隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
Fx = 2x,
均连续。 Fy = 2y, 均连续。
x0 = 0, y0 = 1. F(0,1) = 0,
Fy (0,1) = 2 ≠ 0,
理知方程x2 + y2 − 1 = 0在 (0,1)的 邻 依定 点 某 域内能唯一确定一个单值可导、 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时
y = 1的函数y = f (x)．
的函数， 把y看成x, z 的函数，对z求偏导数得
∂y ∂y 1 = fu ⋅ ( + 1) + fv ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
整理得
∂y 1 − fu − xy ⋅ fv . = ∂z fu + xz ⋅ fv
二、方程组的情形
F( x, y, u, v) = 0 G( x, y, u, v) = 0
′ Fz = ( z − f (u, v))z
= 1 − fu ⋅ ( x + y + z)′y − fv ⋅ ( xyz)′y = 1− fu − x y fv .
Fx fu + yz ⋅ fv ∂z 于是， 于是， ∂x = − F = 1 − f − xy ⋅ f . z u v
∂x = − Fy = − fu + xz ⋅ fv . fu + yz ⋅ fv Fx ∂y
何时唯一确定函数u = u( x, y), v = v( x, y)？
∂u = ? ∂x
∂u = ? ∂y
∂v ? = ∂x
∂v = ? ∂y
隐函数存在定理3 隐函数存在定理 3 设F( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数， 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式） 函数行列式（或称雅可比式）
第六节隐函数的求导公式
2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2
第五节 隐函数求导公式
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x
2 2
x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− =− y− x dx Fy
2. F ( x , y , z ) = 0
(1)
∂(F , G ) ∂(F , G ) dy ∂ ( x , z ) dz ∂ ( y, x ) , , =− =− ∂ ( F , G ) dx ∂(F , G ) dx ∂ ( y, z ) ∂ ( y, z )
x2 + y2 + z2 = 6 dy dz 例6：已知 ，求 , . dx dx 2x + 3y + z = 0
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
−u − y ∂u − v x xu + yv ∂v = = , =− 2 2 x −y ∂x ∂x x +y y x x −u yu − xv y −v , = 2 2 x −y x +y y x
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
隐函数求导
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
则
Fx ( x, y)
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。
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第五节 隐函数的求导公式
在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程
()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多
元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且
()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一
确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有
''y
x F F dx dy
-= (2)
公式(2)就是隐含数的求导公式
这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F
其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有
0=⋅∂∂+∂∂dx
dy y F x F 由于'
y F 连续，且 ()0,00'
≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内
0'≠y F
于是得
''y
x F F dx dy
-=
隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函
数，那么一个三元方程
()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程
()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的
定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏
导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'
≠z y x F z 。
则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的
某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=，它满足条件
()000,y x f z =，并有
-=∂∂x z
''z
x F F ，=∂∂y z ''z y F F - （4）
这个定理我们不证。
与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导。
由定理条件可知：()()0,,,≡y x f y x F
将公式两端分别对x 和y 求偏导数，应用复合函数求导法则有 0'
'
=∂∂⋅
+x
z
F F z x 0''=∂∂⋅+y z F F z y 因为z F '连续，且()0,,000'
≠z y x F z 。
所以存在点()000,,z y x 的一个邻域，在这个邻
域内0'
≠z F ,于是得
''z
x F F x z
-=∂∂ ，''z y F F y z -=∂∂ 公式（4）即是求二元隐函数的偏导数的计算公式。
例1 设3
3
3a xyz z =-确定二元函数()y x f z ,=，求x z ∂∂,y
x z
∂∂∂2
解： 设()=z y x F ,,3
33a xyz z --
则yz F x 3'-= xz F y 3'-= xy z F z 332
'-=
应用公式（4）得
xy
z yz
xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂2
2''333 xy
z xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22''333 对
x
z
∂∂再一次对y 求偏导数有 ()
()
2
222
2xy
z x y z z yz xy z y z y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂∂
()
()
()
xy
z x xy z xz yz xy z xy z xyz z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-+=
2
22222 ＝()
()
3
2
22333
2
223332xy z
z
y x xyz z xy z
z
y x xyz xyz z ---=
--+-
例2 设方程F (
)0,2
2
2
2
=--z y y x 确定了二元函数z=z ()y x ,，
试证：xy y
z zx x z yz
=∂∂+∂∂ 证明：设G ()(
)2
2
2
2
,,,z
y y x F z y x --=，则有
121202F x F x F G x
'=⋅'+⋅'=' )(22)2(122
1F F y y F y F G y '-'=⋅'+-⋅'=' G ()'
2'
2'
1'
.22.0.F z z F F z -=-+=
于是 '
2'1'2'1''
.22F z xF zF xF G G x z
z x =
--=-=∂∂
()()'
2
'1'2'2'1'2''.22F z F F y zF F F y G G y z
z y -=---=-=∂∂
所以有
()
xy F xyF xyF xyF F F F y zF xF yz y z
zx x z yz =-+=-+=∂∂+∂∂'
2'1'2'1'2'1'2'2'1 习题8--5
1.求下列各方程所确定的隐函数的导数 (1)0sin 2=-+xy y e
x
(2)x
y
y x arctan ln
22=+
2.求下列各题所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数 (1)022=-++xyz z y x (2)
y
z z x ln = (3)()z y x z y x 3232sin 2-+=-+ (4)
0arctan =+-xyz z e
xy
3. 设(
)2
2z
x yf z x -=+，其中f 可微,证明:x y
z
y x z z =∂∂⋅+∂∂⋅
4设()v u ,Φ具有连续偏导数,证明由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=满足c y
z
b x z a =∂∂⋅+∂∂⋅
5.设z z y x 42
2
2
=++,求63
1751==-
-y x
6.设023
=+-y xz z ，求22x z ∂∂，22y
z ∂∂以及y x z
∂∂∂2
7.设⎩⎨⎧⋅+=
⋅-=v u x v u y e e u
u
cos cos 求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂，y
v
∂∂
8.设()t x f y ,=而t 是由方程()0,,=t y x F 所确定的y x ,的函数,其中F f ,都具有一阶连续偏导数,试证明
t
F y F t f x F
t f t F x f dx
dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅
∂∂-∂∂⋅∂∂=
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