关于隐函数存在定理证明教学的新探讨

合集下载

隐函数存在性的探讨

隐函数存在性的探讨隐函数存在性的探讨摘要隐函数存在唯⼀性定理是⼀个充分不必要条件。

本⽂把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。

本⽂引⼊了拐点,解决了本⽂提出的问题。

关键词隐函数存在性⼀、引⾔应⽤课本学习过的知识,判断⼀个较为复杂⽅程是否存在隐函数时,主要判断其是否满⾜隐函数存在唯⼀性定理的条件。

通过实际例⼦知道,这个定理只是⼀个充分不必要条件。

那么在什么情况下⽅程存在隐函数呢?本⽂专门研究了这个问题,并取得了⼀些⼩⼩的进展。

⼆、拐点法证明隐函数的存在性(⼀)分析在定理中的作⽤。

回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的⼀元函数,必定在上严格单调。

⽽当的时,出现的情况是,在内,作为的⼀元函数下,可能不具有单调性。

⽽单调性⼜是在证明隐函数存在唯⼀性定理中不可缺少的⼀个条件,所以当,如果再加⼀个或⼏个条件,使对于每个固定的,即令,作为的⼀元函数,也在上严格单调。

那么就可满⾜要求。

此时根据隐函数存在唯⼀性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。

(⼆)单调性分析及证明。

在曲⾯中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲⾯与平⾯的交线就是以为⾃变量的⼀个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。

证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。

不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。

根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。

假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。

⼜因为,所以。

即在上都有。

所以在上单调递增。

故有,。

问题得证。

问题转化为:如何验证点为函数的拐点?。

微分学中的隐函数定理-教案

微分学中的隐函数定理-教案一、引言1.1隐函数定理的历史背景1.1.117世纪牛顿和莱布尼茨的微积分革命1.1.2隐函数概念的早期发展1.1.319世纪对隐函数定理的深入研究1.1.4隐函数定理在现代数学中的应用1.2隐函数定理的定义与意义1.2.1隐函数与显函数的区别1.2.2隐函数定理的基本表述1.2.3隐函数定理在微积分中的应用1.2.4隐函数定理对现代数学发展的影响1.3教学目标和教学方法1.3.1学生掌握隐函数定理的基本概念1.3.2学生能够应用隐函数定理解题1.3.3采用案例教学和问题驱动的方法1.3.4结合实际应用，增强学生的理解能力二、知识点讲解2.1隐函数定理的基本概念2.1.1隐函数的定义2.1.2隐函数定理的条件2.1.3隐函数定理的结论2.1.4隐函数定理的证明思路2.2隐函数定理的应用2.2.1隐函数定理在几何学中的应用2.2.2隐函数定理在物理学中的应用2.2.3隐函数定理在经济学中的应用2.2.4隐函数定理在工程学中的应用2.3隐函数定理的推广与拓展2.3.1隐函数定理在高维空间中的推广2.3.2隐函数定理在微分方程中的应用2.3.3隐函数定理在微分几何中的应用2.3.4隐函数定理在复变函数中的应用三、教学内容3.1隐函数定理的证明3.1.1利用微分中值定理证明隐函数定理3.1.2利用逆函数定理证明隐函数定理3.1.3利用隐函数定理证明逆函数定理3.1.4利用隐函数定理证明微分方程的解的存在性3.2隐函数定理的应用实例3.2.1利用隐函数定理求解几何问题3.2.2利用隐函数定理求解物理问题3.2.3利用隐函数定理求解经济学问题3.2.4利用隐函数定理求解工程学问题3.3隐函数定理的拓展与深入研究3.3.1隐函数定理在微分几何中的拓展3.3.2隐函数定理在微分方程中的应用3.3.3隐函数定理在复变函数中的应用3.3.4隐函数定理在现代数学发展中的地位与作用四、教学目标1.1知识与技能目标1.1.1学生能够理解隐函数定理的概念1.1.2学生能够掌握隐函数定理的证明方法1.1.3学生能够应用隐函数定理解决实际问题1.1.4学生能够了解隐函数定理在现代数学中的应用1.2过程与方法目标1.2.1学生通过案例分析和问题解决，提高逻辑思维能力1.2.2学生通过小组讨论和合作，培养团队协作能力1.2.3学生通过实际操作和实验，增强实践能力1.3情感态度与价值观目标1.3.1学生对数学产生兴趣，形成积极的数学观1.3.2学生培养勇于探索、敢于创新的科学精神1.3.3学生形成严谨、求实的学术态度1.3.4学生培养自主学习、终身学习的意识五、教学难点与重点2.1教学难点2.1.1隐函数定理的证明过程2.1.2隐函数定理的应用条件2.1.3隐函数定理在多元函数中的应用2.1.4隐函数定理与其他数学知识的联系2.2教学重点2.2.1隐函数定理的基本概念和结论2.2.2隐函数定理的证明方法和技巧2.2.3隐函数定理在实际问题中的应用2.2.4隐函数定理在现代数学中的地位和作用2.3教学难点与重点的关系2.3.1教学难点是教学重点的深化和拓展2.3.2教学重点是教学难点的基础和前提2.3.3教学难点与重点相互依存、相互促进2.3.4教学难点与重点共同构成了教学内容的核心六、教具与学具准备3.1教具准备3.1.1多媒体设备（投影仪、电脑等）3.1.2数学软件（如MATLAB、Mathematica等）3.1.3教学模型和实物（如几何模型、物理仪器等）3.1.4教学课件和讲义3.2学具准备3.2.1笔记本和文具3.2.2数学教材和相关资料3.2.3计算器和数学软件3.2.4小组讨论和合作的学习材料3.3教具与学具的使用策略3.3.1合理利用多媒体设备，提高教学效果3.3.2引导学生使用数学软件，增强实践能力3.3.3结合教学模型和实物，加深学生对知识的理解3.3.4提供丰富的学习材料，满足学生的个性化需求七、教学过程4.1导入新课4.1.1通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣4.1.2通过对已有知识的回顾，为新课做好铺垫4.1.3通过提出问题，引导学生思考4.1.4通过讲解隐函数定理的背景，引入新课内容4.2讲解新课4.2.1详细讲解隐函数定理的概念和结论4.2.2通过示例和练习，讲解隐函数定理的证明方法4.2.3通过案例分析，讲解隐函数定理的应用条件4.2.4通过小组讨论和合作，讲解隐函数定理在实际问题中的应用4.3巩固提高4.3.1通过练习和作业，巩固学生对隐函数定理的理解4.3.2通过小组讨论和合作，提高学生的应用能力4.3.4通过拓展和深入研究，提高学生的创新能力八、板书设计1.1隐函数定理的基本概念1.1.1隐函数的定义1.1.2隐函数定理的条件1.1.3隐函数定理的结论1.1.4隐函数定理的证明思路1.2隐函数定理的应用1.2.1隐函数定理在几何学中的应用1.2.2隐函数定理在物理学中的应用1.2.3隐函数定理在经济学中的应用1.2.4隐函数定理在工程学中的应用1.3隐函数定理的推广与拓展1.3.1隐函数定理在高维空间中的推广1.3.2隐函数定理在微分方程中的应用1.3.3隐函数定理在微分几何中的应用1.3.4隐函数定理在复变函数中的应用九、作业设计2.1基础练习2.1.1证明隐函数定理的基本结论2.1.2求解给定隐函数的具体形式2.1.3应用隐函数定理解决实际问题2.1.4探讨隐函数定理在特定领域中的应用2.2拓展练习2.2.1研究隐函数定理在高维空间中的推广2.2.2应用隐函数定理解决微分方程问题2.2.3探讨隐函数定理在微分几何中的应用2.2.4研究隐函数定理在复变函数中的应用2.3创新性练习2.3.1提出新的隐函数定理的应用问题2.3.2探索隐函数定理与其他数学知识的联系2.3.3研究隐函数定理在现代数学发展中的地位与作用2.3.4设计实验或模拟，验证隐函数定理的应用效果十、课后反思及拓展延伸3.1教学效果评估3.1.1学生对隐函数定理的理解程度3.1.2学生应用隐函数定理解决问题的能力3.1.3学生对教学方法和教学内容的反馈3.1.4教学目标的达成情况3.2教学反思与改进3.2.1教学方法和教学内容的调整与优化3.2.2教学难点和重点的讲解与引导3.2.3教学效果评估方法的改进与完善3.2.4教学资源和学习材料的丰富与更新3.3拓展延伸与深入研究3.3.1隐函数定理在其他数学分支中的应用3.3.2隐函数定理在相关学科中的应用3.3.3隐函数定理在现代科技发展中的应用3.3.4隐函数定理在数学教育中的教学策略研究重点关注环节的补充和说明：1.教学难点与重点：在讲解隐函数定理的证明方法和应用条件时，需要通过示例和练习，引导学生深入理解定理的本质和内涵。

毕业论文：隐函数定理及其应用

摘要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.关键词：隐函数定理；应用；优化理论；证明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.Key words:implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章隐函数 (2)1. 1 隐函数 (2)1. 2 隐函数组的概念 (2)1. 3 反函数组的概念 (3)第2章隐函数定理 (4)2. 1 隐函数定理 (4)2. 2 隐函数组定理 (6)2. 3 反函数组定理 (7)第3章隐函数定理的应用 (9)3. 1 计算导数和偏导数 (9)3. 1. 1 隐函数的导数 (9)3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)3. 1. 3 对数求导法 (10)3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)3. 2 几何应用 (11)3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (14)3. 3 条件极值 (15)3. 3. 1 无条件极值 (15)3. 3. 2 拉格朗日乘数法 (16)3. 4 最优化问题 (18)3. 4. 1 无约束最优化问题 (18)3. 4. 2 约束最优化问题 (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)绪论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.第1章隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数.1.1 隐函数以前接触的函数)(x f （对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如2)(+=x x f ，)(x f =x cos 等.定义1. 1[1] 若自变量x 与因变量y 之间的对应关系f 是由某个方程0),(=y x F 所确定的，即有两个非空数集A 与B ，对任意A x ∈,通过方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈,这种对应关系称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 记为)(x f y =，A x ∈，B y ∈则成立恒等式0))(,(=x f x F ，A x ∈例如，二元方程02454),(=--=y x y x F 在R 上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成)(x f y =的形式，如122=+y x ，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].1.2 隐函数组的概念定义1.2[3] 设),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 为定义在区域∈V 4R 上的两个四元函数，若存在平面区域D ,对于D 中每一点),(y x ，分别在区间J 和K 上有唯一一对值J u ∈,K v ∈,它们与x ，y 一起满足方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F (1-1) 则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D 上，值域分别在J 和K 内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为),(y x f u =，),(y x g v =则在D 上成立恒等式0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x F ，0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x G1.3反函数组的概念定义1.3[4] 设有函数组,(yvu=，)xv=(1-2)),(yxu如果能从此函数组(1-2)中，把x，y分别用u，v的二元函数表示出来，即(vu,yy=(1-3)(v),ux=，)x则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.第2章隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程0),(=y x F ，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数)(x f y =？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.2.1 隐函数定理定理2. 1[5] 若函数),(y x F 满足下列条件(1)0),(00=y x F(2)在点),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中,函数),(y x F 连续(3)0),(00≠y x F y则有下列结论成立：①在点),(000y x P 的某个邻域⊂⊂)()(00P U P V 2R 内, 方程0),(=y x F 唯一确定了一个定义在某区间),(00ρρ+-x x 内的隐函数)(x f y =，满足)(00x f y =且0))(,(≡x f x F ；②)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内连续；③)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内具有连续的导数，满足),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 证为了不失一般性，不妨设0),(00>y x F y .首先证明隐函数)(x f y =的存在性与惟一性.由0),(00≠y x F y ，我们知道),(y x F y 是连续的，由),(y x F y 的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ⊂+-⨯+-ρρρρ有0),(>y x F y )),((D y x ∈∀所以，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. 因为0),(00=y x F ，所以可得0),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F又由于),(),,('0'0ρρ+-y x F y x F 在],['0'0ρρ+-x x 上是连续的，所以存在)(0'ρρρ<>，使得)),((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F 所以，对于每一个固定的),(00ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上都是严格单调增加的连续函数，并且有0),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F因为零点存在定理，存在惟一的],['0'0ρρ+-∈y y y ，使得0),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数)(x f y =，其定义域为),(00ρρ+-x x ，值域包含于],['0'0ρρ+-y y ，记为：),(),()('0'0000ρρρρ+-⨯+-=y y x x P V从而结论①得以证明.其次证明隐函数)(x f y =的连续性. 任意取),(00ρρ+-∈x x x ，对于任意给定的充分小的0>ε，可以得到0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因为连续函数的保号性可知，存在0>δ，当),(),(00ρρδδ+-⊂+-∈x x x x x 时，有0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因此，当),(δδ+-∈x x x 时，由),(y x F 关于y 的单调性，相应于x 的隐函数值)(x f 满足εε+<<-y x f y )(，于是ε<-|)(|y x f ，即ε<-|)()(|x f x f ，所以)(x f y =在),(00ρρ+-x x 连续.最后证明隐函数)(x f y =的可微性.任取x 和x x ∆+都属于),(00ρρ+-x x ，它们相对应的隐函数值为)(x f y =和)(x x f y y ∆+=∆+，那么0),(,0),(=∆+∆+=y y x x F y x F由多元函数微分中值定理，可得y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=),(),(),(),(0θθθθ 在这里， 10<<θ. 因此，当y x ∆∆,充分小时),(),(y y x x F y y x x F x y y x∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ. 因为),(y x F x 和),(y x F y 是连续的，取极限0→∆x 可得),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 且)('x f 在),(00ρρ+-x x 内连续.相应的，我们能够得出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的n 元隐函数的存在定理：定理2. 2[6] 如果满足下列条件(1)0),,,,(000201=y x x x F n ； (2)在点),,,,(0002010y x x x P n 的一个邻域⊂)(0P U 1+n R 内,函数),,,,(21y x x x F n 连续； (3) 0),,,(00201≠y x x x F n n y ，那么则有以下结论成立：①在点),,,,(0002010y x x x P n 的某个邻域)()(00P U P V ⊂内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 惟一确定了一个定义在点),,,(002010n x x x R 某邻域n R R U ⊂)(0内的隐函数),,,(21n x x x f y =，满足),,,(002010n x x x f y =，且0)),,,(,,,,(2121≡n n x x x f x x x F ；②),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内连续；③),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内具有连续的偏导数，满足n i y x x x F y x x x F x y n y n x i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=∂∂. 例2. 1 验证方程0),(=+=x y e xe y x F 在原点)0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.证由于),(y x F 与x y y e xe F +='都在2R 上连续，当然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y F F由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确定唯一连续的隐函数)(x f y =.2.2 隐函数组定理下面我们将给出由方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，所确定的隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x g v y x f u ，的存在定理.定理2. 3[7] 设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(00000v u y x P 为内点的某区域⊂V 4R 内连续，且满足(1)0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F (2)0),(),(0≠=∂∂=P v u vu G G F F v u G F J 则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0P 的某邻域)(0P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，有下列结论成立：①),(),,(000000y x g v y x f u ==，则有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F ②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域20)(R R U ⊂内具有连续的一阶偏导数，且),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ ),(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂例2. 2[8] 验证方程组⎩⎨⎧=+--=++-42822222v u y x v u y x 在点)1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ∂∂，xv ∂∂. 解令 82),,,(-++-=v u y x v u y x F ，42),,,(2222-+--=v u y x v u y x G 则：0)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F GF 与G 以及它们的一阶偏导数都连续且)(22211),(),(v u v u v u G F +=-=∂∂，06),(),()1,2,1,3(≠=∂∂-v u G F 所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 在方程两端同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂+∂∂+022201x v v x u u x x v x u 解得v u u x x u +-=∂∂，vu u x x v ++-=∂∂2.3 反函数组定理定理2. 4[9] 若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数 (2)0),(),(≠∂∂=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组),(),,(v u y y v u x x ==且有y v J u x ∂∂=∂∂1，y u J v x ∂∂-=∂∂1，x v J u y ∂∂-=∂∂1，xu J v y ∂∂=∂∂1 及),(),(1),(),(y x v u v u y x ∂∂=∂∂或1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 定理2. 5 若函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn x x x y y x x x y y 满足如下条件：(1)n y y y ,21,均具有连续的偏导数 (2)0),,(),,(2121≠∂∂n n x x x y y y则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn y y y x x y y y x x 且有1),,(),,(),,(),,(21212121=∂∂⋅∂∂n n n n x x x y y y y y y x x x例2. 2 [10]在3R 中的一点，其直角坐标),,(z y x 与相应球坐标),,(θϕr 的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 其中πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<<r ，则函数组（除去z 轴上的点）可确定反函数组.证由于0sin 0sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin cos ),,(),,(2≠=--=∂∂ϕϕϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθϕr r r r r r r z y x由反函数组定理，函数组（除去z 轴上的点）可确定θϕ,,r 分别是z y x ,,的函数，事实上，函数组的反函数组为222z y x r ++=，x y arctan =ϕ，rzarccos =θ.第3章隐函数定理的应用3.1 计算导数和偏导数3.1.1 隐函数的导数[11]设方程0),(=y x F 确定一个单值可导函数)(x f y =，将)(x f y =代入方程得恒等式0))(,(≡x y x F ，在恒等式两边对x 求导，便得到一个含有y '的方程，解出y '就求出了隐函数)(x f y =的导数，在恒等式两边对x 求导时，必须注意y 是x 的函数，要利用复合函数求导法.例3. 1 求由方程0103=-+y x 所确定的隐函数y 对x 的导数.解我们在方程两端对x 求导，注意y 是x 的函数，于是3y 则是x 的复合函数，运用复合函数求导法可得0312='+y y 所以231y y -='. 3.1.2 隐函数组的导数[12]对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.例3. 2 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 的偏导数.解 (1)当022≠+y x 时，有2222322222)()(2)(),(y x yx y y x x xy y x y y x f x +-=+⋅-+=' 2222322222)()(2)(),(y x xy y y x y xy y x x y x f y +-=+⋅-+=' (2)当022=+y x 时，根据偏导定义有：0lim )0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆xx f x f f x x x 000lim )0,0()0,(lim )0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆y y f y f f x x y综合(1) (2)得：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x y x y y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x xy x y x f y 3.1.3 对数求导法某些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法.例3. 3 计算3)3()2)(1(---=x x x y 的导数.解先在两端取自然对数，得：)3ln 2ln 1(ln 31ln -+-+-=x x x y再应用隐函数求导法，在上式两端对x 求导，得)312111(311-+-+-='x x x y y 所以得)312111()3()2)(1(313-+-+----='x x x x x x y3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕϕ确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中t 为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(x t t =，且此反函数能与函数)(t y ϕ=复合成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数)(x y y =就可以看成是由)(t y ϕ=，)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ϕ==，假设)(t x ϕ=，)(t y ϕ=都可导且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：dt dy dx dy =；dtdydx dt =；)()(1t t dtdx ϕϕ''= 即dtdxdt dyt t dx dy =''=)()(ϕϕ若)(),(t y t x ϕϕ==都二阶可导，则有：322))(()()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ϕϕϕϕϕ''''-'''== 例3. 4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的大小和方向.解先求速度的大小，由于速度的水平分量为1v dt dx =，垂直分量为gt v dtdy-=2，所以抛物体运动速度大小为222122)()()(gt v v dtdydt dx v -+=+=再求速度的方向，即轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则由导数的几何意义有12tan v gtv dtdx dt dydx dy -===α所以抛物体刚射出（即0=t ）时1200tan v v dx dyt t ====α当gv t 2=时 0tan 22====gv t gv t dx dyα这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点.3.2 几何应用3.2.1 空间曲线的切线与法平面[13] 3. 2. 1. 1空间曲线由参数方程给出的情况设空间曲线C 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x C []βα,∈t (3-1)取定曲线C 上点))(),(),((),,(0000000t z t y t x z y x P =，设式(3-1)中3个函数都在0t 点可导. 且[][][]0)()()(202020≠'+'+'t z t y t x在0P 的附近取动点C z z y y x x P ∈∆+∆+∆+),,(000，则割线P P 0方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 其中)()(00t x t t x x -∆+=∆，)()(00t y t t y y -∆+=∆，)()(00t z t t z z -∆+=∆. 以t ∆除以上式分母得tx x x ∆∆-0=t y y y ∆∆-0=t zz z ∆∆-0当0→∆t 时，0P P →,且)(0t x t x '=∆∆，)(0t y t y '=∆∆，)(0t z tz'=∆∆. 所以曲线C 在0P 处得切线方程为)(00t x x x '-=)(00t y y y '-=)(00t z z z '- 其切向量))(),(),((000t z t y t x l '''=.因为曲线C 在点0P 的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与l平行，设法平面的法向量为n ，则n=))(),(),((000t z t y t x '''. 从而过0P 点的法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x特别地，如果空间曲线C 的参数方程以x 为参数，即：⎪⎩⎪⎨⎧===)()(:x z z x y y x x C []βα,∈x 则C 在点),,(0000z y x P 的切线方程为)()(100000z z z z x y y y x x '-='-=- 切向量为))(),(,1(00t z t y l ''=，C 在点0P 处的法平面方程为：0))(())(()(00000=-'+-'+-z z t z y y t y x x如果C 为平面曲线)(x f y =，[]b a x ,∈，则过点),(000y x P 切线方程为：)(1000x f y y x x '-=-或))((000x x x f y y -'=- 切向量为))(,1(0x f l '=.例 3.5[13] 求螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在30π=t 处的切线方程与法平面方程.解由b z t a y t a x ==-=',cos ,sin ，则切线方程为：bb z a a y a a x 33cos3sin 3sin3cos πππππ-=-=--即b bz a a y aa x 3223232π-=-=--因此法平面方程为：0)3()23(2)2(23=-+-+--b z b a y a a x a π3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况设空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F (3-2)给出，设它在点),,(0000z y x P 的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设0),(),(0≠∂∂p y x G F ），则由隐函数存在定理可知在方程组(3-2)点0P 附近可确定唯一连续导数的隐函数组)(z x x =，)(z y y =，z z =（亦即L 的参数方程），满足：)(),(0000z y y z x x ==且00),(),(),(),()(0p p y x G F y z G F z x ∂∂∂∂-=' 0),(),(),(),()(0p p y x G F z x G F z y ∂∂∂∂-='故曲线L 在点0P 的切线方程为：),(),(0p z y G F x x ∂∂-=),(),(0p x z G F y y ∂∂-=),(),(0p y x G F z z ∂∂- (3-3)曲线L 在点0P 的法平面方程为：)(),(),(00x x z y G F p -∂∂+)(),(),(00y y x z G F p -∂∂+)(),(),(00z z y x G F p -∂∂=0 (3-4)同理，可证当0),(),(0≠∂∂p z y G F 或0),(),(0≠∂∂p x z G F 时，曲线L 在点0P 的切线方程为(3-3)式，曲线L 在点0P 的法平面方程为仍为(3-4)式.例3. 6 求曲线⎩⎨⎧=+-=++45323222z y x xz y x 在点)1,1,1(P 处的切线与法平面方程.解令⎩⎨⎧-+-=-++=4532),,(3),,(222z y x z y x G x z y x z y x F ，首先求偏导数，得：32-=x F x ，y F y 2=，z F z 2=，2=x G ，3-=y G ，5=z G 则曲线在点P 的切线方向向量为：)1,9,16(3221,2512,5322,,-=⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F 故切线方程为1191161--=-=-z y x 法平面方程为24916=-+z y x3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]定义3. 1在空间曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线在点0P 处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面∑在点0P 的切平面.先讨论曲面∑的方程为0),,(=z y x F 的情形，其次把显式给出的曲面方程),(y x f z =作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程0),,(=z y x F 给出，其中F 具有一阶连续的偏导数，在曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x === βα≤≤t ，其中)(),(),(t z t y t x 均可导，则曲线在点0P 处的切线方向向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ，由于曲线在曲面∑上，故有0))(),(),((≡t z t y t x F ，对上式两端关于t 求导，得：0)()()()()()(000000=''+''+''t z P F t y P F t x P F z y x即 ))(),(),((000t z t y t x '''0))()()((000='+'+'P F P F P F z y x这表明向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''与曲面上过点0P 的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''为法向量且过点0P 的平面内，从而曲面∑过点0P 的切平面的法向量为：))(),(),(((000P F P F P F n z y x '''=于是过曲面∑上点),,(0000z y x P 处的切平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z P F y y P F x x P F z y x过点),,(0000z y x P 处的法线方程为：)(00P F x x x '-=)(00P F y y y '-=)(00P F z z z '- 上述讨论中，都假设)(),(),((000P F P F P F z y x '''不全为零，现在来考虑曲面∑的方程为),(y x f z =的情形，其中f 都有连续的偏导数，令),(),,(y x f z z y x F -=使方程变形为0),,(=z y x F则：1)(),,()(),,()(000000=''-=''-='P F y x f P F y x f P F z o y y x x所以曲面∑在点0P 的法向量为：)1),,(),,((000o y x y x f y x f n '-'-=故曲面∑在点0P 的切平面方程为：0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-'+-'曲面∑在点0P 的法线方程为：),(000y x f x x x '-=),(000y x f y y y '-=10--z z ，其中),(000y x f z =曲面∑：),(y x f z =上的法向量可以是)1,,(y x f f n '-'-= ，也可以是)1,,(-''=y x f f n，但当曲面∑的法向量向上时（即法向量正向与z 轴正向夹角γ满足大于0小于2π时）∑的法向量应为)1,,(y x f f n '-'-=.例3. 7[15] 求球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面及法线方程. 解设14),,(222-++=z y x z y x F ，则6)3,2,1(,4)3,2,1(2)3,2,1(,2),,(2),,(,2),,(======z y x z y x F F F z z y x F y z y x F x z y x F球面在点)3,2,1(处的法向量为{}6,4,2，所以球面在点)3,2,1(的切平面方程为：0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x即：01432=-++z y x法线方程为：332211-=-=-z y x .3.3 条件极值3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念定义3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义，如果对)(),(0P U y x ∈∀都有),(),(0o y x f y x f ≤或（),(),(0o y x f y x f ≥）则称),(0o y x f 为函数),(y x f 的一个极大值（或极小值），此时点0P 称为),(y x f 的极大值点（或极小值点），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.3. 3. 1. 2 极值存在的条件(1)极值存在的必要条件定理3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处具有偏导数，且在点),(000y x P 处有极值，则在该点的偏导数为零，即0),(0=o x y x f ，0),(0=o y y x f证不妨设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点),(000y x P 的某邻域内异于点),(000y x P 的点),(y x P 都适合不等式),(y x f ﹤),(0o y x f ，特别的，在该邻域内取0y y =，0x x ≠的点，也有),(0y x f ﹤),(0o y x f ，这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因此必有0),(0=o x y x f ，同理，0),(0=o y y x f(2)极值存在的充分条件定理：设函数),(y x f z =在驻点),(00y x 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：),(0o xx y x f A =，),(0o xy y x f B =，),(0o yy y x f C =，①当AC B -2﹤0时，),(y x f 在点),(00y x 具有极值，且当A ﹤0时有极大值，当A ﹥0时有极小值. ②当AC B -2﹥0时),(y x f 在点),(00y x 没有极值. ③当AC B -2=0时，),(y x f 在点),(00y x 可能有极值，需另作讨论.例3.8[17]求函数22324y xy x x z -+-=的极值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=+-=∂∂02202832y x y z y x x xz ，求得驻点为)0,0(和)2,2(再求出二阶偏导数8622-=∂∂x x z ，22=∂∂∂y x z ，222-=∂∂yz在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ,0122<-=-AC B ,08<-=A ,故函数在点)0,0(处取得极大值0)0,0(=f ，在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，0122>=-AC B 故点)2,2(不是函数的极值点.3.3.2 拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ取得极值的必要条件.设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内),(y x f ，),(y x ϕ均有连续的一阶偏导数，且0),(0≠o y y x ϕ，则方程0),(=y x ϕ能唯一确定y 是x 的具有连续导数的单值函数)(x y y =，将其代入函数),(y x f z =，得一元函数))(,(x y x f z =，于是二元函数))(,(x y x f z =在点0x 取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知应有：0),(),(00000=+===x x y x x x dxdy y x f y x f dxdz (3-6)又由隐函数求导公式，有：)0000,(),(0y x y x dxdy y x x x ϕϕ-==代入(3-6)式中得：0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ即：0),(),(),(),(00000000=⋅-y x y x y x f y x f y y x ϕϕ (3-7)(3-5)、(3-7)式就是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下，在点),(00y x 取得极值的必要条件. 令),(),(0000y x y x f y y ϕλ-=即：0),(),(0000=+y x y x f y y λϕ (3-8) 则(3-7)式变为0),(),(0000=+y x y x f x x λϕ (3-9)由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数),(y x f 在),(00y x 取得条件极值的必要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(000000000y x y x y x f y x y x f o y y x x ϕλϕλϕ (3-10)实际上(3-10)式可看作函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，在点),,(00λy x 取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以构造辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，其中λ为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数),,(λy x F 为拉格朗日函数，分别求),,(λy x F 对λ,,y x 的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x y x F y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλλϕλλϕλλ解此方程组得λ,,y x ，其中y x ,就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘数法.例3. 9[18] 求函数222),,(cz by ax z y x f ++=，)0,0,0(>>>c b a 在条件1=++z y x 下的最小值.解作拉格朗日函数)1(),,,(222-+++++=z y x cz by ax z y x L λλ对L 求偏导并令其为零，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+0020202z y x cz by ax λλλ 解得唯一稳定点：acbc ab ab z ac bc ab ac y ac bc ab bc x ++=++=++=,, 故所求最小值为： 2min )()(ac bc ab ab ac bc abc f ++++=3.4 最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.3.4.1 无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组n x x x 21,使：),(max ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或： ),(min ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=这也是一个在D 上求函数),(21n x x x f 的最大值或最小值问题.例3. 10 用铁板做一个体积为22m 的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多少时，才能使用料最省？解设水箱的长为x m,宽为y m ，则高为xy2m 水箱所用材料的面积为：)0,0(),22(2)22(2>>++=++=y x y x xy xy x xy y xy A 这样所给问题就转化为在域{}0,0),(>>y x y x D 上求使此函数达到最小的y x ,用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0)2(2),(0)2(2),(22yx y x A x y y x A y x得：332,2==y x根据题意可知，水箱所用材料面积A 的最小值一定存在，且在开区域{}0,0),(>>y x y x D 内取得，同时函数在D 内只有唯一驻点)2,2(33，因此可以肯定当332,2==y x ，A 取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为32m 、32m 、32m 时，水箱所用材料最省.3.4.2 约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组满足约束条件0),(21=n x x x ϕ的**2*1,,n x x x ，使),(max ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或),(min ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=，这也是一个有条件地求函数),(21n x x x f 在D 上的最大值或最小值问题.求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法.例3. 11 求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.解设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,则问题就是求函数yxxyzV=z>,0,0(,>>)0在条件0)(2),,(2=-++=a zx yz xy z y x ϕ下的最大值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数[]2)(2),,,(a zx yz xy xyz z y z F -+++=λλ 对λ,,,z y x 分别求导，并令其同时为零，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=0222),,(0)(2),,,(0)(2),,,(0)(2),,,(2a xy yz xy z y x y x xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x ϕλλλλλλ 解此方程组得a z y x 66===，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积最大，最大体积为3366a V =.结论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中．绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途．本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。

关于隐函数定义的探讨与改进

关于隐函数定义的探讨与改进所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。

函数的定义一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。

则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)【反函数的性质】 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; (2)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。

(8)反函数是相互的 (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)(10)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.由y=3x-2解得 x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)反函数的基本性质一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x 是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 隐函数：隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。

隐函数定理与微分方程解的存在性

隐函数定理与微分方程解的存在性隐函数定理是微分学中重要的定理之一，它在研究微分方程解的存在性方面具有重要的作用。

在微分方程中，有些方程可能无法通过常规的方法直接求解，而隐函数定理可以帮助我们判断微分方程是否存在解，以及如何找到解的存在性。

隐函数定理最早由数学家柯西提出，并经过数学家魏尔斯特拉斯的完善和证明，成为微分学中的基本定理之一。

该定理主要用于研究由一个或多个未知函数构成的方程组，具体来说，对于由n个未知函数构成的含有n个方程的方程组，如果这些方程满足一定的光滑条件，那么在满足某些条件的前提下，就可以通过隐函数定理得到这些未知函数的存在性和连续性。

隐函数定理的一个重要应用就是研究微分方程的解的存在性。

微分方程是自变量和未知函数之间的关系式，通常表示为关于未知函数的导数和自变量的函数关系。

有时候，微分方程无法通过常规方法直接求解，这时就需要借助隐函数定理来研究解的存在性。

在研究微分方程解的存在性时，首先需要对微分方程进行适当的化简和变形，使得其满足隐函数定理的条件。

然后可以通过求偏导数、雅可比行列式等方法来验证这些条件是否成立。

如果条件满足，就可以得出微分方程的解存在，并且可以通过一定的方法来求解。

总的来说，隐函数定理在研究微分方程解的存在性方面发挥着重要的作用。

通过对微分方程进行分析和变形，结合隐函数定理的条件，可以判断微分方程解的存在性，并找到解的具体形式。

隐函数定理为
微分方程的研究提供了重要的理论基础，也为解决实际问题提供了有力的工具。

讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了

y f1( x) ( 1 x2 ), x [1,1 ], y [ 0, 1 ]; y f2( x) ( 1 x2 ), x [1,1 ], y [1, 0 ] .
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程 F( x, y, z) 0 确定的隐函数 z f ( x, y) , 由方程 F ( x, y, z, u) 0 确定的隐函数 u f ( x, y, z) , 等等. 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.
数也二阶可导．应用两次复合求导法，得
Fx ( x, y) Fy ( x, y) y 0, Fxx Fx y y (Fyx Fy y y)y Fy y 0. 将 (2) 式代入上式，经整理后得到
y
1 Fy
(Fxx
2Fxy
y
Fyy
y2 )
2Fx Fy Fxy
Fy 2 Fxx Fy3
Fx 2 Fyy
定理11.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中的函数 F(x, y) 满足以下四个条件： (i) 在以 P0( x0 , y0 )为内点的某区域 D R2上连续； (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )； (iii) 在 D 内存在连续的偏导数 Fy( x, y)； (iv) Fy ( x0, y0 ) 0. 则有如下结论成立：
(c) 为使 y f ( x) 在 x0 可导，即曲线 y f ( x) 在
点 P0 存在切线，而此切线是曲面 z F ( x, y) 在点
P0 的切平面与 z 0 的交线，故应要求 F ( x, y) 在
点 P0 可微，且 (Fx ( x0 , y0 ), Fy ( x0 , y0 )) (0, 0).
即 x ( x0 , x0 ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.

隐函数存在定理的证明 -回复

隐函数存在定理的证明-回复隐函数存在定理是微积分中的重要内容之一，它主要用来研究给定方程是否存在可由隐函数表示的解。

本文将一步一步地解释隐函数存在定理的证明。

首先，我们来明确隐函数的概念。

在多元函数的研究中，我们往往会遇到形如F(x,y)=0 的方程，其中F 是一个多元函数。

如果该方程中的变量y 可以通过x 唯一地表示出来，那么我们称y 是x 的隐函数。

隐函数存在定理正是用来研究这样的问题。

隐函数存在定理的证明可以分为几个关键步骤。

步骤一：列出隐函数的存在条件。

首先，我们需要明确隐函数存在的条件。

隐函数存在的条件一般有两个：连续性和可微性。

即要求F(x,y)=0 在某个点(a,b) 上连续，并且存在x 和y 的偏导数。

同时，我们还需要假设F 是一个解析函数，即在一个足够小的区域内可以展开成幂级数。

步骤二：利用连续性和可微性找到解的初步范围。

假设我们要研究的方程是F(x,y)=0 ，我们可以找到一个(a,b) 点，使得F(a,b)=0 。

根据连续函数的定义，我们可以找到任意小的邻域U(a,b) ，使得对于U(a,b) 中的点(x,y) ，有F(x,y) \approx 0 。

这样我们就对解的范围有了初步的把握。

步骤三：利用可微性进行逐步逼近。

根据隐函数存在定理的证明思路，我们需要逐步逼近解。

首先，由于F(x,y)=0 在点(a,b) 处存在连续偏导数，我们可以利用隐函数的连续性找到一个x 的足够小的邻域V(a) ，使得对于V(a) 中的每一个x ，方程F(x,y)=0 都有一个解y=g(x) 。

这样我们就找到了一个关于x 的函数g ，它可以作为解的一个近似。

步骤四：求解g 的导数。

我们已经找到了一个近似解y=g(x) ，下一步需要确定该解是否满足假设的可微性条件。

为此，我们需要求解函数y=g(x) 的导数g'(x) 。

利用F(x,y)=0 的方程，我们可以对此进行求导。

假设F(x,y)=0 的两边都可导，我们可以通过对方程两边求x 的导数来得到F_x+F_y \cdot y' = 0 。

逆映射存在定理证明隐函数存在定理

逆映射存在定理证明隐函数存在定理隐函数存在定理是微分方程和微分学中一个非常重要的定理。

它基本上是微分学中的一个基本工具，用来证明某些函数的存在性。

而逆映射存在定理又是微分学中的另一个重要定理，从某种程度上说，它们之间有一定的联系。

在本文中，我将与您一起探讨逆映射存在定理证明隐函数存在定理，并以此为主题撰写一篇关于逆映射存在定理和隐函数存在定理的文章。

1. 逆映射存在定理在进行逆映射存在定理的探讨之前，我们需要先了解什么是逆映射。

在数学中，如果一个函数 f(x) 是一一对应的，即对于每一个 x 都有唯一的 f(x) 与之对应，那么我们称这个函数是一一映射。

而逆映射就是对于一一映射中的每一个 y，都存在唯一的 x 与之对应。

在数学上，逆映射通常用 f^-1(y) 来表示。

现在我们来谈谈逆映射存在定理。

逆映射存在定理是微分学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，存在一个函数的逆映射。

具体来说，如果一个函数 f(x) 在某个区间上是连续的、可微的，并且其导数不为零，那么在这个区间上，函数 f(x) 是一一映射的。

根据逆映射存在定理，我们可以得出结论：在这个区间上，函数 f(x) 存在逆映射f^-1(y)。

2. 隐函数存在定理接下来，我们来讨论隐函数存在定理。

隐函数存在定理是微分学中的另一个重要定理，它用来证明一个方程定义了一个隐函数。

具体来说，如果一个方程 F(x, y) = 0 在某个点 (a, b) 附近有连续的偏导数，并且满足一定的条件，那么在这个点附近，存在一个函数 y = f(x)，满足方程 F(x, f(x)) = 0，并且在这个点附近是可微的。

这个函数就是我们所说的隐函数。

综合论述通过以上的讨论，我们可以发现逆映射存在定理和隐函数存在定理有着一定的联系。

在证明隐函数存在时，我们可以利用逆映射存在定理来简化证明过程，从而更好地理解和应用这两个定理。

逆映射存在定理为我们提供了一种判断函数是否存在逆映射的方法，而隐函数存在定理则为我们提供了一种求解隐函数的方法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图1 在定理题设中有， F′y （x0 ，y0 ）≠0 ，不妨假定它大于 0 ，由于
F′y （x ，y ）连续，因此存在（x0 ，y0 ）的某个领域，其中每一点 F′y 都
大于 0 。在该领域内，固定 x=x ，令 φ （y ）=F （x ，y ），由于 φ′ （y ）>0 ，因此 φ （y ）是单调上升的，只要证明存在 y1 及 y2 ，使得 φ （y1 ）>0 ，φ （y2 ）<0 ，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点 M （x ，y ）使 F （x ，y ）=0 ，这是定理证明的核心。其几何意义是：曲面 z=F （x ，y ）垂直于 x 轴的平面 x=x 的交线 z=F （x ，y ），剖面图形如图 2 所示。
2 2
1400 =35 时，Pmax=4500 （元）. 2× （-20 ）
2
a=
1 ， 8
2 1 1 2 ∴y=- （x-8 ） +9=- x +2x+1. 8 8 2 1 令 y=0 ，得 - （x-8 ） +9=0 ， 8
（或通过配方，P=-20 （x-35 ） +4500 ，也可求得最大值）答：当销售单价为 35 元 / 千克时，每天可获得最大利润 4500 元 . （3 ）∵4180≤-20 （x-35 ） +4500≤4480
○ 数学教学与研究 2011 年第 79 期
周刊
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨刘曾伟梁150080 ）
（哈尔滨师范大学数学科学学院，黑龙江哈尔滨摘要：在数学分析教学中，“ 隐函数存在定理 ” 的证明较为复杂，不易被学生接受和掌握。作者依据长期从事数学分析教学的经验，从八个方面对该定理进行分析，深入浅出，明了易懂，达到了很好的教学效果。关键词：隐函数存在定理分析证明分析论证思想
姨（x-x ） +（y -y ）
0 0 0
%
2
2
0。
（三）要这曲线在 x0 附近连续，只需曲面 z=F （x ，y ）在（x0 ，y0 ）附近连续。（四）要曲线唯一，也就需证，对 x0 附近任一 x ，有唯一确定的 y。
解，就近似相当于求线性方程： F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）=0 的解。需要注意的是：首先，要使上式在（x0 ，y0 ）附近有解，必须 F （x0 ，y0 ）=0 ，否则当动点（x ，y ）与（x 0 ，y 0 ）充分靠近时，上式第一项不为零，而后二项值可任意小，其和不能为零，即线性方程在（x0 ，y0 ）附近无解，于是我们得出线性方程在（x0 ，y0 ）附近有解的第一条件为：
2
1≤ （x-35 ） ≤16 ∴31≤x≤34 或 36≤x≤39.
评注：在解决二次函数问题时，要注意 “由数想形，以形助数 ” 的方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题. 五、结语在学习二次函数中 “ 数 ”、“ 形 ” 并进，让学生见 “ 数 ” 想到 “ 形 ”，见 “ 形 ” 不忘 “ 数 ”. 在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在学习渗透数形结合的思想时，还应掌握以下几点 . 1. 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系 . 2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系 . 3. 切实把握 “ 数 ” 与 “ 形 ” 的对应关系，以图识性，以性识图 . 参考文献：［1 ］姚立新.数形结合的数学思想方法在解题中的应用［J］， 2005，1. ［2 ］蔡东兴 . 数形结合思想方法的应用［J ］. 中学数学教与学，2009 ，2.
2
解之得 x=8±6 姨 2 ，即 C （8+6 姨 2 ，0 ），∴OC=8+6 姨 2 ≈16.5 （米）. 评注：从 “ 形 ” 到 “ 数 ” 的问题时，应注意观察函数图像的形状特征，充分挖掘图像的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的性质来解 . 四、“ 数形结合 ” 思想的综合应用例 4. 市 “ 健益 ” 超市购进一批 20 元 / 千克的绿色食品，如果以 30 元 / 千克销售，那么每天可售出 400 千克 . 由销售经验知，每天销售量 y （千克）与销售单价 x （元）（x ≥30 ）存在如下图所示的一次函数关系式 . （1 ）试求出 y 与 x 的函数关系式；（2 ）设 “ 健益 ” 超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3 ）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该
∞ ，0 ］和［1 ，＋∞ ），函数的单调递减区间为［0 ，1 ］.
评注：数形结合可用于解决二次函数方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的关键 . 三、从 “ 形 ” 到 “ 数 ” 的思想应用例 3. 如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1m ，球路的最高点 B （8 ，9 ），则这个二次函数的表达式为 %% %% ，小孩将球抛出了约 %% %% 米（精确到 0.1m ）.
3 ）在［x0-η ，x0+η ］上恒等式 F （x ，y （x ））=0 成立； 4 ）满足条件 1 ）— 3 ）的函数 y （x ）是唯一的。
在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数 y=f （x ），从几何直观来看就是：若在（x0 ，y0 ）附近 z=F （x ，y ）为光滑曲面，则它在点（x 0 ，y 0 ）附近与 z=0 的交线为光滑曲线，并能表示为 y 为 x 的函数（当 F′y （x0 ，y0 ）≠0 ），如图 1 所示。对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。（一）定理的结论，实质是找曲面 z=F （x ，y ）和平面 z=0 的交线 y=f （x ），使得这曲线过（x0 ，y0 ）且在 x0 附近连续，唯一。（二）要这曲线过（x0 ，y0 ）必须曲面过（x0 ，y0 ），即 F （x 0 ，y 0 ） =
B
解：（1 ）设 y=kx+b ，由图像可知，
30k+b=400 k=-20 ，解得 ≥ ， ≥ 40k+b=200 b=1000
即一次函数表达式为 y=-20x+1000 （30≤x≤50 ）. （2 ）p= （x-20 ）y= （x-20 ）（-20x+1000 ）=-20x +1400x-20000 ∵a=-20＜0 ， ∴P 有最大值 . 当 x= 解：由题意和图像可设 y=a （x-8 ） +9 ，将点 A （0 ，1 ）代入，得
复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。现把该定理复述如下：定理：设 F （x ，y ）在（x0 ，y0 ）的领域内连续，并有连续的偏导数 F′y （x ，y ），如果
1. 问题的提出
数学分析教学中 “隐函数存在定理 ”的证明，是一个较为
% %
%
60
周刊 2011年第79期 ○ 数学教学与研究着一函数 y=y （x ），使得： 1 ）y0=y （x0 ）； 2 ）y （x ）在［x0-η ，x0+η ］上连续；初学者有所助益。 2. 隐函数存在定理的证明分析数学上任何命题，定理的讨论，都离不开对定理精细、透彻的分析。我们习惯用的分析方法是由结论找需知，具体说来，就是从 “ 未知 ” 出发，通过层层剖析，看 “ 需知 ” 什么，再根据 “ 未知 ” 和 “ 已知 ” 条件或隐含的 “ 已知 ” 条件之间的联系、转化，逐步 “ 运用已知 ” 想到 “ 可知 ”。这种方法对于此定理的分析也是适宜的。分析：（1 ）因为我们限定在（x 0 ，y 0 ）某领域内找方程 F （x ，y ） =0 的解，可利用泰勒公式用线性函数来逼近函数 F （x ，y ）： F （x ，y ）=F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）+0 （ρ ），所以在（x0 ，y0 ）附近，函数 F （x ， y ）可近似看成线性函数（忽略 0 （ρ ）），这样求方程 F （x ，y ） =0 的其中 ρ=