跃峰奥数PPT2组合几何1-4(离散点集拟对象)
跃峰奥数PPT8组合构造1-2(特例归纳之穷举构造)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合构造1-2（特例归纳之穷举构造）●冯跃峰本讲内容本节为第8板块（组合构造）第1专题（特例归纳）的第2小节（穷举构造），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【组合构造（特例归纳）】所谓特例归纳，就是先研究n取一些特殊数值的情况下的构造，由此迁移到一般情形n的构造。
通常有以下3种方式：三种归纳方式（1）逐一试验尝试多个特例：n=1，2，…发掘相邻构造的关系。
（2）穷举构造对某个特例n=n，考察所有可能的构造，优选其“好的”。
（3）换元改造先构造一个合乎要求的特例，然后将某些元素更换表现形式，使之具有一般性。
本小节介绍“穷举构造”的相关例子。
【构造1-2】一根长为L的木棒（L为整数）可适当锯成长为整数的两段，然后其中的一段又可适当锯成长为整数的两段，但要求任何时刻任意两段的比都小于2。
例如，长为4的木棒只能锯成长为2的两段：4=2+2，然后不能再锯；长为7的木棒能锯成长为3、4的两段：7=3+4，然后长为4的木棒又能锯成长为2的两段7=3+4=3+2+2，此时不能再锯。
问：长为30的木棒至多能锯成多少段？（2010清华大学自主招生试题），讨论“长为30的木棒至多能锯成多少【题感】从目标看【1】，自然想到穷举各种可能的分割，从中段”，其中数据30较小【1】发现段数最多的分割。
跃峰奥数PPT1代数组合2-5(研究特例归纳通式之换维通式)
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但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合2-5（归纳通式之换维通式）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第2专题（归纳通式）的第5小节（换维通式），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【研究特例归纳通式】先考察特殊情况，由此发现规律，寻找解决一般问题的途径。
它有如下三种表现形式：实现目标的三种形式特征迁移功能与属性，不是具体数值归纳通式适合所有对象的“统一”表达式，它包括三种常见方式【1】。
解析式特征式【1】各对象所含元素及表现形式结构式【1】对象各元素间的相互关系建立递归寻找“n”情形与“小于n”的若干情形之间的关系。
本节介绍“归纳通式”的研究方式■。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创如何归纳通式？有如下五种常用方式：五种归纳方式（1）个体思考（发掘个体共同特征）（1）换形思考（将研究对象换一种表现形式）同构表示序号表示（3）分块思考（分为若干组分别研究）（4）捆绑思考（捆绑“整体元”，引入整体函数）（5）换系思考（改变现有体系，比如模理解，p进制等）■【归纳通式】【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创对给定的正整数r，求最小的正整数n，使得f（n）=2r+1。
【研究特例】f（0）=1，f（1）=0，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=3，f（5）=2，f（6）=1，f（7）=0，f（8）=7，f（9）=6，f（10）=5，…【题感】从条件看，所给的递归关系是分段形式，不能直接求解，可先研究特例，考察最初的几个函数值，寻找规律。
跃峰奥数PPT7极值2-4(五种估计之抽屉构造)
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但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
组合极值2-4（五种估计之抽屉构造）●冯跃峰本讲内容本节为第7板块（组合极值）第2专题（分割）的第4小节（抽屉构造），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
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组合极值通常包括“不等式”与“等式”两个方面：（1）“不等式k≥…恒成立”；（2）“等式k=…合乎要求”。
对其中的不等式【1】，我们有5种常用的估计方式。
【组合极值】（五种估计）五种估计方式（1）建立算法包括算两次、参数、分块、个体等估计方式，建立极值式（2）反面剔除用反证法证明：k≠1，k≠2，…，k ≠r-1，得到k≥r（3）反例思考构造反例：找最大的常数k'，使不满足限定条件，由此推出k≥k'+1（4）等号突破找到一个满足限定条件的k0，然后证明k≥k（5）扩存在域设A⊆B，则|A|≤|B|，转化为求|B|本节介绍“反例思考”的【极值2-4】设S={1，2，…，100}，求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相等。
（2014全国高中联赛加试第3题）【题感】从条件看，相关性质的描述比较繁琐【1】：“对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相等”。
跃峰奥数PPT1代数组合4-3(整体思考之通性叠合)
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代数组合4-3（整体思考之等式叠合）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第4专题（研究特例整体思考）的第3小节（等式叠合），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
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【整体思考】有些问题是从一些个体或局部提出的【1】，但解决它却要从整体入手【1】——将个体放入整体中，通过研究整体性质【1】来发现个体性质。
【1】它有3种主要方式：研究整体发现个体三种整体思考方式平均值估计（构造若干个同类个体）【1】题中给定、或自我构造。
整体函数（通过多元函数刻划整体性质）通式叠合（性质通式叠合一起得出结论）两个趣题：（1）量纸问题：如何量出一张纸的厚度？——取100张（同类个体）纸叠起来量。
（2）追针问题：时针与分针经历多少时间重合一次（口答）■？⇒单个时间段不易计算⇒两个时间段也不易计算⇒…多少时间后容易计算总体时间？⇒12小时后，两针又回到原来位置。
12小时候，时针追上分针多少次？——先看时针追上分针一次两者路程有何关系：追上一次，等价于多跑一圈。
从而分针共追上时针11次，每次经历的时间是12/11小时■。
【追针问题解答（整体思考）】例【代数4-3】平面给定n个不全共线的点，每个点处写上一个实数，如果一条直线通过两个或两个以上的点，则此线通过点处的数的和为零，证明：所有的点处的数都为0。
跃峰奥数PPT1代数组合1-3（研究特例特征迁移之关键结构）
跃峰奥数PPT1代数组合1-3（研究特例特征迁移之关键结构）【阅读指南】（2）该平台只能上传PPT课件的照⽚版，被遮挡的⽂本可在⽂末提供的word⽂档中查看。
但因兼容性，相关公式出现缺省或格式错误，可参照PPT照⽚修正。
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（3）如果需要课件的动画播放版，可百度搜索“跃峰奥数”，点击相关⽂档进⼊阅读界⾯，再点击（作者）主页”，下载所需内容。
【代数1-3】设n为给定的⼤于2的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列a1，a2，…，an，求集合A△B的元素个数的最⼩值。
其中，A={ai|1≤i≤n}，B={ai+2aj|1≤i，j≤n，i≠j}，A△B=（A∪B）\（A∩Ｂ）。
（2015中国西部数学竞赛试题）【题感】从⽬标看，⾸先要理解|A△B|的意义。
由于|A△B|=|A∪B|-|A∩Ｂ|=|A|+|B|-2|A∩Ｂ|，⽽A={a1，a2，…，an}是相对确定的（|A|=n），只需求|B|与|A∩Ｂ|，其中关键是求|B|。
尽管B={ai+2aj|1≤i，j≤n，i≠j}也是确定的，但不便计算元素个数，“ai+2aj”有很多重复。
由于变化因素太多，给计数造成困难，可先“消元”将a1，a2，…，an⽤“主元”表出。
因为{an}是等差数列，只有2个⾃由量，⾃然想到⽤其⾸项a1和公差d来刻画，借以发现B的元素特征，进⽽求出|B|。
但⼀般情形不易发现B的元素特征，可先研究特例。
【研究特例】取等差数列1，2，…，n，则B中最⼩元为2+2×1=4，最⼤元为（n-1）+2×n=3n-1，易知此时B={4，5，6，…，3n-1}；取等差数列2，4，…，2n，则B中最⼩元为4+2×2=8，最⼤元为（2n-2）+2×2n=6n-2，易知此时B={8，10，12，…，6n-2}；取等差数列1，3，…，2n-1，则B中最⼩元为3+2×1，5，最⼤元为（2n-3）+2×（2n-1）=6n-7，易知此时B={5，7，9，…，6n-7}。
跃峰奥数PPT8组合构造2-3(以简驭繁之封锁小范围)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
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组合构造2-3（以简驭繁之封锁小范围）●冯跃峰本讲内容本节为第8板块（组合构造）第2专题（以简驭繁）的第3小节（封锁小范围），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【组合构造（以简驭繁）】为了构造具有某种性质p的对象，我们可以考虑结构最为简单的对象，我们称这样的构造策略为“以简驭繁”。
通常包括以下三种方式：三种最简方式规则对象比如，共点；共线；共圆；正则形状等。
规律明显最明显的规律是“等差背景”，比如：等比数列、阶乘数列，倒数序列都有等差背景。
从几何上看，等差背景实质上是等距分布等距分布；对称分布；周期分布等。
极端情形包括数量极端（最多最大），分布极端（均匀、聚集）等。
如果构造的“最简”对象并不具有性质p，但较为接近，则可以对“拟对象”的部分元素进行修正，使之逐步合乎要求。
本节介绍“周期分布”的相关例子■。
【构造2-3】将一只棋放在一个n×n的棋盘上（n≥2），交替进行如下两种操运动。
一种是直线运动：棋子从所在格走到其邻格（具有公共边）中；另一种是对角运动：棋子从所在格走到与其相连的格（恰具有一个公共点）中。
求出所有的正整数n，使得存在棋子的一个初始位置和一系列运动，其中第一步为对角运动，而棋子走遍所有方格，且每个方格只走过一次。
（2007捷克和斯洛伐克数学奥林匹克试题）【题感】原解答很繁琐（见中等数学2008增刊p74），我们的解答较之简明得多。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
跃峰奥数PPT6组合计数1-1(要素列之容斥计数)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合计数1-1（要素列之容斥计数）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第1专题（要素列）的第1小节（容斥计数），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合计数（要素列）计数最基本的思想是，确定计数对象包含哪些变化因素，我们称之为要素列。
能使计数对象被确定的一些元素称为它的“要素”。
计数对象={要素1，要素2，…，要素r}■【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创利用“要素列”计数，通常包括三个步骤：（1）确定计数对象：（a 1，a 2，…，a n ）（要素列）。
（2）转化约束条件：不等式；穷举可能性：p 1，p 2，…，p t 。
（3）计数：分类（独立完成）、分步（搭配完成）、反面（考察补集）。
【分类计数】固定其中一个要素【1】（使计数对象变简单），对每一个取值分别计数；定元固定（特定值p 0）通式固定（任意值p j ）【分步计数】平行考虑每一个要素的变化。
此时要求每个要素都是“独立的”。
组合计数（要素列）【容斥计数】反面考虑不合乎条件的对象。
此时要求反面对象“容易”计数。
本节介绍“容斥计数”的相关例子■。
【百度文库】跃峰奥数PPT组合数公式的直接推导：!C m m n n mn ）！（！-=我们知道，组合数公式通常是借助排列数公式推导的，过程有点不自然，一些同学难以理解。
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温馨提示
为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用
了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下
出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这
些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展
现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预
览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非
常生动、美观。
【百度文库】
跃峰奥数PPT
经典原创
组合几何1-4（离散点集筛选对象）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第2板块（组合几何）第1专题（离散点集）的第4小节
（筛选对象），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】
跃峰奥数PPT
经典原创
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创
以几何知识为背景的组合问题称为组合几何问题。
所含的几何知识通常是位置关系与几何度量两个方面。
本讲介绍组合几何中一个基本问题：离散点集。
【离散点集】
所谓离散点集，就是平面上一些孤立的点组成的集合，有3种研究方式。
三种常用方式
恰当筛选对象
拟对象、极端对象与“撒网捕捉”。
控制存在域
将点集控制在一定的范围内。
代数刻画
将几何关系用代数符号描述。
本节介绍“筛选拟对象”的例子■。
【百度文库】跃峰奥数PPT
【题感】我们的目标是，要找同色的n 点组【1】，且与其中心同色【1】（我们称这n 个点为一个“好组”）。
从条件看，尽管同色点有无数多（所有格点2-染色）【1】，但若着眼于在所有同色的点中找“好组”反而备受困扰，因为n 点组的中心未必是格点，也就没有“同色”可言（只对格点染色）。
所以我们先构造“拟对象”：满足第二个性质（中心是格点【1】），且接近第一个性质（n+1个点同色【1】）。
这就要找一个充分条件：筛选一些同色点（接近第一性质），保证其中心一定是格点（先满足第二性质）。
最后调整所选的n 点，使同色n 点组与中心同色■。
为格点
【百度文库】
跃峰奥数PPT
【找充分条件】注意到n 点组A 1A 2…A n 的中心公式：G=（Σi=1n A i ）/n ，使G 为格点的一个充分条件是，每个点的横坐标和纵坐标都是n 的倍数。
【构造拟对象】称横坐标纵坐标都是n 的倍数的格点为“好”点，则好点有无数个。
将其2-染色，必有无数个好点同色，设为红色。
取其中n 个好红点A 1，A 2，…，A n ，这n 点组的中心：G= （Σi=1n A i ）/n 为格点。
【充分条件分类】若G 为红色，则结论成立。
下设G 为蓝色。
以下设法找一个蓝色格点n 点组B 1B 2…B n ，使其中心也为G （蓝色）。
如何构造？想象红色n 点组A 1A 2…A n 对应一个蓝色n 点组B 1B 2…B n ，这只需找到每个点A i 的对应点B i （1≤i≤n ），我们称之为“伴侣替换法”。
【伴侣替换法】对每个格点A j ，都找一个伴侣格点B j ，使得蓝色好组B 1B 2…B n 。
如何使B 1B 2…B n 是蓝色，且其中心为G ？——先构造拟对象，使B 1B 2…B n 是蓝色，然后优化，使其中心为G 。
要使B 1B 2…B n 是蓝色，可从个体突破，先使B 1为蓝色，这可从反面思考。
因为B 1为蓝色并非必然结论，因而这里的“反面思考”并非通常的“反证法”，而是分类处理——如果B 1
为红色，并不能由此导出矛盾，而是结论也成
立（也存在好组）■。
【百度文库】跃峰奥数PPT
注意：反面思考有三种表现形式。
（1）导出矛盾（反证法）；（2）优化假设（拟反证法）；（3）分类处理（结论亦然）。
【反面思考】如果B 1为红色，我们证明也能找到“好组”。
注意A 1A 2…A n 都是红色，期望它们与红点B 1构成一个好组【1】。
谁为好组的中心？B 1不是中心（因为A 1A 2…A n 的中心G 是蓝色，而B 1是红色），所以期望某个A i 是B 1A 1A 2…A i-1A i+1…A n 的中心。
由对称性，可想象A 1是B 1A 2…A n 的中心【1】。
A 1A 2
A 3A n G
中心
于是，期望有nA 1=B 1+ Σi=2n A i （A 1是B 1A 2…A n 的中心），由此得B 1=nA 1-（Σi=2n A i ）。
类似取B j =nA j -（Σi ≠j n A i ）
，则A j = （B j + Σi ≠j n A i ）/n ，
A j 是A 1A 2…A j-1
B j A j+1…A n 的中心。
【充分条件分类】若有某个B j （1≤j ≤n ）为红色，则结论成立。
设对每个j （1≤j ≤n ），B j 都为蓝色，则B 1B 2…B n 是蓝n 点组【1】。
B 1
B 2B 3
B n
下面需要验证B 1B 2…B n 的中心也是G ，这由中心公式，直接对B j 求和即可。
但B j =nA j -（Σi≠j n A i ）【1】，其中“Σi≠j n A i ”对求和带来麻烦，可先配齐缺失的项，让其整体呈现为常数。
注意到B j =nA j -（Σi ≠j n A i ）=（n+1）A j -（Σi=1n A i ）【1】=（n+1）A j
-nG ，其中G=（Σi=1n A i ）/n ，我们有Σj=1n B j =Σj=1n [（n+1）A j -nG]= [（n+1）Σj=1n A j -nGΣj=11]=（n+1）nG-n 2G =nG 。
所以，蓝色n 点组B 1B 2…B n 的中心也为G 。
又G 为蓝色，命题获证。
但上述证明有一个非常隐蔽的漏洞：B 1可能与某个点A j 重合，导致n 点未必互异■！
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创
注意到A
1
，A
2
，…，A
n
是我们随意选取的好红点，我们只需调整A
1
，A2，…，A n的选择，使上述等式不成立。
注意局部调整，调整的对象越少越好。
于是，分离出A
n
进行调整，其余点保持不变（可任意取）。
可采用优化假设技巧：假定B
1
与某个点A
j
重合，推出某种性质，再优
化假设，将这一性质破坏掉，则B
1与任何点A
j
都不重合。
【优化假设】若B
1与某个点A
j
重合，如何处理？
A1
A2A3
A n
B1
G
因为nA
1=B1+ Σi=2n A i，若B1与某个A j重合，则
nA1=A j + Σi=2n A i（此式配整齐后性质更明显），于是，（n+1）A
1
=A j + Σi=1n A i= Σi=1n-1A i+A j+A n ，
取A
n ≠（n+1）A
1
-A j -Σi=1n-1A i，则点B1不与点A j重
合
【1】。
当j跑遍1，2，…，n，A
n
最多有n个点不能取。
类似地，对于B
k ，只需取A
n
≠（n+1）A
k
-A j -Σi=1n-1A i，则B k不与点A j重合。
当j跑
遍1，2，…，n，A
n
最多又有n个点不能取。
这样，要使所有B
1，B
2
，…，B
n
都不与某个点A
j
重合，则A
n
最多有n2个点不能取。
但有无数个好的红点，一定可以取到一个A
n ，使所有B
1
，B
2
，…，B
n
都不与某个
点A
j 重合，命题获证。
B1
解题经验告诉我们，在使用“设”、“取”、“令”等字眼时，
需要掂量掂量：考察其是否具有合法性、存在性、互异性
■。
【找充分条件】
【优化假设】
【拟对象逼近】
【个体突破】
■■【百度文库】
跃峰奥数PPT。