隐函数存在定理
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8-5隐函数存在定理与隐函数微分法
F (0,1) 0,
2
Fy (0,1) 2 0,
2
依定理知方程 x y 1 0 在点 (0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数 y y( x )，且 y(0) 1。
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则
dy Fx x , dx Fy y
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
y y 1 f1 ( 1) f 2 ( xy xz ), z z
整理得
y 1 f1 xyf 2 . f1 xzf 2 z
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z f ( x y z , xyz )
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dy d2y 例2： 已知 sin y e x x y 1 0 , 求 , 2 。 dx x 0 dx x 0
解1： 用公式 由条件易知 x 0 时 , y 0
设
F ( x , y ) sin y e x x y 1 ,
第五节 隐函数存在定理与 隐函数微分法
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
第八章
机动
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
解2 方程的两边同时求微分，x、y、z 看 成相互独立的变量 dz f1 (dx dy dz) f 2 ( yzdx xzdy f 2 dz dx dy, 1 f1 xyf 2 1 f1 xyf 2 f1 xzf 2 1 f1 xyf 2 dx dy dz, f1 yzf 2 f1 yzf 2 1 f1 xyf 2 f1 yzf 2 dy dz dx. f1 xzf 2 f1 xzf 2
2
Fy (0,1) 2 0,
2
依定理知方程 x y 1 0 在点 (0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数 y y( x )，且 y(0) 1。
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则
dy Fx x , dx Fy y
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
y y 1 f1 ( 1) f 2 ( xy xz ), z z
整理得
y 1 f1 xyf 2 . f1 xzf 2 z
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z f ( x y z , xyz )
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dy d2y 例2： 已知 sin y e x x y 1 0 , 求 , 2 。 dx x 0 dx x 0
解1： 用公式 由条件易知 x 0 时 , y 0
设
F ( x , y ) sin y e x x y 1 ,
第五节 隐函数存在定理与 隐函数微分法
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
第八章
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
解2 方程的两边同时求微分，x、y、z 看 成相互独立的变量 dz f1 (dx dy dz) f 2 ( yzdx xzdy f 2 dz dx dy, 1 f1 xyf 2 1 f1 xyf 2 f1 xzf 2 1 f1 xyf 2 dx dy dz, f1 yzf 2 f1 yzf 2 1 f1 xyf 2 f1 yzf 2 dy dz dx. f1 xzf 2 f1 xzf 2
第16章隐函数存在定理
第十六章
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
6-8 隐函数存在定理概要
的z f ( x, y), 满足z0 f ( x0 , y0 )，F ( x, y, f ( x, y)) 0 z Fy Fx z 且 x F y Fz z
注意：定理1可推广到n个自变量的情况： 由F ( x1 , , xn , y ) 0确定的隐函数y f ( x1 , x2 , xn ) 满足条件时，有
Fxk y x k F y
例4
z z 已知 x y z 4z 0, 求 2 、 x x y
2
2
2
2
2
解一：利用定理2 解 令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4z 则
Fx 2 x,
Fy 2 y ,
Fz 2z 4
x y z 1
2 2 2
可解出
或
z 1 x2 y2 z 1 x2 y2
隐函数
隐函数存在定理1
设F ( x , y )在点P ( x0 , y0 )的某邻域内满足： F F 1. , 连续 x y
2.F ( x0 , y0 ) 0 但Fy( x0 , y0 ) 0. 则F ( x , y ) 0 在某邻域内 唯一确定一个 具有连续导数
Fx Gx u 1 (F , G ) Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F , G ) Gu G x x J (u, x )
Fy u 1 (F , G ) Gy y J ( y, v ) Fu v 1 (F , G ) Gu y J (u, y ) Fv Gv Fy Gy
的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )，F ( x, f ( x )) 0
§16.1隐函数存在定理
2 2
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
隐函数存在定理概要
Fy ( x0 , y0 ) 0 则它是单调减少的),再由曲面是连续的,从而 在交点 ( x0 , y0 ,0) 的附近曲面也是单调的.
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
隐函数存在定理
O
x0
x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
(a) 把上述 y f ( x ) 看作曲面 z F ( x , y ) 与坐标
平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即
P0 ( x0 , y0 )，满足 F ( x0 , y0 ) 0 , y0 f ( x0 ) .
(b) 为使 y f ( x ) 在 x0 连续，故要求 F ( x , y ) 在点
－－－－
y f ( x)
x0
x0
x0
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
(c) 同号两边伸
图2 隐函数存在性与惟一性分析示意图
(a) “一点正, 一片正 ” y
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
y J 与之对应, 能使 ( x , y ) E , 且满足上方程 ,
则称由上方程 确定了一个定义在 I , 值域含于 J
的隐函数. 如果把此隐函数记为
y f ( x) , x I , y J ,
则成立恒等式
证 首先证明隐函数的存在与惟一性．
证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图2 )：
隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1指出，在一定条件下，如果一个多元函数表达式可以被表示为一个变量的函数和其他变量的常数（或者函数）的形式，且该变量在特定点的偏导数不为零，则在该点附近可以存在一个隐函数。
其几何解释可以理解为，在平面直角坐标系中，如果一个函数的图像可以被表示为一个变量（例如$x$）和其他变量（例如$y$）的方程形式，且在特定点$(x_0,y_0)$处$\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$，则在该点附近可以存在一条曲线（例如$y=g(x)$），该曲线是函数
$f(x,y)$在该点的图像在$y$方向上的切线，也就是说，函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的图像在该点附近可以表示成一个关于$x$的函数$g(x)$的形式。
标准的例子是圆的方程$x^2+y^2=r^2$，在点$(x_0,y_0)$处如果$\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$则在该点附近可以表示成一个关于$x$的函数$y=\sqrt{r^2-x^2}$或$y=-\sqrt{r^2-x^2}$的形式。
《隐函数存在定理》课件
结论二
通过证明过程，揭示了隐函数存 在定理与函数极限、连续性、可 导性等基本概念之间的内在联系 。
结论三
证明了隐函数存在定理的应用价 值，为解决与隐函数相关的问题 提供了理论支持。
03
隐函数存在定理的应用
Chapter
在微分方程中的应用
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而隐函数存在定理可以用于 证明某些微分方程的解的存在性和唯一性。
应用研究方向
分析了隐函数存在定理在解决实际问 题方面的应用前景，如优化问题、微 分方程求解等。
隐函数存在定理的研究前景
未来发展趋势
预测了隐函数存在定理未来的发展趋势，如与其他数学分支的交叉融合、新方法的出现 等。
潜在应用领域
探讨了隐函数存在定理在解决实际问题中的潜在应用领域，如人工智能、大数据分析等 。
利用多元函数的可导性，推导出 与隐函数存在定理相关的性质和 结论。
对证明过程进行总结和归纳，得 出隐函数存在定理的完整证明。
第一步 第二步 第三步 第四步
利用多元函数的极限和连续性， 推导出与隐函数存在定理相关的 性质和结论。
利用第一步和第二步的结论，证 明隐函数存在定理。
证明的结论
结论一
证明了隐函数存在定理，即对于 某一方程组，如果满足一定条件 ，则该方程组存在唯一确定的隐 函数。
THANKS
感谢观看
对定理的推广结论
推广结论包括
在满足一定条件下，隐函数存在定理 可以推广到多变量、多维度的情形。
推广结论还包括
在一定条件下，隐函数存在定理可以 推广到无穷维空间。
对定理的推广应用
推广应用包括
在微分方程、偏微分方程、积分方程等领域的应用。
推广应用还包括
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§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
§16.1
2014年5月8日星期四
华北科技学院基础部
18
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
设 x, x x I , 则 y f ( x), y y f ( x x) J .
由条件易知 F 可微，并有
F ( x , y) 0, F ( x x , y y) 0 .
类似于前面 (c) ， 0, 使得
2014年5月8日星期四
华北科技学院基础部
17
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
( x , x ) ( x0 , x0 ),
且当 x ( x , x ) 时，有
F ( x , y ) 0, F ( x , y ) 0.
0
y
D
由条件 (iii)，不妨设
y0
Fy ( x0 , y0 ) 0.
因为 Fy ( x , y ) 连续， 所以根据连续函数的 保号性， 0 , 使得
y0
+++++ P+ ++ 0++ ++ ++ +++++ +++++
x0
星星之火 可以燎原
Fy ( P0 ) 0
O
x0
等.
2、隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x , y ) 满足怎样一些
条件时，由 F(x, y) =0 能确定隐函数 y =f (x) 并使
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
2014年5月8日星期四
华北科技学院基础部
6
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
2、隐函数存在性条件分析
隐函数存在定理
3、隐函数存在定理
定理1 (隐函数存在惟一性定理) 设方程 F(x,y)=0中 的函数 F ( x , y ) 满足以下三个条件：
(i) 在区域 D : x x0 a , y y0 b上 Fx , Fy 连续; (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )；
(0,1) (-1,0)
(1,0) (0,-1)
但 在( 1,0)和(1,0)这 两 点 的 任 何 邻域内却不具有这种性 质.
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5
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程
F ( x , y , z ) 0 确定的隐函数 z f ( x , y ) , 由方程 F ( x , y , z , u) 0 确定的隐函数 u f ( x , y , z ) , 等
注3 一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点 及其某邻域有关.
例如方程 F ( x. y) x 2 y 2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
它在 0，-1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 下半圆）
2014年5月8日星期四
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15
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
ˆ ( y0 , y0 ), 满足 一的 y
就证得存在惟一的隐函数:
y f ( x ),
ˆ, y ˆ ) 0. 由 x F(x ˆ 的任意性, 这 y0
y0
y0
y
＋＋＋＋
化为显函数．上面把隐函数仍记为 y f ( x )，这 与它能否用显函数表示无关． 注2 不是任一方程 F ( x , y) 0 都能确定隐函数,
例如 x 2 y 2 1 0 显然不能确定任何隐函数．
2014年5月8日星期四
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4
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
y Fx ( x , y ) / Fy ( x , y ).
证 首先证明隐函数的存在与惟一性．
证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图2 )：
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11
《数学分析》(2)
y y0
y0
§16.1
+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
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7
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
曲面 z F ( x, y) 在 p0点有切平面且切平面的法线不平行于 z 轴（即切平面不是 xoy 平面）
p0 切平面的法向量为 n Fx , Fy , 1
P0
与 k 0,0,1 不共线
x0
x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
2014年5月8日星期四
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13
《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
U ( P0 )
x I ( x0 , x0 ), y J ( y0 , y0 ).
O x0 x 0 x0
(d) 利用介值性
－ － －－
y f ( x)
x
1 U ( P ) I J , 若记 则定理结论 得证． 0
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
y f ( x) y , x ( x , x ) ,
因此 f ( x ) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上处处连续．
最后再来证明 y = f (x) 可微性:
y
+ ＋
＋ ＋
件 F ( x0 , y0 ) 0 可知
F ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0.
2014年5月8日星期四
y0
O x0
_0
y0
_ _ _
x0 x0 x
(b) 正、负上下分
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《数学分析》(2)
它满足：
f ( x0 ) y0 , 且当 x ( x0 , x0 ) 时, 使得
( x , f ( x )) U ( P0 ) , F ( x , f ( x )) 0;
(ii) f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上连续． (iii) y f ( x))在 ( x0 , x0 ) 内有连续导数，且
(iii) Fy ( x0 , y0 ) 0. 则有如下结论成立： (i) 存在某邻域 U ( P0 ) D ，在 U ( P0 ) 内由方程 F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数
2014年5月8日星期四
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
y f ( x ), x ( x0 , x0 ),
＋＋＋＋ .
y0 y y y0 , 其中 y f ( x ).