广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线教师

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广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线(教师版)

广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线（教师版）1．已知椭圆()22220y x C a b a b ：+＝1＞＞的离心率为6，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【答案】解:（1）由离心率6e =，得226a b -=，即223a b =. ① ……2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b --=+. ② ……4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. ……5分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………6分（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为22的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G 与直线l 相切于点T ，则由222=，得4m =±，………… 10分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，.……………… 12分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 71m =--.…… 14分2. 已知圆C 与两圆22(4)1x y ++=，22(2)1x y +-=外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点(,)M x y 的距离的最小值为m ，点(0,1)F 与点(,)M x y 的距离为n . (Ⅰ)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（Ⅱ）求满足条件m n =的点M 的轨迹Q 的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q 上是否存在点11(,)B x y ，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12。

2022届新高考数学广东省名校模拟题分类汇编14 圆锥曲线小题(解析版)

21,60PF F ∠= 12,3m PF m ==， ()231PF m +=+120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求03)3x ，而1(F 10(F P x =20(F P x =2120F P F P x ⋅=-03x =±故选：C二、多选题．（2021·广东茂名高三月考）已知曲线1y y =，则下列结论正确的是（PMF △周长的最小值为PF FQ λ=，则．若直线PQ 过点F ，则直线POF 外接圆与抛物线【答案】BD 【分析】F 到准线的距离为小值为35+，故正确；设出直线POF 外接圆与抛物线【详解】因为F 到准线的距离为准线:l x =-对于A ，过l ，垂足为所以PMF △周长的最小值为3PF FQ λ=，则弦，过G 作GG l ⊥，垂足为，故B 正确；POF外接圆与抛物线所以该圆面积为故选：BD（2021·广东华侨中学）已知抛物线M点，点(2,46，当且仅当过焦点时，设A为直径的圆心为AF的中点坐标，进而可得圆心到6，当且仅当的最小值为6，故过焦点时，设(A x AF 的中点，122y d +=，122PF PF PO +=，∴2212)(2)PF PF PO +=，2221212|||2||||cos604||PF PF PF PF PO ︒++⋅⋅=，又∵||7OP a =．2221212|||||||28PF PF PF PF a ++=．① 又由双曲线的定义得122PF PF a -=， )22124PF PF a -=，即2212PF PF PF PF +-=由①-②得2128PF PF a ⋅=，∴1PF的直线分别交21π3PF FE的离心率等于3【答案】BCDPM MF=OM F ⊥由2PF F ⊥，23b a∴=，解得：c e a==E ∴的渐近线方程为故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质的应用，其中求解双曲线离心率的关键是能够构造出关于齐次方程，从而配凑为关于离心率．AB的最小值为⋅的最小值为PQ PR【答案】ABD【分析】对于A，由圆的性质可得当直线垂直时，P到6cos⋅=PQ PR正确；(2,⋅=PQ PR)⋅=+，所以PQ PR6524PQ PRϕ⋅的最小值为P，C，R三点共线时，PR最大，且最大值为C当直线l与PQ垂直时，到l的距离有最大值，且最大值为故选：ABD【点睛】90∠=︒APB⋅=-6PA PB【答案】BDPAO中利用等面积法得到求出以P为圆心，根据平面几何知识可得四边形PH的长度，利用面积公式即可求出【详解】=PAB故选：BCD.【点睛】圆的弦长的常用求法：AOC结合线段长度求解出结果并判断8x y -1ABF 的周长为220AF BF +=，直线1ABF 的周长为AB 方程为y ，B 两点的横坐标，进而求得1，得2a 1ABF ∴的周长的斜率存在，设直线，整理得2(34)k +2①，x x 2220AF BF +=，得由①③解得：1x =此时1>0x ，20x <故答案为：8，52ABF 为正三角形，则的左侧和右侧，根据焦半径公式及等边三角形额条件即可求得32p FD =-，|||PQ +32a ∴≥，则双曲线故答案为：35．（2021·2FB AF =，则椭圆的离心率为112F B AF =转化求解椭圆的离心率即可．的斜率为tan 451︒=，则直线方程为，联立直线和椭圆的方程得22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩112F B AF =，可得。

广东省第二学期模拟试题分类汇编---第11部分圆锥曲线

广东省第二学期模拟试题分类汇编---第11部分: 圆锥曲线一.选择题8．(2009年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）(理科))如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c .则下列结论不正确的是D A.1122a c a c +>+ B.1122a c a c -=-C. 1221a c a c <D. 1221a c a c > 2．（广东省汕头市2009年高中毕业生学业水平考试理科数学）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（B ） A ．x 2－y 2=1 B ．x 2－y 2=2 C ．x 2－y 2=2 D ．x 2－y 2=213．（广东省汕头市2009年高中毕业生学业水平考试文科数学）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（A ） A ．x 2－y 2=2 B ．x 2－y 2=2 C ． x 2－y 2=1 D ．x 2－y 2=2110．（广东省汕头市2009年高中毕业生学业水平考试文科数学）已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭21||||2121=⋅PF PF ，则△F 1PF 2的面积为（B ）A ．33 B ．3 C ．32 D ．337．（广东省湛江高三第二次月考（理科）数学试题）已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF 为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是DA ．(1,)+∞B ．C ．（1，2）D ．(1,18．（广东省湛江高三第二次月考（文科）数学试题）我国于2007年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球，嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为一焦点的椭圆。

广东省11大市2022年高三数学(理)一模试卷分类汇编13：圆锥曲线

广东省11大市2022年高三数学（理）一模试卷分类汇编13：圆锥曲线圆锥曲线一、填空、选择题1、（广州市2020届高三3月毕业班综合测试试题（一））直线30x y -=截圆()2224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π答案：D2、（江门市2020届高三2月高考模拟）在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8，则=m ．答案：33、（揭阳市2020届高三3月第一次高考模拟）已知圆C 通过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且通过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的方程为．答案：易得圆心坐标为11(,)22，半径为52r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】4、（梅州市2020届高三3月总复习质检）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为＿＿＿答案：5、（汕头市2020届高三3月教学质量测评）已知动点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么使得点P 到定点Q （2,，－1）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为＿＿＿6、（韶关市2020届高三调研考试）若方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则实数k 的取值范畴是（）A 、－1＜k ＜1B 、k ＞0C 、k ≤0D 、k ＞1或k ＜－1 答案：A7、（深圳市2020届高三2月第一次调研考试）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =A ．14B ．12C ．2D ．4答案：D 【解析】4.m =8、（肇庆市2020届高三3月第一次模拟考试）若圆2214x y mx ++-=与直线1y =-相切，其圆心在y 轴的左侧，则m =__▲__.9、（佛山市2020届高三教学质量检测（一））已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____．答案：4±10、（茂名市2020届高三第一次高考模拟考试）已知双曲线221xky -=的一个焦点是0），则其渐近线方程为 . 答案：2y x =±11、（湛江市2020届高三高考测试（一））已知点A 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）与双曲线C 2：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿解析：二、解答题1、（广州市2020届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出如此的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,依题意:222222231,4.ab a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. …………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，依照椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =，…………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x. …………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=. ③………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x222412x x x -，而21x x ≠，则)(2121x x x +=. ……………9分代入②得2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，………12分∵直线3-=x y 通过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x. ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① …………6分同理，20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程yx xy -=002.……8分 ∵通过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯独的，∴直线L 的方程为yx xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分∵直线3-=x y 通过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：明显直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x. ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+= (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 2、（江门市2020届高三2月高考模拟）已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．⑴求椭圆C 的方程；⑵设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与FA 共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解：⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>， 1分椭圆C 的离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ，∴2cc a ==，222a b c =+，∴2,1,a b c ===3分故椭圆C 的方程为2214x y +=． 4分⑵假设椭圆C 上是存在点P （00,x y ），使得向量OA OP +与FA 共线， 5分00(,1)OP OA x y +=+，(FA =-，∴011y +=，即001)x y =+，（1） 6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴22014x y += (2) 7分由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩，或00717x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 9分∴(0,1)P -，或1()77P -， 10分当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =，当点P的坐标为1(,)77P -时，直线AP440y -+=，故直线AP 的方程为0y =440y -+=． 12分3、（揭阳市2020届高三3月第一次高考模拟）如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C F 2F 1oy x的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，要求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ -----------------2分由12PF PF ⋅最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，-------------------3分 ∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．---------------------------------------------4分（2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-= ∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则1=，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式明显不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线12,l l斜率不存在时，其方程为x =x =，---------------------------13分定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1+=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分4、（梅州市2020届高三3月总复习质检）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：24x y =的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF =。

广东省届高三模拟试题分类汇总圆锥曲线

广东省届高三模拟试题分类汇总圆锥曲线广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——圆锥曲线一、选择题1、（2009揭阳）若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（）A A. 212x y= B.212y x= C.24xy=D.26xy = 2、（2009吴川）若圆04222=--+y x y x的圆心到直线=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（）C A ．-2或2 B2321或 C ．2或0 D ．-2或3、（2009广东四校）设F 1、F 2为曲线C 1： x 26+y 22=1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（）C (A) 14(B) 1(C) 2 (D) 2 24、（2009珠海）经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ A ） A.0346=--y x B. 0323=--y x C.0232=-+y x D. 0132=-+y x5、（2009惠州）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） D A ．2- B ．2 C ．4- D ．46、（2009汕头）如图，过抛物线)0(22>=p px y的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）B A ．x y 232=B ．xy 32= C ．x y292=D ．xy92=7、（2009广东六校）以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）D A ．1526422=+y x B.1121622=+y x C.141622=+y xD.116422=+y x8、（2009广州）已知双曲线19222=-y ax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线xy162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) DA. 54B.55558 C. 45 D. 774二、解答题1、（2009珠海二中）已知点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by ax上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率； (2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.解：(1)设),(0y x M ，圆M 的半径为. 依题意得||00y r c x ===将c x =0代入椭圆方程得：a b y 2=，所以c a b =2，又222c a b-=从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 215-=e .(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：a b r 2=，c d =所以，3=c ，22=ab又因为 222c b a =-,解得：3=a , 622==a b所求椭圆方程是：16922=+y x2、（2009吴川）已知圆C ：224xy +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程；（2）过圆C 上一动点M 作平行于轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即2=+--k y kx …………………………………………………… 3分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分（Ⅱ）设点M 的坐标为()0,y x ，Q 点坐标为()y x ,则N点坐标是()0,0y…………………… 7分∵OQ OM ON =+， ∴()()00,,2x y x y = 即xx =0，20y y =……………………9分又∵42020=+y x ，∴4422=+y x …………………………… 10分由已知，直线m //ox 轴，所以，y ≠，…………………………… 11分∴Q点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠，…………………… 12分轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。

广东省部分地区2019届高三最新模拟考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线

部分地区2019届高三最新（2、3月）模拟考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（广东省2019届高三3月一模）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（） A ．（±512，0） B ．（0，±512） C ．（±5，0） D ．（0，±5）2、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过圆()()22:241P x y -++=的圆心，则C 的离心率为A.52 B.32C.5D.3 3、（广州市天河区2019高考二模）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若＝0，且∠F 1AF 2＝150°，则e 2＝（） A ．7﹣2B ．7﹣C ．7D ．74、（江门市2019高三一模）直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（） A ．B ．C ．D ． 5、（揭阳市2019年高三一模）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A ．51-B ．512+ C ．32D ．26、（梅州市2019高三3月一模）已知双曲线C ：＝l （a ＞0，b ＞0）一个焦点为F （2，0），且F 到双曲线C 的渐近线的距离为1，则双曲线C 的方程为（） A ．x 2＝1 B ．＝1C ．x 2＝1 D ．＝17、（汕头市2019届高三第一次（3月）模拟考试）一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（） A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)8、（汕尾市2019高三一模）已知双曲线，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若，则双曲线C 的离心率为（） A ．3B ．2C ．D ．9、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）已知直线(0)y kx k =≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△A BF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）510、（肇庆市2019高三二模）已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在C 上，则C 的方程为（）A ．B ．C ．D ．11、（湛江2019高三一模）已知直线l ：4x －3y ＋6＝0和抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C 的焦点距离相等，那么这样的点P 有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个12、（湛江2019高三一模）若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P为E 右支上一点，｜PF 1｜＝｜F 1F 2｜，∠PF 1F 2＝30°，△PF 1F 2的面积为2，则a ＝＿＿＿参考答案1、A2、C3、C4、D5、B6、B7、B8、B9、D 10、B 11、C 12、213+-。

2022年新高考数学广东省名校优秀模拟题分类汇编专题13 圆锥曲线(解析版)

2022年新高考数学广东省名校优秀模拟题分类汇编专题13圆锥曲线一、单选题1．（2021·广东东莞·高三阶段练习）已知双曲线C1F ，2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若△12PF F 的面积为C 的实轴长为（）A ．1B ．2C ．4D ．62．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知O 为坐标原点，点F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线C 在第一象限交于点P ，若()0OF OP FP +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A BC 1D 1+3．（2021·广东·高三阶段练习）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交x 轴于点Q ，若3PF FQ →→=，则点P 到准线l 的距离为（）A ．6B ．5C ．4D ．34．（2021·广东·高三阶段练习）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外半径BM AN C 的离心率为()A ．3B C D ．25．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(3,0)D 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，若||||FA FB →→-=，则FA FB →→⋅=（）A ．9-B ．10-C ．11-D ．12-6．（2021·广东实验中学高三阶段练习）若直线y ＝kx +2与双曲线x 2﹣y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．(3-，3B ．3C ．(D ．(1)-7．（2021·广东福田·高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为12，点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，且112AF F F =，则直线1AF 的斜率为（）A B C D ．18．（2021·广东中山·模拟预测）若22243a b c +=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（）A ．2B ．1C ．34D ．129．（2021·广东惠州·高三阶段练习）已知直线l ：()20ax y a R -+=∈与圆M ：22430x y y +-+=的交点为A ，B ，点C 是圆M 上一动点，设点()0,1P -，则PA PB PC ++的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．1210．（2021·广东湛江·高三阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，C 的左､右焦点分別为1F ，2F ，点P 在C 的右支上，1PF 的中点N 在圆O ：222x y c +=上，其中c 为半焦距，则12sin F PF ∠=（）A B C ．34D ．1811．（2021·广东·高三阶段练习）已知点P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，点1F ､2F 是椭圆C 的左､右焦点，若12PF F △的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为（）A ．23B ．22C D 12．（2021·广东·高三阶段练习）已知抛物线2x ay =的焦点为F ，且()2,1M 为抛物线上的点，则MF =（）A ．1B ．2C ．3D ．413．（2021·广东珠海·高三阶段练习）已知点(1,1)A ，且F 是椭圆22143x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA +的最小值是（）A ．6B ．5C ．4D ．314．（2021·广东罗湖·高三阶段练习）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler ）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C ，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ，则C 的离心率为（）A ．2211λλ-+BC ．11λλ-+D15．（2021·广东·执信中学高三阶段练习）已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12 PF F △的重心，若1GA PF λ= ，则ba为（）AB．CD ．与λ的取值有关二、多选题16．（2021·广东·模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2221x y a+=（1a >）的左､右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点，且满足2PBA PAB ∠=∠，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则（）A ．212k k a=-B．若PA =，则椭圆的方程为22217x y +=C．若椭圆的离心率e =，则2173k k =D ．PAB △的面积随1k 的增大而减小17．（2021·广东·高三阶段练习）已知点00(,)P x y 是抛物线2:4C y x =上一动点，则（）A ．C 的焦点坐标为（2，0）B ．C 的准线方程为10x +=C ．01x +=D ．02011x y ++的最小值为3418．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）若方程||||143+=x x y y 表示的曲线是函数()f x 的图像，则下列结论正确的有（）A ．函数()f x 的图像经过第三象限B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．(2)0f x +≥的解集为(,0]-∞D ．函数()2()=+g x f x 存在零点19．（2021·广东中山·模拟预测）双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为60 的直线l 过双曲线C 的右焦点2F ，与双曲线C 右支交于,A B 两点，且225AF F B =，则（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．12AF F △与12BF F △内切圆半径比为3:1C ．12AF F △与12BF F △周长之比为4:1D ．12AF F △与12BF F △面积之比为5:120．（2021·广东·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，()1,1A 、()11,0F -、()21,0F ，动点P 满足124PF PF +=，则（）A ．15PA PF +<B ．21PA PF +>C ．有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32D ．有且仅有4个点P ，使得2PAF △的面积为1221．（2021·广东茂名·高三阶段练习）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A ．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B ．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C ．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()()*,i i i P x y i N∈．则1nii x =∑的取值范围为(22．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）已知O 为坐标原点，()2,2,,M P Q 是抛物线2:2C y px =上两点，F 为其焦点，若F 到准线的距离为2，则下列说法正确的有（）A ．PMF △周长的最小值为B ．若PF FQ λ=，则PQ 最小值为4C ．若直线PQ 过点F ，则直线,OP OQ 的斜率之积恒为2-D ．若POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为94π23．（2021·广东·高三专题练习）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |24．（2021·广东·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，设l 与x 轴的交点为K ，点P 为C 上异于O 的任意一点，点P 在l 上的射影为点E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PF ⊥于点M ，过Q 作QN PE ⊥，交线段EP 的延长线于点N ，则（）A ．PE PF =B ．PF QF =C ．PN MF =D ．PN KF=25．（2021·广东实验中学高三阶段练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ= ，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、双空题26．（2021·广东中山·模拟预测）F 为抛物线:C 22y px =的焦点，(4,2)P 为抛物线C 内一点，M 为C 上的任意一点，MP MF +的最小值为5，则p =_______，直线l 过点P ，与抛物线交于,A B 两点，且P 为线段AB 的中点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ，则QAB 的面积为___________.27．（2021·广东·高三阶段练习）已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（A 点在第一象限），则1ABF 的周长为_______；当2220AF BF +=，直线l 的斜率为________．四、填空题28．（2021·广东·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，设k ∈R ，直线1:0l x ky +=与直线2:210l kx y k --+=交于点P ．圆()()22:214C x y -+-=，则PO PC ⋅的最大值为____________．29．（2021·广东·高三阶段练习）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，F 1，F 2为C 的两个焦点，C 的短轴长为4，且C 上存在一点P ，使得126PF PF =，写出C 的一个标准方程：___________.30．（2021·广东实验中学高三阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方是______．31．（2021·广东实验中学高三阶段练习）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．32．（2021·广东惠州·高三阶段练习）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.如图所示，沿直线2y =-发出的光线经抛物线()220y px p =>反射后，与x 轴相交于点()2,0A ，则p =___________.33．（2021·广东湛江·高三阶段练习）已知抛物线C ：()220x py p =>，点0,2p A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，点B 的坐标为0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若AB =C 的焦点坐标为___________.34．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆221(0)x y mm+=>，则m 的值为____．五、解答题35．（2021·广东东莞·高三阶段练习）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，椭圆的右焦点恰好是直线0x y +=与x 轴的交点，椭圆的离心率为32.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左､右顶点分别为A ，B ，过定点()1,0N -的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值.36．（2021·广东·高三阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，上顶点P 到F 的距离为2，且离心率为32﹒（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且PM PN =，求k 的取值范围﹒37．（2021·广东·高三阶段练习）已知过点P ⎝⎭的椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为22，过椭圆右焦点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于,A B 两点，直线:2l x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）的面积的取值范围．（2）证明，直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标．38．（2021·广东江门·高三阶段练习）已知椭圆C 与双曲线2212016x y -=有相同的焦点，且该椭圆经过点()5,2P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆C 左焦点为F ，过F 作直线l 与椭圆C 交于A B ､两点，若弦AB 中点在直线1y =上，求直线l 的方程.39．（2021·广东·高三阶段练习）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆A ：()2228x y ++=，()2,0B ，动圆P 经过点B 且与圆A 相外切，记动圆的圆点P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）试问，在x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的动直线l 交C 于E ，F 两点时，恒有EAM FAM ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.40．（2021·广东·高三阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上任意一点P 到焦点距离的最大值是最小值的3倍，且通径长为3（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，则1ABF 的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.41．（2021·广东·高三阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，且过点()A 2,3.（1）求C 的方程；（2l 与C 交于P ，Q 两点，且与x 轴交于点M ，若Q 为PM 的中点，求l 的方程.42．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 、右顶点A 和上顶点B ，若=OF FA ，FAB 22:4C y x =上一动点T 为圆心，半径为r 的圆交y 轴于M 、N 两点，且||4MN =．（1）求椭圆1C 的方程；（2）证明：无论T 运动到何处，T e 恒经过椭圆1C 上一定点．43．（2021·广东福田·高三阶段练习）已知抛物线C ：()220y px p =>上的点()()001,0P y y >到其焦点的距离为2．（1）求点P 的坐标及抛物线C 的方程；（2）若点M 、N 在抛物线C 上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．44．（2021·广东中山·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且点在椭圆C 上，,M N 是椭圆C 上的两个不同点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线,OM ON 的斜率之积为12-，点P 满足2OP OM = （O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q （与N 不重合），若NQ NP λ=，求λ的值.45．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三阶段练习）已知圆()()22:344C x y -+-=.（1）求圆C 关于直线y x =对称的圆的方程；（2）若直线l 过点()10B ,与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.46．（2021·广东·高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点A 在抛物线上，且在第一象限，过A 的切线与x 轴交于点()2,0M -．（1）求点A 的坐标；（2）直线:2l x my =+交抛物线C 于点,M N ，交直线:2l x '=-于点P ，记直线,,AM AP AN 的斜率分别为123,,k k k ，求证：1322k k k +=．47．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线与直线230x y +-=平行.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.48．（2021·广东惠州·高三阶段练习）已知椭圆2221(03)9x y b b+=<<的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.当直线l 垂直x 轴时，83AB =.（1）求椭圆的标准方程；（2）求2ABF 内切圆半径的最大值.49．（2021·广东湛江·高三阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，且C 经过点()2,0P -.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 的直线l 交C 于另一点A ，若PA =l 的斜率.50．（2021·广东·高三阶段练习）若椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线2x 2－2y 2＝1有相同的焦点．（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y ＝32x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值．51．（2021·广东·顺德一中高三阶段练习）已知点()2,0M -，()2,0N ，点P 满足：直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，且1234k k ⋅=-（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在点Q ，使得QA QB ⋅为定值?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.52．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值；（ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.53．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点2322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为2，点1F 、2F 分别为其左、右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点M 、N ，椭圆上有两个点P 、Q ，满足M 、N 、2F 三点共线，P 、Q 、2F 三点共线，且PQ MN ⊥，若四边形PMQN ，求直线MN 的方程．54．（2021·广东高三阶段练习）已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点，A 为椭圆的上顶点，12AF F △是面积为4的直角三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆228:3O x y +=上任意一点P 处的切线l 交椭圆C 于点,M N ，问：PM PN ⋅ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.55．（2021·广东实验中学高三阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OB b k k a⋅=-，试判断AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．专题13圆锥曲线一、单选题1．（2021·广东东莞·高三阶段练习）已知双曲线C1F ，2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若△12PF F 的面积为C 的实轴长为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C 【分析】由已知条件可得13PF a =，2PF ，12F F =，再由余弦定理得121cos 3F PF ∠=-，进而求其正弦值，最后利用三角形面积公式列方程求参数a ，即可知双曲线C 的实轴长.【详解】由题意知，点P 在右支上，则122PF PF a -=，又213PF PF =，∴13PF a =，2PF a =，又==ce a∴122F F c ==，则在△12PF F 中，222129121cos 233a a a F PF a a +-∠==-⋅⋅，∴12sin F PF ∠，故12122323PF F S a a =⋅⋅⋅=△2a =，∴实轴长为24a =，故选：C.2．（2021·广东化州·高三阶段练习）已知O 为坐标原点，点F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线C 在第一象限交于点P ，若()0OF OP FP +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABC1D1+【答案】D 【分析】通过题意易知OF OP c ==，进而可知OP 的倾斜角为60︒，可知P 点坐标，将坐标代入双曲线方程即可求得离心率的值；也可设双曲线的右焦点是2F ，通过2OPF 是正三角形可求得2PF c =，22FF c =，FP =，进而可求离心率.【详解】方法1：设双曲线的右焦点是2F ，由()0OF OP FP +⋅= 知OF OP c ==，则OP 的倾斜角为60︒，2OPF 是正三角形，2PF PF ⊥，2PF c =，22FF c =，FP =，221c e PF PF =+-.方法2：()0OF OP FP +⋅= 知OF OP c == ，则OP 的倾斜角为60︒，则1322P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，点P在双曲线上，则222221c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简得()()2222222234c c a c a a c a --=-，4224840c c a a -+=，42840e e -+=，解得24e ==±1e =1e =（舍去）.3．（2021·广东·高三阶段练习）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交x 轴于点Q ，若3PF FQ →→=，则点P 到准线l 的距离为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，进而根据3PF FQ →→=得4PN =，再结合抛物线定义即可得答案.【详解】解：如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，由题知()0,1F ，即1OF =因为3PF FQ →→=，所以14OF P FQ PQN→→==所以4PN =，所以点P 到准线l 的距离为15PN +=.故选：B4．（2021·广东·高三阶段练习）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外半径BM为3，下底外半径ANC 的离心率为()A ．3BCD ．2【答案】D【分析】由已知得出点M ，N 的坐标，然后代入双曲线方程求出a ，b 的值，由此求出c 的值，即可求解．【详解】由题意可知57,43M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，21,23N ⎛-⎫⎪ ⎪⎝⎭，又双曲线C 经过M ，N 两点，则222257161921419a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1,a b ==设双曲线的半焦距为c，所以2c =，则双曲线的离心率为221c e a ===，故选：D ．5．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(3,0)D 的直线l 交抛物线C 于点A ，B，若||||FA FB →→-=，则FA FB →→⋅=（）A ．9-B ．10-C ．11-D ．12-【答案】A 【分析】由题可知，2p =，焦点为(1,0)F ，设1122(,),(,)A x y B x y，由抛物线的定义结合条件||||FA FB →→-=为12x x -=，设直线l 方程为(3)y k x =-（此时斜率k 显然存在），直线方程代入抛物线方程后，由韦达定理得1212,x x x x +，从而可求得2k ，再由向量数量积的坐标运算即可得出结果．【详解】解：由抛物线24y x =，可知2p =，焦点为(1,0)F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据抛物线的定义可得：11||FA x →=+，21||FB x →=+，∴1212(1)(1)||||x x x FA B x F →→-=+-+=-=显然直线l 不与坐标轴垂直，设其方程为(3)y k x =-，由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(64)90k x k x k -++=，∴212264k x x k ++=，129x x =，∴2222121212264()()4(4913k x x x x x x k +-=+-=-⨯=，解得：24k =，∴127x x +=，∴11221212(1,)(1,)(1)(1)FA FB x y x y x x y y →→⋅=-⋅-=--+21212(1)(1)(3)(3)x x k x x =--+--212121212()1[3()9]x x x x k x x x x =-+++-++()97149379=-++⨯-⨯+9=-．故选：A ．6．（2021·广东实验中学高三阶段练习）若直线y ＝kx +2与双曲线x 2﹣y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．(3-，3B ．3C ．(D ．(1)-【答案】D 【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y ，利用判别式大于0和1k <-联立求得k 的范围．【详解】由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y ，整理得22(1)4100k x kx -++=，22(1)4100k x kx -++=的两根为x 1，x 2，∵直线y ＝kx +2与双曲线x 2﹣y 2＝6的右支交于不同的两点，∴1221222401100110k x x k x x k k ⎧+=->⎪-⎪⎨=>⎪-⎪-≠⎩，∴k ＜﹣1，∴()()221151344010k k k k <-⎧⎪⇒-<<-⎨∆=-->⎪⎩.故选：D ．7．（2021·广东福田·高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为12，点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，且112AF F F =，则直线1AF 的斜率为（）ABCD ．1【答案】B 【分析】依题意可得2a c =，根据椭圆的定义可得22AF c =，即可得到12AF F △为等边三角形，从而得到12AF F ∠，即可得到直线1AF 的斜率；【详解】解：依题意12c e a ==，即2a c =，又122AF AF a +=，122F F c =，112AF F F =，所以22AF c =，所以12AF F △为等边三角形，即A 为椭圆的上顶点，所以1260AF F ∠=︒，所以112tan tan 60AF k AF F =∠=︒=故选：B8．（2021·广东中山·模拟预测）若22243a b c +=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（）A ．2B ．1C ．34D ．12【答案】B 【分析】利用圆的性质及弦长公式即求.【详解】因为22243a b c +=，圆221x y +=，所以圆心(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离d =，所以直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为1212l ==⨯=.故选：B ．9．（2021·广东惠州·高三阶段练习）已知直线l ：()20ax y a R -+=∈与圆M ：22430x y y +-+=的交点为A ，B ，点C 是圆M 上一动点，设点()0,1P -，则PA PB PC ++的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】先把圆的一般方程转化为标准方程可得()0,2M ，可得直线l 恒过圆心()0,2M ，即2PA PB PM +=，利用向量加法的三角不等式22PA PB PC PM PC PM PC ++=+≤+ ，分析即得解【详解】圆M ：22430x y y +-+=化成22(2)1x y +-=，故点()0,1P -，()0,2M ，直线l ：()20ax y a R -+=∈恒过圆心()0,2M ，所以2PA PB PM +=，所以266110PA PB PC PM PC PC PC PM ++=+≤+=+≤++=，当且仅当PM 和PC同向共线，且C 点为圆上最高点时，等号成立故选：B10．（2021·广东湛江·高三阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，C 的左､右焦点分別为1F ，2F ，点P 在C 的右支上，1PF 的中点N 在圆O ：222x y c +=上，其中c 为半焦距，则12sin F PF ∠=（）A B C ．34D ．18【答案】A 【分析】连接ON ，则有ON 是12PF F △的中位线，然后可得22PF c =，13PF c =，然后在12PF F △中由余弦定理解出12cos F PF ∠，然后可得答案.【详解】连接ON ，则有ON 是12PF F △的中位线，因为ON c =，所以22PF c =所以由双曲线的定义可得122PF c a=+因为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a=所以13PF c =，在12PF F △中由余弦定理可得222129443cos 2324c c c F PF c c +-∠==⋅⋅所以12sin F PF ∠=4故选：A11．（2021·广东·高三阶段练习）已知点P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，点1F ､2F 是椭圆C 的左､右焦点，若12PF F △的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为（）A B ．2C D ．3【答案】B 【分析】设12PF F △的内切圆半径为r ，则()12121212PF F S PF PF F F r =++ 1212P F F y =⋅，结合122PF PF a +=，122F F c =，r a c ≤-，P y b ≤，可得b c =，再由ce a=以及222a b c =+即可求解.【详解】由题意可得：122PF PF a +=，122F F c =，设12PF F △的内切圆半径为r ，所以()()()121212112222PF F S PF PF F F r c a r c a r =++=+=+ ，因为12PF F △的内切圆半径的最大值为a c -，所以()()()12222PF F S c a r c a c a c a b=+≤+-=-= 因为121211222P PF F S F F y c b bc =⋅≤⋅⋅= ，所以2b bc =，可得b c =，所以椭圆C 的离心率为c e a ==，故选：B.12．（2021·广东·高三阶段练习）已知抛物线2x ay =的焦点为F ，且()2,1M 为抛物线上的点，则MF =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】将点的坐标代入抛物线方程，即可求出a ，再根据抛物线的定义可求得MF 的值.【详解】因为点()2,1M 在抛物线上，所以4a =，即抛物线的方程为24x y =，其准线方程为：1y =-，由抛物线的定义可知112MF =+=.故选：B.13．（2021·广东珠海·高三阶段练习）已知点(1,1)A ，且F 是椭圆22143x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA +的最小值是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求得PF PA +的最小值【详解】2,1a c ===，设椭圆的右焦点为()11,0F ，11AF =PF PA +111244413a PF PA PA PF AF =-+=+-≥-=-=，当P 在1F 的正上方时，等号成立.故选：D14．（2021·广东罗湖·高三阶段练习）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler ）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C ，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ，则C 的离心率为（）A ．2211λλ-+B C ．11λλ-+D 【答案】C 【分析】设椭圆C 的焦距为2c ，长轴长为2a ，根据题意可得地球与太阳的最远距离为a c +，最近距离为a c -，再由地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ，列出方程，即可得出答案.【详解】解：设椭圆C 的焦距为2c ，长轴长为2a ，根据题意可得地球与太阳的最远距离为a c +，最近距离为a c -，则a c a cλ+=-，解得c a =11λλ-+，即C 的离心率为11λλ-+.故选：C.15．（2021·广东·执信中学高三阶段练习）已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12 PF F △的重心，若1GA PF λ= ，则ba为（）A B ．C D ．与λ的取值有关【答案】B 【分析】由题意，2PG GO =，1//GA PF ，可得12OA AF =，从而可求出答案．【详解】解：因为G 是12 PF F △的重心，所以2PG GO =，又因1GA PF λ=，所以1//GA PF ，12OA AF ∴=，2a c a ∴=-，3c a =∴，又222c a b =+，b ∴=，∴ba=故选：B ．二、多选题16．（2021·广东·模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2221x y a+=（1a >）的左､右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点，且满足2PBA PAB ∠=∠，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则（）A ．212k k a=-B．若PA =，则椭圆的方程为22217x y +=C．若椭圆的离心率e =，则2173k k =-D ．PAB △的面积随1k 的增大而减小【答案】BCD 【分析】利用斜率公式及椭圆方程可判断A ，利用条件及正弦定理可求1224247k k ==-，可判断B ，结合条件及12,k k 的关系式可判断C ，由题可得()21311213PAB k S k k -=-△，再利用导数可判断D.【详解】对于A 选项，由题意可知(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，则20220001222222000011x y y y a k k x a x a x a x aa -=⋅===-+---，故A 错误；对于B选项，由正弦定理得422cos 3PA PAB PB ==∠=，∴22cos 3PAB ∠=，则2tan 4PAB ∠=，即124k =，1222122tan 42tan 21tan 17k PAB k PAB PAB k ∠-=∠===-∠-，从而2427k =-，因此122124247k k a ⎛⎫-==⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，即2127a =，则椭圆方程为22217x y +=，故B 正确；对于C 选项，由B 可知，122121k k k -=-，得221212k k k k -=，∴21212k k a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即22112k k a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又e =，1b =，所以a =2173k k =-，即2173k k =-，故C 正确；对于D 选项，过P 作PD AB ⊥于D ，则1PD k AD=，2PD k BD=-，故122PD PD a AB AD BD k k ==+=，即12212ak k P k k D =-，∴()221123121121112121212222231PABk a k k a PD k k S k k k k k k k -=⋅⋅====---+-△，10k >，设()()23213x f x x x -=-，0x >，则()()4232603x x x f x +--'=<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，则PAB △的面积随1k 的增大而减小，故D 正确.故选：BCD.17．（2021·广东·高三阶段练习）已知点00(,)P x y 是抛物线2:4C y x =上一动点，则（）A ．C 的焦点坐标为（2，0）B ．C 的准线方程为10x +=C ．01x +=D ．02011x y ++的最小值为34【答案】BCD 【分析】根据抛物线方程直接求出焦点和准线，即可判断A 、B ；利用抛物线的定义即可判断选项C ；根据抛物线方程消元，得到200220011141y x y y +=+++构造基本不等式求出最小值.【详解】抛物线2:4C y x =，所以焦点坐标为(1,0)，C 的准线方程为10x +=，故A 错误；B 正确；根据抛物线的定义可得P到焦点的距离等于P 到准线的距离，即01x +.故C 正确；因为204y x =，所以22000222000111111314141444y y x y y y ++=+=+-=+++ ，（当且仅当20201141y y +=+，即201y =时，等号成立.）故02011x y ++的最小值为34.故D 正确.故选：BCD.18．（2021·广东广雅中学高三阶段练习）若方程||||143+=x x y y 表示的曲线是函数()f x 的图像，则下列结论正确的有（）A ．函数()f x 的图像经过第三象限B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．(2)0f x +≥的解集为(,0]-∞D．函数()2()=+g x f x 存在零点【答案】BC 【分析】对于||||143+=x x y y ，去绝对值号，作出其图像，验证A 、B 选项；根据图像平移，得到(2)y f x =+，由图像法解不等式，即可判断C ；令()2()0g x f x ==，则()f x =令12(),y f x y ==根据双曲线的渐近线即可判断.【详解】对于||||143+=x x y y ，当0,0x y ≥≥时，||||143+=x x y y 可化为22143x y+=为椭圆，在第一象限部分；当0,0x y <≥时，||||143+=x x y y 可化为22143x y-+=为双曲线，在第二象限部分；当0,0x y <<时，||||143+=x x y y 可化为22143x y--=无意义；当0,0x y ≥<时，||||143+=x x y y 可化为22143x y -=为双曲线，在第四象限部分；作出图像如图所示：故A 错误、B 正确；把()f x 的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像如图所示，所以(2)0f x +≥的解集为(,0]-∞.故C 正确；令()2()0g x f x ==，则()2f x =-.令12(),y f x y ==22y =-为经过原点，斜率为.在第二象限，1()=y f x 为双曲线22143x y -+=，其渐近线为2y =-，所以12(),2y f x y ==无交点；在第四象限，1()=y f x 为双曲线22143x y -=，其渐近线为y =，所以12(),y f x y ==故D 错误.故选：BC.19．（2021·广东中山·模拟预测）双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为60 的直线l 过双曲线C 的右焦点2F ，与双曲线C 右支交于,A B 两点，且225AF F B =，则（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．12AF F △与12BF F △内切圆半径比为3:1C ．12AF F △与12BF F △周长之比为4:1D ．12AF F △与12BF F △面积之比为5:1【答案】BD 【分析】设设2F B x = ，则25AF x = ，则152AF x a =+ ，12F B x a =+ ，在12AF F △和12BF F △中由余弦定理可得68c a =，即可得离心率可判断A ；将43c a =代入可得715x a =，进而可得12AF F △与12BF F △周长可判断C ；由225AF F B = 可得12AF F △与12BF F △面积之比可判断D ；由三角形的面积等于12乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断B ，进而可得正确选项.【详解】设2F B x = ，则25AF x = ，由双曲线的定义可得：12252AF AF a x a =+=+ ，1222F B F B a x a =+=+，在12AF F △中，由余弦定理可得：()()()2225252252cos120x a x c x c +=+-⋅⋅⋅ ，即22210250a ax c cx +--=，所以2222510a c cx ax-=-在12BF F △中，由余弦定理可得：()()2222222cos 60x a x c x c +=+-⋅⋅⋅ ，即222220a ax c cx +-+=，所以22222a c cx ax -=--，可得5102cx ax cx ax -=--，所以8c a =，所以离心率8463c e a ===，故选项A 不正确；设点1F 到直线l 的距离为h ，则121222125:112AF F BF F AF h S S BF h ⋅⋅==⋅⋅ ，故选项D 正确；将43c a =代入22222a c cx ax -=--可得：715x a =，所以12AF F △的周长为12774285252151533AF F C a a a a a =⨯++⨯+⨯= ，12BF F △的周长为1277484221515315BF F C a a a a a =+++⨯= ，所以12AF F △与12BF F △周长之比为28535:384315aa ==，故选项C 不正确；设12AF F △与12BF F △内切圆半径分别为1r ，2r ，12AF F △的面积与12BF F △的面积之比为1212112212815232118412215AF F BF F a r C r C r a r ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅ ，所以12:3:1r r =，故选项B 正确；故选：BD.20．（2021·广东·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，()1,1A 、()11,0F -、()21,0F ，动点P 满足124PF PF +=，则（）A ．15PA PF +<B ．21PA PF +>C ．有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32D ．有且仅有4个点P ，使得2PAF △的面积为12【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义以及三点共线可判断AB 选项的正误；利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，进而可判断CD 选项的正误.【详解】因为121242PF PF F F +=>=，所以，点P 的轨迹是以点1F 、2F 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以，2422a c =⎧⎨=⎩，可得2a =，1c =，则b =P 的轨迹方程为22143x y +=.设直线1AF 交椭圆22143x y +=于点3P 、4P ，直线2AF 交椭圆22143x y+=于点1P 、2P.对于A 选项，122445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，当点P 与点2P 重合时，等号成立，A 错；对于B选项，2114441PA PF PA PF AF +=+-≥-=>，当点P 与点3P 重合时，2PA PF +取最小值4，B 对；对于C 选项，设点P 到直线1AF 的距离为1d，11111322PAF S AF d =⋅==△，所以，1d =直线1AF 的斜率为111112AF k ==+，直线1AF 的方程为()112y x =+，即210x y -+=，设与直线1AF20x y m -+=，=，可得2m =-或4m =，所以，点P 在直线220x y --=或240x y -+=上.联立222203412x y x y --=⎧⎨+=⎩，消去y 可得220x x --=，解得1x =-或2，联立222403412x y x y -+=⎧⎨+=⎩，消去y 可得2210x x ++=，解得1x =-.综上所述，有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32，C 对；对于D 选项，设点P 到直线2AF 的距离为2d ，则2222111222PAF S AF d d =⋅==△，可得21d =，与直线2:1AF x =平行且距离为1的直线的方程为2x =或0x =，所以点P 在直线2x =或0x =上，直线0x =与椭圆22143x y +=相交，直线2x =与椭圆22143x y +=相切，综上所述，有且仅有3个点P ，使得2PAF △的面积为12，D 错.故选：BC.21．（2021·广东茂名·高三阶段练习）已知曲线C ：1x x y y +=，则下列结论正确的是（）A ．直线0x y +=与曲线C 没有公共点B ．直线x y m +=与曲线C 最多有三个公共点C ．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为()()*,i i i P x y i N∈．则1niix =∑的取值范围为(。

广东省部分地区2019届高三最新模拟考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线

部分地区2019届高三最新（2、3月）模拟考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（广东省2019届高三3月一模）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±512，0）B ．（0，±512）C ．（±5，0）D ．（0，±5）2、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知双曲线222:1y C x b -=的一条渐近线过圆()()22:241P x y -++=的圆心，则C 的离心率为A.52B.32C.5D.3 3、（广州市天河区2019高考二模）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若＝0，且∠F 1AF 2＝150°，则e 2＝（）A ．7﹣2B ．7﹣C ．7D ．7 4、（江门市2019高三一模）直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A ．B ．C ．D ． 5、（揭阳市2019年高三一模）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A ．51-B ．512+C ．32D ．26、（梅州市2019高三3月一模）已知双曲线C ：＝l （a ＞0，b ＞0）一个焦点为F （2，0），且F 到双曲线C 的渐近线的距离为1，则双曲线C 的方程为（）A ．x 2＝1B ．＝1C ．x 2＝1D ．＝17、（汕头市2019届高三第一次（3月）模拟考试）一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0) 8、（汕尾市2019高三一模）已知双曲线，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．D ． 9、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）已知直线(0)y kx k =≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△A BF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）510、（肇庆市2019高三二模）已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在C 上，则C 的方程为（） A ． B ．C ．D ．11、（湛江2019高三一模）已知直线l ：4x －3y ＋6＝0和抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C 的焦点距离相等，那么这样的点P 有A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个12、（湛江2019高三一模）若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为E 右支上一点，｜PF 1｜＝｜F 1F 2｜，∠PF 1F 2＝30°，△PF 1F 2的面积为2，则a ＝＿＿＿参考答案1、A2、C3、C4、D5、B6、B7、B8、B9、D 10、B11、C 12、213+-。

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广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线(教师版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线（教师版）1．已知椭圆()22220y x C a b a b ：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【答案】解:（1）由离心率63e =，得2263a b a -=，即223a b =. ① ……2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b --=+. ② ……4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. ……5分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………6分（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为22的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G e 与直线l 相切于点T ，则由|22|222m +-=，得4m =±，………… 10分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，.……………… 12分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G e 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 71m =--.…… 14分2. 已知圆C 与两圆22(4)1x y ++=，22(2)1x y +-=外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点(,)M x y 的距离的最小值为m ，点(0,1)F 与点(,)M x y 的距离为n . (Ⅰ)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（Ⅱ）求满足条件m n =的点M 的轨迹Q 的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q 上是否存在点11(,)B x y ，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12。

若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为1(0,4)C -、2(0,2)C ，由题意得12CC CC =，可知圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线，12C C 的中点为(0,1)-，直线12C C 的斜率等于零，故圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线方程为1y =-，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为1y =-。

(4分)（Ⅱ）因为m n =，所以(,)M x y 到直线1y =-的距离与到点(0,1)F 的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以1y =-为准线，点(0,1)F 为焦点，顶点在原点的抛物线，12p=，即2p =，所以，轨迹Q 的方程是24x y = (8分) （Ⅲ）由（Ⅱ）得214y x =， 12y x '=，所以过点B 的切线的斜率为112k x =，切线方程为1111()2y y x x x -=-，令0x =得21112y x y =-+，令0y =得1112y x x x =-+，因为点B 在24x y =上，所以21114y x = 故2114y x =-，112x x = 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2311111111||||224216S x y x x x ==-= 设12S =，即3111162x =得12x =，所以12x =± 当12x =时，11y =，当12x =-时，1y =，所以点B 的坐标为(2,1)或(2,1)-. (14分)3．已知椭圆的一个顶点为()0,1A -，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线)0(≠+=k m kx y 与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．【答案】解：（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点()21,0Fa -，由题设322212=+-a ，解得32=a ，…4分故所求椭圆的方程为1322=+y x 。

……………5分设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ，Q 直线与椭圆相交，()()()2226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① ………8分23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，21313P APP y m k k x mk+++∴==-，又,AM AN AP MN =∴⊥，则： kmk k m 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② (10)分把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， …………………………12分由②得03122>-=m k ，解得21>m ．…… ……………………………13分综上求得m 的取值范围是122m <<． ………………………………14分4．（本题满分14分）已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个交点为()13,0F -,而且过点13,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.【答案】解法一:由题意得223a b -=,223114a b+=,解得224,1a b ==, 所以椭圆E 的方程为2214x y += (4)分解法二:椭圆的两个交点分别为()()123,0,3,0F F -,由椭圆的定义可得12712||||422a PF PF =+=+=,所以2a =,21b =, 所以椭圆E 的方程为2214x y += (4)分（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得001N x x y -=-; 直线2PA :0011y y x x ++=,令0y =,得001M xx y =+; 设圆G 的圆心为00001,211x x h y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 则2r =22220000000000112111411x x x x x h h y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=++⎢⎥ ⎪ ⎪+-++-⎝⎭⎝⎭⎣⎦,22200001411xx OG h y y ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭2222222200000200000114114111x x x x x OT OG r h h y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=++---= ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ 而220014x y +=,所以()220041x y =-,所以()202204141y OT y -==-, 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分解法二:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得001N x x y -=-; 直线2PA :0011y y x x ++=,令0y =,得001M xx y =+; 则20002000||||111x x x OM ON y y y -⋅=⋅=-+-,而220014x y +=,所以()220041x y =-, 所以2020||||41x OM ON y ⋅==-,由切割线定理得2||||4OT OM ON =⋅= 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分 5．(本小题满分14分)设抛物线C 的方程为24x y =，M 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点；（3）当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使MAB ∆为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.【答案】解：(1)当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1),(2,1)A B -，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．易知此圆与直线:1l y =-相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y =，整理得()211440x kx kx y -+-=()211(4)440k kx y ∆=-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k =．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =- 又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =- 同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② 即20022x y x y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．6分即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分证法二：设过()00,M x y 的抛物线的切线方程为00()y y k x x -=-(0)k ≠，代入24x y =，消去y ，得()200440x kx y kx ---=()200(4)440k y kx ∆=+⨯-=即：2000k x k y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而2000142x x y k -+-=，2000242x x y k ---=此时112x k =，222x k = 所以切点,A B 的坐标分别为21121(,)A k k ，22221(,)B k k ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为012121242ABx y y x x k x x -+===-，1212120122222x x k k k k x k k +++===， 22220012121212212112()2222()2x y y y k k k k k k k k +-++-===，所以AB 的中点坐标为20002(,)2x y x - 故直线AB 的方程为200002()22x y x y x x --=-，即()002x x y y =+.．．．．．．．．．．．．．．7分又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分证法三：由已知得24x y =，求导得2xy =，切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ，故过点()11,A x y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2x y y x x -=-即21124x x y x =-又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =- 同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② 即20022x y x y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．6分即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）解法一：由（2）中①②两式知12,x x 是方程20024x x y x =-的两实根，故有12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩MA MB ⋅=u u u r u u u r10201020()()()()x x x x y y y y --+--22120120120120()()x x x x x x y y y y y y =-+++-++（*）将221212,44x x y y ==，0y m =，代入上（*）式得 ∴MA MB ⋅=u u u r u u u r 222222121212012000()444x x x x x x x x x x y y +-+++⋅-+ 2220044m mx m x =+--20(1)(4)m x m =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分①当1m =时，0MA MB ⋅=u u u r u u u r，直线l 上任意一点M 均有MA MB ⊥，MAB ∆为直角三角形；．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②当01m <<时，0MA MB ⋅<u u u r u u u r ，2AMB π∠>，MAB ∆不可能为直角三角形；．．．．．．．．．．．．．．．．．11分③当1m >时，0MA MB ⋅>u u u r u u u r ，2AMB π∠<.因为012121242ABx y y x x k x x -+===-，20001422MA x x y x k ±-==，所以22000000004(4)224MA ABx x y x x x y x k k ±-±-⋅=⨯=若1MA AB k k ⋅=-，则20000(4)14x x x y ±-=-，整理得200(2)4y x +=-，又因为0y m =-，所以20(2)4m x -=，因为方程20(2)4m x -=有解的充要条件是2m >.所以当2m >时，有MA AB ⊥或MB AB ⊥，MAB ∆为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分综上所述，当1m =时，直线l 上任意一点M ，使MAB ∆为直角三角形，当2m >时，直线l 上存在两点M ，使MAB ∆为直角三角形；当01m <<或12m <≤时，MAB ∆不是直角三角形.．．．．．．．．．．．．．．．．．14分解法二：由（2）知12MA x k =，22MB x k =且12,x x 是方程200240x x x y -+=的两实根，即20004x x x y =±-，从而12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩，所以12022MA MB x x k k y ⋅=⨯= 当01y =-时，即1m =时，直线l 上任意一点M 均有MA MB ⊥，MAB ∆为直角三角形；．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当01y ≠-时，即1m ≠时，MA 与MB 不垂直。

广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线教师