隐函数存在性的探讨
11.1 隐函数的存在性
第十一章 隐函数§5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用.§11.1 隐函数的存在性一、隐函数的概念在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数.例1 二元方程0753),(2=--+=y x xy y x F .)5(≠∈∀x R x ，通过方程对应唯一一个y ，即xx y --=5732.显然，有0)573,(2≡--xx x F由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2=--+=y x xy y x F 所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线xx y --=5732是空间曲面7532--+=y x xy z 与0=z （xy 平面）的单值交线.例2 二元方程0),(222=-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈∀,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞<<y 0或0<<∞-y ，则),(a a x -∈∀只对应唯一一个y ，即221x a y -=或222x a y --=. 显然有 0),(),(221≡-=x a x F y x F 与0),(),(222≡--=x a x F y x F由隐函数定义，221x a y -=与222x a y --=都是方程0),(222=-+=a y x y x F所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线221x a y -=与222x a y --=（以原点为圆心，以a 为半径的上半圆与下半圆）是空间曲面222a y x z -+=（旋转抛物面）与平面0=z 的两条单值交线.例3二元方程022),(=-+=y x xy y x F ,在原点的某个邻域),(δδ-内，),(δδ-∈∀x ，通过方程对应唯一一个y ，即)(x y ϕ=（下面例6将证明这个事实）.显然，有[]0)(,≡x x F ϕ.由隐函数的定义，)(x y ϕ=是方程022),(=-+=y x xy y x F 所确定的隐函数.它的几何意义是，空间曲面y x xy z 22-+=与平面0=z 在原点邻域),(δδ-相交成平面单值曲线)(x y ϕ=.例4二元方程0),(222=++=r y x y x F )0(≠r .R x ∈∀，通过方程不存在对应的y ，即方程不确定隐函数.它的几何意义是，空间曲线222r y x z ++=（旋转抛物面）与平面0=z 不相交.上述四例说明，一个方程可能确定一个隐函数，如例1，2，3也可能不确定隐函数，如例4.一个方程可能确定一个隐函数，如例1，也可能确定两个（或多个）隐函数，如例2.一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1，2，也可能不是初等函数，如例3，（因为超越方程不能用代数方程求解）.值得注意的是例3这种情况，它说明隐函数包含着非初等函数.从而给出了表示函数的新方法，扩大了研究函数的范围.关于两个变量x 与y 的二元方程0),(=y x F 确定隐函数，可类似地推广到1+n 个变量y x x x n ,,...,21的方程 0),,...,(21=y x x x F n .若存在点),...,,(002010n x x x P 的邻域G ,G x x x P n ∈∀),...,,(21，通过上面方程对应唯一一个y ,设),...,(21n x x x f y =，有 0)],...,(,,...,,[2121≡n n x x x f x x x F ，则称n 元函数),...,(21n x x x f y =是有方程0),,...,(21=y x x x F n 所确定的隐函数.例5三元方程04),,(=-++=yz xy x z y x F .2),(R y x ∈∀)0(≠y ，通过方程对应唯一一个z ，即yxyx z --=4.显然，有0)4,,(≡--yxyx y x F . 由隐函数定义，yxyx z --=4是方程04),,(=-++=yz xy x z y x F 所确定的（二元）隐函数.隐函数还有更一般的情况：若干个方程构成的方程组所确定的隐函数（组）.例如，三个变量两个方程构成的不定方程组⎩⎨⎧=++==-++=.0),,(,065),,(221z y x z y x F z yz x z y x F )5(≠∈∀z R z ，通过方程组对应唯一一对x 与y ，即z x -=56与zz z y --+=5)6)(1(. 显然，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-0,5)6)(1(,560,5)6)(1(,5621z z z z zF z z z z z F 一般情况，n 个变量m 个方程)(n m <构成的不定方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++0),...,,...,,(..............................................0),...,,...,,(0),...,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x x x x F x x x x x F x x x x x F （1）若存在m 个函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++),...,(...............................),...,(),...,(11112111n m m nm n m x x f x x x f x x x f x （2）满足方程组（1），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡+++0),...,,,...,,(...............................................0),...,,,...,,(0),...,,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x f f f F x x f f f F x x f f f F 则称函数组（2）（共m 个函数）是方程组（1）所确定的隐函数组.二、一个方程确定的隐函数定义个二元方程0),(=y x F ，等号左端的二元函数),(y x F 满足什么条件，方程才存在（有连续导数的）隐函数呢？它的几何意义就是，满足什么条件曲面),(y x F z =与平面0=z 交成一条（光滑的单值的）曲线呢？很明显，至少应当假设曲面),(y x F z =与平面0=z 有一个交点),(000y x P ，即0),(000=y x F ，并且在点0P 的某个邻域D 两个偏导数),('y x F x 与),('y x F y 连续.为了使曲面),(y x F z =与平面0=z 不仅相交于一点0P ，还要交成一条单值曲线)(x f y =，这只要增加条件0),(00'≠y x F y 就行.事实上，由连续函数的保号性，在点0P 的某邻域)(D G ⊂，),('y x F y 保号，这表明将),(y x F 看作变量y 的一元函数时是严格单调的，又0),(00=y x F ，所以当)0(>β充分小时，),(00β-y x F 与),(00β+y x F 具有相反的符号，即曲面),(y x F z =穿过平面0=z ，再应用连续函数),(y x F 的保号性，关于变量y 的单调性和根的存在性，就可以证明曲面),(y x F z =与平面0=z 交成一条光滑的单值曲线)(x f y =.有下面隐函数存在定理：定理1 若二元函数),(y x F z =在以),(00y x 为中心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1）),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续（从而),(y x F 在D 连续）； 2）0),(00=y x F ； 3）0),(00'≠y x F y .则ⅰ）0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =（隐函数），使00)(,0)](,[y x f x f x F =≡，且ββ+<<-00)(y x f y .ⅱ))(x f y =在区间∆连续.ⅲ）)(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=证明ⅰ）隐函数的存在性.由条件3），不妨假设0),(00'>y x F y再由条件1），函数),('y x F y 在点),(00y x 连续.根据§10.2定理4（连续函数的保号性），存在以点),(00y x 为中心的闭矩形区域),;(0000ββα+≤≤-≤≤-y y y x x x G 而D G ⊂,G y x ∈∀),(,有0),('>y x F y（3）特别地，当0x x =时，有0),(0'>y x F y ，ββ+≤≤-00y y y .根据§6.4定理2，一元函数),(0y x F 在闭区间],[00ββ+-y y 严格增加.由条件2），0),(00=y x F ，有0),(00<-βy x F 与0),(00>+βy x F .(4)再考虑下面两个一元函数),(0β-y x F ，),(0β+y x F .这两个函数在0x 连续，且有不等式（4），根据§3.2定理3（局部保号性），)(0αδδ<>∃，),(00δδ+-∈∀x x x ，有0),(0<-βy x F 与0),(0>+βy x F （5）（5）式的几何意义是，如图11.1，曲面),(y x F z =在线段AB 上的图像在xy 平面之下，在线段CE 上的图像在xy 平面之上.下面证明，曲面),(y x F z =与xy 平面相交，其单值交线l 就是将要证明的在区间),(00δδ+-x x 的隐函数.令),(00δδ+-=∆x x ，∆∈∀_x ，由（3）式，有0),(_'>y x F y ， ],[00ββ+-∈y y y ，即一元函数),(_'y x F y在区间],[00ββ+-y y 严格增加.由（5）式，有0),(0_<-βy x F 与0),(0_>+βy x F .根据§3.2定理6（介值性），在区间),(00ββ+-y y 存在唯一一点_y 使0),(__=y x F（6）由（6）式，∆∈∀x ，存在唯一一个),(00ββ+-∈y y y 使0),(=y x F ，即),(),(),(0000ββδδ+-⨯+-⊂∈y y x x f y x于是，y 是x 的函数：)(x f y =.∆∈∀x ，有0)](,[≡x f x F 与ββ+<<-00)(y x f y已知0),(00=y x F 与0)](,[00=x f x F .因为在),(00ββ+-y y 内与0x 对应且满足方程0),(0=y x F 的y 是唯一的，所以)(00x f y =.ⅱ）（隐）函数)(x f y =在区间∆连续.只需证明，∆∈∀x ，函数)(x f y =在x 连续.已知),('y x F x 与),('y x F y 在闭矩形域),;(0000ββα+≤≤-≤≤-y y y x x x G 连续，且0),('>y x F y 则|),(|'y x F x 在G 有上界，|),(|'y x F y 在G 有非零下界，即0>∃M 与0>m ，G y x ∈∀),(，有M y x F x <|),(|'与m y x F y ≥|),(|'给自变量x 改变量x ∆，使∆∈∆+x x ，相应地有函数)(x f y =的改变量y ∆，即)()(x f x x f y -∆+=∆或)(x x f y y ∆+=∆+，且（),(00ββ+-∈∆+y y y y .已知0),(=y x F 与0),(=∆+∆+y y x x F),(),(0y x F y y x x F -∆+∆+=),(),(),(),(y x F y y x F y y x F y y x x F -∆++∆+-∆+∆+=.根据§10.3的引理，有y y y x F x y y x x F y x ∆∆++∆∆+∆+=),(),(02'1'θθ（7）其中101<<θ，102<<θ.将（7）式改写为x y y x F y y x x F x f x x f y y x ∆∆+∆+∆+-=-∆+=∆),(),()()(2'1'θθ 有|)()(|||x f x x f y -∆+=∆=||||),(),(2'1'x m Mx y y x F y y x x F y x ∆≤∆∆+∆+∆+-θθ 于是0)]()([lim lim 0=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ，即（隐）函数)(x f y =在x 连续，从而在∆连续.ⅲ）（隐）函数)(x f y =在区间∆有连续导数.∆∈∀x ，由（7）式，有),(),(2'1'y y x F y y x x F x yy x ∆+∆+∆+-=∆∆θθ，101<<θ，102<<θ 已知)(x f y =在x 连续，从而当0→∆x 时，有0→∆y ，又已知),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续，有),(),(lim lim )(2'1'000'y y x F y y x x F x yx f y x y x x ∆+∆+∆+-=∆∆=→∆→∆→∆θθ ),(),(''y x F y x F y x -=)0),(('≠y x F y .即（隐）函数)(x f y =在区间∆有连续的导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=注 为使证明的层次分明，定理1的结论分成三个部分，实际上，这三个部分可以合并，叙述为以下更加简明的形式：“则存在点0x 的邻域∆，在∆存在唯一一个有连续导数的（隐）函数)(x f y =，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=”今后，隐函数定理的结论，都采用这种合并后的叙述形式.由于定理1的证明与区域D 的维数无关.因此，定理1可推广到1+n 个自变量的方程0),,...,,(21=y x x x F n 所确定的隐函数定理2 若函数),,...,,(21y x x x F z n =在以点),,...,,(0002010y x x x P n 为中心的矩形区域G 满足下列条件：1）'1x F ，'2x F ，….，'xn F ，'y F 在G 连续（从而F 在G 连续）;2) 0),,...,,(000201=y x x x F n3) 0),,...,,(000201'≠y x x x F n y .则存在点),...,,(002010n x x x Q 的邻域U ，在U 存在唯一一个有连续偏导数的n 元（隐）函数),...,,(21n x x x f y =，使0)],...,,(,,...,,[2121≡n n x x x f x x x F),...,,(002010n x x x y =，且''yxk k F F x y-=∂∂),...,2,1(n k =证明从略.注 关于定理1与定理2作如下两点说明：1）定理的条件是隐函数存在的充分条件而不是必要条件；2）定理只是指出隐函数是存在的，并没有指出隐函数是“什么样”，但是能够借助给定的方程讨论它的连续性和可微性.例6 验证二元方程022),(=-+=y x xy y x F 在点0=x 的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数)(x y ϕ=，并求)('x ϕ（见例3）.解 函数2ln 2),('x x y y x F +=与2ln 2),('yy x y x F -=在点)0,0(的邻域连续，且0)0,0(=F ，02ln )('≠-=xy F y根据定理1，在点0=x 的某个邻域),(δδ-存在唯一一个有连续导数的（隐）函数)(x y ϕ=，使0)](,[≡x x F ϕ，且0)0(=ϕ.（隐）函数)(x y ϕ=的导数是2ln 22ln 2)('y x x y x -+-=ϕ求隐函数的偏导数不必套用公式，可直接应用复合函数的导数公式 例7求由三元方程z y z xy 2sin =++确定的隐函数),(y x f z =的偏导数解 在方程中将z 看作是x 与y 的二元函数，对方程的两端分别关于x 与y 求偏导数，有x z x z zy ∂∂=∂∂+2cos 与yz y z z x ∂∂=+∂∂+21cos于是，分别解得z y x z cos 2-=∂∂与zx y z cos 21-+=∂∂ 三、方程组确定的隐函数首先讨论四个变量两个方程的特别情况，即⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(21v u y x F v u y x F 定理3 若四元函数0),,,(1=v u y x F 与0),,,(2=v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的邻域G 满足下列条件： 1）四元函数0),,,(1=v u y x F 与0),,,(2=v u y x F 的所有偏导数在G 连续（从而，1F 与2F 在G 连续）；2）⎩⎨⎧==0),,,(;0),,,(0000200001v u y x F v u y x F 3）行列式02211≠∂∂∂∂∂∂∂∂=vF uF vF uF J 4） 则存在点),(00y x Q 的邻域V ，在V 存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组),(y x u u =与),(y x v v =使⎩⎨⎧≡≡0)],(),,(,,[0)],(),,(,,[21y x v y x u y x F y x v y x u y x F 且 ),(000y x u u =，),(000y x v v =证法 其证法类似代数的解方程组的代入法.从第一个方程0),,,(1=v u y x F 中“解”出),,(u y x f v =（这需要验证它满足定理2的条件）.将它代入第二个方程之中，即0)],,(,,,[2=u y x f u y x F ，再从中“解”出),(y x u u =（这也需要验证它满足定理2的条件）最后将),(y x u u =代入),,(u y x f v =中，就得到),()],(,,[y x v y x u y x f v ==.于是，得到（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =证明由条件3),行列式J 在点P 不为零，则u F ∂∂1与vF ∂∂1至少有一个在点P 不为零.不妨设01≠∂∂PvF .于是，不难验证，四元函数),,,(1v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的邻域满足下列条件： 1）函数),,,(1v u y x F 的所有偏导数在G 连续；2）0),,,(00001=v u y x F ；3）01≠∂∂PvF根据定理2，在点),,(000u y x N 的某个邻域D 存在唯一一个连续（隐）函数),,(u y x f v =，使0)],,(,,,[1≡u y x f u y x F ，且),,(0000u y x f v =（9）函数),,(u y x f v =的偏导数x f ∂∂，y f ∂∂，uf ∂∂在邻域D 连续.由（8）式，有 v F x F x f ∂∂∂∂-=∂∂11，v F y F y f ∂∂∂∂-=∂∂11，vF u F u f ∂∂∂∂-=∂∂11（10）再将函数),,(u y x f v =代入到第二个四元函数),,,(2v u y x F 之中，设)],,(,,,[),,(2u y x f u y x F u y x =ϕ下面验证函数),,(u y x ϕ在点),,(000u y x N 的邻域D 满足下列条件：1）函数),,(u y x ϕ的所有偏导数在D 连续.事实上，x v v F x F x ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ，yv v F y F y ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ， u v v F u F u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂u f u v 已知x F ∂∂2，yF ∂∂2，u F ∂∂2，v F ∂∂2，x v ∂∂，y v ∂∂，u v ∂∂在邻域D 都连续,则x ∂∂ϕ，y ∂∂ϕ，u ∂∂ϕ在邻域D 连续.2）0),,,()],,(,,,[),,(000020000002000===v u y x F u y x f u y x F u y x ϕ3）0≠∂∂Nuϕ，事实上，已知uvv F u F u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ.由（10）式，有 vF u F u ∂∂-∂∂=∂∂22ϕ·⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂u F v F uF v F vF v F u F 12211111 J vF u F v F u F v F v F ∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=12211111由已知条件，有011≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂J v F uNϕ 根据定理2，在点),(00y x Q 的某个邻域V 存在唯一一个连续（隐）函数),(y x u u =，使0)],(,,[≡y x u y x ϕ，且),(000y x u u =（11）函数),(y x u u =的偏导数x u ∂∂，yu ∂∂在邻域V 连续. 最后，将),(y x u u =代入),,(u y x f v =之中，设),()],(,,[y x v y x u y x f v ==（12）下面证明.（隐）函数组),(y x u u =与),(y x v v =满足定理的要求事实上，已知函数),,(u y x f v =在D 连续，),(y x u u =在)(D V ⊂连续，于是)],(,,[),(y x u y x f y x v v ==在V 连续，即),(y x u u =，),(y x v v =在V 都连续.其次有（9）式与（11）式，有0)],,(,,.,[))],(,,(),,(,,[)],(),,(,,[111≡≡≡u y x f u y x F y x u y x f y x u y x F y x v y x u y x F 0)],,(,,.,[))],(,,(),,(,,[)],(),,(,,[222≡≡≡u y x f u y x F y x u y x f y x u y x F y x v y x u y x F由（11），（12），（9）式，又有000),(u y x u =，000000000),,()],(,,[),(v u y x f y x u y x f y x v ===已知函数),(y x u u =的偏导数在邻域V 连续.函数),(y x v v =的偏导数在邻域V也是连续的.事实上，由（12）式，有x u u f x f x v ∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yu u f y f y v ∂∂∂∂+∂∂=∂∂ 已知x f ∂∂，y f ∂∂，u f ∂∂，x u ∂∂，y u ∂∂在邻域V 连续，则x u ∂∂，yu ∂∂在邻域V 也连续. 推论若函数组),(),,(v u y y v u x x ==的所有偏导数在点),(00v u P 的邻域连续，且),(000v u x x =，),(000v u y y =在点),(00v u P 行列式0≠∂∂∂∂∂∂∂∂Pvy u y v x u x则在点),(00v u Q 的某邻域存在有连续偏导数的反函数组),(y x u u =，),(y x v v =证明函数组),(),,(v u y y v u x x ==可改写为⎩⎨⎧=-==-=0),(),,,(0),(),,,(21v u y y v u y x F v u x x v u y x F 显然，函数1F 与2F 的所有偏导数在点),,,(0000v u y x M 的邻域连续，且⎩⎨⎧=-==-=0),(),,,(0),(),,,(0000000200000001v u y y v u y x F v u x x v u y x F 又有02211≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂PPMuy u y v x u x u y u y v x u x vF u F v F u F根据定理3，在点),(00y x Q 的某邻域存在有连续偏导数的反函数组),(y x u u =，),(y x v v =定理3只是指出了（隐）函数组存在连续的偏导数.那么怎样求它的偏导数呢？现举例说明如下.若方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(21v u y x F v u y x F 确定了（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(21y x v y x u y x F y x v y x u y x F 对这两个恒等式关于x 求偏导数.由复合函数微分法，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂00222111x v v F x u u F xF xvv F x u u F x F 其中x u ∂∂，xv∂∂是未知的，其余的六个偏导数都是已知的.解得 vF u F v F u F v F x F v F x F xu ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂-=∂∂22112211xv ∂∂=vF u F v F u F x F u F x F u F ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂22112211同样方法，可求关于y 的偏导数y u ∂∂，yv ∂∂ 例8 验证方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+02222v u xy uv y x 在点)1,1,0,1(),,,(0000=v u y x 的邻域满足定理3的条件,从而在点（1，0）的邻域存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =，并求x u ∂∂，yu∂∂，x v ∂∂，yv ∂∂. 解 设⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=222221),,,(),,,(vu xy v u y x F uv y x v u y x F x x F 21=∂∂，y y F21=∂∂，v u F -=∂∂1，u v F -=∂∂1 y x F =∂∂2， x yF =∂∂2，u u F 22-=∂∂，v v F 22=∂∂在点（1,0,1,1）的邻域都连续，且⎩⎨⎧==0)1,1,0,1(0)1,1,0,1(21F F 而u v vF u F v F u F J 22211--=∂∂∂∂∂∂∂∂=)(22222222v u u v v u +-=--=- 在点)1,1,0,1(),,,(0000=v u y x ，有04≠-=J根据定理3，在点（1,0）的邻域存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =.为了求其偏导数，将方程组关于x 求偏导数，其中u 与v 是x 的函数，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-02202x v v x u u y xv u x u v x 解得)(24222222v u yuxv v u u v v u y x x u +-=------=∂∂ )(24222222v u yvxu vu u v y x u v x v +-=-------=∂∂ 同样方法，可求关于y 的偏导数y u ∂∂与yv ∂∂ 例9 验证方程组⎩⎨⎧=++=-++06222z y x z y x 在点)1,2,1(),,(000-=z y x 的邻域满足定理3的条件，在点10=x 的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组)(1x f y =与)(2x f z =，并求dx dy 与dxdz . 解 设⎩⎨⎧++=-++=zy x z y x F z y x z y x F ),,(6),,(22221x x F 21=∂∂，y yF21=∂∂，z z F 21=∂∂，12=∂∂x F ，12=∂∂yF，12=∂∂z F 在点)1,2,1(-的邻域都连续，且⎩⎨⎧=+-+=-=-+-+=-01)2(1)1,2,1(061)2(1)1,2,1(22221F F 而)(212122211z y z y zF y F z F y F J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=在点)1,2,1(),,(000-=z y x ，有06≠-=J根据定理3，在点10=x 的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组)(1x f y =与)(2x f z =为了求导数,将方程组关于x 求导数，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dxdz z dx dy y x 解得z y x z z y zx dx dy --=--=12121212，z y yx z y x y dx dz--=--=12121212 定理3可推广到n m +个变量m 个方程的一般情况，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++0),...,,...,,(..............................................0),...,,...,,(0),...,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x x x x F x x x x x F x x x x x F 定理4 若m 个函数1F ，2F ，…m F 在点),...,,,...,(001001n m m m x x x x M ++的某个领域G 满足下列条件： 1）函数1F ，2F ，…m F 的所有偏导数在G 连续；2） 0)()()(21==⋅⋅⋅==M F M F M F m ；3）行列式在点M 不为零，即0212221212111≠∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂Mm mm m m m x Fx F x F x Fx F x F x Fx F x F则存在点),...,,(00201n m m m x x x N +++的邻域V ，在V 存在唯一一组有连续偏导数的n 元m 值（隐）函数组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++++++),...,(..................................),...,(),...,(1122111n m m m m nm m n m m x x f x x x f x x x f x 且)(101N f x =，)(202N f x =，... )(0N f x m m =，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡+++0),...,,,...,,(...............................................0),...,,,...,,(0),...,,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x f f f F x x f f f F x x f f f F。
隐函数存在定理3
隐函数存在定理隐函数存在定理是微分学中的一个重要定理，用于判断一个方程是否存在隐函数。
隐函数存在定理有好几个版本，其中隐函数存在定理3是对多元函数的一个扩展。
该定理在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
函数的定义在介绍隐函数存在定理3之前，我们首先来了解一下函数的基本概念。
在数学中，函数可以简单地理解为对于给定的输入，给出一个唯一的输出。
函数可以用公式、图表或者描述性的文字来表示。
以y = f(x)为例，y表示函数的输出，x表示函数的输入，f表示函数的定义域和值域之间的对应关系。
函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
隐函数则是一种特殊的函数，其定义形式为F(x, y) = 0。
与显式函数不同，隐函数无法通过直接解出y来表示。
例如，对于方程x2+y2-1=0来说，我们无法直接解出y作为x的函数。
因此，我们需要通过隐函数存在定理来判断方程是否存在隐函数，并进一步求解该隐函数。
隐函数存在定理3隐函数存在定理3是对多元函数隐函数存在定理的一个扩展。
它给出了判断一个方程组是否存在隐函数的条件，以及如何求解这个隐函数。
具体而言，隐函数存在定理3可以表述为以下几点：1.假设有一个方程组G(x, y) = 0，其中G是从定义域D到值域R上的函数。
我们需要找到一对点(x0, y0)使得G(x0, y0) = 0，并且在该点的某个领域内，函数G满足一定的可微分条件（偏导数连续）。
这样的点(x0, y0)称为方程组的一个解。
2.假设方程组G(x, y) = 0满足某个可微分条件，函数G的偏导数连续，并且在(x0, y0)附近的一个矩形区域内满足Gx(x, y)≠ 0。
这意味着在该区域内，方程组可以被表示为y = f(x)，其中f是一个函数。
3.如果上述条件满足，并且方程组G(x, y) = 0的任意两条曲线都不相交，那么在(x0, y0)附近存在一个函数f(x)，满足方程组G(x, f(x)) = 0。
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨关键词：隐函数存在定理分析证明分析论证思想1.问题的提出数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。
现把该定理复述如下：定理：设F（某，y）在（某，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（某，y），如果F（某，y）=0摇摇摇F′（某，y）≠0则在（某，y）的某领域内，方程F（某，y）=0有唯一的连续解y=f （某），也就是说，这时存在某η>0，使得在［某-η，某+η］上存在着一函数y=y（某），使得：1）y=y（某）；2）y（某）在［某-η，某+η］上连续；3）在［某-η，某+η］上恒等式F（某，y（某））=0成立；4）满足条件1）—3）的函数y（某）是唯一的。
在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数y=f（某），从几何直观来看就是：若在（某，y）附近z=F（某，y）为光滑曲面，则它在点（某，y）附近与z=0的交线为光滑曲线，并能表示为y为某的函数（当F′（某，y）≠0），如图1所示。
对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。
（一）定理的结论，实质是找曲面z=F（某，y）和平面z=0的交线y=f（某），使得这曲线过（某，y）且在某附近连续，唯一。
（二）要这曲线过（某，y）必须曲面过（某，y），即F（某，y）=0。
（三）要这曲线在某附近连续，只需曲面z=F（某，y）在（某，y）附近连续。
（四）要曲线唯一，也就需证，对某附近任一某，有唯一确定的y。
在定理题设中有，F′（某，y）≠0，不妨假定它大于0，由于F′（某，y）连续，因此存在（某，y）的某个领域，其中每一点F′都大于0。
在该领域内，固定某=某，令φ（y）=F（某，y），由于φ′（y）>0，因此φ（y）是单调上升的，只要证明存在y及y，使得φ（y）>0，φ（y）<0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（某，y）使F （某，y）=0，这是定理证明的核心。
讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了
( x , x ) ( x0 , x0 ),
且当 x (x , x ) 时，有 F(x, y ) 0, F(x, y ) 0.
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有 y f (x) y , x(x , x ),
y 1 sin3 x , z x2 y2 . 隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 . 隐函数一般定义：设 E R2, F : E R, 和方程
把 F( x, y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上
严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 特别对于函数 F ( x0, y), 由条 件 F ( x0, y0 ) 0 可知
F ( x0 , y0 ) 0,
y
+
y0
＋
＋
y0
_＋__ 0
y0
(2)
Fy(x, y)
( 注: 其中
I ( x0 , x0 ) 与 J ( y0 , y0 )
示于定理11.1 的证明 (d) ).
证 设 x, x x I , 则 y f (x), y y f (x x) J .
由条件易知 F 可微，并有 F(x, y) 0, F(x x, y y) 0.
定理 11.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D内还存在连
续的 Fx ( x, y) . 则由方程 F( x, y ) 0 所确定的隐
函数 y f (x) 在 I 内有连续的导函数，且
讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了
y f1( x) ( 1 x2 ), x [1,1 ], y [ 0, 1 ]; y f2( x) ( 1 x2 ), x [1,1 ], y [1, 0 ] .
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程 F( x, y, z) 0 确定的隐函数 z f ( x, y) , 由方程 F ( x, y, z, u) 0 确定的隐函数 u f ( x, y, z) , 等 等. 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.
数也二阶可导．应用两次复合求导法，得
Fx ( x, y) Fy ( x, y) y 0, Fxx Fx y y (Fyx Fy y y)y Fy y 0. 将 (2) 式代入上式，经整理后得到
y
1 Fy
(Fxx
2Fxy
y
Fyy
y2 )
2Fx Fy Fxy
Fy 2 Fxx Fy3
Fx 2 Fyy
定理11.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 F(x, y) 满足以下四个条件： (i) 在以 P0( x0 , y0 )为内点的某区域 D R2上连续； (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )； (iii) 在 D 内存在连续的偏导数 Fy( x, y)； (iv) Fy ( x0, y0 ) 0. 则有如下结论成立：
(c) 为使 y f ( x) 在 x0 可导，即曲线 y f ( x) 在
点 P0 存在切线，而此切线是曲面 z F ( x, y) 在点
P0 的切平面与 z 0 的交线，故应要求 F ( x, y) 在
点 P0 可微，且 (Fx ( x0 , y0 ), Fy ( x0 , y0 )) (0, 0).
即 x ( x0 , x0 ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.
隐函数存在定理的证明 -回复
隐函数存在定理的证明-回复隐函数存在定理是微积分中的重要内容之一，它主要用来研究给定方程是否存在可由隐函数表示的解。
本文将一步一步地解释隐函数存在定理的证明。
首先，我们来明确隐函数的概念。
在多元函数的研究中，我们往往会遇到形如F(x,y)=0 的方程，其中F 是一个多元函数。
如果该方程中的变量y 可以通过x 唯一地表示出来，那么我们称y 是x 的隐函数。
隐函数存在定理正是用来研究这样的问题。
隐函数存在定理的证明可以分为几个关键步骤。
步骤一：列出隐函数的存在条件。
首先，我们需要明确隐函数存在的条件。
隐函数存在的条件一般有两个：连续性和可微性。
即要求F(x,y)=0 在某个点(a,b) 上连续，并且存在x 和y 的偏导数。
同时，我们还需要假设F 是一个解析函数，即在一个足够小的区域内可以展开成幂级数。
步骤二：利用连续性和可微性找到解的初步范围。
假设我们要研究的方程是F(x,y)=0 ，我们可以找到一个(a,b) 点，使得F(a,b)=0 。
根据连续函数的定义，我们可以找到任意小的邻域U(a,b) ，使得对于U(a,b) 中的点(x,y) ，有F(x,y) \approx 0 。
这样我们就对解的范围有了初步的把握。
步骤三：利用可微性进行逐步逼近。
根据隐函数存在定理的证明思路，我们需要逐步逼近解。
首先，由于F(x,y)=0 在点(a,b) 处存在连续偏导数，我们可以利用隐函数的连续性找到一个x 的足够小的邻域V(a) ，使得对于V(a) 中的每一个x ，方程F(x,y)=0 都有一个解y=g(x) 。
这样我们就找到了一个关于x 的函数g ，它可以作为解的一个近似。
步骤四：求解g 的导数。
我们已经找到了一个近似解y=g(x) ，下一步需要确定该解是否满足假设的可微性条件。
为此，我们需要求解函数y=g(x) 的导数g'(x) 。
利用F(x,y)=0 的方程，我们可以对此进行求导。
假设F(x,y)=0 的两边都可导，我们可以通过对方程两边求x 的导数来得到F_x+F_y \cdot y' = 0 。
隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分中的一个重要定理，它提供了一种判断隐函数是否存在的方法。
然而，这个定理的几何解释却不是很直观。
隐函数存在定理告诉我们，如果一个函数在某个点处满足一定的条件，那么它就可以被表示为两个变量之间的函数，即隐函数。
这个定理的几何解释需要从曲线的切线和法线入手。
考虑一个曲线y=f(x)，在某个点(x0,y0)处的切线和法线。
如果这个点处的斜率不存在或为0，那么这个曲线就不能被表示为y=f(x)的形式。
但是，如果这个点处的斜率存在且不为0，那么我们就可以通过求解斜率和函数值的关系式，得到一个关于x和y的方程，从而表示曲线为隐函数。
具体来说，如果在点(x0,y0)处曲线的斜率存在且不为0，那么曲线在这个点处的切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
又因为曲线在点(x0,y0)处的法线垂直于切线，所以法线的斜率为-k/1=-k。
因此，在这个点处曲线的法线方程可以表示为
y-y0=-k(x-x0)。
我们可以将这个法线方程写成y=f(x)，从而得到一个关于x和y 的方程，即f(x)=y0-k(x-x0)。
因此，我们成功地将曲线表示为了一个隐函数。
总之，隐函数存在定理的几何解释可以通过曲线的切线和法线来理解。
如果一个点处的曲线既有切线又有法线，并且斜率存在且不为0，那么这个曲线就可以被表示为一个隐函数。
逆映射存在定理证明隐函数存在定理
逆映射存在定理证明隐函数存在定理隐函数存在定理是微分方程和微分学中一个非常重要的定理。
它基本上是微分学中的一个基本工具，用来证明某些函数的存在性。
而逆映射存在定理又是微分学中的另一个重要定理，从某种程度上说，它们之间有一定的联系。
在本文中，我将与您一起探讨逆映射存在定理证明隐函数存在定理，并以此为主题撰写一篇关于逆映射存在定理和隐函数存在定理的文章。
1. 逆映射存在定理在进行逆映射存在定理的探讨之前，我们需要先了解什么是逆映射。
在数学中，如果一个函数 f(x) 是一一对应的，即对于每一个 x 都有唯一的 f(x) 与之对应，那么我们称这个函数是一一映射。
而逆映射就是对于一一映射中的每一个 y，都存在唯一的 x 与之对应。
在数学上，逆映射通常用 f^-1(y) 来表示。
现在我们来谈谈逆映射存在定理。
逆映射存在定理是微分学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，存在一个函数的逆映射。
具体来说，如果一个函数 f(x) 在某个区间上是连续的、可微的，并且其导数不为零，那么在这个区间上，函数 f(x) 是一一映射的。
根据逆映射存在定理，我们可以得出结论：在这个区间上，函数 f(x) 存在逆映射f^-1(y)。
2. 隐函数存在定理接下来，我们来讨论隐函数存在定理。
隐函数存在定理是微分学中的另一个重要定理，它用来证明一个方程定义了一个隐函数。
具体来说，如果一个方程 F(x, y) = 0 在某个点 (a, b) 附近有连续的偏导数，并且满足一定的条件，那么在这个点附近，存在一个函数 y = f(x)，满足方程 F(x, f(x)) = 0，并且在这个点附近是可微的。
这个函数就是我们所说的隐函数。
综合论述通过以上的讨论，我们可以发现逆映射存在定理和隐函数存在定理有着一定的联系。
在证明隐函数存在时，我们可以利用逆映射存在定理来简化证明过程，从而更好地理解和应用这两个定理。
逆映射存在定理为我们提供了一种判断函数是否存在逆映射的方法，而隐函数存在定理则为我们提供了一种求解隐函数的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
隐函数存在性的探讨
摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。
本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。
本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。
关键词隐函数存在性
一、引言
应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。
通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。
那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。
二、拐点法证明隐函数的存在性
(一)分析在定理中的作用。
回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。
而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。
而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。
那么就可满足要求。
此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。
(二)单调性分析及证明。
在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。
证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。
不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。
根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。
假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。
又因为,所以。
即在上都有。
所以在上单调递增。
故有,。
问题得证。
问题转化为:如何验证点为函数的拐点?
三、拐点的判定
(一)判定方法一:定义法。
拐点是凸函数和凹函数的分界点,只要证得在点的两端分别满足凸函数(凹函数).函数在点的某个邻域上就具有单调性即符合隐函数证明的要求。
(二)判定方法二:定理6.13等价法。
华东师范大学数学系。
数学分析。
四、实际应用
例:方程能否在原点的某邻域内确定隐函数。
解:设,由于及其偏导数都在原点邻域内连续,,但,所以由隐函数存在唯一性定理不能确定在原点邻域内是否存在隐函数.对关于求二次导,有。
无论在区间还是区间上,。
所以点不是拐点。
即方程不能在原点的某邻域内确定隐函数。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]袁长迎.掌握和精通Mathcad 2000[M].北京:机械工业出版社,2001.
[3]韩明,王家宝,李林.数学实验[M].上海:同济大学出版社,2009.
[4]安徽,李雅烽.关于隐函数存在定理的教学[J].济南教育学院报,2001:65-67.。