n+1元方程所确定的隐函数存在定理及其证明
隐函数存在定理
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
第16章隐函数存在定理
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
数学分析第十八章隐函数定理及其应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
§2 隐函数组
一、 隐函数组概念
设F (x, y,u,v)和G(x, y,u,v)为定义在区域V R4上的两个四元
函数. 若存在平面区域D, 对于D中每一点(x, y), 分别有区间J
和K上唯一的一对值u J , v K , 它们与x, y一起满足方程组
F (x, y,u,v) 0, G(x, y,u,v) 0,
1. 若方程(1)能确定隐函数,则交集非空. P0(x0 , y0 )使得 F(x0 , y0 ) 0.
2. 若F在点P0可微,且 (Fx (P0 ), Fy (P0 )) (0,0),
则z F (x, y)在点P0的切平面与z 0相交于直线l. 从而 z F (x, y) 在点P0与z 0相交成平面曲线.
(iv) Fy (x10 ,, xn0 , y0 ) 0, 则在点P0的某邻域U (P0 ) D内，方程F (x1,, xn, y) 0唯一地确定了 一个定义在Q0 (x10,, xn0 )的某邻域U (Q0 ) Rn内的n元连续函数(隐函数), y f (x1,, xn ),使得 1）当 (x1,, xn ) U (Q0 )时, (x1,, xn, f (x1,, xn )) U (P0 ), 且
,
x0
)内连续.
第12页
例1. 验证方程 sin y ex xy 1 0 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y f (x) ,并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x, y) sin y ex xy 1, 则
F, Fx ex y, Fy cos y x 连续 ,
由连续函数的局部保号性, (0, ],使当x (x0 , x0 )时,
隐函数存在定理
v 2x
vx
2u y vu
4xu 2(u 2
yv v2 )
,
2u 2v
u 2 v2 0.
u yv uvy 2 y, 解得 2uu y 2vvy x.
uy
4 yv 2(u 2
xu v2)
,
vy
4 yu 2(u 2
xv v2) .
z x
0
同样可得
z Fx
x
Fz
z Fy
y
Fz
例2
解法1
利用公式.
令
则 Fx y ze xz , Fy x z, Fz y xexz ,
z Fx
x
Fz
y ze xz y xexz
,
z Fy x z .
定理2 设 F x, y在, z点
数, 且
M0 的x0某, y邻0,域z0内 有连续的偏导
F x0 , y0 , z0 0; Fz x0 , y0, z0 0,
则在点 x0的, y某0 个邻域内,方程
F x, y, z 0
唯一确定一个隐函数
z 满z足 x, y,
内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
思考与练习
设
求
提示: z f ( x y z , x yz)
•
z x
f1
1
z x
f 2
yz
一元隐函数存在定理
一元隐函数存在定理是数学中一个重要的定理，它指出，任何一元函数都存在一个隐函数，即一元函数的反函数。
它是由德国数学家卡尔·贝尔（Karl Bier）在1879年提出的，他把它称为“一元函数的反函数存在定理”。
一元隐函数存在定理的定义是：设f(x)是一个一元函数，它的定义域是D，值域是R，则存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，g(f(x))=x，且g(x)的定义域是R，值域是D。
一元隐函数存在定理的证明：首先，我们假设f(x)是一个一元函数，它的定义域是D，值域是R。
假设存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，g(f(x))=x，且g(x)的定义域是R，值域是D。
我们假设f(x)的定义域是D，值域是R，则f(x)的反函数g(x)的定义域是R，值域是D。
由于f(x)的定义域是D，值域是R，则f(x)的反函数g(x)的定义域是R，值域是D。
因此，我们可以证明，任何一元函数都存在一个隐函数，即一元函数的反函数。
一元隐函数存在定理的应用：一元隐函数存在定理在数学中有着重要的应用，它可以用来求解一元函数的反函数，从而解决一些复杂的数学问题。
例如，假设有一个一元函数f(x)，它的定义域是[0,1]，值域是[2,3]，我们可以利用一元隐函数存在定理来求解f(x)的反函数g(x)，即g(x)=f-1(x)。
根据一元隐函数存在定理，我们可以知道，f(x)的反函数g(x)的定义域是[2,3]，值域是[0,1]。
因此，我们可以得出f(x)的反函数g(x)的表达式为：g(x)=1-(3-x)。
从上面的例子可以看出，一元隐函数存在定理可以用来求解一元函数的反函数，从而解决一些复杂的数学问题。
结论：一元隐函数存在定理是数学中一个重要的定理，它指出，任何一元函数都存在一个隐函数，即一元函数的反函数。
它的证明和应用都非常重要，可以用来求解一元函数的反函数，从而解决一些复杂的数学问题。
隐函数存在定理
换句话说, 存在函数 y f (x), 定义在
(x0 , x0 ) 上, 当 x (x0 , x0 ) 时, 有
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, 且 y0 f (x0 ); (2) y f (x) 在 (x0 , x0 ) 上连续; (3) y f (x) 在 (x0 , x0 )上有连续的导
F(x, f (x), g(x)) 0,G(x, f (x), g(x)) 0.
例5 点 (1,1,2)在方程 x2 ( y 2 z 2 ) 5 及
(x z)2 y 2 2 所表示的曲面上, 证明在这点
的一个邻域内, 两曲面的交线能用形如
z
f (x), y
g(x)
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 x2 y2 1 可确定如下两个隐函数
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1],
y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方 程 F(x, y, z) 0 确定的隐函数 z f (x, y).
这表明两曲面的交线在点 (1,1,2)附近能用形 如 z f (x), y g(x) 的一对方程表示.
u 1 (F,G) , u 1 (F,G) , x J (x, v) y J ( y, v)
v 1 (F,G) , v 1 (F,G) . x J (u, x) y J (u, y)
例4 问在点 (0,1) 附近是否存在连续可微函 数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足 f (0,1) 1, g(0,1) 1, 且
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。
隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。
几何应用。
条件极值与拉格朗日乘数法。
教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。
2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。
3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。
4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。
教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。
教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。
二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。
要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。
强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。
这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。
这说明拉格朗日乘数法的优越性。
§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍 （1） 隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号 （P144）2. 隐函数的两个基本问题（1） 隐函数的存在性; （2） 隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。
§16.1隐函数存在定理
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
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ｎ＋１元方程所确定的隐函数存在定理及其证明
摘要：本文对多元向量值函数的微分中值定理进行了证明，在此基础上，利用微分学及在映射下变量与变量的关系证明了这个隐函数存在定理。
关键词：多元向量值函数微分中值定理隐函数存在定理
一、引言
在数学分析中，微分中值定理和隐函数存在定理，都是重要的定理.但在现有的文献中，对这些定理都没有系统的叙述和证明.在文献[1]中，对二元向量值函数给出了这些定理.本文把这些重要的定理推广到了元向量值函数.本文采用的定理和记号见文献[1].
二、证明微分中值定理
三、证明隐函数存在定理
这个定理有多种证明方法，如
(1)对隐函数的维数作数学归纳法的递推证明，见文献[3]；
(2)用不动点原理先证明反函数定理，再推广处理隐函数定理；
(3)采用把向量函数方程确定隐函数(组)的问题，直接归化为纯量函数方程的形式来证明，见文献[2]；
(4)利用在映射下变量与变量的关系证明，见文献[1].
参考文献：
[1]丁晓庆. 工科数学分析[M]，北京：科学出版社，2002.
[2]华东师范大学数学系. 数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1999.
[3]黄玉民、李成章. 数学分析[M]，北京：科学出版社，1999.
(责任编辑：毕庆国)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。