数学分析18隐函数定理及其应用总练习题
第十八章 隐函数定理及其应用
∂z f ′ + yz ⋅ f2′ = 1 ∂x 1 − f1′ − xy ⋅ f 2′
x3 + y 3 + z 3 = 3 xyz
x ， 所确定的隐函数，求 u ′ ． x 解：在方程两端对 求导，其中视 z 为 x, y 的函数，
′ 3 x 2 + 3 z 2 ⋅ z′ x = 3 yz + 3 xy ⋅ z x ，
z′ x =
由此得
x 2 − yz xy − z 2 ．
⎞ ⎟ ⎠．
− a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
a − y2
2
，
d2 y = d x2 从而
− a2 − y2 ⋅
dy y2 dy + ⋅ 2 2 dx a − y dx a2 y = a2 − y2 (a 2 − y 2 )2
- 2 -
∂z ∂z (5) x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 = 0 ，求 ∂x ， ∂y ； 2 2 2 解：设 F ( x, y, z) = x + y + z − 2x + 2 y − 4z − 5 ，则
=
y a 2 − y 2 (a + a 2 − y 2 )
−ay 2 − a 2 a 2 − y 2 − a (a 2 − y 2 ) + ay 2 + y 2 a 2 − y 2
微积分隐函数练习题
微积分隐函数练习题微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的变化规律。
而隐函数则是微积分中的一个重要概念，它描述的是一种依赖于多个变量的函数关系。
在学习微积分的过程中，练习隐函数问题是必不可少的。
本文将通过一些隐函数练习题，帮助读者更好地理解微积分中的隐函数概念及其应用。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数方程：$x^2 + y^2 = 1$。
这个方程描述了一个单位圆的边界。
我们可以通过这个方程来求解关于 $y$ 的隐函数。
为了求解隐函数，我们需要将方程转化为关于 $y$ 的形式。
对于这个例子，我们可以将方程改写为 $y = \sqrt{1 - x^2}$。
这样，我们就得到了一个关于$y$ 的隐函数。
接下来，我们可以通过求导来计算这个隐函数的导数。
对于 $y = \sqrt{1 -x^2}$，我们可以使用链式法则来求导。
首先，我们令 $u = 1 - x^2$，那么 $y= \sqrt{u}$。
然后，我们对 $y$ 求导得到 $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$。
最后，我们再对 $u$ 求导得到 $\frac{du}{dx} = -2x$。
将这两个导数相乘，我们就得到了关于 $x$ 的隐函数的导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$。
通过这个例子，我们可以看到隐函数的求解过程以及求导过程。
在实际应用中，隐函数常常出现在物理学、经济学等领域的问题中。
通过求解隐函数，我们可以更好地理解和描述这些问题。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的隐函数问题。
假设有一个函数方程：$x^3 + y^3 = 6xy$。
我们需要求解关于 $y$ 的隐函数。
为了求解隐函数，我们可以尝试将方程转化为关于$y$ 的形式。
对于这个例子，我们可以将方程改写为 $y = \sqrt[3]{6xy - x^3}$。
这样，我们就得到了一个关于 $y$ 的隐函数。
Ch 18 隐函数定理及其应用
S F 01（数）Ch 18 隐函数定理及其应用计 6 时231Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 )§ 1 隐函数 ( 2 时 )一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.2.隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二. 隐函数存在条件的直观意义:三. 隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/.则在点0P 的某邻域 (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 )四. 隐函数可微性定理:Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且232),(),()(y x F y x F x f y x -='. ( 证 )例 1 验证方程0sin 21),(=--=y x y y x F 在点) 0 , 0 (满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . [1]P 194 E1 例2 2221x y z -=. 其中)(x f y =为由方程0333=-+axy y x 所确定的隐函数 . 求dxdz . [1]P 195 E2 ( 仿 )例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有连续的导函数)(x f ', 且00)(y x f =, 0)(0≠'x f . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. [1]P 196 E4五. n 元隐函数: [1]P 194 Th3例40),,(323=-++=z y x xyzz y x F . 验证在点) 0 , 0 , 0 (存在z 是),(y x的隐函数 , 并求偏导数 . [1]P 196 E3Ex [1]P 19７ １，２，３⑴—⑶，４，５．（４和５题只求一阶偏导数 ）§ ２ 隐函数组 ( 2 时 )一． 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组⎩⎨⎧=++++=++++.0 , 022********e y d x c v b u a e y d x c v b u a入手介绍隐函数组 ，一般形式为 ⎩⎨⎧==.0),,,(, 0),,,(v u y x G v u y x F *)二. 隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出 u 和v 的条件入手 , 对方程组*)在一定条件下拟233线性化 , 分析可解出u 和v 的条件 , 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理 ) [1]P 199 Th 4.关于Jacobi .例1 [1]P 200 E 1.三. 反函数组和坐标变换:1. 反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理 ) [1]P 202 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 [1]P 203—204 E 2 , 3 .Ex [1]P 205 1，2，3，5⑵.§ 3几何应用 ( 1 时 )一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为0),(=y x F . 有yx F F x f -=')(.切线方程为 ),(00y x F x +-)(0x x ),(00y x F y 0)(0=-y y , 法线方程为 ),(00y x F y --)(0x x ),(00y x F x 0)(0=-y y .例1 求Descartes 叶形线 09)(233=-+xy y x 在点) 1 , 2 (处的切线和法线 . [1]P 207 E 1.二. 空间曲线的切线与法平面 :1.曲线由参数式给出 : βαχ≤≤===t t z z t y y t x L , )( , )( , )( : .234切线的方向数与方向余弦. 切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x '-='-='-χ.法平面方程为 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t χ.2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==.0),,( , 0),,(z y x G z y x F 点),,(0000z y x P 在L 上. 推导切线公式. [1]P 209.切线方程为),(),(),(),(),(),(000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-.法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(0000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F P P P .例2 [1]P 210 E2 .三. 曲面的切平面与法线 :设曲面∑的方程为0),,(=z y x F , 点),,(0000z y x P 在∑上. 推导切面公式. [1]P 211. 切平面方程为 0))(())(())((000000=-+-+-z z P F y y P F x x P F z y x .法定义域线方程为 )()()(000000P F z z P F y y P F x x z y x -=-=-.例3 [1]P 211 E3 .Ex [1]P 212 1—6 .§ 3条件极值 ( 1 时 )一.条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的235表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件 的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的 极限点 , 有0)(='+=x g f f d xd z y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ,使(x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.236亦即 ⎩⎨⎧=+=+., 0y y x x f f λϕλϕ二. Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=,( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四. 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . [1]P 216 E1例2 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . [1]P 217 E2例3 求函数xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x下的极小值 . 并证明不等式 311113a b c c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 . [1]P 218 E3Ex [1]P 220 1⑴⑶， 2，3 .。
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
数学分析3部分习题解析(隐函数定理及其应用部分)
数学分析3部分习题解析隐函数定理及其应用部分关注的要点：第1节部分习题1、方程cos sin xyx y e +=能否在原点的某邻域内确定隐函数()y f x =或()x g y =？：【做这题和下题之前要注意一点：回顾并熟记隐函数存在及可微性定理，注意理解定理的条件的作用。
】解首先将方程变为标准方程cos sin 0xyx y e+-=，记(,)cos sin xy F x y x y e =+-，显然(,)F x y 在2R 上连续，(,)sin xy x F x y x ye =--，(,)cos xy y F x y y xe =-也在2R 上连续，且(0,0)0F =，0(0,0)sin 000x F e =--=，0(0,0)cos 0010y F e =-=≠。
所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在原点的邻域内可以确定唯一连续可微的隐函数()y f x =。
2、方程ln 1xz xy z y e ++=在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？。
解首先将方程变为标准方程ln 10xzxy z y e ++-=，记(,,)ln 1xzF x y z xy z y e =++-，显然(,)F x y 在{}(,)0x y y >（即上半平面）上连续，(,,)xzx F x y z y ze =+，(,,)y zF x y z x y=+，(,,)ln xz z F x y z y xe =+也在{}(,)0x y y >上连续，且(0,1,1)0F =，0(0,1,1)1120x F e =+=≠，(0,1,1)10y F =≠，(0,1,1)0z F =。
所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在点(0,1,1)的邻域内既可以确定唯一连续可微的隐函数(,)x x y z =，也可以确定唯一连续可微的隐函数(,)y y z x =，但不能肯定是否确定隐函数(,)z z x y =。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-隐函数定理及其应用(圣才出品)
5．设以 u，v 为新的自变量变换下列方程：
解：（1）因 所以
将
代入原方程，并化简得，
所以
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将上述
代入原方程，并化简得
即
6．设函数 u＝u（x，y）由方程组 u＝f（x，y，z，t），g（y，z，t）＝0，h（z，t） ＝0 所确定，求
解之得
3．求下列函数所确定的反函数组的偏导数：
解：（1）因
所以由反函数组定理，得
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（2）关于 x 求偏导数得
解之得
4．设函数 z＝z（x，y）是由方程组 函数，求当 u＝0，v＝0 时的 dz．
解：因
（u，v 为参量）所定义的 所以当 u＝0，v＝0 时 dz＝0．
证明：因为
所以
7．求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：
求 z 对于 x，y 的一阶与二阶偏导数；
求
解：（1）令
，则
（2）把 z 看成 x，y 的函数，两边对 x 求偏导数，得 原方程两边关于 y 求偏导数，得
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，故
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在点（1，－1，2）的附近能否确定形如 x＝f（x），y＝g（z）的隐函数组？
解：令
则
①F，G 在点（1，－1，2）的某邻域内连续；
②F（1，－1，2）＝0，G（1，－1，2）＝0；
③
均在点（1，－1，2）的邻域内连续；
故由隐函数组定理知，在点（1，－1，2）的附近所给方程组能确定形如 x＝f（z），y ＝g（z）的隐函数组．
数学分析18.1隐函数定理及应用之隐函数
第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ur2,函数F:E-r2.如果存在集合|,JuE,对任何XGI,有惟一确定的yej,使得(x,y)GE,且满足方程F(x,y)=O,则称F(x,y)=O确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x),xWI,yEJ,则有F(x,f(x))三0,xWI.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+l.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，「•要使隐函数存在，至少要存在点Po(x o,y o),使F(x o,yo)=O,y0=f(x0).要使隐函数y=f(x)在点P°连续，需F在点P°可微，且(Fx(Po),Fy(P°))TO,O),即曲面z=F(x,y)在点P。
存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P。
可微，则在F可微的假设下，通过F(x,y)=O在P°处对x求导，由链式法则得：Fx(P°)+Fy(P。
)字匚=0.dx当FyR)尹0时,可得字j=-耍2,同理，当V dxi F…(PJFx(Po)尹。
时，可得刑,『=-轶牛r x V r0/三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以Po(x o,yo)为内点的某一区域DUR?上连续；(2)F(x°,yo)=O(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；(4)Fygyo)尹0.则1、存在点的P。
某邻域U(P°)uD,在U(Po)上方程F(x,y)=O惟一地决定了一个定义在某区间(x0-a,x0+a)上的(隐)函数y=f(x),使得当xG(x0-a,x0+a)时,(x,f(x))e U(P0),且F(x,f(x))三0,y0=f(x0);2、f(x)在(Xo-a,xo+a)上连续.证：1、由条件⑷,不妨设F y(x o,y o)>O(若F y(x o,y o)<O,则讨论-F(x,y)=O).由条件⑶Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点Po的某一闭方邻域[x0-P,x0+p]x[y o-p,y o+p]<=D,使得在其上每一点都有Fy(x,y)>0.对每个固定的xE[Xo-B,xo+。
华东师范大学数学分析第18章习题解答
1 第十八章
隐函数定理及其应用§1 隐函数1.方程xy e y x sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数x f y 或y g x
? 分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件
. 解令
xy e y x y x F sin cos ,,则有(1)
y x F ,在原点的某邻域内连续; (2)
00,0F ; (3)
xy y xy x xe y F ye x F cos ,sin 均在原点的上述邻域内连续; (4) 00
,0,010,0x y F F . 故由隐函数存在定理知
,方程xy e y x sin cos 在原点的某邻域内能确定隐函数x f y . 2.方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?
分析: 本题的解题思路与1题一样.
解令
1ln ,,xz e y z xy z y x F ,则(1)
z y x F ,,在点1,1,0的某邻域内连续; (2) 01
,1,0F ; (3) xz z y xz x xe y F y z
x F ze y F ln ,,均在原点的上述邻域内连续;
(4) 01,1,0,011
,1,0,021,1,0z y x F F F . 故由隐函数存在定理知,方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能确定隐函数
z y f x ,和z x g y ,.。
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第十八章 隐函数定理及其定理总练习题1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且y 2=x 2(1-x 2)≤22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =41, ∴|y|≤21. 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤21且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知 原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x).2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x.解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠Ø, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即 可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠Ø, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=Ø, ∴原方程不能确定函数y=y(x).3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求dx dy ,dxdz . 解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x 求导得： f x +f y dx dy +f z dx dz =0, dx dz =g x +g y dx dy , 解得：dx dy =-yz y x z x g f f g f f ++; dx dz =y z y y x x y g f f gf g f +-.4、已知G 1(x,y,z), G 2(x,y,z), f(x,y)都可微，g i =G i (x,y,f(x,y)), i=1,2.证明：),(),(21y x g g ∂∂=zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--. 证：∵g 1x =G 1x +G 1z f x , g 1y =G 1y +G 1z f y ; g 2x =G 2x +G 2z f x , g 2y =G 2y +G 2z f y∴),(),(21y x g g ∂∂=yx y xg g g g 2211=(G 1x +G 1z f x )(G 2y +G 2z f y )-(G 1y +G 1z f y )(G 2x +G 2z f x )=G 1x G 2y +G 1x G 2z f y +G 1z G 2y f x -G 1y G 2x -G 1y G 2z f x -G 1z G 2x f y =zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--.5、设x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w), 求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂. 解：方程组对x 求导得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂001x w h x v h xu h x wg x v g xu g x w f x v f x uf w v u w v uw v u , 解得：x u ∂∂=),(),(w v h g ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂. 同理可得： y u ∂∂=),(),(w v f h ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂;z u ∂∂=),(),(w v g f ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂.6、试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,yu ∂∂. (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u); (2)u=f(x+u,yu). 解：(1)方程两边对x 求导得：2x+2u x u ∂∂=f x +f u x u ∂∂+g x +g u xu ∂∂, 解得：x u ∂∂=uu x x g f u xg f ---+22; 两边对y 求导得：2u y u ∂∂=f u y u ∂∂+g y +g u y u ∂∂,解得：y u∂∂=uu y g f u g --2.(2)方程两边对x 求导得：x u ∂∂=f 1(1+x u ∂∂)+yf 2x u ∂∂, 解得：x u∂∂=2111yf f f --; 两边对y 求导得：y u ∂∂=f 1y u ∂∂+ f 2(u+y y u ∂∂), 解得：y u ∂∂=2121yf f uf --.7、据理说明：在点(0,1)近旁是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y), 满足f(0,1)=1, 且g(0,1)=-1, 且[f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.解：设⎩⎨⎧=-+==-+=0),,,(0),,,(33x yu v v u y x G y xv u v u y x F , 则 (1)F,G 在以P 0(0,1,1,-1)为内点的R 4内连续; (2)F,G 在R 4内具有连续一阶偏导数; (3)F(P 0)=0, G(P 0)=0;(4)),(),(P v u G F ∂∂=02233P v y xu =9≠0.由隐函数组定理知，方程组在P 0附近唯一地确定了在点(0,1)近旁连续可微的两个二元函数u=f(x,y),v=g(x,y). 满足f(0,1)=1, g(0,1)=-1且 [f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.8、设(x 0,y 0,z 0,u 0)满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()()()()()()()()()()(u H z h y h x h u G z g y g x g u F z f y f x f ,这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域上确定x,y,z 为u 的函数的充分条件； (2)在f(x)=x, g(x)=x 2, h(x)=x 3的情形下，上述条件相当于什么？解：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=-++==-++==-++=0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(u H z h y h x h u z y x H u G z g y g x g u z y x G u F z f y f x f u z y x F , 则F ,G ,H ,在R 4内连续且具有一阶连续偏导数； F (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,G (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,H (x 0,y 0,z 0,u 0)=0, 当),,(),,(P z y x H G F ∂∂≠0时，原方程组能在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0)邻域内确定x,y,z 作为u 的函数.(2)上述条件相当于2022000111z y x z y x ≠0, 即x 0,y 0,z 0两两互异.9、求由下列方程所确定的隐函数y=f(x)的极值. (1)x 2+2xy+2y 2=1；(2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).解：(1)令F(x,y)=x 2+2xy+2y 2-1, 则F x =2x+2y, F y =2x+4y, 令dx dy =-yx y x 4222++=0, 有x=-y, 代入原方程得：x 2-2x 2+2x 2=1, 解得x=±1.∴隐函数y=f(x)有稳定点±1, 且f(1)=-1, f(-1)=1.又22dxy d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++x y x y x y x 2)(2)2(122. 从而)1,1(22-dxyd =1>0, )1,1(22-dx yd =-1<0,∴当x=1时有极小值-1, x=-1时有极大值1. (2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).令F(x,y)=(x 2+y 2)2-a 2(x 2-y 2), 则F x =4x(x 2+y 2)-2a 2x, F y =4y(x 2+y 2)+2a 2y,令dx dy =-ya )y +2y(x x a -)y +2x(x 222222+=0, 有x=0或y 2=2a 2-x 2.当x=0时，y=0, F y =0, 不符合题意，舍去.将y 2=2a 2-x 2代入原方程得：4a 4=a 2(2x 2-2a2), 解得x=±83a.又f(83a)=±81a, f(-83a)=±81a. ∴隐函数y=f(x)的稳定点有： P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 81,83, P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 81,83. 由22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-[]2222222222ya )y +2y(x y]a )y +][2y(x a -)y 2y 2x(2x )y +[2(x ++'++ +[]2222222222ya )y +2y(xx]a -)y +][2x(x y a )y 2y 2y(2x )y +(x y [2+'+'++',且在稳定点P i (i=1,2,3,4)均有x 2+y 2=2a 2及y ’(P i )=0，代入上式有：i P dx y d 22=-iP y a 2x 22, 即22dx y d 与y 异号, ∴ia a dx yd ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±81,8322<0, ia a dxyd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±81,8322>0,即在点P 1, P 3取得极大值a 81,在点P 2, P 4取得极小值-a 81.10、设y=F(x)和函数x=φ(u,v), y=ψ(u,v), 那么由方程ψ(u,v)=F(φ(u,v))可以确定函数v=v(u). 试用u,v, du dv , 22du v d 表示dx dy , 22dxyd .解：由x=φ(u,v), y=ψ(u,v), ∴dx dy =u u ∂∂∂∂ϕψ=dudv du dvvu vu ϕϕψψ++. 于是 22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++du dv du dv du v d du dv du dv du dv v u v u v vv vu uv uu ϕϕϕϕψψψψψ -222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+du dv du v d du dv du dv du dv du dv v u v vv vu uv uu v u ϕϕϕϕϕϕϕψψ.11、试证：二次型f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy 在单位球面x 2+y 2+z 2=1上的最大值和最小值恰好是矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.试：记L(x,y,z,λ)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2-1), 列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==-++==-++==-++=④1③02222②02222①02222222z y x L z Dy Cz Ex L y Dz By Fx L x Ez Fy Ax L z y xλλλλ, 由①x+②y+③z 得：Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2)=0, 又由④得f(x,y,z)=λ.由①,②,③知λ是对称矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E D B F E F A 的特征值.又f 在有界闭集{f(x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}上连续，∴有最大值,最小值存在. ∴最大值和最小值恰好是矩阵φ的最大特征值和最小特征值.12、设n 为正整数, x,y>0. 用条件极值方法证明：2n n y x +≥ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2.证：记L(x,y,λ)=2n n y x ++λ(x+y-a), 列方程组得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==+==+=--a y x L ny L nx L n y n x λλλ020211, 解得：x=y=2a. ∵当x →∞或y →∞时, 2n n y x +→∞,∴2n n y x +必在唯一的稳定点(2a ,2a )处取得最小值na ⎪⎭⎫⎝⎛2, 即2n n y x +≥na ⎪⎭⎫ ⎝⎛2=ny x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2.13、求出椭球22a x +22by +22c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.解：椭球面上任一点(x,y,z)处的切平面方程为：22a x (X-x)+22b y (Y-y)+22cz(Z-z)=0, 切平面在坐标轴上的截距分别为：x a 2,y b 2,zc 2. 则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为V=xyzc b a 6222. ∴问题转化为求函数V 在条件22a x +22by +22c z =1 (x>0,y>0,z>0)下的最小值. 记L(x,y,z,λ)=xyz c b a 6222+λ(22a x +22by +22c z -1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=01026026026222222222222222222222cz b y a x L cz xyz c b a L b yz xy c b a L axyz x c b a L z x x λλλλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ,∴最小体积V m =abc c b a 6)3(3222=23abc.14、设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点，F 在U(P 0)可微，且为n 次齐次函数.证明：此曲面在P 0处的切平面方程为：xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=n. 证：∵F 为n 次齐次函数, 且F(x,y,z)=1，∴xF x +yF y +zF z =nF=n. 曲面在P 0处的切平面方程为：F x (P 0)(x-x 0)+F y (P 0)(y-y 0)+F z (P 0)(z-z 0)=0 即xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=x 0F x (P 0)+y 0F y (P 0)+ z 0F z (P 0)=n, 得证！。