隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
高等数学课件24隐函数
隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求 曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数 等值线：满足F(x,y)=c的曲线 几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程 法适用于求解含有参 数或参数的函数，如 圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过 程中，需要注意参数 的取值范围，避免出 现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法 反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数 反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数 反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数 隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分 隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值 隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、 电磁学等
工程问题：如结构力学、流体 力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。
数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数
第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ； 也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知 方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。
隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1几何解释考虑一个平面上的曲线，它可以由一个方程表示，即\[F(x,y)=0\]其中，\(F\)是一个多元函数。
我们的目标是将\(y\)表示为\(x\)的函数，即找到一个函数\(y=f(x)\)，使得方程为\(F(x,f(x))=0\)。
为了更具体地解释隐函数存在定理，我们引入一些几何概念。
对于一个点\((a,b)\)在曲线上，从该点出发可以画一条切线，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
当且仅当曲线不存在垂直于x轴的切线时，我们说曲线在该点处存在水平切线。
现在考虑一个具体的方程\(F(x,y)=0\)，并且我们已经找到了一个点\((a,b)\)在曲线上。
如果曲线在该点处存在水平切线，那么意味着曲线在该点的斜率等于零。
现在的问题是，是否存在一个函数\(y=f(x)\)，其曲线与\(F(x,y)=0\)的曲线相切于\((a,b)\)。
换句话说，我们是否可以找到一个函数\(y=f(x)\)，它满足\(F(x,f(x))=0\)和\(f(a)=b\)。
隐函数存在定理就回答了这个问题。
该定理的条件是，\(F\) 在点\((a, b)\) 处是可微的（即导数存在）且 \(F_y(a, b) \neq 0\)。
这意味着曲线在点 \((a, b)\) 处不存在垂直于 x 轴的切线，也就是存在水平切线。
隐函数存在定理指出，在这样的条件下，存在一个可微的函数\(y = f(x)\)，满足 \(F(x, f(x)) = 0\) 和 \(f(a) = b\)。
换句话说，我们可以通过隐函数找到曲线上每个点的切线，从而几何上解释了隐函数存在定理。
在几何上，隐函数存在定理可以理解为，对于曲线上的任意一点，都存在一个水平切线，并且这个切线可以用一个函数来表示。
隐函数存在定理提供了一种方法，通过求导来求解这个函数。
总结起来，隐函数存在定理的几何解释在于，对于满足一定条件的方程，我们可以找到一个函数，使得曲线上的每一点都有对应的切线。
§16.1隐函数存在定理
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
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§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
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§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
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§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
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§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
隐函数存在定理3
隐函数存在定理隐函数存在定理是微分学中的一个重要定理，用于判断一个方程是否存在隐函数。
隐函数存在定理有好几个版本，其中隐函数存在定理3是对多元函数的一个扩展。
该定理在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
函数的定义在介绍隐函数存在定理3之前，我们首先来了解一下函数的基本概念。
在数学中，函数可以简单地理解为对于给定的输入，给出一个唯一的输出。
函数可以用公式、图表或者描述性的文字来表示。
以y = f(x)为例，y表示函数的输出，x表示函数的输入，f表示函数的定义域和值域之间的对应关系。
函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
隐函数则是一种特殊的函数，其定义形式为F(x, y) = 0。
与显式函数不同，隐函数无法通过直接解出y来表示。
例如，对于方程x2+y2-1=0来说，我们无法直接解出y作为x的函数。
因此，我们需要通过隐函数存在定理来判断方程是否存在隐函数，并进一步求解该隐函数。
隐函数存在定理3隐函数存在定理3是对多元函数隐函数存在定理的一个扩展。
它给出了判断一个方程组是否存在隐函数的条件，以及如何求解这个隐函数。
具体而言，隐函数存在定理3可以表述为以下几点：1.假设有一个方程组G(x, y) = 0，其中G是从定义域D到值域R上的函数。
我们需要找到一对点(x0, y0)使得G(x0, y0) = 0，并且在该点的某个领域内，函数G满足一定的可微分条件（偏导数连续）。
这样的点(x0, y0)称为方程组的一个解。
2.假设方程组G(x, y) = 0满足某个可微分条件，函数G的偏导数连续，并且在(x0, y0)附近的一个矩形区域内满足Gx(x, y)≠ 0。
这意味着在该区域内，方程组可以被表示为y = f(x)，其中f是一个函数。
3.如果上述条件满足，并且方程组G(x, y) = 0的任意两条曲线都不相交，那么在(x0, y0)附近存在一个函数f(x)，满足方程组G(x, f(x)) = 0。
可确定隐函数的条件
隐函数存在定理几何解释首先理解关于F(x,y)关于x的偏导数的几何意义：如下图所示：F(x,y)关于X的偏导数的空间几何意义: 首先将F(x,y)中的y固定为一点，通过该点，做平行于XoZ的平面（命名为A），A与空间曲面的交线是一条曲线，自变量是X，因变量是z; F(x,y)对X的偏导数的几何意义就是在一个确定的y上，Z随X的瞬间变化率；（即P点随着平面与曲面相交所形成的曲线向上或向下移动，y值不变，x值会变）然后再来看一下F(x,y)关于Y的偏导数的几何意义；如下图所示：同样和关于X的偏导数一样的操作，使用平行于yOX 的平面去截取空间曲面，会得到一条自变量是Y，因变量是z的曲线，故F(x,y)关于y的偏导数的几何意义是固定一个x 后，z随y的瞬时变化率；（即P点随着平面与曲面相交所形成的曲线向上或向下移动，x值不变，y值会变）首先z = F(x,y)描述的是一个空间曲面，则F(x,y) = 0 描述的是无论x 与y取任何值，z值都为0，因为F(x,y) = 0时，所以导致x与y之间存在某种对应关系y=f(x)，即F(x,f(x))=0，该F(x,f(x))=0函数相当于用平行于XOY平面与z = F(x,y)空间曲面形成的曲线；如下图所示：相当于三维的图形压扁到二维平面里，对于函数 f(x,y)=x^2y-1 与方程 x^2y-1=0 如下图所示：该曲面在点P（蓝色点）处满足 F(x_0，y_0) = 0 ，且该点的关于y的偏导数不等于零(即：在空间曲面的p点的关于y的偏导数不等于零，而不是平行于平面XOY的，高度为0的平面，截取空间曲面形成一个平面图形P点关于y的偏导数不等于零)如果P点关于y的偏导等于零，意味随着y值的变化z值不变化，意味着F(x,y)是一个类似长方形或者是圆柱形这种平顶的三维图形，当y变化时，z值也不变化，才导致关于y的偏导数为零，如下图所示为曲平面上的一个点与平面XOY相切，表示在空间曲面和平面XOY 相交形成的曲线方向上，p点的切线（上图红色的箭头）与Y轴平行，这样使得一个x对应了多个y,不符合函数的定义，也就是不能确定隐函数的存在，如下图所示：严格数学证明引例： x^2+y^2+1=0 是否存在隐函数？因为 x^2+y^2+1≥0所以： y=-\sqrt{-1-x^2}、y=\sqrt{-1-x^2}不成立,因为无解，无解则没有隐函数；对于 x^2+y^2-1=0 ，如下图所示；在A邻域范围内一个X对应唯一一个Y（因为Y的范围和X的范围已经固定了），而在C邻域内，一个X可以对应两个Y，所以在C 邻域范围不存在隐函数；隐函数存在定理是需要在某一邻域范围下面给出隐函数存在条件和证明定理：若函数 F(x,y) 满足①：在 (x_0,y_0) 某一邻域内 F_{y}、F_{x} 连续；②： F(x_0,y_0)=0③： F_y(x_0,y_0)≠0则有：(1).在点(x_0,y_0) 某一邻域内方程F(x,y)确定一个隐函数 y=f(x) 即： F(x,f(x))=0 即： x∈(x_0-α，x_0+α) 时，存在 y_0=f(x_0)(2).函数 F(x,y) 在 U(x_0) 邻域内连续(3).函数 F(x,y) 在 U(x_0) 邻域内有连续导数，且 {dy \over dx}=-{F^{’}_x\over F^{’}_y} 成立根据定理： F(x_0,y_0)=0 ，表示多元函数可以用y表示出来，例如： x^2-xy-1=0 可以表示为： y={{x^2-1}\over x} ，还要证明对于不同的x有唯一的y与之对应才能称为函数隐函数存在与唯一性证明由上图所示，在 P_0(x_0,y_0) 点由条件 F_y(x_0,y_0)≠0 ，不妨设 F_y(x_0,y_0)>0 ，又因为 F_y 在 P_0(x_0,y_0) 邻域内连续，根据极限的局部保号性，故不妨设在此领域中 F_y(x,y)>0 ，可知三维曲面图形曲面与XOY平面随着Y值的增加z值而增加，随着Y值减小而Z值减小；所以函数 F(x,y) 关于Y严格递增；在 P_0(x_0,y_0) 点为 z=F(x,y) 与平面XOY平面的交点，做平行于XOZ 平面与z=F(x,y)相交得到粉红色的曲线，这样可以观察X不变Y在变时Z的值的变化，因为根据条件： F(x_0,y_0)=0 ，并且 F_y(x_0,y_0)>0 所以存在η>0使得： F(x_0,y_0-η)<0,F(x_0,y_0+η)>0 函数值成立（注意： F(x_0,y_0-η) 不是 F_y(x_0,y_0-η)<0 ）因为在P_0(x_0,y_0) 点 F_{y}、F_{x} 连续，所以 F(x_0,y_0±η)在x轴方向上连续因为在定点 x_0 处对于固定的y存在： F(x_0,y_0-η)<0,F(x_0,y_0+η)>0根据连续函数的局部保号性： \exists δ_1>0,\forall x∈(x_0-δ_1,x_0+δ_1),F(x,y_0-η)<0\\ \exists δ_2>0,\forall x∈(x_0-δ_2,x_0+δ_2),F(x,y_0+η)>0\\连续函数的局部保号性：对于连续函数f(x)，若f(a)>0(或f(a)<0),则存在δ>0,使得当x∈(a-δ,,a+δ)时，f(x)>0(或f(x)<0)取：δ=min\{δ_1,δ_2\}则： \exists δ>0,\forall x∈(x_0-δ,x_0+δ),F(x,y_0+η)<0,F(x,y_0+η)>0即在： F(x_0-δ,y_0+η)<0,F(x_0+δ,y_0+η)>0总能找到使得： F(x,y)=0任取： \overline {x}∈(x_0-δ,x_0+δ) 则： F(\overline x,y_0+η)<0,F(\overline x,y_0+η)>0因为： F_y(x,y)>0 ，函数在y轴方向上连续递增，根据零点定理，存在唯一的\overline y∈(y_0-η,y_0+η) 使得 F(\overline x,\overline y)=0上述论证可以表述为：在 (x_0-δ，x_0+δ)\times (y_0-η,y_0+η) 邻域内任取一个X总能根据某种对应关系 y=f(x) 找到一个Y，使得方程F(x,y)=0可以表示成： F(x,f(x))=0如上图所示：该证明所表达的是：在条件满足的情况下能在找到XOY 平面与曲面 z=F(x,y) 相交的所形成的曲线 y=f(x) （黄色曲线）这条曲线可以表示成y=f(x)的形式隐函数 y=f(x) 连续性证明\forall \overline {x}∈(x_0-δ,x_0+δ)，\exists F(\overlinex,f(\overline x))=0\forall ε>0：F(\overline x,f(\overline x)-ε)<0,F(\overlinex,f(\overline x)+ε)>0根据连续函数的局部保号性：∵\exists δ>0,\forall x∈(\overline x-δ,\overline x+δ)∴F(x,\overline y-ε)<0，F(x,\overline y+ε)>0∴\exists y 使得：F(x,y)=0，也就是说 x 根据某种对应规则 y=f(x)可以找唯一的 y 与之对应，记作 y=f(x) ，使得 F(x,f(x))=0又因为： \forall x∈(\overline x-δ_2,\overline x+δ_2) ，并且 F_y(x,y)>0 关于 y 上单调递增，相应的 y=f(x) 函数值满足 \overline y-ε<f(x)<\overline y+ε即 |f(x)-\overline y|=|f(x)-f(\overline x)|<ε所以：y=f(x) 在 x∈(\overline x-δ,\overline x+δ) 连续隐函数可微性•几何解释如下图所示：\theta_1}{tan{\theta_2}}=-\frac{\frac{d_z}{F’_y}}{\frac{d_z}{F’_x}}=-\frac{F’_x}{F’_y}•数学解释dx}=-{F^{’}_x\over F^{’}_y}。
隐函数存在定理概要
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
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隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分学中的一个重要定理，它告诉我们，如果给定一组方程，其中至少有一个方程无法表示成 y=f(x) 的形式，但是这组方程在一定条件下仍然能够确定一个函数 y=f(x)，那么这
个函数就是隐函数存在的。
这个定理在数学上有着重要的应用，但是它的几何解释也非常有趣。
我们可以将隐函数存在定理的几何解释简单地描述为以下三步：
1. 给定一个曲面 S，它的方程可以用 f(x,y,z)=0 来表示。
2. 假设我们想要在曲面 S 上找到一个函数 z=f(x,y)。
3. 如果在曲面 S 上每个点 (x,y,z) 的某个邻域内，存在唯一
的 z=f(x,y) 与 f(x,y,z)=0 同时成立，那么 z=f(x,y) 就是隐函数存在的。
这个几何解释告诉我们，如果一个曲面在某些点上不是 y=f(x) 的形式，但是在这些点的某个邻域内，曲面上的每个点都可以用
y=f(x) 的形式表示，那么这个曲面就存在一个隐函数 y=f(x)。
这个隐函数与曲面的几何形状密切相关，它可以帮助我们理解曲面的特征。
隐函数存在定理的几何解释提供了一种直观、有趣的方法来理解这个重要的数学定理。
它让我们看到了数学与几何之间的紧密联系，同时也让我们认识到了数学的实用性。
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