凸函数中一个重要定理的证明
凸函数与微分中值定理
凸函数与微分中值定理一、引言凸函数与微分中值定理是微积分中的两个重要概念。
凸函数是指在定义域内任意两点之间的连线上的函数值都不高于曲线上的函数值的函数；微分中值定理是指在一个区间内，如果函数在两个点上取得相同的函数值，那么在这两个点之间，函数的导数就取得相同的值。
本文将分别介绍凸函数和微分中值定理的概念、性质以及应用。
二、凸函数1. 定义凸函数是指对于定义域内的任意两个点，连接这两个点的线段上的函数值都不高于曲线上的函数值的函数。
简而言之，就是曲线上任意两点连线的斜率都不小于曲线上这两点之间的斜率。
2. 性质（1）凸函数的一阶导数递增凸函数的一阶导数递增，也就是说，随着自变量的增大，函数的斜率也逐渐增大。
（2）凸函数的二阶导数非负凸函数的二阶导数非负，也就是说，函数的凹弯程度不会超过水平线。
3. 应用凸函数在优化问题中有广泛的应用。
例如，在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数，描述消费者的偏好。
在工程学中，凸函数可以用来描述成本函数，描述生产者的成本。
凸函数还可以用于图像处理、机器学习等领域。
三、微分中值定理1. 定义微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出，如果函数在一个区间内连续，且在该区间内可导，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于函数在该区间的平均变化率。
2. 性质（1）存在性微分中值定理保证了在满足条件的函数中，至少存在一个点使得导数等于平均变化率。
（2）唯一性微分中值定理并不能保证这个点的唯一性，只能保证至少存在一个点。
（3）推广微分中值定理有多种推广形式，如柯西中值定理、拉格朗日中值定理等。
3. 应用微分中值定理在求解函数的性质、证明极值存在性等问题中有广泛的应用。
例如，可以利用微分中值定理证明函数的单调性、判断函数的凹凸性等。
四、凸函数与微分中值定理的关系凸函数与微分中值定理之间有着密切的联系。
根据微分中值定理，如果函数在两个点上取得相同的函数值，那么在这两个点之间，函数的导数就取得相同的值。
凸函数的性质
证 明： 必要性 ： ｆｘ 为 ［ ，］ 设 （ ） ａｂ 上的线凸函数 ， 那么 Ｖｘ∈［ ， ］ ａｂ 可表示为
ｘ ： ａ １ 一 ） 或 ＋（ ｂ ＝ （） ３
且 ｆｘ ＝ｆ入 ＋ １一入 ｂ （） ［ａ （ ） ］＝ Ｘ（ ） １一 入 ｆｂ ｆａ ＋（ ）（ ）
凸 函 数 的 性 质
阿荣 ， 敖 日格 乐
（． 内蒙古农业大学职业技术学院， １ 土默特右旗 ０４０ ；． 内蒙古教育出版社 ， １１９２ 呼和浩特 ００１） １００
摘要 ： 文章主要研 究了凸函数 的连续 性及可微性 、 应地 给一些 凸函数 的一般性质。 相 关键词 ： 凸函数 ； 凹函数 ； 线凸函数 中图分类号 ： ０１４１ ．３ ７ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ：０ ９— ５５ ２０ ） １ ０ ０ ０ １０ ３ ７ （０ ８ ０ — ２ ６— ５
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第２ ９卷 第 １期 ２０ ０ ８年 ３月
内 蒙
古
农
业
大
学
学
报
Ｖ０ ． ９ Ｎｏ １ １２ ．
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Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｅ Ｍｏ ｇ ｌ Ａｇｉｕｔｒｌ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒａ ｏ Ｉｎ ｒ ｎ ｏｉ ａ ｒ ｌｕａ ｎｖ ｒｉ ｃ ｔ
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定义 ： Ｉ Ｒ上的一个区间， 设 为 函数 ｆ —Ｒ称为 Ｉ ： Ｉ 上的凸函数是指 ：
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
第三节 凸函数
d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）
2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪提出的。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它建立了函数在一个闭区间内存在某一点的导数与函数在该闭区间的两个端点的函数值之间的关系。
拉格朗日中值定理在数学分析中有重要的应用，尤其在凸函数理论、微分方程、最优化理论等领域中起着重要的作用。
在许多实际问题中，通过应用拉格朗日中值定理，可以简化问题的求解过程，提高计算的效率。
拉格朗日中值定理可以描述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上可导且在开区间(a, b)内连续，那么在(a, b)内，至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
其中，c是在(a, b)内的某一点，f'(c)表示f(x)在c处的导数。
拉格朗日中值定理的证明过程可以进行如下推导：首先，利用柯西中值定理证明了存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)成立。
然后，由于f(x)在闭区间[a, b]上连续，所以f(x)在[a, b]上达到了最大值和最小值，即存在两个点x1、x2，使得f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)对任意x ∈ [a, b]成立。
由于f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)，所以可以推断出f'(x1) ≤ f'(c) ≤ f'(x2)，其中x1、x2均属于区间(a, b)。
根据确界的性质，可以得到f'(x1) ≤ f'(c) ≤ f'(x2)中存在一个点c，使得f'(c) = f'(x1) = f'(x2)，即在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的应用是非常广泛的。
例如，可以利用该定理证明连续函数在区间内的等式和不等式，求解函数在某一区间内的最大值和最小值，证明函数的单调性等。
凸集分离定理
凸集分离定理凸集分离定理是一个在几何学、集合理论和优化计算中有着重要应用的定理。
它指出，一个向上凸的集合可以被一个超平面分离，即凸集的任何子集都可以用一个超平面来完全分离，而不用再考虑其它的超平面。
凸集的分离定理是求解凸优化问题的基础，在机器学习中也有各种应用。
该定理的历史可以追溯到1850年代的爱因斯坦，他宣称，“只要从交换的凸数学集合中排除超平面，就可以将其分割开。
”爱因斯坦的定理是一个比较抽象的定义，却提供了凸集分离定理的理论框架，并对现代数学学术界产生了深远的影响。
20世纪60年代，凸集分离定理又被希尔伯特和斯特拉普金斯基应用于优化问题。
他们提出了一种基于凸函数的数学模型，来解决优化问题，其中凸集分离定理发挥了关键作用。
斯特拉普金斯基在1971年发表的文章中，详细地介绍了凸集分离定理。
在几何学中，凸集分离定理可以用来证明空间中各个凸集之间的关系。
具体地说，若两个凸集K和L之间存在一个超平面，其中一个集合在超平面一边，另一个集合在另一边，则K和L是分离的。
这种分离性质可以用来证明几何形状的重要性质，如圆的无穷个非重叠近似。
凸集分离定理的应用不仅局限于几何和优化领域，在机器学习领域也有许多应用。
例如，随机梯度下降法（SGD）可以用来快速估计凸损失函数的参数。
它是一种基于梯度下降思想的机器学习优化算法，使用凸集分离定理来快速计算梯度。
在支持向量机（SVM）中，定义凸集分离定理也发挥了重要作用，它可以用来求解SVM的最优分隔超平面。
凸集分离定理有着广泛的应用，它可以用来解决很多几何、代数和机器学习问题。
该定理不仅能够明确表达凸集之间的关系，还能够用于求解凸优化问题。
因此，凸集分离定理对进一步探索优化算法和机器学习的研究保持着非常重要的地位。
凸函数的性质及应用(0907142王波波).docx
目录1引言 (2)2凸函数的定义及性质 (2)2.1凸函数的几种不同定义及其关联 (2)2.2凸函数的判定定理及证明 (4)2.3凸函数的性质 (5)3凸函数的应用 (6)3.1詹森不等式及应用 (6)3.2凸函数在微分学的应用 (8)3.3凸函数在积分学的应用 (9)结论 (11)参考文献 (11)凸函数的性质及应用王波波，数学计算机科学学院扌商要：凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论. 关键i司：凸函数;方法；不等式；推论Properties of Convex Function and Its ApplicationWangbobo , College of Mathematic and Computer Science Abstract：Convex function is a basic content of higher maths.lt plays an important role in proving more complex inequality. In this paper，we summarized some properties and theorem of convex function . And finally we proved some important inequality using the method of Convex function and Jensen inequality of convex function and discussed some conclusion.Key words：Convex function; Method; Inequality; Inference1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。
凸函数
§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。
例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。
定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
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数在 x0 点连续 证明：因为 F(x)连续 所以 F（z） → F ( x) ， （z → x ）
+
Hale Waihona Puke ∴ ∃ε > 0 ,当 x<y<x+ ε 且 z → x + 时，有
于 z → x 时 F 在 z 的右导数的极限
+
F ( y) − F ( x ) y−x
趋近于
F ( y) − F ( z ) y−z
，且大于等
lim D
z→x+ z→x
−
+
F(z) ≥ D F(x) ∴
+
lim D
z→x+
+
F(z)=D F(x)
+
同理易证
lim D
连续
+
F(z)=D F(x) ∴
−
D F(z)=D F(x) ⇔
+
−
lim D
z→x
+
+
F(z)=
lim D
z→x
−
+
F(z)
即 D F(x)
+
定理 4、设 F（x）是 R 上的凸函数则 D F(x)是 R 上的增函数 证明（略）由
+
F ( y) − F ( x ) y−x
的单调性易证。
定理四的证明： 根据命题 2 ，连续性已证。 下面证 F 的可导性和单调性 F 可导 ⇔ D F=D F 由定理 3，设 F ( x) 在集合 D 上可导，则 D 由使得 D F(x)连续的点 x 组成 下面只需证 D F(x)在（a, b）上的至多可数个点不连续 由定理 4， D F(x)在（a, b）上是单增函数
( x 2 - x0 ) 令 x1 → x 0 得 F 在 x0 点的左导数小于等于 F 在 x0 点的右导数 2.因为 F 在（a, b）任一点处左连续，且 右连续，因而连续 所以 F 在（a, b）连续 定理 3 设 F 是凸函数，F 在 x0 点的右导数等于它在 x0 点的左导数，当 且 仅 当 F 的右导
≤ θF ( x1 ) + (1 − θ ) F ( x 2 )
定理 1 F 是 （ a, b ） 上 的 凸 函 数 ， 当 且 仅 当
∀x1 < x 2 < x3 , x1 ， x 2 ， x3 ∈ （ a,
b）,m ij =m ji =(F(x i )-F(x j ))/ x i - x j ,I, j=1,2,3;i ≠ j.有 m 12 ≤ m 13 ≤ m 23 定理 2 设 F 在（ a, b）是 凸 函数，则 1、 F 在（a, b）处处存在左、右导数，且 左导数小于右导数 2、 F 在（a, b）连续 证 明 ： 1 、 ∀x0 ∈ ( a, b), ∃U ( x0;δ ) ⊂ ( a, b) ， 记 f(x) =( F(x)-F( x0 ) ) (x- x0 ) ,x ∈ ( a, b), ∀x1 < x 2 且 x1 ， x 2 ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) 由 定 理 1 / 有
+ + + + −
∴ D + F(x)在（a, b）上的不连续点有至多可数个（根据实变函数论知识）
即除了至多可数个点外， F’处处存在
∴ F’ (x)= D + F(x)=D − F(x) Θ D + F(x)是单增的（由定理 4） ∴ F’ (x) 是单增的
，x ∈ D,
凸函数中一个重要定理的证明 2001 级 1 班 付 尧
定理四 如果 F 是（a, b）上有限的凸函数，则 F 在（a, b）上连续，并且除了至多可数个点 外，F’处处存在 ，且 单 增。
定义（凸 函数） − ∞ ≤ a < b ≤ +∞.F : ( a, b) → R 为凸函数，当 且仅当 F (θx1 + (1 − θ ) x 2 ）
f( x1 )=(F( x1 )-F( x0 ))/( x1 - x0 ) ≤ f( x 2 )=(F( x 2 )-F( x0 ))/( x 2 - x0 ) 即 f(x)在 ( x 0 − δ , x 0 ) 单调增 再在 x0 右方任取定一点 c, c ∈ ( x 0 , x0 + δ ) f( x1 ) ≤ f( x 2 ) ≤ f(c) 所以 F 在 ( x 0 − δ , x 0 ) 单 调 增 且有上界， 于是当 x → x 0 ， 它在 x0 点的左导数趋近于 f(x)，
−
由定理 1 易证
当 x → x 0 ，趋近于
−
F ( x) − F ( x0 ) ,因此左导数存在。 x − x0
+
同理可证当 x → x 0 ，F 在 x0 点的右导数趋近于 f(x)，当 x → x 0 趋近于 此右导数存在。
+
F ( x) − F ( x0 ) ,因 x − x0
∀x1 < x0 < x3 , 由定理 1 有 f( x1 ) = (F( x1 )-F( x0 )) / ( x1 - x0 ) ≤ f( x 2 ) = (F( x 2 )-F( x0 )) /