隐函数存在性的一个判别法
隐函数存在定理
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
2014年5月8日星期四
O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
《数学分析》(2)
数学分析(下)18-1隐函数
江西财经大学统计学院隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.§1隐函数返回四、隐函数求导数举例一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理一、隐函数概念江西财经大学统计学院则成立恒等式.,0))(,(I x x f x F κR,,I J x I ÌÎ若存在、使得对任一有惟一确定的y J Î与之对应, 能使(,),x y E Î且满足方程(1) , 则称由方程(1) 确定了一个定义在, 值域含于I J ,,,)(J y I x x f y ÎÎ=的隐函数. 如果把此隐函数记为(,)0.(1)F x y =江西财经大学统计学院122=+y x 取值范围取值范围．．例如由方程可确定如下两个函数个函数：：注2不是任一方程都能确定隐函数, 0),(=y x F 例如显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数．．0122=++y x 注1隐函数一般不易化为显函数隐函数一般不易化为显函数，，也不一定需要)(x f y =化为显函数化为显函数．．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关．．注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的2江西财经大学统计学院二、隐函数存在性条件分析条件时条件时，，由方程(1) 能确定隐函数, 并使)(x f y =),(y x F 要讨论的问题是要讨论的问题是：：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续该隐函数具有连续、、可微等良好性质? )(x f y =),(y x F z =(a)把上述看作曲面与坐标0=z 平面的交线的交线，，故至少要求该交集非空故至少要求该交集非空，，即),(000y x P $.)(,0),(0000x f y y x F ==，满足连续是合理的连续是合理的．．0P )(x f y =0x ),(y x F (b)为使在连续连续，，故要求在点)y=x)f(xy=(xf可导，，即曲线在(c)为使在可导江西财经大学统计学院三、隐函数定理定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理)设方程(1) 中),(y x F 的函数满足以下四个条件满足以下四个条件：：),(000y x P 2R ÌD (i)在以为内点的某区域上连续上连续；；(ii)( 初始条件)；0),(00=y x F D ),(y x F y (iii)在内存在连续的偏导数；00(,)0.y F x y ¹(iv) 则有如下结论成立则有如下结论成立：：江西财经大学统计学院00(),(,),y f x x x x a a =Î-+;0))(,(,)())(,(0ºÎx f x F P U x f x 在上连续上连续．．)(2x f o),(00a a +-x x 惟一地确定了一个隐函数它满足它满足：：00()f x y =),(00a a +-Îx x x , 且当时, 使得证首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性．．证明过程归结起来有以下四个步骤( 见图18－1 )：D P U Ì)(0)(0P U 存在某邻域，在内由方程(1)1+yy(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设Fy ( x0 , y0 ) > 0. 因为 Fy ( x, y) 连续，所以根据保号性，$ b > 0 , 使得yy0 +by0y0 - bS ++ ++ + ++++++++++++++·+++++++++++++++++++++O x0-b x0 x0 +b x(a) 一点正,一片正Fy(x, y) > 0, (x, y)Î S,其中 S = [ x0 - b , x0 + b ] ´[ y0 - b , y0 + b ] Ì D.江西财经大学 统计学院(b) “正、负上下分 ”因 Fy ( x, y) > 0, ( x, y)Î S , 故 " x Î[ x0 - b , x0 + b ], 把 F ( x, y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 - b , y0 + b ] 上严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 特别对于函数 F ( x0, y), 由条 件 F ( x0, y0 ) = 0 可知F ( x0 , y0 + b ) > 0,y+y0 +b·＋＋＋y0___· 0y0 - b_·O x0-b x0 x0 +b x(b) 正、负上下分F ( x0 , y0 - b ) < 0.江西财经大学 统计学院(c) “同号两边伸”因为 F ( x, y0 - b ) , F ( x, y0 + b ) 关于 x 连续，故由(b) 的结论，根据保号性，$a (0 < a £ b ), 使得F ( x, y0 + b ) > 0 , F ( x, y0 - b ) < 0 , x Î( x0 - a , x0 + a ). (d) “利用介值性”y y0+by0＋＋·＋＋·y0- b· － － － －O x0-a x0 x0+a x(c) 同号两边伸" xˆ Î ( x0 - a , x0 + a ) , 因 F ( xˆ , y) 关于 y 连续, 且严格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟江西财经大学 统计学院一的 yˆ Î ( y0 - b , y0 + b ), 满足 F ( xˆ , yˆ ) = 0. 由 xˆ 的任意性, 这 就证得存在惟一的隐函数:y = f ( x),ìï x Î I = ( x0 - a , x0 + a ), í ïî y Î J = ( y0 - b , y0 + b ).yy0 + by0· ＋＋＋＋ U (P0 )·y0 - by = f (x) ·－－－－O x0-a x0 x0+a x(d) 利用介值性若记 U (P0 ) = I ´ J , 则定理结论 1o 得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:即 " x Î ( x0-a , x0+a ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.江西财经大学 统计学院如图 18－2 所示, "e > 0, 取ye 足够小，使得y0 +b y +e.＋＋＋＋y0 - b £ y - e < y + e £ y0 + b ,y.P.0其中 y = f ( x). 由 F ( x, y) 对 y 严格增，而y -e y0 -b.－－－－O x-d x x +dxF ( x, y) = 0,图 18－2推知F(x, y-e )< 0 , F(x, y+e )> 0 .类似于前面 (c) ，$d > 0, 使得江西财经大学 统计学院( x - d , x + d ) Ì ( x0 - a , x0 + a ), 且当 x Î ( x - d , x + d ) 时，有F(x, y -e ) < 0, F(x, y + e ) > 0. 类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有y -e < f (x) < y + e , xÎ(x -d , x +d ), 因此 f ( x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x) 在 ( x0-a , x0+a ) 上处处连续．江西财经大学 统计学院注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又是一组十分重要的条件. 例如： ① F ( x, y) = y3 - x3 = 0, Fy (0,0) = 0, 在点 (0, 0) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y = x. ② F ( x , y) = ( x2 + y2 )2 - x2 + y2 = 0 (双纽线), 在点 (0, 0) 同样不满足y条件 (iv); 如图18－3 所示, 在该点无论多Ox么小的邻域内, 确实图 18－3江西财经大学 统计学院不能确定惟一的隐函数. 注 2 条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻 域 U (P0 ) 内 F ( x, y) 关于 y 为严格单调．之所以采 用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验， 二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性 的作用． 注3 读者必须注意, 定理 18.1 是一个局部性的隐 函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了 (0,0), (1, 0), (-1, 0) 三点以外, 曲线上其余各点处都江西财经大学 统计学院存在局部隐函数 y = f ( x) ( 这不难用定理 18.1 加 以检验，见后面第四段的例１)． 注4 在方程 F ( x, y) = 0 中, x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为“ Fx ( x, y) 连续, 且 Fx ( x0 , y0 ) ¹ 0 ” 时，将存在局部的连续隐函数 x = g( y).江西财经大学 统计学院定理 18.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 F ( x, y) 满足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D 内还存在连续的 Fx ( x, y) . 则由方程 F ( x , y ) = 0 所确定的隐 函数 y = f ( x) 在 I 内有连续的导函数，且f ¢( x) = - Fx ( x, y) , ( x, y) Î I ´ J .(2)Fy(x, y)( 注: 其中I = ( x0 - a , x0 +a ) 与 J = ( y0 - b , y0 + b )示于定理18.1 的证明 (d) ).江西财经大学 统计学院江西财经大学统计学院()()y f x ,y y f x x J.=+D =+D Î.0),(,0),(=D +D +=y y x x F y x F 使用微分中值定理,使得,)10(<<$q q 0(,)(,)F x x y y F x y =+D +D -,,I x x x ÎD +证设则由条件易知F 可微可微，，并有(,)y F x x y y y,q q ++D +D D (,)x F x x y y xq q =+D +D D),(y y x x F y D +D +D q qF)x(y,存在二阶连续偏导数时，，所得隐函注1 当存在二阶连续偏导数时注2 利用公式(2) , (3) 求隐函数的极值:江西财经大学统计学院设在以点为内点的某区域上,),,(0000z y x P 3R ÌD ,0),,(000=z y x F .0),,(000¹z y x F z 则存在某邻域在其内存在惟一的在其内存在惟一的、、连,)(0D P U Ì续可微的隐函数，且有),(y x f z =注3由方程0),,(=z y x F (5)),(y x f z =确定隐函数的相关定理简述如下的相关定理简述如下：：F 的所有一阶偏导数都连续的所有一阶偏导数都连续，，并满足F江西财经大学统计学院0)(22222=+-+y x y x 解令它有连续的,)(),(22222y x y x y x F +-+=.2)(4,2)(42222y y x y F x y x x F y x ++=-+=求解分别得到,0),(0),(0),(0),(îíì==îíì==y x F y x F y x F y x F y x 与四、隐函数求导数举例例1 试讨论双纽线方程()().y f x x g y ==或所能确定的隐函数2 6224)－4由公式(2) 求得22=¢y类似于例1 的方法, 求出曲线上使的点为对方程两边微分，，得解法1 ( 形式计算法) 对方程两边微分因此在点P附近能惟一地确定连续可微的隐函数yfyxF(8) =x-()),(=.0(,)z z x y =(,)0F x z y z --=例5 设是由方程复习思考题4. 试对例3 的两种解法(形式计算法与隐函数法) 作一比较, 指出两者各有哪些优缺点? 江西财经大学统计学院江西财经大学统计学院作业P162：3（1）（3）（5）；5。
隐函数的存在性(北工大)
且
y ' ( k 1,2,, n). x k Fy
Fx' k
注：由于定理１的证明与区域D的维数无 关，则可直接推广到定理２．
2) y f ( x ) 在区间 连续。 3) y f ( x )在区间 有连续导数，且
F ' x ( x, y ) f '( x ) . F ' y ( x, y )
隐函数的求导公式
证明 １）隐函数的存在性
Fy' ( x0 , y0 ) 0, 不妨假设 Fy ( x0 , y0 ) 0. 由条件３），
F ' x ( x, y ) f '( x ) . F ' y ( x, y )
定理2 若函数 z F ( x1 , x 2 ,, x n , y ) 在以点
0 0 0 P0 ( x1 , x 2 , , x n , y 0 )
为中心的矩形区域G满足 在G连续，
0
下列条件：
1)
' ' ' ' Fx1 , Fx2 ,, Fxn , Fy
2 ) F ( x , x , , x , y ) 0,
0 1 0 2 0 n
3)
' 0 0 0 Fy ( x1 , x2 , xn ,
y ) 0.
0
0 0 0 P0 ( x1 , x 2 , , x n ) 则存在点
的邻域U,在U存在
唯一一个有连续偏导数的n元（隐）函数 y f ( x1 , x 2 ,, x n ), 使
11-1隐函数的存在性
则成立恒等式
F ( x , f ( x )) 0 , x I .
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注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数．上面把隐函数仍记为 y f ( x ) ，这
与它能否用显函数表示无关． 注2 不是任一方程 F ( x , y ) 0 都能确定隐函数,
x 2 y 2 1 0 显然不能确定任何隐函数． 例如
二、隐函数存在定理
定理 1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中
的函数 F ( x , y ) 满足以下四个条件：
P0 ( x0 , y0 ) 为内点的某区域 D R 2上连续； (i) 在以
(ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )；
(iii) 在 D 内存在连续的偏导数 F y ( x , y )； (iv) Fy ( x0 , y0 ) 0. 则有如下结论成立：
二则是在后面的定理 2中它们还将起到实质性
的作用．
注3 读者必须注意, 定理 1 是一个局部性的隐 函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了
(0, 0), (1, 0) , ( 1, 0) 三点以外, 曲线上其余各点处都
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存在局部隐函数 y f ( x ) ( 这不难用定理 1 加 以检验)． 注4 在方程 F ( x , y ) 0 中, x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为 “ Fx ( x , y ) 连续, 且 Fx ( x0 , y0 ) 0 ” 时，将存在局部的连续隐函数 x g( y ).
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定理 2 ( 隐函数可微性定理 ) 足定理 1 中的条件 (i) ～ (iv), 在
隐函数不存在的一个判别定理
２ 定 理
定 理 若 Ｆ（ ） （ ｏＹ ）的某邻域 内是 连续 的 ， Ｆ ｘ ， 。 ｘ， 在 ， 。 且 （ 。Ｙ ）＝ ０ 又 满足 ： ． （ ） ， 为 Ｙ的严格 单调 函数 ，在 Ｙ 的一个邻 域 内） １Ｆ（ 。 ） （ 。 ； （ ） ，ｏ ２ Ｆ（ Ｙ ）兰 ０或 当 ≠ 。 ， ｘ，。 时 Ｆ（ ｙ ）保持 同号． 则 Ｆ（ ）＝ ０在 （ ｏＹ ）的任何邻 域 内都不 能确 定形 如 一 厂 ）的 函数 ． ｘ， ，。 （ 证 明 当 Ｆ（ ， 。 ｘ Ｙ ）兰 ０时 ， 论显 然成立 ； 结
Ａ ｓ ｉ ｕ ｓ ｎｇ Ｔｈ ｏ ｅ ｏ ｈｅ Ｎ ｏ ｅ ｉ ｔ ｎｃ Ｄｉ ｔｎｇ ｉ ｈｉ ｅ ｒ ｍ ｆ ｒ ｔ ｎ ｘ ｓ ｅ ｅ
ｏ ｍ ｐ ｉ ｉ ｆＩ ｌｃ ｔ Ｆｕｎ ｔ ｏ ｃ ｉｎ
Ｚ ａ ｇ Ｘｉ ｈ ａ Ｈ ｅ Ｌｉ ｈ ｎ ｎ ｕ （ ｏｌｇ ｆ ｎ ｉ ｅ ｉｇ Ｎａ ｊ ｇ Ａ ｒ ｕ ｔ ｒ ｌ ｉｅｓｔ ， ａ ｊ ｇ ２ ０ ３ ） Ｃ ｌ ｅｏ ｇｎ ｒ ， ｎｉ ｇ ｉ ｌ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎ ｎ ｉ ， １ ０ １ ｅ Ｅ ｅ ｎ ｎ ｃ ｕ ｙ ｎ
２９
当 ｚ≠ ｚ 时 ， ｘ，。 。 Ｆ（ Ｙ ）保持 同号 ， 不妨 设 Ｆ（ Ｙ ） Ｏ ≠ ｚ ） ｘ， 。 ＜ （ 。．
则 由（ ） 不妨 设 Ｆ（ 。 为 Ｙ的严 格增 函数 ： ｏ 当 ｏ＜ Ｙ 一 Ｙ ＜ ８ 时 ， １， ｘ， ） ｊ８ ＞ ， 。
Ｆ（ ，１ ｚｏＹ ）＞ ０ （） １
［ ］ 华东师范大学数学系 ， ２ 数学分析 （ 第三版） 下册）Ｍ］ 北京 ： 民教育出版社 ，Ｏ １． （ ［ ． 人 ２Ｏ．
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ，ｔｉ ｉｅ ｈ ｔ ａ ｄ ｓ ｉ ｇ ｉｈｉｇ ｔ ｅ ｒ ｍ ｏ ｈ ｏ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｍｐ ｉｉ ｆ ｎ ｔ ｎ， ｓ ｒ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｉ ｓ ｇ ｖ ｎ ｔ ａ ｉｔ ｕ ｓ ｎ ｈ ｏ ｅ ｆ ｒ ｔ ｅ ｎ ｎ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆ ｉ ｌ ｔ ｕ ｃ ｉ ｎ ｃ ｏ
隐函数存在定理3
隐函数存在定理隐函数存在定理是微分学中的一个重要定理，用于判断一个方程是否存在隐函数。
隐函数存在定理有好几个版本，其中隐函数存在定理3是对多元函数的一个扩展。
该定理在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
函数的定义在介绍隐函数存在定理3之前，我们首先来了解一下函数的基本概念。
在数学中，函数可以简单地理解为对于给定的输入，给出一个唯一的输出。
函数可以用公式、图表或者描述性的文字来表示。
以y = f(x)为例，y表示函数的输出，x表示函数的输入，f表示函数的定义域和值域之间的对应关系。
函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
隐函数则是一种特殊的函数，其定义形式为F(x, y) = 0。
与显式函数不同，隐函数无法通过直接解出y来表示。
例如，对于方程x2+y2-1=0来说，我们无法直接解出y作为x的函数。
因此，我们需要通过隐函数存在定理来判断方程是否存在隐函数，并进一步求解该隐函数。
隐函数存在定理3隐函数存在定理3是对多元函数隐函数存在定理的一个扩展。
它给出了判断一个方程组是否存在隐函数的条件，以及如何求解这个隐函数。
具体而言，隐函数存在定理3可以表述为以下几点：1.假设有一个方程组G(x, y) = 0，其中G是从定义域D到值域R上的函数。
我们需要找到一对点(x0, y0)使得G(x0, y0) = 0，并且在该点的某个领域内，函数G满足一定的可微分条件（偏导数连续）。
这样的点(x0, y0)称为方程组的一个解。
2.假设方程组G(x, y) = 0满足某个可微分条件，函数G的偏导数连续，并且在(x0, y0)附近的一个矩形区域内满足Gx(x, y)≠ 0。
这意味着在该区域内，方程组可以被表示为y = f(x)，其中f是一个函数。
3.如果上述条件满足，并且方程组G(x, y) = 0的任意两条曲线都不相交，那么在(x0, y0)附近存在一个函数f(x)，满足方程组G(x, f(x)) = 0。
§18.1隐函数
注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又
是一组十分重要的条件. 例如： ① F ( x , y ) y 3 x 3 0, Fy (0,0) 0, 在点 (0, 0) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y x . ② F ( x , y ) ( x 2 y 2 )2 x 2 y 2 0 (双纽线), 在 点 (0, 0) 同样不满足 条件 (iv); 如图18－3
且当 x ( x , x ) 时，有
F ( x , y ) 0, F ( x , y ) 0.
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
y f ( x) y , x ( x , x ) ,
因此 f ( x ) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上处处连续．
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0
U ( P0 )
－－－－
x0
x0
x0
x
y0
O x x0 x x 0 0
y
所示, 在该点无论多 么小的邻域内, 确实 不能确定惟一的隐函数.
1
O
1
x
图 18－3
注 2 条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻
隐函数的存在性
第十一章 隐函数§5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用.§11.1 隐函数的存在性一、隐函数的概念在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数.例1 二元方程0753),(2=--+=y x xy y x F .)5(≠∈∀x R x ，通过方程对应唯一一个y ，即xx y --=5732.显然，有0)573,(2≡--xx x F由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2=--+=y x xy y x F 所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线xx y --=5732是空间曲面7532--+=y x xy z 与0=z （xy 平面）的单值交线.例2 二元方程0),(222=-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈∀,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞<<y 0或0<<∞-y ，则),(a a x -∈∀只对应唯一一个y ，即221x a y -=或222x a y --=.显然有 0),(),(221≡-=x a x F y x F与0),(),(222≡--=x a x F y x F由隐函数定义，221x a y -=与222x a y --=都是方程0),(222=-+=a y x y x F所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线221x a y -=与222x a y --=（以原点为圆心，以a 为半径的上半圆与下半圆）是空间曲面222a y x z -+=（旋转抛物面）与平面0=z 的两条单值交线.例3二元方程022),(=-+=yxxy y x F ,在原点的某个邻域),(δδ-内，),(δδ-∈∀x ，通过方程对应唯一一个y ，即)(x y ϕ=（下面例6将证明这个事实）.显然，有[]0)(,≡x x F ϕ.由隐函数的定义，)(x y ϕ=是方程022),(=-+=yxxy y x F 所确定的隐函数.它的几何意义是，空间曲面yxxy z 22-+=与平面0=z 在原点邻域),(δδ-相交成平面单值曲线)(x y ϕ=.例4二元方程0),(222=++=r y x y x F )0(≠r .R x ∈∀，通过方程不存在对应的y ，即方程不确定隐函数.它的几何意义是，空间曲线222r y x z ++=（旋转抛物面）与平面0=z 不相交.上述四例说明，一个方程可能确定一个隐函数，如例1，2，3也可能不确定隐函数，如例4.一个方程可能确定一个隐函数，如例1，也可能确定两个（或多个）隐函数，如例2.一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1，2，也可能不是初等函数，如例3，（因为超越方程不能用代数方程求解）.值得注意的是例3这种情况，它说明隐函数包含着非初等函数.从而给出了表示函数的新方法，扩大了研究函数的范围.关于两个变量x 与y 的二元方程0),(=y x F 确定隐函数，可类似地推广到1+n 个变量y x x x n ,,...,21的方程 0),,...,(21=y x x x F n .若存在点),...,,(002010n x x x P 的邻域G ,G x x x P n ∈∀),...,,(21，通过上面方程对应唯一一个y ,设),...,(21n x x x f y =，有 0)],...,(,,...,,[2121≡n n x x x f x x x F ，则称n 元函数),...,(21n x x x f y =是有方程0),,...,(21=y x x x F n 所确定的隐函数. 例5三元方程04),,(=-++=yz xy x z y x F .2),(R y x ∈∀)0(≠y ，通过方程对应唯一一个z ，即yxyx z --=4.显然，有0)4,,(≡--yxyx y x F . 由隐函数定义，yxyx z --=4是方程04),,(=-++=yz xy x z y x F 所确定的（二元）隐函数.隐函数还有更一般的情况：若干个方程构成的方程组所确定的隐函数（组）.例如，三个变量两个方程构成的不定方程组⎩⎨⎧=++==-++=.0),,(,065),,(221z y x z y x F z yz x z y x F )5(≠∈∀z R z ，通过方程组对应唯一一对x 与y ，即z x -=56与zz z y --+=5)6)(1(. 显然，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-0,5)6)(1(,560,5)6)(1(,5621z z z z zF z z z z z F 一般情况，n 个变量m 个方程)(n m <构成的不定方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++0),...,,...,,(..............................................0),...,,...,,(0),...,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x x x x F x x x x x F x x x x x F （1）若存在m 个函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++),...,(...............................),...,(),...,(11112111n m m nm n m x x f x x x f x x x f x （2）满足方程组（1），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡+++0),...,,,...,,(...............................................0),...,,,...,,(0),...,,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x f f f F x x f f f F x x f f f F 则称函数组（2）（共m 个函数）是方程组（1）所确定的隐函数组.二、一个方程确定的隐函数定义个二元方程0),(=y x F ，等号左端的二元函数),(y x F 满足什么条件，方程才存在（有连续导数的）隐函数呢？它的几何意义就是，满足什么条件曲面),(y x F z =与平面0=z 交成一条（光滑的单值的）曲线呢？很明显，至少应当假设曲面),(y x F z =与平面0=z 有一个交点),(000y x P ，即0),(000=y x F ，并且在点0P 的某个邻域D 两个偏导数),('y x F x 与),('y x F y 连续.为了使曲面),(y x F z =与平面0=z 不仅相交于一点0P ，还要交成一条单值曲线)(x f y =，这只要增加条件0),(00'≠y x F y 就行.事实上，由连续函数的保号性，在点0P 的某邻域)(D G ⊂，),('y x F y 保号，这表明将),(y x F 看作变量y 的一元函数时是严格单调的，又0),(00=y x F ，所以当)0(>β充分小时，),(00β-y x F 与),(00β+y x F 具有相反的符号，即曲面),(y x F z =穿过平面0=z ，再应用连续函数),(y x F 的保号性，关于变量y 的单调性和根的存在性，就可以证明曲面),(y x F z =与平面0=z 交成一条光滑的单值曲线)(x f y =.有下面隐函数存在定理：定理1 若二元函数),(y x F z =在以),(00y x 为中心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1）),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续（从而),(y x F 在D 连续）； 2）0),(00=y x F ； 3）0),(00'≠y x F y .则ⅰ）0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =（隐函数），使00)(,0)](,[y x f x f x F =≡，且ββ+<<-00)(y x f y .ⅱ))(x f y =在区间∆连续.ⅲ）)(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=证明ⅰ）隐函数的存在性.由条件3），不妨假设0),(00'>y x F y再由条件1），函数),('y x F y 在点),(00y x 连续.根据§10.2定理4（连续函数的保号性），存在以点),(00y x 为中心的闭矩形区域),;(0000ββα+≤≤-≤≤-y y y x x x G 而D G ⊂,G y x ∈∀),(,有0),('>y x F y（3）特别地，当0x x =时，有0),(0'>y x F y ，ββ+≤≤-00y y y .根据§6.4定理2，一元函数),(0y x F 在闭区间],[00ββ+-y y 严格增加.由条件2），0),(00=y x F ，有0),(00<-βy x F 与0),(00>+βy x F .(4)再考虑下面两个一元函数),(0β-y x F ，),(0β+y x F .这两个函数在0x 连续，且有不等式（4），根据§3.2定理3（局部保号性），)(0αδδ<>∃，),(00δδ+-∈∀x x x ，有0),(0<-βy x F 与0),(0>+βy x F （5）（5）式的几何意义是，如图11.1，曲面),(y x F z =在线段AB 上的图像在xy 平面之下，在线段CE 上的图像在xy 平面之上.下面证明，曲面),(y x F z =与xy 平面相交，其单值交线l 就是将要证明的在区间),(00δδ+-x x 的隐函数.令),(00δδ+-=∆x x ，∆∈∀_x ，由（3）式，有0),(_'>y x F y ， ],[00ββ+-∈y y y ，即一元函数),(_'y x F y在区间],[00ββ+-y y 严格增加.由（5）式，有0),(0_<-βy x F 与0),(0_>+βy x F .根据§3.2定理6（介值性），在区间),(00ββ+-y y 存在唯一一点_y 使0),(__=y x F（6）由（6）式，∆∈∀x ，存在唯一一个),(00ββ+-∈y y y 使0),(=y x F ，即),(),(),(0000ββδδ+-⨯+-⊂∈y y x x f y x于是，y 是x 的函数：)(x f y =.∆∈∀x ，有0)](,[≡x f x F 与ββ+<<-00)(y x f y已知0),(00=y x F 与0)](,[00=x f x F .因为在),(00ββ+-y y 内与0x 对应且满足方程0),(0=y x F 的y 是唯一的，所以)(00x f y =.ⅱ）（隐）函数)(x f y =在区间∆连续.只需证明，∆∈∀x ，函数)(x f y =在x 连续.已知),('y x F x 与),('y x F y 在闭矩形域),;(0000ββα+≤≤-≤≤-y y y x x x G 连续，且0),('>y x F y 则|),(|'y x F x 在G 有上界，|),(|'y x F y 在G 有非零下界，即0>∃M 与0>m ，G y x ∈∀),(，有M y x F x <|),(|'与m y x F y ≥|),(|'给自变量x 改变量x ∆，使∆∈∆+x x ，相应地有函数)(x f y =的改变量y ∆，即)()(x f x x f y -∆+=∆或)(x x f y y ∆+=∆+，且（),(00ββ+-∈∆+y y y y .已知0),(=y x F 与0),(=∆+∆+y y x x F),(),(0y x F y y x x F -∆+∆+=),(),(),(),(y x F y y x F y y x F y y x x F -∆++∆+-∆+∆+=.根据§10.3的引理，有y y y x F x y y x x F y x ∆∆++∆∆+∆+=),(),(02'1'θθ（7）其中101<<θ，102<<θ.将（7）式改写为x y y x F y y x x F x f x x f y y x ∆∆+∆+∆+-=-∆+=∆),(),()()(2'1'θθ 有|)()(|||x f x x f y -∆+=∆=||||),(),(2'1'x m Mx y y x F y y x x F y x ∆≤∆∆+∆+∆+-θθ 于是0)]()([lim lim 0=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ，即（隐）函数)(x f y =在x 连续，从而在∆连续.ⅲ）（隐）函数)(x f y =在区间∆有连续导数.∆∈∀x ，由（7）式，有),(),(2'1'y y x F y y x x F x yy x ∆+∆+∆+-=∆∆θθ，101<<θ，102<<θ 已知)(x f y =在x 连续，从而当0→∆x 时，有0→∆y ，又已知),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续，有),(),(lim lim )(2'1'000'y y x F y y x x F x yx f y x y x x ∆+∆+∆+-=∆∆=→∆→∆→∆θθ ),(),(''y x F y x F y x -= )0),(('≠y x F y .即（隐）函数)(x f y =在区间∆有连续的导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=注 为使证明的层次分明，定理1的结论分成三个部分，实际上，这三个部分可以合并，叙述为以下更加简明的形式：“则存在点0x 的邻域∆，在∆存在唯一一个有连续导数的（隐）函数)(x f y =，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=” 今后，隐函数定理的结论，都采用这种合并后的叙述形式.由于定理1的证明与区域D 的维数无关.因此，定理1可推广到1+n 个自变量的方程0),,...,,(21=y x x x F n 所确定的隐函数定理2 若函数),,...,,(21y x x x F z n =在以点),,...,,(0002010y x x x P n 为中心的矩形区域G 满足下列条件：1）'1x F ，'2x F ，….，'xn F ，'y F 在G 连续（从而F 在G 连续）;2) 0),,...,,(000201=y x x x F n3) 0),,...,,(000201'≠y x x x F n y .则存在点),...,,(002010n x x x Q 的邻域U ，在U 存在唯一一个有连续偏导数的n 元（隐）函数),...,,(21n x x x f y =，使0)],...,,(,,...,,[2121≡n n x x x f x x x F),...,,(002010n x x x y =，且''yxk k F F x y-=∂∂),...,2,1(n k =证明从略.注 关于定理1与定理2作如下两点说明：1）定理的条件是隐函数存在的充分条件而不是必要条件；2）定理只是指出隐函数是存在的，并没有指出隐函数是“什么样”，但是能够借助给定的方程讨论它的连续性和可微性.例6 验证二元方程022),(=-+=yxxy y x F 在点0=x 的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数)(x y ϕ=，并求)('x ϕ（见例3）.解 函数2ln 2),('x x y y x F +=与2ln 2),('yy x y x F -=在点)0,0(的邻域连续，且0)0,0(=F ，02ln )('≠-=xy F y根据定理1，在点0=x 的某个邻域),(δδ-存在唯一一个有连续导数的（隐）函数)(x y ϕ=，使0)](,[≡x x F ϕ，且0)0(=ϕ.（隐）函数)(x y ϕ=的导数是2ln 22ln 2)('y x x y x -+-=ϕ求隐函数的偏导数不必套用公式，可直接应用复合函数的导数公式 例7求由三元方程z y z xy 2sin =++确定的隐函数),(y x f z =的偏导数解 在方程中将z 看作是x 与y 的二元函数，对方程的两端分别关于x 与y 求偏导数，有xzx z zy ∂∂=∂∂+2cos 与y z y z z x ∂∂=+∂∂+21cos于是，分别解得z yx z cos 2-=∂∂与zx y z cos 21-+=∂∂ 三、方程组确定的隐函数首先讨论四个变量两个方程的特别情况，即⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(21v u y x F v u y x F 定理3 若四元函数0),,,(1=v u y x F 与0),,,(2=v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的邻域G 满足下列条件： 1）四元函数0),,,(1=v u y x F 与0),,,(2=v u y x F 的所有偏导数在G 连续（从而，1F 与2F 在G 连续）；2）⎩⎨⎧==0),,,(;0),,,(0000200001v u y x F v u y x F 3）行列式02211≠∂∂∂∂∂∂∂∂=vF uF vF uF J 4） 则存在点),(00y x Q 的邻域V ，在V 存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组),(y x u u =与),(y x v v =使⎩⎨⎧≡≡0)],(),,(,,[0)],(),,(,,[21y x v y x u y x F y x v y x u y x F 且 ),(000y x u u =，),(000y x v v =证法 其证法类似代数的解方程组的代入法.从第一个方程0),,,(1=v u y x F 中“解”出),,(u y x f v =（这需要验证它满足定理2的条件）.将它代入第二个方程之中，即0)],,(,,,[2=u y x f u y x F ，再从中“解”出),(y x u u =（这也需要验证它满足定理2的条件）最后将),(y x u u =代入),,(u y x f v =中，就得到),()],(,,[y x v y x u y x f v ==.于是，得到（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =证明由条件3),行列式J 在点P 不为零，则u F ∂∂1与vF ∂∂1至少有一个在点P 不为零.不妨设01≠∂∂PvF .于是，不难验证，四元函数),,,(1v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的邻域满足下列条件： 1）函数),,,(1v u y x F 的所有偏导数在G 连续；2）0),,,(00001=v u y x F ；3）01≠∂∂PvF根据定理2，在点),,(000u y x N 的某个邻域D 存在唯一一个连续（隐）函数),,(u y x f v =，使0)],,(,,,[1≡u y x f u y x F ，且),,(0000u y x f v =（9）函数),,(u y x f v =的偏导数x f ∂∂，y f ∂∂，uf ∂∂在邻域D 连续.由（8）式，有 vF x F xf∂∂∂∂-=∂∂11，v F yF y f ∂∂∂∂-=∂∂11，vF u F u f ∂∂∂∂-=∂∂11（10）再将函数),,(u y x f v =代入到第二个四元函数),,,(2v u y x F 之中，设)],,(,,,[),,(2u y x f u y x F u y x =ϕ下面验证函数),,(u y x ϕ在点),,(000u y x N 的邻域D 满足下列条件：1）函数),,(u y x ϕ的所有偏导数在D 连续.事实上，x v v F x F x ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ，y vv F y F y∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ， u v v F u F u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂u f u v已知x F ∂∂2，y F ∂∂2，u F ∂∂2，v F ∂∂2，x v ∂∂，y v ∂∂，u v ∂∂在邻域D 都连续,则x ∂∂ϕ，y ∂∂ϕ，u∂∂ϕ在邻域D 连续.2）0),,,()],,(,,,[),,(000020000002000===v u y x F u y x f u y x F u y x ϕ3）0≠∂∂Nuϕ，事实上，已知uvv F u F u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂22ϕ.由（10）式，有 vF u F u ∂∂-∂∂=∂∂22ϕ·⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂u F v F uF v F vF v F u F 12211111 J vF u F v F u F v F v F ∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=12211111由已知条件，有011≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂J v F uNϕ 根据定理2，在点),(00y x Q 的某个邻域V 存在唯一一个连续（隐）函数),(y x u u =，使0)],(,,[≡y x u y x ϕ，且),(000y x u u =（11）函数),(y x u u =的偏导数x u ∂∂，yu ∂∂在邻域V 连续. 最后，将),(y x u u =代入),,(u y x f v =之中，设),()],(,,[y x v y x u y x f v ==（12）下面证明.（隐）函数组),(y x u u =与),(y x v v =满足定理的要求事实上，已知函数),,(u y x f v =在D 连续，),(y x u u =在)(D V ⊂连续，于是)],(,,[),(y x u y x f y x v v ==在V 连续，即),(y x u u =，),(y x v v =在V 都连续.其次有（9）式与（11）式，有0)],,(,,.,[))],(,,(),,(,,[)],(),,(,,[111≡≡≡u y x f u y x F y x u y x f y x u y x F y x v y x u y x F 0)],,(,,.,[))],(,,(),,(,,[)],(),,(,,[222≡≡≡u y x f u y x F y x u y x f y x u y x F y x v y x u y x F由（11），（12），（9）式，又有000),(u y x u =，000000000),,()],(,,[),(v u y x f y x u y x f y x v ===已知函数),(y x u u =的偏导数在邻域V 连续.函数),(y x v v =的偏导数在邻域V也是连续的.事实上，由（12）式，有x u u f x f x v ∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yuu f y f y v ∂∂∂∂+∂∂=∂∂ 已知x f ∂∂，y f ∂∂，u f ∂∂，x u ∂∂，y u ∂∂在邻域V 连续，则x u ∂∂，yu ∂∂在邻域V 也连续. 推论若函数组),(),,(v u y y v u x x ==的所有偏导数在点),(00v u P 的邻域连续，且),(000v u x x =，),(000v u y y =在点),(00v u P 行列式0≠∂∂∂∂∂∂∂∂Pvy u y v x u x则在点),(00v u Q 的某邻域存在有连续偏导数的反函数组),(y x u u =，),(y x v v =证明函数组),(),,(v u y y v u x x ==可改写为⎩⎨⎧=-==-=0),(),,,(0),(),,,(21v u y y v u y x F v u x x v u y x F 显然，函数1F 与2F 的所有偏导数在点),,,(0000v u y x M 的邻域连续，且⎩⎨⎧=-==-=0),(),,,(0),(),,,(0000000200000001v u y y v u y x F v u x x v u y x F 又有02211≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂PPMuy u y v x u x u y u y v x u x vF u F v F u F根据定理3，在点),(00y x Q 的某邻域存在有连续偏导数的反函数组),(y x u u =，),(y x v v =定理3只是指出了（隐）函数组存在连续的偏导数.那么怎样求它的偏导数呢？现举例说明如下.若方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(21v u y x F v u y x F 确定了（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(21y x v y x u y x F y x v y x u y x F 对这两个恒等式关于x 求偏导数.由复合函数微分法，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂00222111x v v F x u u F xF xvv F x u u F x F 其中x u ∂∂，xv∂∂是未知的，其余的六个偏导数都是已知的.解得 vF u F v F u F v F x F v F x F xu ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂-=∂∂22112211xv ∂∂=vF u F v F u F x F u F x F u F ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂22112211同样方法，可求关于y 的偏导数y u ∂∂，yv ∂∂ 例8 验证方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+02222v u xy uv y x 在点)1,1,0,1(),,,(0000=v u y x 的邻域满足定理3的条件,从而在点（1，0）的邻域存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =，并求x u ∂∂，yu∂∂，x v ∂∂，yv ∂∂. 解 设⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=222221),,,(),,,(vu xy v u y x F uv y x v u y x Fx x F 21=∂∂，y y F 21=∂∂，v u F -=∂∂1，u v F-=∂∂1y xF =∂∂2， x y F =∂∂2，u u F 22-=∂∂，v v F 22=∂∂ 在点（1,0,1,1）的邻域都连续，且⎩⎨⎧==0)1,1,0,1(0)1,1,0,1(21F F 而u v vF u F v F u F J 22211--=∂∂∂∂∂∂∂∂=)(22222222v u u v v u +-=--=- 在点)1,1,0,1(),,,(0000=v u y x ，有04≠-=J根据定理3，在点（1,0）的邻域存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组),(y x u u =，),(y x v v =.为了求其偏导数，将方程组关于x 求偏导数，其中u 与v 是x 的函数，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-02202x v v x u u y xv u x u v x 解得)(24222222v u yu xv vu u v v uy x x u +-=------=∂∂ )(24222222v u yv xu vu u v y xu v x v +-=-------=∂∂ 同样方法，可求关于y 的偏导数y u ∂∂与yv ∂∂ 例9 验证方程组⎩⎨⎧=++=-++06222z y x z y x 在点)1,2,1(),,(000-=z y x 的邻域满足定理3的条件，在点10=x 的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组)(1x f y =与)(2x f z =，并求dx dy 与dxdz . 解 设⎩⎨⎧++=-++=zy x z y x F z y x z y x F ),,(6),,(22221x x F 21=∂∂，y y F 21=∂∂，z zF21=∂∂，12=∂∂x F ，12=∂∂y F ，12=∂∂zF在点)1,2,1(-的邻域都连续，且⎩⎨⎧=+-+=-=-+-+=-01)2(1)1,2,1(061)2(1)1,2,1(22221F F 而)(212122211z y z y zF y F z F y F J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=在点)1,2,1(),,(000-=z y x ，有06≠-=J根据定理3，在点10=x 的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组)(1x f y =与)(2x f z =为了求导数,将方程组关于x 求导数，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dxdz z dx dy y x 解得z y x z z y z x dx dy --=--=12121212，z y yx z y xy dx dz --=--=12121212定理3可推广到n m +个变量m 个方程的一般情况，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++0),...,,...,,(..............................................0),...,,...,,(0),...,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x x x x F x x x x x F x x x x x F 定理4 若m 个函数1F ，2F ，…m F 在点),...,,,...,(001001n m m m x x x x M ++的某个领域G 满足下列条件： 1）函数1F ，2F ，…m F 的所有偏导数在G 连续；2） 0)()()(21==⋅⋅⋅==M F M F M F m ；3）行列式在点M 不为零，即0212221212111≠∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂Mmmm m m m x Fx F x F x Fx F x F x Fx F x F则存在点),...,,(0201n m m m x x x N +++的邻域V ，在V 存在唯一一组有连续偏导数的n 元m 值（隐）函数组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++++++),...,(..................................),...,(),...,(1122111n m m m m nm m n m m x x f x x x f x x x f x 且)(101N f x =，)(202N f x =，... )(0N f x m m =，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡+++0),...,,,...,,(...............................................0),...,,,...,,(0),...,,,...,,(12112121211n m m m nm m n m m x x f f f F x x f f f F x x f f f F。