补充(传热微分方程无因次化+类比)(1)
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
复习导热过程的传热学原理与导热微分方程
这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充 型过程的流场耦合温度场得到。
13
第四节 简化假设与实际问题的模型化
1、简化或假设原因 铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化
或假设。 其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性
的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系
考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 C p C p (T )
随温度变化造成的
C p
T t
项的非线性，以便进行数值求解。
T
方式：定义热焓标量 H H0 CpdT, H0＝H（T0）
T0
H T
Cp
H t
H T
• T t
Cp
• T t
6
第二节 导热微分方程
则无内热源方程：2U Cp • U t
主要内容
1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理
1
第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律
二 、傅立叶（Fourier）定律
表达式：q • gradT • T • n
n
直角坐标系分量：
q • T
x
x
q • T
y
y
q • T
dU
dT 0
U U T T
• •
t T t 0 t
4
第二节 导热微分方程
可得：2U x2
(U ) x x
传热过程的计算及换热器2
传热过程的计算及换热器2传热过程的计算及换热器2传热是物体间因温度差而引起的热能传递过程。
在工程实际中，传热过程的计算是非常重要的，尤其是在换热器设计和运行中。
本文将对传热过程的计算方法和换热器进行详细介绍。
一、传热过程的计算方法1.传热方程求解：传热方程主要包括热传导方程、对流传热方程和辐射传热方程。
热传导方程适用于固体传热，对流传热方程适用于流体传热，辐射传热方程适用于热辐射传热。
通过对这些方程进行求解，可以得到传热过程中的温度分布和传热速率。
2.传热电阻法：传热电阻法是根据传热过程中各个物体的热阻来计算传热速率的方法。
传热过程中，一般包括热源（或热池）、传热介质和传热表面。
根据热阻的串/并联关系，可以将传热系统简化为一个等效的传热电路，然后通过电路的电流和电阻来计算传热速率。
3.传热系数法：传热系数法是根据传热过程中的传热系数来计算传热速率的方法。
传热系数是指传热介质和传热表面之间传热的能力，可以通过实验测定或者理论计算来获取。
根据传热系数的定义和传热公式，可以直接计算传热速率。
二、换热器换热器是用来实现热能传递的设备，广泛应用于化工、电力、石油、冶金、轻工等行业，是工业生产中的重要设备之一、换热器的主要功能是将两种介质之间的热量传递给另一种介质，实现冷热介质的热能转化。
换热器按照结构特点可以分为管壳式换热器和板式换热器。
管壳式换热器由壳体、管束和管板等组成，各种不同的构造形式可以满足不同的工艺要求。
板式换热器是利用板状换热元件将冷热介质进行交叉传热，具有紧凑、高效、节能的优点。
换热器的性能主要是通过换热系数和压力损失来评价的。
换热器的换热系数是指单位时间内传递热量与温度差的比值，表示换热器的传热能力，可以通过实验测定和理论计算来获取。
压力损失是指流体通过换热器时产生的阻力损失，与换热器的结构和流体特性密切相关。
换热器的设计和运行中，需要考虑的因素包括传热面积的确定、流体流速的选择、换热介质的性质以及换热器的材料选择等。
传热学对流传热的理论基础课件
特征数方程中的 几位人物
传热学对流传热的理论基础课件
（4） 与 t 之间的关系及 Pr
对于外掠平板的层流流动: uco,n st
动量方u程 u x： v u y y 2u 2
d d
p 0 x
此时动量方程与能量方程的形式完全一致:
u
t x
v
t y
a
2t y2
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似
上述理论解与实验值吻合。
普朗特边界层理论在流体力学发展史上具有划时代的意义！
传热学对流传热的理论基础课件
5.3 流体外掠等温平板传热的理论分析
当壁面与流体间有温差时，会产生温度梯度很大的温度 边界层（热边界层， thermal boundary layer ）
厚度t 范围 — 热边界层或温度边界层
预期解的形式
传热学对流传热的理论基础课件
4. 如何指导实验
• 同名的已定特征数相等 • 单值性条件相似：初始条件、边界条件、几何条件、
物理条件
实验中只需测量各特征数所包含的物理量,避免了测量的盲 目性——解决了实验中测量哪些物理量的问题 按特征数之间的函数关系整理实验数据，得到实用关联式 ——解决了实验中实验数据如何整理的问题 可以在相似原理的指导下采用模化试验 —— 解决了实物 试验很困难或太昂贵的情况下，如何进行试验的问题
Nu — 待定特征数 （含有待求的 h）
Re，Pr，Gr — 已定特征数
特征关联式的具体函数形式、定性温度、特征长度等的确 定需要通过理论分析，同时又具有一定的经验性。
传热学对流传热的理论基础课件
关联式中的待定参数需由实验数据确定，通常由图解法 和最小二乘法确定。如通过相似原理或理论分析，预期
传热基本方程及传热计算
传热基本方程及传热计算传热是热能在不同物体之间由高温物体向低温物体传递的过程。
根据传热的方式不同，传热可以分为三种基本模式：传导、对流和辐射。
1.传导：传导是在物质内部进行热能传递的过程，它是由物质内部粒子的碰撞引起的。
传导传热的基本方程是傅里叶热传导定律，它的表达式为：q = -kA(dT/dx)其中，q表示单位时间内通过传导传递的热量，在国际单位制中以瓦特（W）表示；k是物质的热导率，表示物质传热的能力，单位是瓦特/米·开尔文（W/m·K）；A是传热面积，表示热量传递的面积；(dT/dx)表示温度梯度，即温度随长度的变化率。
2.对流：对流是通过流体介质（如气体或液体）的流动来传递热量的过程。
对流传热的基本方程是牛顿冷却定律，它的表达式是：q=hA(T1-T2)其中，q表示单位时间内通过对流传递的热量，在国际单位制中以瓦特表示；h是对流传热的热传递系数，表示流体传热的能力，单位是瓦特/平方米·开尔文（W/m^2·K）；A是传热面积，表示热量传递的面积；T1和T2是两个物体之间的温度差。
3.辐射：辐射是通过电磁波的辐射来传递热量的过程。
辐射传热的基本方程是斯特藩-玻尔兹曼定律，它的表达式是：q=εσA(T1^4-T2^4)其中，q表示单位时间内通过辐射传递的热量，在国际单位制中以瓦特表示；ε是物体的辐射率，表示物体辐射的能力；σ是斯特藩-玻尔兹曼常数，它的值约为5.67×10^-8瓦特/(平方米·开尔文的四次方)；A 是传热面积，表示热量传递的面积；T1和T2是两个物体的绝对温度，单位为开尔文（K）。
传热计算可以根据以上基本方程进行。
首先，需要确定相关的参数，如热导率、热传递系数和辐射率等。
然后，可以使用适当的方程计算传热速率。
最后，根据传热速率和传热时间，可以计算传输的总热量。
传热计算可以应用于很多领域，如建筑、工程、材料和环境等。
它可以帮助我们设计高效的热交换设备、优化能源利用和节约能源。
传热学 10 导热微分方程
• ② 物理条件：任何具体现象，都必须有介质参与。 因此，介质的物理性质 (如密度、热容、导温系数等 ) 也是定解所需的条件。由于密度ρ与重力加速度g有关， 因此g是伴随ρ出现的物理量，故g也属于定解条件。
2.3 导热微分方程
③ 边界条件：任何具体现象都发生在某一体系内，而 该体系必然受到其直接相邻的边界情况的影响。因此， 发生在边界的情况也是定解条件。
1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》 (Theorie ana1ytique de la Cha1eur ，Didot ， Paris， 1822)。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊 情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论， 三角级数后来就以傅里叶的名字命名。 傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处 理无穷区域的热传导问题又导出了“傅里叶积分”，这 一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。 傅里叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概 念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨； 三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。《热的解 析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。
• 确定热流密度的大小，应 知道物体内的温度场，理 论基础：傅里叶定律+热力 学第一定律，假设：
(1) 所研究的物体是各向同性的 连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为 已知； (3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3]；内热源均匀分布；
qv 表示单位体积的导热体 在单位时间内放出的热量:
• 解：为不稳态导热和一维的问题。当λ、qv均为常数 时，一维不稳态导热微分方程简化和边界层如下：
qv T T a 2 t x cp
2
t=0，x=0，T(0，x)= T0
T t 0, x s, x
传热基本方程及传热计算
当要考虑热损失时，则有：
通常在保温良好的换热器中可取
三、平均温度差
在间壁式换热器中， 的计算可分为以下几种类型：
1．１．两侧均为恒温下的传热
两侧流体分别为蒸汽冷凝和液体沸腾时，温度不变，则： ＝Ｔ－t＝常数
一、传热速率Ｑ的计算
冷、热流体进行热交换时，当热损失忽略，则根据能量守恒原理，热流体放出热量 ，必等于冷流体所吸收的热量 ，即 ，称之热量衡算式。
1．1．无相变化时热负荷的计算
（1）（1）比热法
（4-12）
式中 ——热负荷或传热速率，J.s-1或W；
——热、冷流体的质量流量，kg.s-1；
——冷、热流体的定压比热，取进出口流体温度的算术平均值下的比热，
第三节
从传热基本方程
（４－１１）
或
（４－１１ａ）
可知，要强化传热过程主要应着眼于增加推动力和减少热阻，也就是设法增大 或者增大传热面积Ａ和传热系数Ｋ。
在生产上，无论是选用或设计一个新的换热器还是对已有的换热器进行查定，都是建立在上述基本方程的基础上的，传热计算则主要解决基本方程中的 及有关量的计算。传热基本方程是传热章中最主要的方程式。
逆流
（3）当冷、热流体操作温度一定时， 总大于 。当要求传热速率一定时，逆流所需的设备投资费用及操作费用均少于并流，故工业生产的换热设备一般采用逆流操作。
四、总传热系数
总传热系数K值有三个来源：一是选取经验值；二是实验测定值；三是计算。
1．１．换热器中总传热系数数值的大致范围
换热器中总传热系数K值，可参看天津大学编《化工原理》上册，P239表4-2及谭天恩等三人编《化工原理》上册P232表5-3。K值变化范围很大，选取K值时应注意换热器型式及冷热介质均符合要求。
传热学公式+例题总结!老衲亲手整理!考试中会出现的公式都在里面!
——热传导)(21t t A Q -=δλ212111)(h h t t A f f ++-=Φλδ导热微分方程：c zt y t x t a t ρτ·222222)(Φ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂)/(c a ρλ=肋效率： ＝实际散热量/假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量（ ＝）等截面直肋（肋端绝热）温度分布： θ=θ0ch(m(x-H))/ch(mH),肋端：热量：肋效率：()()()()()r o f f f o f r f f o f r f f o o fr fA h t t A h t t A A h t t A A A h t t A A ηηηΦ=-+-+=-+=-+()o o o o f h A t t η=-oη为肋面总效率（1）、集总参数法（Biv ＜0.1M,M=1（平板）,1/2（圆柱）,1/3（圆球）)τρθθVchA e t t t t -∞∞=--=00222()()hA hV AcV A V ch V A a Bi FoV A λττρλρτλ=⋅=⋅=⋅1、 平壁稳态导热 第一类边界条件：单层：x t t t t w w w δ121--=；221/)(m W t t q w w -=δλ多层∑∑=+=+-=-=ni in ni iin R t t t t q 1,11111λλδ第三类边界条件：传热问题2112111h h t t q n i i f f ++-=∑=λδ单位W/m22、 圆筒壁稳态导热 第一类边界条件单层：121121r r n r r nt t t t w w w =--()12212112212r r n l t t t t r r n lw w w w πλπλ-=-=Φ多层：∑=++-=Φn i i i i n w w r r n l t t 111,1121 λπ 第三类边界条件：1211112121ln 2121+=+++-=∑n ni i i f f l r h ri r r h t t q ππλπ单位：W/m——热对流λhlBi =，固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比2la Fo τ=，非稳态过程的无量纲时间，表示过程进行的时间深度。
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DT c p k 2T Dt
T
T Ts Tb Ts
DT 1 1 2 2 T T RePr Dt du c p k
Pr
cp k
Pr数
Tb T s T* T k * k d r r *1 2 r R d h.d d * d * Nu T* T* k k Tb Ts k r r *1 2 d r r *1 2 Tb Ts
* 热量传递与动量传递的类比 * 摩擦因子 与传热j因子 ，雷诺类比律与柯尔本类比律 对流传热膜系数与摩擦因子的类比关系
热量交换与动量交换 都依赖于同一质量的流体在该方向上的迁移运动
y u,T-TS,CA-CAS
s mu 0
s
qs mcp Tb Ts
qs hTb Ts
-0.2
(2.3.71)
传热雷诺类比律 ，光滑圆管内充分发展的湍流 传热
Nu 0.023Re0.8 Pr
（比较经验方程2.4.47 ，n=1/3 ）
Nu 0.023Re0.8 Prn
柯尔本类比律(经验修正)
f Nu Pr 2 3 St Pr 2 3 jH 2 RePr f 0.046 Re 0.2 13 Nu Re Pr Re Pr 1 3 0.023Re 0.8 Pr 1 3 2 2
对流传热膜系数的影响因素 准数化
h Aua b c ki c p d f
e
du hd A k
a
cp k
e
准数方程，经验方程，实验范围 数学物理基础，微 分方程无因次化
Nu 0.023Re0.8 Prnning摩擦因子f /2在动量传递中的物理意义 Fanning摩擦因子f /2在热量传递中的物理意义
s f 向壁面传递的动量通量 2 轴向流动的平均动量通 量 u 2
传热斯坦顿准数 St
h
雷诺类比律
cpu
hd k Nu f u d c p RePr 2 k
0
T,H,M
m
s
u
f 2 u 2
u
f u 2 2
u(y),T(y),CA(y)
m
h h Tb Ts qs h f c p Tb Ts c p Tb Ts c p c pu 2
h Tb Ts 向壁面传递的热通量 f 2 c pu Tb Ts 轴向流动的平均热通量
* 对流传热膜系数准数方程 * 传热学相似准则
f
s u 2 2
d uz 2 dr r R u d uz u 2 d dr u 2 2
2 d uz Re dr r *1 2
r *1 2
摩擦因子经验方程（Colburn公式）
f =λ/ 4=0.046Re
-0.2
(2.3.71)
St
h
cpu
hd k Nu f u d c p RePr 2 k
摩擦因子经验方程（Colburn公式）
f =λ/ 4=0.046Re