸函数的图像的特点：：ab)(x f y =①弦在上弦在上，，弧在下弧在下..1x 2x 3x ②曲线在上曲线在上，，切线在下这两个结论的证明留给大家研究这两个结论的证明留给大家研究..定理定理22().f x I 假设在区间存在二阶导数()f x I 则在下凸的充分条件是()0.f x ′′>上凸函数定义上凸函数定义：：12121()[()()]22x x f f x f x +>+定理3：()f x 上凸的充要条件：().f x ′单调减少().f x ′若存在定理定理44().f x I 假设在区间存在二阶导数()f x I 则在上凸的充分条件是()0.f x ′′<上凸函数的几何特征上凸函数的几何特征：：2x 1x AB122x x +①弦在下弦在下，，弧在上弧在上..②弧在下弧在下，，切线在上切线在上..1x 2x 3x 4x )1(>=p x y p (1)q y x q =<xy ln =xy e =P >0 下凸下凸；；0<p <1 上凸上凸．．:p x 幂函数(1)x a a >指数函数下凸；(1)x a a >对数函数上凸.xyπ−π；上凸,)π)12(,π2(:sin +=n n x y sin :((21)π,2π),.y x n n =−下凸x yx 拐点的必要条件拐点的必要条件：：，的拐点是曲线假设)())(,(00x f y x f x P =，连续如果)(x f ′′0()0.f x ′′=则必有)2)(1(−−=x x x y )1(6−=′′x y (1)0y ′′=1,6(1)0,x y x ′′<=−<时上凸;1,6(1)0,.x y x ′′>=−>时下凸.)0,1(是拐点P 221e )(x x x f −=例研究单调性和凸性研究单调性和凸性..22112221()e e ()2x x f x x x −−′′=+⋅⋅−2211222()e e x x fx x−−′=−⋅2122e (1)x x −=−2122()[()][e (1)]x f x fx x −′′′′′==−2122e (3)x x x −=−2−4−24xyO221ex x y −=2122()e (1)x f x x −′=−研究单调性研究单调性...0)(:)1,(<′−−∞x f .)(单调减少x f (1,1):()0.f x ′−<().f x 单调增加(1):()0.f x ′+∞<，.)(单调减少x f 研究凸性研究凸性..(,3):()0.f x ′′−∞−<().f x 上凸(30):()0.f x ′′−>，().f x 下凸(0,3):()0.f x ′′<().f x 上凸2122()e(3)x f x x x −′′=−(3):()0.f x ′′+∞>，().f x 下凸拐点拐点：：)3,3(23−−−e A 32(3,3)B e−)0,0(O 2−4−24xyO221ex x y −=自我评估题2302224.limtan xx ex x x−→−+−31−2csc5.lim(cos )xx x →12−016.lim(csc )x x x→+0自我评估题11.,??1y y y x′′′===+sin 2.x y x=3.()ln (0)f x x x x =>?d ?)1(1==′=x y y ??y y ′′′==2)1(sin cos )1(x x x x y +−+=′32)1(sin )12(cos )1(2x xx x x x y +−+++=′′(0)1y ′=2)0(=′′y 研究单调性和凸性研究单调性和凸性．．O12−e xx x x 22ln )ln (−=′。
凸函数判定方法的研究
凸函数判定方法的研究凸函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
在优化问题、经济学、工程学等领域，凸函数都有着广泛的应用。
因此，研究凸函数判定方法是非常有意义的。
凸函数的定义是：若函数f 的定义域为凸集，并且对于所有的x1 和x2，以及任意的t∈[0,1]，总有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)成立，则f 称为凸函数。
也可以简单地理解为，凸函数的任意两点连线上的函数值，都小于等于连线上的两个端点对应的函数值之间的线性插值。
目前，已经有一些成熟的方法和定理可用于凸函数的判定。
下面将对其中比较常用的方法进行介绍。
一、一阶判定法一阶判定法是判定凸函数最简单、常用和基本的方法之一、其基本思想是利用函数的导数性质来判断函数是否为凸函数。
首先，对于凸函数而言，一阶导数必须是单调递增的。
也就是说，如果函数f在一些区间内的一阶导数是递增的，那么f就可以被判断为凸函数。
如果一阶导数是严格递增的，则f被称为严格凸函数。
其次，对于二次函数而言，如果它的二阶导数恒大于等于0，那么它也是凸函数。
也就是说，一阶导数是递增函数的充分必要条件是二阶导数为非负数。
二、二阶判定法二阶判定法是一种比一阶判定法更严格、更精确的方法，它使用函数的二阶导数来判断函数的凸性。
对于凸函数而言，其二阶导数必须是非负的。
也就是说，如果一个函数的二阶导数在定义域内都为非负数，那么该函数就是凸函数。
如果二阶导数严格大于零，则函数被称为严格凸函数。
三、线性规划判定法线性规划判定法是一种基于线性规划理论的凸函数判定方法。
其基本思路是将凸函数的判定问题转化为一个线性规划问题，然后利用线性规划的性质和算法来进行判定。
具体来说，设函数f的定义域为凸集D，对于所有的x∈D，有f′（x）为连续函数。
如果对于所有的x∈D，存在一个c∈D，使得f′（c）=0，并且对于所有的x∈D，有f′（x）≥0，则函数f是凸函数。
反之，如果对于所有的x∈D，有f′（x）≤0，则函数f是凹函数。
凸函数的积分判别法及其应用
湖 北 工 程 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵ ＢＥＩ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ
Ｖ０Ｌ． ３ ５ Ｎ０． ３
Ｍ Ａ Ｙ ２ Ｏ１ ５
凸 函 数 的 积 分 判别 法 及 其 应 用
旁後 飞
（ 广东第二师范学院 数学 系， 广东 广州 ５ １ ０ ３ １ ０ ）
用 实例 。
作 为数 学 中一 个 比较 年 轻 的 数 学分 支 ， 凸 函
数是 在上 世 纪 ５ Ｏ年代 以后 随着 数 学 规划 、 最 优 化 控制、 数 理经 济 学 等 应 用 数 学 学 科 的兴 起 而 发 展 起 来 的口 ］ 。到 目前 为 止 ， 凸 函 数 的研 究 已经 从 凸 函数 的定义 研究 到更 多 的关 于 凸 函数性 质 的研 究 以及 凸 函数 性质 的应 用 方面 的研 究 。由于 凸 函数 的理论 的广 泛 性 以及 在 数 学 各 个 领 域 的 广 泛 应 用， 因此对 凸 函数 理 论 进 一 步 深人 研 究 和 推 广显 得 尤 为重要 ， 对 凸 函数 的判别 、 性 质 以及应 用 的研 究具 有 十分重 要 的意义 。 基于 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ凸 函数 的 定 义 和 性 质 ，１ ８ ９ ３年 Ｈａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ 给 出 了 经 典 的 Ｈａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ不 等 式 。
两个 凸 函数 的原 始定义 是 等价 的嘲 。
凸 函数还 有很 多等 价 的定 义 ：
定义 ３ ｃ 如 果 对 Ｖｚ １ ， ｚ， ． １ ７ ２∈ Ｉ ， ｚ ｌ ＜ ． ２ ７ ２ ，
函数 － 厂 （ ｚ ） 满 足
厂（ ｚ ） 一ｆ （ ｘ １ ）／ ｆ （ ｘ ２ ） 一厂 （ ）
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西 汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。
凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。
本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。
首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。
然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。
后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。
然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。
最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。
【关键词】 凸函数；等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar 的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。
凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。
关于凸函数的研究-毕业设计
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安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文
意两点 x1 , x2 I ,有
f(
定义 2.3
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) . ) 2 2
设 f ( x) 为定义在区间 I 上的函数，那么 f ( x ) 为 I 上的凸函数当且仅当对
x1 , x 2 x n I ，有 f( x1 x2 x ) ) . n n
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) .
又由
min{ f ( x1 ), f ( x 2 )} f ( x1 ) (1 ) f ( x 2 ) max{ f ( x1 ), f ( x 2 )} .
得
f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) J .
故
H ( x ) 为 I 上的凸函数，即 f ( x) g ( x) 也是 I 上的凸函数.
由性质 3.1 和性质 3.2 可得到下面的推论. 推论 3.1 设 f ( x), g ( x) 是区间 I 上的凸函数，则线性组合的函数
证毕.
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安庆师范学院数学与计算科学学院 2013 届毕业论文
f (x1 (1 ) x 2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x 2 ) F ( x1 ) (1 ) F ( x 2 ) g (x1 (1 ) x 2 ) g ( x1 ) (1 ) g ( x 2 ) F ( x1 ) (1 ) F ( x 2 )
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凸函数判定方法的研究鸡冠山九年一贯制学校张岩2013年12月15日目录摘要 (ii)关键词 (ii)Abstract (ii)Key words (ii)前言 (iii)一、凸函数的基本理论 (1)1、预备知识 (1)2、凸函数的概念及性质 (2)二、凸函数的判定方法 (4)（一）一元函数凸性的判定方法 (4)1、利用作图判断函数凸性 (4)2、其它判定方法 (5)（二）多元函数凸性的判定方法 (8)1、多元凸函数的有关概念 (8)2、多元函数凸性的判定方法 (9)三、凸函数几个其他判定方法 (12)四、总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)凸函数判定方法的研究摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。
同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。
本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。
关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given.Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem前言提起凸函数,人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。
的确,凸函数是一个十分重要的数学概念,它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。
在数学分析和高等数学教材中,函数的凹性和凸性一直都占据着重要的位置,关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中.凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。
凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。
运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。
运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。
”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大的效益。
随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。
但是,凸分析的局限性也是很明显的,实际问题中的大量函数是非凸的,因此,各种广义凸函数的定义相继出现,特别是近年来,“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题,它们是凸分析的拓广和发展。
本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性，接下来给出了一些一元函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些等价条件，接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸性的几个其他的方法。
一、凸函数的基本理论（一）预备知识1.梯度：若n 元函数()f x 对自变量12(,,,)T n x x x x =…的各分量i x 的偏导数()if x x ∂∂(1,2,)i n =…都存在，则称函数()f x 在x 处一阶可导，并称向量 12()()()()(,)Tnf x f x f x f x x x x ∂∂∂∇=∂∂∂,..., 为函数()f x 在x 处的梯度或一阶导数。
2 . Hesse 矩阵：若n 元函数()f x 具有二阶偏导数，即2()(,1,2,)i j f x i j n x x ∂=∂∂…,都存在，则称矩阵2221112122222122222212()()()()()()()()()()n n n n n n f x f x f x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x f x f x f x x x x x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎪∇=∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭┅┅┇┇┇┅为()f x 在x 处的Hesse 矩阵（海色矩阵）。
3. 泰勒展式（1）一阶泰勒展式：设()f x 在点_x 处具有一阶连续偏导，则()f x 在点_x 处的泰勒展开式____()()()()()f x f x f x x x x x ο=+∇-+-其中_()x x ο-为变量_x x -的高阶无穷小量_()x x →，或者__()()()()Tf x f x f x x ξ=+∇-，其中__()(01)x x x ξθθ=+-<<。
（2）二阶泰勒展式：设()f x 在点_x 处二阶连续可微（或具有二阶连续偏导数），则()f x 在点_x 处的二阶泰勒展开式为2_______21()()()()()()()()2T T f x f x f x x x x x f x x x x x ο=+∇-+-∇-+-或者 _____21()()()()()()()2TT f x f x f x x x x x f x x ξ=+∇-+-∇-，其中 __()(01)x x x ξθθ=+-<<。
（二）凸函数的概念及性质定义 1.1 设函数()f x 在区间I 上有定义, 若12,x x I ∀∈,总有()()()121211()22f x x f x f x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭ （1.1）则称()f x 为I 上的凸函数. 若在定义 1.1中当12x x ≠且不等式严格成立, 则称()f x 为I 上的严格凸函数.定义 1.2 设()f x 为定义在区间I 上的函数, 若对I 上的任意两点12,x x 和任意的()0,1λ∈总有()()1222(1)()1()f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1.2）则称()f x 为I 上的凸函数.若（1.2）改为严格不等式，则称()f x 为严恪凸函数 定义 1.3 设函数()f x 在区间I 上有定义,若()12,,2n x x x I n ∀∈≥…，，总有()()()1212+n nf x f x f x x x x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭…… (1.3) 则称()f x 为I 上的凸函数.1．凸函数的一些基本性质（1）若()x f 1、()x f 2均为[]b a ,上的凸函数，则()()x f x f 21+也是[]b a ,上的凸函数。
（2）设()x f 为[]b a ,上的凸函数，k 为正常数，则()x kf 也为[]b a ,上的凸函数。
（3）设()x f u =为[]b a ,上的凸函数，()u g 在[]b a ,上单调递增，且也为[]b a ,上的凸函数，则复合函数()()x f g 也是[]b a ,上的凸函数。
（4）若()x f u =是奇函数，且当0≥x 时，()x f u =是凸函数，则当0≤x 时，()x f u =是凹函数。
（5）若()x f u =是偶函数，且当0≥x 时，()x f u =是凸函数，则当0≥x 时，()x f u =是凸函数。
（6）若()x f y =是[]b a ,上的连续递增的凸函数，则()y f x 1-=是递增的凹函数。
（7）若()x f y =是定义在区间()b a ,上的凸函数，则()x f y =在()b a ,上连续。
（8）若()x f y =是()+∞∞-,上的凸函数且不恒为常数，则存在一点c 使得()x f y =在()c ,∞-上递减，在()+∞,c 上递增。
2．凸函数的一些重要性质性质1.1 设函数()f x 在I 上连续,若()f x 是I 上Jensen 意义下的凸函数,则12,x x I ∀∈及[]0,1λ∈都有(1.2)成立。
性质 1.2 (性质1的逆命题)设()f x 是定义在区间I 上的, 若对12,x x I ∀∈ ,[]0,1λ∈都有()()1222(1)()1()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则()f x 在I 内连续。
性质 1.3 若()f x 在区间I 上连续,且满足 ()()()21122121x x x x f x f x f x x x x x --≤+-- 其中12,x x I ∈,则()f x 是I 上的凸函数。
性质 1.4 若()f x 是闭区间[a,b]上有界的凸函数,()f x 在[a,b]内必连续。
性质 1.5 若函数()f x 是区间I 上的连续凸函数, 则有1) 函数()f x 在I 内处处存在左、右导数()'f x -与()'f x + , 且()()''f x f x -+≤； 2) ()'f x -与()'f x +都是x 的不减函数.二、凸函数的判定方法（一）一元函数凸性的判定方法1.利用作图判断函数凸性x 3x 2x 1B CAO图1-1上图是一个凸函数()f x 的几何图像，其中12(1)x x x λλ=+-，1()A f x =，2()A f x =，(1)C A B λλ=+-。