隐函数定理及其应用.
分析方法第十八章隐函数定理及其应用
分析方法第十八章隐函数定理及其应用隐函数定理是微积分中的一个重要工具，用于研究隐含在方程中的函数的性质。
它的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生态等领域的多个问题。
本文将对隐函数定理进行分析，并探讨其在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解什么是隐函数定理。
隐函数定理是微积分中的一个重要定理，用于研究隐含在方程中的函数的性质。
具体而言，隐函数定理指出，如果一个方程组满足一定条件，那么在该方程组的一些解附近，可以找到一个连续可微的函数来表示其中一个变量，而其他变量可以表示为该函数的函数。
简单来说，通过隐函数定理，我们可以找到一个表达式来表示方程中的其中一变量，而不需要对其他变量进行明确的表达。
隐函数定理的应用非常广泛。
在物理学中，隐函数定理常常用于研究物体的运动轨迹以及力学系统的动力学方程。
例如，当我们考虑一个物体在空气中自由下落的过程时，我们可以建立一个方程组来描述空气摩擦对物体的影响。
通过隐函数定理，我们可以得到物体下落的具体函数表达式，进而研究其速度、加速度等参数的变化规律。
在经济学中，隐函数定理常用于分析供需关系、市场均衡等经济问题。
例如，当我们考虑一个市场中商品供需的关系时，我们可以建立一个供需方程组来描述供给量与需求量的关系。
通过隐函数定理，我们可以找到一个函数来表示市场价格与供给量和需求量之间的关系，从而分析价格的变化对供需的影响。
在生态学中，隐函数定理被应用于研究物种之间的相互作用。
例如，当我们考虑一个食物链系统中物种数量的变化时，我们可以建立一个方程组来描述物种之间的捕食关系。
通过隐函数定理，我们可以找到一个函数来表示物种数量与时间的关系，进而研究物种的数量变化趋势以及物种之间相互作用的影响。
总而言之，隐函数定理是微积分中重要的工具，广泛应用于实际问题的分析中。
通过该定理，我们可以建立方程组，从中找到隐含的函数表示方式，并利用这些函数表达式来研究各种实际问题。
无论是物理、经济还是生态领域，隐函数定理都扮演着重要的角色，帮助我们深入了解和解决各种复杂的问题。
《隐函数定理及应用》课件
对隐函数定理应用的反思与展望
在应用隐函数定理的过程中，我发现理论与实践相结合是非常重要的。通过解决实际问题，我能够更好地理解和掌握隐函数 定理的应用技巧和方法。同时，我也意识到在应用过程中需要注意一些细节问题，如初始条件的设定、参数的取值范围等， 以确保结果的准确性和可靠性。
展望未来，我认为隐函数定理还有很大的应用潜力。随着科学技术的发展，越来越多的领域需要用到隐函数定理来解决实际 问题。因此，我希望能够进一步深入研究隐函数定理的原理和应用技巧，为未来的科学研究和技术创新做出更大的贡献。同 时，我也希望能够将隐函数定理应用到更多的领域中，为解决实际问题提供更加有效的方法和工具。
隐函数定理的数学表达
如果一个方程组满足一定条件，则存在一个 唯一的隐函数，使得方程组的解满足该隐函 数的性质。
隐函数定理的重要性
数学分析的基础
隐函数定理是数学分析中的基础 定理之一，对于研究函数的性质 、极限、连续性等方面具有重要 意义。
应用广泛
隐函数定理在经济学、物理学、 工程学等领域都有广泛的应用， 例如在研究经济均衡、物理场论 、电路分析等方面都需要用到隐 函数定理。
详细描述
在计算某些复杂图形的面积时，有时候需要 将图形转化为更容易处理的形状。利用隐函 数定理，可以证明这种转化是可行的，并且 能够准确地计算出图形的面积。例如，在计 算某些曲线围成的区域的面积时，可以利用 隐函数定理将问题转化为求极坐标系下面积
的问题，从而简化计算过程。
04
隐函数定理的推广与展 望
际问题，提高工程设计的可靠性和安全性。
05
总结与思考
对隐函数定理的理解与思考
隐函数定理是微分学中的重要定理之一，它揭示了函数之间的关系和变化规律。通过学习隐函数定理 ，我深入理解了函数的可微性和连续性的关系，以及如何利用导数研究函数的性质。
第十八章隐函数定理及其应用共92页
§8-5 隐函数的 微分法
每与一一个元方函程数都的能情形类x2似，y2多1元函0
也有隐函数。确定一个隐函数吗？
如果在方程式 F(x,y,z)0中， (x此,y外) ， 隐 函R数2时不，一相定应都地能总显有化满。足 该方程的唯一的 z 值存在 , 则称该方 程在 内确定隐函数 zf(x, y)。
dGz dz dxz d x
G x0
当 (F,G) 0 时，方程组有唯一解：
(y, z)
dy
dx
(F ,G) (x, z)
(F ,G) ( y, z)
dz
dx
(F ,G) ( y, x)
(F ,G) ( y, z)
这样我们实际上已找到了求方程组确 定的隐函数的偏导数的公式(之一)。
F F
二、由一个方程确定
的隐函数的求导法
定理 2 (隐函数存在定理)
设 1. F (x ,y ,z) C 1 (U x 0 ,y 0 (,z0 );)
2. F(x0,y0,z0)0;
3. F z(x0,y0,z0)0,
则方程 F(x,y,z)0在 U(x(0, y0))内唯一 确定一个函数 zf(x,y) C 1(U x0,y (0)) 且 z0f(x0,y0),F(x,y,f(x,y))0。
xn
Fn x1
F n
Fn
x2
xn
当所出现的函数均有一阶连续偏导数 时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1. (u1,u2,,un)(x1,x2,,xn)1. (x1,x2,,xn)(u1,u2,,un)
2. (u1,u2,,un) (t1,t2, ,tn) (u1,u2,,un) (x1,x2,,xn). (x1,x2,,xn) (t1,t2,,tn)
第十八章 隐函数定理及其应用
∂z f ′ + yz ⋅ f2′ = 1 ∂x 1 − f1′ − xy ⋅ f 2′
x3 + y 3 + z 3 = 3 xyz
x ， 所确定的隐函数，求 u ′ ． x 解：在方程两端对 求导，其中视 z 为 x, y 的函数，
′ 3 x 2 + 3 z 2 ⋅ z′ x = 3 yz + 3 xy ⋅ z x ，
z′ x =
由此得
x 2 − yz xy − z 2 ．
⎞ ⎟ ⎠．
− a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
a − y2
2
，
d2 y = d x2 从而
− a2 − y2 ⋅
dy y2 dy + ⋅ 2 2 dx a − y dx a2 y = a2 − y2 (a 2 − y 2 )2
- 2 -
∂z ∂z (5) x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 = 0 ，求 ∂x ， ∂y ； 2 2 2 解：设 F ( x, y, z) = x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 ，则
=
y a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
−ay 2 − a 2 a 2 − y 2 − a (a 2 − y 2 ) + ay 2 + y 2 a 2 − y 2
分析方法 第十八章 隐函数定理及其应用
2)F ( x0 , y0 ) 0; 3)Fy ( x0 , y0 ) 0,
则在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内方程F ( x, y) 0确定唯一一个有连续导 数的隐函数
y f ( x),且f ( x) Fx ( x, y) . Fy ( x, y)
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
既有恒等式组
成立, 则该方程组确定了定义 在D上的一组隐函数 , 分别表示为 u f ( x, y), v g ( x, y)
F ( x, y, f ( x, y), g ( x, y)) 0 , G( x, y, f ( x, y), g ( x, y)) 0
于是在原点的某邻域内 方程F ( x, y) 0确定了唯一一个有连续 导数的隐函数 y f ( x),
且 f ( x)
Fx 1 2 . Fy 1 1 cos y 2 cos y 2 例2 讨论笛卡尔叶形线 x3 y3 3axy 0所确定的隐函数 y f ( x)的一阶与二阶导数 .
4 1)在以P ( x , y , u , v ) 为内点的区域 V R 内具有一阶连续偏导； 0 0 0 0 0
2) F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0, G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0(称为初始条件 )；
( F , G) 3) J 0. (u , v ) P0
第十八章 隐函数定理及其应用
一 隐函数概念 以前我们学习的函数都 是用一个解析表达式给 出的, 如
§1一个方程所确定的隐函数
y 2x3 3x sin 2 x e x , z 3x 2 y 5e xy 6 sin xy 1.
隐函数定理及其应用
第18章 隐函数定理及其应用第1节 隐函数求导法在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy eu x y xyz++=+=这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。
这种形式的函数称为隐函数。
本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法以及由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。
一 一个方程0),,(=z y x F 的情形在《数学分析》上册，第六章 导数与微分（第三节 高阶导数和其它求导法则P149）——曾对形如0),(=y x F 的方程,认定是x y 是的函数,介绍过隐函数求导法）。
不过,那里只是对具体方程未求的.利用偏函数符号, 我们可以得出一般的结果。
根据复合函数求导法则, 在),(y x F 两边对x 求导, 得到：yX y Y X F F y F y F F -=≠⇒=⋅+''00时，当方程中的变量多于2个时, 例如, 设方程0),,(=z y x F 确定了y x z 和是的函数, 并且?,yz xz y x z ∂∂∂∂前，如何求的偏导数都存在，在此，关于对0),,(=z y x F 求导，利用链式法则：，关于y x0(0);0(0)z z FFF F z zF F z z y xF F F F xz xxxz yyzz∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=⇒=-≠+=⇒=-≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂说明：（1） 求yz xz ∂∂∂∂,需要假定,0)(≠∂∂z F zF ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”；（3） 对0),,(=z y x F 求导，只在假定y x z 和是的函数的情况下，求导数，如何确定),(y x z z =。
隐函数定理及其应
3. Fz(x0 , y0 , z0 ) 0 ,
则方程 F(x, y, z) 0 在 U(( x0 , y0 ))内唯一 确定一个函数 z f (x, y) C1(U( x0 , y0 )) 且 z0 f (x0 , y0 ) , F(x, y, f (x, y)) 0。
想一想，怎么做 ？
GxGy ddxyGyddxyGz
dGz dxz
dz dx
G x0
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当 (F,G) 0 时，方程组有唯一解：
(y, z)
dy
dx
(F,G) (x, z) (F,G) (y, z)
dz
dx
(F,G) (y, x) (F,G) (y, z)
这样我们实际上已找到了求方程组确 定的隐函数的偏导数的公式(之一)。
Y0 (1( X 0 ),,m ( X 0 )) 。
26
一 问题的提出
定义 由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题1:隐函数是否可导?
问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
2021/9/10
F y 2x ln 2 x
F x 2y ln 2 y
故
F
dy dx
x F
y 2x ln 2 x 2y ln 2
y ( x 2y ln 2 0 )
8
二、由一个方程确定
的隐函数的求导法
9
定理 2 (隐函数存在定理)
设 1. F (x, y, z) C1(U( x0 , y0 , z0 )) ;
( x 3)(x 4)
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。
隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。
几何应用。
条件极值与拉格朗日乘数法。
教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。
2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。
3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。
4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。
教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。
教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。
二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。
要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。
强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。
这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。
这说明拉格朗日乘数法的优越性。
§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍 （1） 隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号 （P144）2. 隐函数的两个基本问题（1） 隐函数的存在性; （2） 隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。
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S F 01（数）Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时P 231 — 2362002. 09.20 .231Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 )§ 1 隐函数 ( 2 时 )一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二. 隐函数存在条件的直观意义:三. 隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域 (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 )四. 隐函数可微性定理:Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且232),(),()(y x F y x F x f y x -='. ( 证 )例1 验证方程0sin 21),(=--=y x y y x F 在点) 0 , 0 (满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . [1]P 194 E1例2 2221x y z -=. 其中)(x f y =为由方程0333=-+axy y x 所确定的隐函数 . 求dxdz. [1]P 195 E2 ( 仿 )例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有连续的导函数)(x f ', 且00)(y x f =, 0)(0≠'x f . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. [1]P 196 E4五. n 元隐函数: [1]P 194 Th3例40),,(323=-++=z y x xyz z y x F . 验证在点) 0 , 0 , 0 (存在z 是),(y x的隐函数 , 并求偏导数 . [1]P 196 E3Ex [1]P 19７ １，２，３⑴—⑶，４，５．（４和５题只求一阶偏导数 ）§ ２ 隐函数组 ( 2 时 )一． 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组⎩⎨⎧=++++=++++. 0 , 02222211111e y d x c v b u a e y d x c v b u a入手介绍隐函数组 ，一般形式为 ⎩⎨⎧==.0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F *)二. 隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出 u 和v 的条件入手 , 对方程组*)在一定条件下拟233线性化 , 分析可解出u 和v 的条件 , 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理 ) [1]P 199 Th 4.关于Jacobi .例1 [1]P 200 E 1.三. 反函数组和坐标变换:1. 反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理 ) [1]P 202 Th 52. 坐标变换: 两个重要的坐标变换. 例2 , 3 [1]P 203—204 E 2 , 3 .Ex [1]P 205 1，2，3，5⑵.§ 3几何应用 ( 1 时 )一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为0),(=y x F . 有yxF F x f -=')(. 切线方程为 ),(00y x F x +-)(0x x ),(00y x F y 0)(0=-y y , 法线方程为 ),(00y x F y --)(0x x ),(00y x F x 0)(0=-y y .例1 求Descartes 叶形线 09)(233=-+xy y x 在点) 1 , 2 (处的切线和法线 . [1]P 207 E 1.二. 空间曲线的切线与法平面 :1.曲线由参数式给出 : βαχ≤≤===t t z z t y y t x L, )( , )( , )( : .234切线的方向数与方向余弦. 切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x '-='-='-χ. 法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t χ.2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==. 0),,(, 0),,(z y x G z y x F 点),,(0000z y x P 在L 上. 推导切线公式. [1]P 209.切线方程为),(),(),(),(),(),(000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-.法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F P P P .例2 [1]P 210 E2 .三. 曲面的切平面与法线 :设曲面∑的方程为0),,(=z y x F , 点),,(0000z y x P 在∑上. 推导切面公式. [1]P 211. 切平面方程为 0))(())(())((000000=-+-+-z z P F y y P F x x P F z y x . 法定义域线方程为)()()(000000P F z z P F y y P F x x z y x -=-=-. 例3 [1]P 211 E3 .Ex [1]P 212 1—6 .§ 3条件极值 ( 1 时 )一.条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的235表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件 的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的 极限点 , 有0)(='+=x g f f dxdzy x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—yf x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ,使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.236亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ二. Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四. 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . [1]P 216 E1例2 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . [1]P 217 E2例3 求函数xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值 . 并证明不等式 311113a b c c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 . [1]P 218 E3Ex [1]P 220 1⑴⑶， 2，3 .。