数学专业英语翻译2-4

4－B Geometric interpretation of real numbers － as points on a line The reader is undoubtedly familiar with the geometric interpretation of real numbers by means of points on a straight line. A point is selected to represent 0 and another, to the right of 0, to represent 1, as illustrated in Figure 2-4-1. This choice determines the scale. 毫无疑问， 毫无疑问， 读者都熟悉通过在直线上描点的方式表 示实数的几何意义。如图2-4-1所示，选择一个点表 所示， 示实数的几何意义。如图 所示 右边的另一个点表示1。 示 0， 在 0右边的另一个点表示 。 这种做法决定了 ， 右边的另一个点表示 刻度。 刻度。
2.4 整数、有理数与实数 整数、 Integers, Rational Numbers and Real Numbers New Words & Expressions:
conversely 反之 geometric interpretation 几何意义 correspond 对应 induction 归纳法 deducible 可推导的 proof by induction 归纳证明 difference 差 inductive set 归纳集 distinguished 著名的 inequality 不等式 entirely complete 完整的 integer 整数 Euclid 欧几里得 interchangeably 可互相交换的 Euclidean 欧式的 intuitive直观的 直观的 the field axiom 域公理 irrational 无理的
正整数的相反数被叫做负整数。 正整数， 负整数和 正整数的相反数被叫做负整数 。 正整数 ， 零构成了一个集合Z，简称为整数集。 零构成了一个集合 ，简称为整数集。
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In a thorough treatment of the real-number system, it would be necessary at this stage to prove certain theorems about integers. For example, the sum, difference, or product of two integers is an integer, but the quotient of two integers need not to ne an integer. However, we shall not enter into the details of such proofs. 在实数系统中， 为了周密性， 在实数系统中 ， 为了周密性 ， 此时有必要证明一些 整数的定理。 例如， 两个整数的和、 整数的定理 。 例如 ， 两个整数的和 、 差和积仍是整 但是商不一定是整数。 数 ， 但是商不一定是整数 。 然而还不能给出证明的 细节。 细节。
To introduce the positive integers we begin with the number 1, whose existence is guaranteed by Axiom 4. The number 1+1 is denoted by 2, the number 2+1 by 3, and so on. The numbers 1,2,3,…, obtained in this way by repeated addition of 1 are all positive, and they are called the positive integers. 我们从数字1开始介绍正整数， 公理4保证了 保证了1的存在 我们从数字 开始介绍正整数，公理 保证了 的存在 开始介绍正整数 表示， 表示， 性。1+1用2表示，2+1用3表示，以此类推，由1重复 用 表示 用 表示 以此类推， 重复 累加的方式得到的数字1,2,3，…都是正的，它们被叫 ， 都是正的 都是正的， 累加的方式得到的数字 做正整数。 做正整数。
严格地说，这种关于正整数的描述是不完整的，因 严格地说， 这种关于正整数的描述是不完整的， 为我们没有详细解释“ 等等” 或者“ 1的重复累加 ” 为我们没有详细解释 “ 等等 ” 或者 “ 的重复累加” 的重复累加 的含义。 的含义。
Although the intuitive meaning of expressions may seem clear, in careful treatment of the real-number system it is necessary to give a more precise definition of the positive integers. There are many ways to do this. One convenient method is to introduce first the notion of an inductive set. 虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的， 虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的 ， 但是在认 真处理实数系统时必须给出一个更准确的关于正整 数的定义。 有很多种方式来给出这个定义， 数的定义。 有很多种方式来给出这个定义，一个简 便的方法是先引进归纳集的概念。 便的方法是先引进归纳集的概念。
New Words & Expressions:
irrational number 无理数 the order axiom 序公理 ordered 有序的 product 积 quotient 商 rational 有理的 rational number 有理数 reasoning 推理 scale 尺度，刻度 尺度， sum 和
4－A Integers and rational numbers － There exist certain subsets of R which are distinguished because they have special properties not shared by all real numbers. In this section we shall discuss such subsets, the integers and the rational numbers. 有一些R的子集很著名， 有一些 的子集很著名，因为他们具有实数所不具备 的子集很著名 的特殊性质。在本节我们将讨论这样的子集，整数集 的特殊性质。在本节我们将讨论这样的子集， 和有理数集。 和有理数集。
P的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称 的这种性质形成了一种推理的逻辑基础， 的这种性质形成了一种推理的逻辑基础 之为归纳证明， 之为归纳证明 ， 在介绍的第四部分将给出这种方法 的详细论述。 的详细论述。
The negatives of the positive integers are called the negative integers. The positive integers, together with the negative integers and 0 (zero), form a set Z which we call simply the set of integers.
现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。 现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。
Let P denote the set of all positive integers. Then P is itself an inductive set because (a) it contains 1, and (b) it contains x+1 whenever it contains x. Since the members of P belong to every inductive set, we refer to P as the smallest inductive set. 表示所有正整数的集合。 用 P表示所有正整数的集合。那么 本身是一个归纳 表示所有正整数的集合 那么P本身是一个归纳 集 ， 因为其中含1， 满足(a)； 只要包含x就包含 因为其中含 ， 满足 ； 只要包含 就包含x+1, 就包含 满足(b)。由于P中的元素属于每一个归纳集 因此P 中的元素属于每一个归纳集， 满足 。由于 中的元素属于每一个归纳集，因此 是最小的归纳集。 是最小的归纳集。
This property of P forms the logical basis for a type of reasoning that mathematicians call proof by induction, a detailed discussion of which is given in Part 4 of this introduction.
Quotients of integers a/b (where b≠0) are called rational numbers. The set of rational numbers, denoted by Q, contains Z as a subset. The reader should realize that all the field axioms and the order axioms are satisfied by Q. For this reason, we say that the set of rational numbers is an ordered field. Real numbers that are not in Q are called irrational. 整数a与 的商被叫做有理数 有理数集用Q表示 的商被叫做有理数， 表示， 整数 与b的商被叫做有理数，有理数集用 表示，Z 的子集。 是Q的子集。读者应该认识到 满足所有的域公理和 的子集 读者应该认识到Q满足所有的域公理和 序公理。因此说有理数集是一个有序的域。 序公理 。 因此说有理数集是一个有序的域 。 不是有 理数的实数被称为无理数。 理数的实数被称为无理数。
DEFINITION OF AN INDUCTIVE SET. A set of real numbers is called an inductive set if it has the following two properties: (a) The number 1 is in the set. (b) For every x in the set, the number x+1 is also in the set. For example, R is an inductive set. So is the set R + . Now we shall define the positive integers to be those real numbers which belong to every inductive set.
Strictly speaking, this description of the positive integers is not entirely complete because we have not explained in detail what we mean by the expressions “and so on”, or “repeated addition of 1”.