第六章相关系数检验
第六章相关系数检验
第六章 相关系数检验一般来说，在回归模型的基本假设中，有一个假设条件是最为重要的，这就是假设变量之间在概率意义上存在线性关系；亦即)(i Y E =i X βα+或)(i E μ=0。
这里的“概率意义”，虽说与确定意义有差别，但由于概率意义的前提必须承认规律的存在；故我认为，这里的“线性关系”与确定意义下的“线性关系”并无根本性的区别。
因此，我们可以说，概率意义上的线性关系仍是一般意义上的线性思路或方法，只是分析的条件有所放松而已。
现在我们要问，在建立回归模型时，这个假设条件成立吗？显然需要进行检验，需要建立一种检验方法。
6·1、建立相关系数检验方法的基本思路实际上，建立相关系数检验方法的基本思路是较为简单和清晰的。
其基本思路是：建立一种方法（2R ）,希望此方法在测定被解释变量Y 的总的变化中，推出回归直线能够解释的部分有多大；即通过两者之比的大小，来推断回归模型效果的好坏。
下面简要介绍其方法的建立过程：首先，我们有Y 的总的变化可表示为 ： Y Y y i i -=回归直线能够解释的部分： Y Y y ii -=ˆˆ 由此我们可以得到，回归直线没有（或不能）解释的部分为：i i i Y Y e ˆ-= 因而我们有Y 的总的变差=∑∑∑++=+=)ˆ2ˆ()ˆ(2222i i i i i i i e e y y e yy 其中，)(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ)(ˆ(ˆ222∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=iii i i i i i i i i i i i xx y x y x x y x x y x e y βββββ=0（注意：i i i i x X Y Y y X Y X Y ββαβαβαβαˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ=---=-=∴+=∴-= ，另外 i i i i i i i x y y y Y Y e βˆˆˆ-=-=-=）。
所以，我们最终有Y 的总的变差==∑∑∑∑+=++=+=)ˆ()ˆ2ˆ()ˆ(222222i i i i i i i i i e y e e y y e yy 亦即，Y 的总的变差=回归直线能够解释的部分部分+回归直线不能够解释的部分显然这个结论是十分重要的，在计量经济学中已有许多类似的结果。
第6章 相关与回归分析习题解答
第六章 相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。
答：错。
应是相关关系。
单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。
2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。
答：.错。
相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。
3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。
答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。
4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。
答：错。
两者是精确的函数关系。
5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。
答：对。
6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。
答：对。
因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。
二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。
然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。
统计学06第六章相关与回归分析
-5.3339 -21.2729 -20.0669
0.02111209 -58.5559
0.0675121 -201.421
2019/11/7
第六章 相关与回归分析
20
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 1
n x y
Lxx
L yy
Lxy
2
xx
2
y y
xx
3559.59
22
2.2 相关系数的特征及判别标准
解法 2
n x y x2 y2 x y
10 6470 5.813 4814300 3.446609 3559.59
r
10 3559.59 6471 5.813
10 4814300 64702 10 3.446609 5.8132
第六章 相关与回归分析
第二节 简单线性相关分析
2.1 相关系数的计算公式 2.2 相关系数的特征及判别标准 2.3 相关系数的检验
2.1 相关系数的计算公式
相关系r数与计ρ算公式： X 、Y 的协方差
相总关样 系体数本：相关 系V数Caor是 vXX一，Va个 YrY统
计量。可以证明，样本相
y y
10 6470 5.813 628210 0.0675121 -201.421
r
201 .421
628210 0 .0675121
0 .978051034 0.9781
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第六章 相关与回归分析
21
2.2 相关系数的特征及判别标准
x
280 320 390 530 650 670 790 880 910 1050
第六章相关与回归分析
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
第六章相关分析
（一）Pearson相关（直线相关）
直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。其性质可由图9-6散点图直观的说明 。 目的：研究 两个变量X,Y数量上的(线性)依存（或相关 ） 关系。
2、怎样编秩
• 编秩就是将观察值按顺序由小到大排列，并用序 号代替原始变量值本身。不同的实验设计类型， 有不同的编秩规则，
3、 Spearman秩相关
概念及适用条件 （1）概念 两变量是等级测量数据，且总体不一定呈正
态分布，样本容量也不一定大于30，这样两变量 的相关，称为等级相关（斯皮尔曼相关） 。
相关系数的意义与计算
1. 意义：相关系数（correlation coefficient） 又称Pearson积差相关系数，用以符号r表示样本 相关系数，符号 表示其总体相关系数来说明具
有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方
向。
相关系数没有单位，其值为-1≤r≤1。r值为正表 示正相关，r值为负表示负相关，r的绝对值等于 1为完全相关，r=0为零相关。
• 两组各有5个变量值。现在依从小到大的顺序将它 们排列起来，并标明秩次，结果如下：
• A组
2.6 3.2
4.7 5.2 6.4
• B组 1.7 2.3 2.6 3.6 3.7
• 秩次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• 原始值中有两个“2.6”，分属A、B组，它们的秩 次应是3和4，然而它们的数值本来是同样大小的 ，哪组取“3”，哪组取“4”呢？我们计算它们的 平均数（3+4）/2=3.5，作为“2.6”的秩次，称为 “平均秩次”，这样才公平合理。这样两组所得 的秩次及秩和如下：
第六章 相关关系(0-1)
第六讲相关关系课时安排：6课时教学课型：理论课，课堂同步练习教学目的要求：理解相关分析的意义与条件；熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法；熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法；能应用各种相关解决实际问题。
教学重点与教学难点：重点——积差相关的意义与应用；难点——各种相关方法的选择应用教学方法、手段、媒介：讲授、教材、板书、多媒体教学过程与教学内容：第一节相关与相关系数 (2)第二节积差相关 (8)第三节等级相关 (14)第四节质与量的相关 (22)第五节品质相关——φ相关 (25)本章小结 (28)学习目标：1．理解相关分析的意义与条件2．熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法（重点）3．熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法（难点）4．能应用各种相关解决实际问题问题导入：在学校、社会及家庭教育中，人们常常会遇到一些涉及事物关系的问题，譬如学生品德与家庭教育的关系，个体的智力水平高低与成绩的关系，学生身高与体重的关系，各科成绩之间的关系，人的兴趣爱好与学科成绩的关系，一般能力与特殊能力的关系，智力与创造力的关系，教育经费投入与教学效果的关系等等。
对这些问题的解释需要借助相关分析的方法进行说明。
客观世界涉及事物关系的问题比比皆是。
然而，我们在前几章所处理的数据均属单—变量范围的，即分析一种变量及其取值的分布情况与特征，属单变量的分析。
而涉及事物的关系的时候，至少要有两个变量，分析或研究两个或两个以上变量之间相互关系的量数称相关量数。
第一节 相关与相关系数一、事物的关系与相关量数事物或现象之间的关系大致可分为三种类型：一是因果关系：这种关系说明的是事物之间互相依存、互为因果的关系，是事物之间存在的一种必然关系，即一种引起与被引起的关系，因在前果在后的顺序是不能颠倒的。
二是函数关系（共变关系）：这是事物之间的一种共变关系，其特点是函数与反函数可以互换位置。
第六章 自相关(序列相关)
可以证明： 1－ 2 － 1 C＝ 0 2 1－ 0
2
0 0 1 0 0 － 0 0 0 － 1 0
1－ 2 Cy 以 1－ C左乘原模型，并定义y 1－ 2 CX， 1－ 2 C X
则变换后的扰动项 满足球型扰动项的假设， 故高斯－马尔可夫定理成立（因为这种变换是 GLS的一个特例）
1－ 2 － 1－ 2 Cy＝ 0 y 0
0 0 y1 1 0 0 y2 － 0 0 yn 0 － 1 0
第六章 自相关（序列相关）
一、自相关的后果 违反球型扰动项假定的另一情形是自相关。若存在 i j使得E i j X 0，即扰动项的协方差阵Var X 的非主对角线元素不全为0，则称存在“自相关” （autocorrelation）或“序列相关”（serial correlation）
其中， Var u t ，而1＝ ，
2 u 2
1 2 故一阶自相关系数 ＝ 2 ＝ 0
由课件第三章p21， 2＝ ， ， n-1＝ ，故
2 2 n-1 2
1 2 Var X ＝ n-1
1
1－ 2 y1＝ 1－ 2 1＋ 1－ 2 2 x12＋＋ 1－ 2 k x1k＋1 y 2－ y1＝1－ 1＋ 2 x 22－ x12 ＋＋ k x 2k－ x1k ＋ 2 y n－ y n-1＝1－ 1＋ 2 x n 2－ x n-1， ＋＋ k x nk－ x n-1，k 2 ＋ 2
因此辅助回归的解释变量e t-1， ，e t-p必与扰动项相 关，导致不一致的估计。这就是所谓的随机解释变 量问题，后面会介绍。若引入解释变量x t1， ，x tk 将使BG检验更加稳健 由于使用了滞后残差值e t-p，损失了p个样本值，故
相关系数检验实习自我鉴定
相关系数检验实习自我鉴定在这次相关系数检验实习中，我作为实习生发挥了积极的参与和学习态度。
以下是我对自己在该实习中的表现的自我鉴定：首先，在实习过程中，我认真学习了相关系数检验的理论知识和实际操作方法。
在实习开始之前，我主动查阅了相关的资料，并与导师进行了交流，以确保自己对相关系数检验有了充分的了解和掌握。
这使得我能够在实习中准确地应用所学知识，进行数据处理和分析。
其次，我能够熟练地使用统计软件进行相关系数检验的计算和结果解释。
在实习中，我积极地使用SPSS等统计软件进行数据处理和分析，准确计算出相关系数，并能够解读和描述相关系数的意义和结果。
通过实际操作，我对统计软件的使用也有了更深入的认识和掌握。
此外，我在实习期间能够合理安排时间和任务，高效完成所分配的实习工作。
我能够根据实习的要求，制定合理的计划，并按照计划有条不紊地进行工作。
我深知时间的宝贵性，并且在实习中将时间合理分配，保证了实习任务的顺利完成。
最后，我还能够积极与同事和导师进行沟通和合作。
在实习过程中，我乐于分享自己的想法和经验，并尊重他人的意见和建议。
我经常与同事和导师进行讨论和交流，共同提高和解决问题。
通过这种合作和沟通，我不仅加深了对相关系数检验的理解，还学到了其他实习者的经验和见解。
总的来说，我认为自己在这次相关系数检验实习中表现出了良好的学习态度和实习能力。
通过理论学习和实践操作，我对相关系数检验有了更深入的理解和掌握，并能够灵活运用统计软件进行数据处理和分析。
我在实习中也充分发挥了团队合作和沟通能力，与他人合作，取得了良好的实习成果。
在未来的学习和工作中，我将继续努力提高自己的相关系数检验能力，并将这次实习中的经验应用到实际工作中去。
第六章相关分析与回归分析
+
-
x+x0
+yy0
+
Ⅳ
－
0
x
x
第六章 相关分析与回归分析
STAT
coxv,y()0则r>0，说明x和y之间为正线性
相关；
coxv,y()0则r<0，说明x和y之间为负线性
相关；
coxv,y()0则r=0，说明x和y之间不存在线
性相关。
第六章 相关分析与回归分析
2、标准差 x 和 y 的作用
第六章 相关分222470， 64098 y26383 .48 ， 7 5x7y1114.448633 STAT
r
nxyxy
nx2(x)2 ny2(y)2
1011144.486133371.785276.127
三、相关表和相关图
STAT
相关表
将某一变量x按其数值大小顺序排 列，然后再将与其相关的另一个变量y 对应值平行排列，观察x由小到大变化 时，y的变化情况。
第六章 相关分析与回归分析
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
联系
STAT
（1）有函数关系的变量间，由于有测 量误差及各种随机因素的干扰，可表 现为相关关系；
（2）对具有相关关系的变量有深刻了 解之后，相关关系有可能转化为或借 助函数关系来描述。
第六章 相关分析与回归分析
• 例：判断下列关系是什么关系？ • 1）物体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而STAT
第六章 相关分析与回归分析
正相关
相关系数法
相关系数法相关系数是一种统计分析方法，用于衡量两个变量之间的关系强度和方向。
它的值在-1到1之间，接近-1表示负相关，接近1表示正相关，接近0表示无相关。
在实际应用中，相关系数可以帮助研究者了解变量之间的关系，从而做出合理的判断和决策。
下面将介绍一些常见的相关参考内容。
首先，相关系数可以用于研究两个变量之间的线性关系。
如果相关系数接近于1，说明两个变量之间存在强正相关关系。
例如，有研究发现，身高和体重之间的相关系数接近于1，这意味着身高越高的人往往体重也较大。
其次，相关系数还可以用于研究两个变量之间的非线性关系。
实际上，相关系数可以衡量任何类型的两个变量之间的关系，只要它们之间的关系可以用数值来表示。
例如，研究者可以计算气温和冷饮销量之间的相关系数，以了解它们之间的关系。
此外，相关系数还可以用于预测和建模。
通过计算历史数据中的相关系数，可以确定变量之间的关系模式，并将其用于未来的预测。
例如，经济学家可以计算CPI（消费者价格指数）和GDP（国内生产总值）之间的相关系数，从而预测未来的通胀水平。
相关系数也可以用于比较不同组别或样本之间的关系。
研究者可以计算不同地区、不同年龄段或不同性别之间的相关系数，以了解它们之间的关系差异。
例如，研究者可以比较男性和女性之间的相关系数，以了解性别在某个变量上的影响程度。
此外，相关系数还可以用于探索变量之间的因果关系。
尽管相关系数不能证明因果关系，但它可以提供一些提示。
如果两个变量之间存在较强的相关性，并且时间上的顺序关系合理，那么可以初步推断它们之间可能存在因果关系。
例如，研究者可以计算失业率和犯罪率之间的相关系数，以了解经济状况对犯罪率的影响。
综上所述，相关系数是一种有用的统计分析工具，可以帮助研究者理解变量之间的关系。
通过计算相关系数，研究者可以得到有关变量关系强弱、方向和形式的信息，从而做出科学合理的决策。
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第六章 相关系数检验
一般来说，在回归模型的基本假设中，有一个假设条件是最为重要的，这就是假设变量之间在概率意义上存在线性关系；亦即)(i Y E =i X βα+或)(i E μ=0。
这里的“概率意义”，虽说与确定意义有差别，但由于概率意义的前提必须承认规律的存在；故我认为，这里的“线性关系”与确定意义下的“线性关系”并无根本性的区别。
因此，我们可以说，概率意义上的线性关系仍是一般意义上的线性思路或方法，只是分析的条件有所放松而已。
现在我们要问，在建立回归模型时，这个假设条件成立吗？显然需要进行检验，需要建立一种检验方法。
6·1、建立相关系数检验方法的基本思路
实际上，建立相关系数检验方法的基本思路是较为简单和清晰的。
其基本思路是：建立一种方法（2R ）,希望此方法在测定被解释变量Y 的总的变化中，推出回归直线能够解释的部分有多大；即通过两者之比的大小，来推断回归模型效果的好坏。
下面简要介绍其方法的建立过程：
首先，我们有
Y 的总的变化可表示为 ： Y Y y i i -=
回归直线能够解释的部分： Y Y y i
i -=ˆˆ 由此我们可以得到，回归直线没有（或不能）解释的部分为：i i i Y Y e ˆ-= 因而我们有
Y 的总的变差=∑∑∑++=+=)ˆ2ˆ()ˆ(2
2
22
i i i i i i i e e y y e y
y 其中，)(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ)(ˆ(ˆ2
22∑∑∑∑∑∑∑-
=-=-=i
i
i i i i i i i i i i i i x
x y x y x x y x x y x e y βββββ
=0
（注意：i i i i x X Y Y y X Y X Y ββαβαβαβαˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ=---=-=∴+=∴-= ，另外 i i i i i i i x y y y Y Y e βˆˆˆ-=-=-=）。
所以，我们最终有
Y 的总的变差==∑∑∑∑+=++=+=)ˆ()ˆ2ˆ()ˆ(2
2
2
2
22
i i i i i i i i i e y e e y y e y
y 亦即，
Y 的总的变差=回归直线能够解释的部分部分+回归直线不能够解释的部分
显然这个结论是十分重要的，在计量经济学中已有许多类似的结果。
没有这样的结果，我们的方法就建立不起来，也没有什么意义了。
我们也应进一步思考，为什么会有这样好的结果呢？这实际上正是线性方法或线性思想的特征或优势所在。
6·2、相关系数的计算和特征
根据建立相关系数的基本思路，我们用2R 表示相关系数，则有
2R =已由解释变量说明的部分÷Y
的总的变差
=∑∑∑∑∑∑-
=--=
222
2221)
()ˆ(ˆi
i
i
i i
i y
e Y Y Y Y y
y
由此可知：
当i i Y Y =ˆ时，2R 达到最大值，即2R =1； 当Y Y i =ˆ时，2R 达到最小值，即2R =0； 所以 102≤≤R 。
2R 还能够写成其它形式，如
i
i x y βˆˆ= ，代入 ∑∑
∑∑=
i
i i
i
y
x y
y 2
222ˆˆβ ，而∑∑=i
i
i x
y
x 2ˆβ
，再代入则有
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑=
⋅
=
=
=
)
)(()()()(ˆˆ2
2
2222
2222222
i i i i i
i i i i i
i i
i x y y x y
x x y x y x y
y R β
还可以写成另一个形式
R=
∑∑∑)
)((22i
i
i
i x
y y x ， 这时11≤≤-R ，R=-1时，称之为完全负相关，而
R=1时，称之为完全正相关。
除了相关系数外，还有其他相关系数，如偏相关系数和复相关系数，它们都是涉及到多元回归问题的。
其中，所谓偏相关系数是指度量在其他所有变量保持不变的条件下，任意两个变量之间的相关程度的系数。
而复相关系数是指多个变量的相关系数中，例如 Y ，k X X X ,,,21 ，对于其中的变量Y 的复相关系数是指除Y 以外的其它变量k X X X ,,,21 对Y 的相关程度的度量（具体内容这里略去）。
6·3、相关系数的应用
相关系数的意义主要是在概率意义上反映了解释变量与被解释变量之间的线性相关程度，亦即检验假设
)(i Y E =i X βα+ 或 )(i E μ=0
相关系数最大的不足是不能给出变量之间的因果关系，亦即不能揭示变量之间相互依赖的确切关系。
正因为如此，相关系数高的原因是多种多样： （1） Y 和X 分别互为变化的原因； （2） Y 和X 同时互为变化的原因；
（3） 量Y 和X 的变化是由另一个变量W 引起的，而它们之间实际上并无直接
的因果关系； （4） 变量X 、Y 之间的相关可能纯粹是偶然的巧合，实际上并无任何因果关系。
因此，仅仅知道相关系数的结果是不够的，相关系数或相关分析不能给出X 和Y 之间是如何关联的。
实际上，变量之间的因果关系的确定只能依赖于经济理论或主观的经济分析。
另外，在实际应用中，人们往往采用相关系数来判断变量之间的相关程度。
值得指出地是，相关系数只是说明变量之间相关程度的充分条件，而不是必要条件。
例如，相关系数高的确能说明变量之间的相关程度、或线性相关程度高；但如果相关系数低，则不能说明变量之间的相关程度底，而只能说变量之间的线性相关程度底，完全不能够排除变量之间存在重要的非线性相关关系。
一般来说，相关系数低，或回归模型吻合度不好的主要原因有： （1） 模型中各变量之间本来就不存在因果关系； （2） 模型中漏掉了其它重要的变量；
（3） 变量之间关系的数学形式不正确（或成非线性关系）。
在上述原因中，尤其以第三种原因最为重要和突出，其解决的主要方式是回归模型的建立应以经济理论模型为依据，或建立模型前重视理论模型的分析。
第六章
作业
1、简述建立相关系数方法的基本思路，并指出相关系数检验存在的问题。