主成份(PCA)与奇异值分解(SVD)的通俗解释
pca的名词解释
pca的名词解释在现代数据分析和机器学习领域，Principal Component Analysis（主成分分析，简称PCA）是一种常用的无监督降维技术。
PCA通过将原始数据投影到新的坐标轴上，使得数据在新的坐标系下具有最大的方差，从而实现降低数据维度的目的。
在本文中，我们将探讨PCA的定义、原理、应用以及一些相关的概念。
一、PCA的定义和原理PCA的主要目标是通过线性变换，将高维数据转换为低维数据，同时保留数据中的主要结构和相关信息。
这种转换是通过找到数据中的主成分来实现的。
主成分是原始数据在最大方差方向上的投影。
在PCA中，首先计算数据的协方差矩阵。
协方差矩阵是一个对称矩阵，用于描述数据集中不同维度之间的相关性。
接下来，通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示了数据中的主成分所解释的方差比例，而特征向量则表示了主成分的方向。
在选择主成分时，可以根据特征值的大小排序。
通常情况下，选择具有最大特征值的特征向量作为第一主成分，然后选择下一个最大特征值对应的特征向量作为第二主成分，依此类推。
这样可以确保每个主成分都能够解释尽可能多的数据方差。
二、PCA的应用领域PCA是一种广泛应用于数据分析领域的强大工具，它在很多领域都具有重要的应用价值。
以下是一些常见的应用领域：1. 特征提取与降维：PCA可以帮助我们从高维数据中提取最具代表性的特征，并将数据降低到较低的维度。
这在图像识别、模式识别和信号处理等领域中尤为重要。
2. 数据可视化：PCA可以将复杂的数据集映射到二维或三维空间，使得我们可以更容易地观察和理解数据的结构和关系。
这对于数据可视化和探索性数据分析非常有帮助。
3. 数据预处理：在许多机器学习算法中，数据的维度可能非常高，这可能导致过拟合或计算效率低下。
使用PCA对数据进行预处理可以帮助我们减少冗余信息，提高模型的泛化能力和效率。
4. 噪声滤波：在某些情况下，数据可能包含大量的噪声，这可能影响我们对数据的分析和建模。
强化学习算法中的矩阵分解方法详解(Ⅲ)
强化学习算法中的矩阵分解方法详解强化学习是一种机器学习方法，通过试错和奖励机制来训练智能体以使其在未知环境下做出最优决策。
在强化学习中，智能体需要通过与环境的交互来学习最优策略。
矩阵分解是一种常用的算法，用于处理强化学习中的状态值函数和动作值函数。
本文将详细介绍强化学习算法中的矩阵分解方法。
1. 强化学习中的状态值函数和动作值函数在强化学习中，状态值函数表示在某个状态下智能体可以获得的期望回报，动作值函数表示在某个状态下采取某个动作可以获得的期望回报。
状态值函数和动作值函数是强化学习算法中的核心概念，它们可以帮助智能体判断当前状态下应该采取哪个动作以获得最大的回报。
2. 矩阵分解在强化学习中的应用在强化学习中，状态值函数和动作值函数通常由价值函数表示。
价值函数是一个关于状态或状态-动作对的函数，可以用来评估不同状态或动作的价值。
矩阵分解可以帮助我们对价值函数进行有效地表示和学习。
3. 矩阵分解方法矩阵分解方法是一种常用的线性代数方法，用于将一个矩阵分解成多个矩阵的乘积。
在强化学习中，矩阵分解方法通常用于对价值函数进行分解和逼近。
常见的矩阵分解方法包括奇异值分解（SVD）、主成分分析（PCA）和因子分解等。
4. SVD在强化学习中的应用奇异值分解（SVD）是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。
在强化学习中，SVD可以用于对状态值函数和动作值函数进行逼近。
通过SVD分解，我们可以得到状态值函数和动作值函数的近似表示，从而可以更高效地进行值函数的计算和更新。
5. PCA在强化学习中的应用主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法，可以通过线性变换将原始数据映射到低维空间中。
在强化学习中，PCA可以用于对状态空间和动作空间进行降维，从而减少状态值函数和动作值函数的计算复杂度。
通过PCA的降维处理，我们可以更高效地对价值函数进行表示和学习。
6. 因子分解在强化学习中的应用因子分解是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解成多个因子的乘积。
主成分分析(主元分析,PCA)原理
PCA原理1因为经常做一些图像和信号处理的工作，要用到主元分析（Principal Components Analysis）作为工具。
写出来供自己和朋友参考。
PCA是一种统计技术，经常应用于人面部识别和图像压缩以及信号去噪等领域，是在高维数据中提取模式的一种常用技术。
要了解PCA首先要了解一些相关的数学知识，这里主要介绍协方差矩阵、特征值与特征矢量的概念。
1、协方差矩阵协方差总是在两维数据之间进行度量，如果我们具有超过两维的数据，将会有多于两个的协方差。
例如对于三维数据（x, y, z维），需要计算cov(x,y)，cov(y,z)和cov(z,x)。
获得所有维数之间协方差的方法是计算协方差矩阵。
维数据协方差矩阵的定义为（1）这个公式告诉我们，如果我们有一个n维数据，那么协方差矩阵就是一个n行n 列的方矩阵，矩阵的每一个元素是两个不同维数据之间的协方差。
对于一个3维数据（x,y,z），协方差矩阵有3行3列，它的元素值为：(2)需要注意的是：沿着主对角线，可以看到元素值是同一维数据之间的协方差，这正好是该维数据的方差。
对于其它元素，因为cov（a,b）=cov（b,a），所以协方差矩阵是关于主对角线对称的。
2、特征值和特征矢量只要矩阵大小合适，就可以进行两矩阵相乘，特征矢量就是其中的一个特例。
考虑图2.1中两个矩阵和矢量乘法。
图2.1 一个非特征矢量和一个特征矢量的例子图2.2 一个缩放的特征矢量仍然是一个特征矢量在第一个例子中，结果矢量不是原来因子矢量与整数相乘，然而在第二个例子中，结果矢量是原来因子矢量的4倍，为什么会这样呢？该矢量是一个2维空间矢量，表示从原点(0,0)指向点(3,2)的箭矢。
方矩阵因子可以看作是转换矩阵，一个矢量左乘该转换矩阵，意味着原始矢量转换为一个新矢量。
特征矢量来自于转换特性。
设想一个转换矩阵，如果用其左乘一个矢量，映射矢量是它自身，这个矢量（以及它的所有尺度缩放）就是该转换矩阵的特征矢量。
主成分分析与奇异值分解的关系分析
主成分分析与奇异值分解的关系分析主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)和奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是统计学和线性代数领域的两个重要概念和方法。
它们在数据降维、特征提取和模式识别等领域有着广泛的应用。
本文将从数学角度分析主成分分析和奇异值分解之间的关系。
首先，我们先了解主成分分析和奇异值分解的基本概念和原理。
主成分分析是一种无监督学习方法，旨在找到能够解释数据中最大方差的新组合（也称为主成分）。
主成分分析通过将原始数据投影到新的特征空间中，使得新的特征具有最大的方差。
这样可以降低原始数据的维度，同时保留主要的信息。
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。
对于一个任意的矩阵A，奇异值分解能够将其表示为$A = U \Sigma V^T$的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素称为奇异值。
这种分解可以将原始矩阵A的信息分解为三个部分，分别由U、Σ和V表示。
然后，我们来探讨主成分分析和奇异值分解之间的关系。
主成分分析和奇异值分解有着密切的联系。
事实上，主成分分析可以看作是数据矩阵的奇异值分解的一种特殊情况。
具体来说，如果我们将主成分分析应用于数据矩阵，那么经过中心化的数据矩阵可以表示为X = USV^T，其中X是数据矩阵，U和V是正交矩阵，S是一个对角阵。
这个形式和奇异值分解非常相似，只是U和V的定义稍有不同。
在主成分分析中，U的每一列代表一个主成分，V代表原始特征与主成分之间的关系，而S含有数据的方差信息。
进一步地，我们可以通过奇异值分解的性质来理解主成分分析的几何意义。
奇异值分解可以将原始矩阵A表示为一个线性变换后的椭球体。
每个主成分可以看作是沿着一个特定方向对椭球体进行线性变换的结果。
而主成分分析的目标就是找到这些方向，使得变换后的椭球体的方差最大化。
通过找到能够解释数据最大方差的主成分，我们可以对数据进行降维，同时保留主要的信息。
主成分分析(PCA)原理详解
主成分分析（PCA）原理详解PCA的基本原理如下：1.数据标准化：对数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1、这一步骤是为了保证不同特征的量纲一致，避免一些特征因数值过大而对分析结果造成影响。
2.计算协方差矩阵：协方差矩阵描述了数据特征之间的相关性。
通过计算标准化后的数据的协方差矩阵，可以得到不同特征之间的相关性信息。
3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征向量表示了数据在各个方向上的投影情况，特征值则表示了各个特征向量的重要程度。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最重要的K个特征向量作为主成分。
特征值越大，表示该特征向量所代表的特征在数据中的方差越大，所能解释的信息也越多。
5.构造降维后的数据集：将选取的K个特征向量组合成一个转换矩阵，将原始数据映射到新的K维空间中。
通过这个转换过程，可以实现降维并且保留较多的信息。
总结起来，PCA的主要思想是通过计算特征向量和特征值，找到数据中最重要的方向（主成分），然后通过投影到这些主成分上实现数据的降维。
PCA的应用包括数据可视化、特征选择、噪声过滤等。
例如，在数据可视化中，将高维数据降至二维或三维空间，有助于观察数据之间的分布情况。
在特征选择中，选择最能代表数据信息的主成分可以减少特征的数量，并且仍能保留较多的重要信息。
在噪声过滤中，提取数据中的主成分，滤除噪声成分，能够提高数据的质量和可靠性。
需要注意的是，PCA的有效性依赖于数据之间存在线性关系的假设。
对于非线性关系较强的数据，PCA不一定能够有效降维，这时可以采用核主成分分析等非线性降维方法。
以上是对PCA原理的详细解析。
通过PCA，我们能够将高维数据转换为一组更易理解和处理的低维特征，从而发现数据中的潜在结构、关系和模式，为后续分析和建模提供有益的信息。
什么是PCA
PCA（Principal Component Analysis),称主成分分析，从统计学的角度来说是一种多元统计方法。
PCA通过将多个变量通过线性变换以选出较少的重要变量。
它往往可以有效地从过于“丰富”的数据信息中获取最重要的元素和结构，去除数据的噪音和冗余，将原来复杂的数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。
近年来，PCA方法被广泛地运用于计算机领域，如数据降维、图像有损压缩、特征追踪等等。
PCA方法是一个高普适用方法，它的一大优点是能够对数据进行降维处理，我们通过PCA方法求出数据集的主元，选取最重要的部分，将其余的维数省去，从而达到降维和简化模型的目的，间接地对数据进行了压缩处理，同时很大程度上保留了原数据的信息，就如同人脑在感知神经处理时进行了降维处理。
所以在机器学习和模式识别及计算机视觉领域，PCA方法被广泛的运用。
在人脸识别中，假设训练集是30幅不同的N×N大小的人脸图像。
把图像中每一个像素看成是一维信息，那么一副图像就是N2维的向量。
因为人脸的结构有极大的相似性，如果是同一个人脸的话相似性更大。
而我们的所希望能够通过人脸来表达人脸，而非用像素来表达人脸。
那么我们就可以用PCA方法对30幅训练集图像进行处理，寻找这些图像中的相似维度。
我们提取出最重要的主成份后，让被识别图像与原图进行过变化后的主元维度进行相似度比较，以衡量两幅图片的相似性。
在图像压缩方面，我们还可以通过PCA方法进行图像压缩，又称Hotelling或者Karhunen and Leove变换。
我们通过PCA提取出图像的主分量，去除掉一些次分量，然后变换回原图像空间，图像因为维数的降低得到了很大程度上的压缩，同时图像还很大程度上保留了原图像的重要信息。
PCA方法其实就是将数据空间通过正交变换映射到低维子空间的过程。
而相应的基向量组应满足正交性且由基向量组构成的地位子空间最优地考虑了数据的相关性。
在原数据集变换空间后应使单一数据样本的相互相关性降低到最低点。
奇异值分解与特征值分解的比较分析(Ⅰ)
奇异值分解与特征值分解是线性代数中两个重要的矩阵分解方法。
它们在数据分析、信号处理、图像压缩等领域都有着广泛的应用。
本文将对这两种分解方法进行比较分析，探讨它们的优缺点及适用范围。
一、奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的方法，即将一个m×n的矩阵A分解为U、Σ和V三个矩阵的乘积，其中U是一个m×m的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n的酉矩阵。
奇异值分解有着许多优点，比如对于任意的矩阵A，都存在奇异值分解。
并且，对于奇异值分解的性质有许多重要的应用，比如在矩阵压缩和降维、矩阵逆的计算等方面。
二、特征值分解（EVD）特征值分解是一种将一个方阵分解成三个矩阵的方法，即将一个n×n的方阵A分解为P、Λ和P-1三个矩阵的乘积，其中P是一个n×n的可逆矩阵，Λ是一个n×n的对角矩阵，P-1是P的逆矩阵。
特征值分解也有着诸多优点，比如对于对称矩阵来说，特征值分解是唯一的，而且特征值分解在对称矩阵的对角化、矩阵对称化等方面有着重要的应用。
三、奇异值分解与特征值分解的比较分析1. 计算复杂度在计算复杂度方面，特征值分解的计算复杂度通常比奇异值分解高。
特征值分解需要解特征值问题，而奇异值分解只需要进行奇异值分解，因此在计算复杂度上，奇异值分解更加高效。
2. 适用范围特征值分解对于对称矩阵有着很好的适用性，而奇异值分解对于任意矩阵都有着适用性。
因此，在实际应用中，奇异值分解的适用范围更广。
3. 稳定性在矩阵的微小扰动下，特征值分解的结果可能会有较大的变化，而奇异值分解对于矩阵的微小扰动具有更好的稳定性。
因此在数值计算中，奇异值分解更加稳定可靠。
四、结论奇异值分解与特征值分解是两种重要的矩阵分解方法，它们在不同的领域有着不同的应用。
在计算复杂度、适用范围和稳定性等方面，奇异值分解相对于特征值分解具有更多的优势。
高维数据降维方法
高维数据降维方法高维数据降维是机器学习领域中非常重要的研究方向之一。
在现实应用中，往往是面对海量的、高纬的数据，这时候，通过降维的方法可以缩短计算时间，提高数据质量，因此降维成为了机器学习、数据挖掘、计算机视觉等很多领域中必不可少的一步。
那么，什么是高维数据呢？简单来说，高维数据是指数据的特征维度非常多，比如上千、上万维甚至更高维度。
在高维数据中，往往存在着冗余信息，即一些特征虽然在该数据集中存在，但其本身并不重要，甚至对于最终的分类或者回归结果可能没有直接的贡献。
如果不进行降维处理，这些冗余的特征会对学习算法的准确性和速度造成负面影响。
因此降维技术的研究和实践具有很高的实用价值。
一是基于矩阵分解的降维方法。
这类方法的基本思路是对数据集进行矩阵分解，将数据映射到一个低纬的空间中，以达到降低数据维数的目的。
主要有奇异值分解(SVD)、主成分分析(PCA)、因子分析(Factor Analysis)等方法。
奇异值分解(SVD)是常用的一种矩阵分解方法。
通过对原始数据矩阵进行SVD分解，可以得到一组正交基向量和一组奇异值，这样就将原本的高维数据映射到了一个低维子空间中，从而实现了降维的目的。
主成分分析(PCA)是一种基于统计学思想的降维方法。
其基本思路是将原始数据经过线性变换，得到新的一组变量（即主成分），这样就将原本的高维数据表示为了少数几个主成分的线性组合。
另一种基于流形学习的降维方法。
流形是指在高维空间中具有低维结构特征的一类局部欧几里得空间，比如球面、圆环、螺旋等。
流形学习的基本思路是将高维数据的低维流形结构保留下来，降低冗余的特征维数。
其代表性方法有t-SNE、Isomap、LLE等。
这些方法在解决高维数据问题中得到了很好的应用。
t-SNE是一种流形学习的降维方法。
它不仅可以减少高维数据的维数，还能够保留高维空间中的局部结构特征。
这样就可以方便地观察高维数据的低维表示结果。
Isomap是一种基于距离度量的流形学习方法。
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主成份(PCA)与奇异值分解(SVD)的通俗解释
主成分分析
1.问题描述
在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。
多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。
如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。
盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。
2.过程
主成分分析法是一种数据转换的技术，当我们对一个物体进行衡量时，我们将其特征用向量（a1,a2,a3,...an）进行表示，每一维都有其对应的variance（表示在其均值附近离散的程度）；其所有维的variance之和，我们叫做总的variance；我们对物体进行衡量时，往往其特征值之间是correlated的，比如我们测量飞行员时，有两个指标一个是飞行技术（x1）,另一个是对飞行的喜好程度（x2），这两者之间是有关联的，即correlated的。
我们进行PCA（主成分分析时），我们并
没有改变维数，但是我们却做了如下变换，设新的特征为（x1,x2,x3...,xn）;
其中
1)x1的variance占总的variance比重最大；
2)除去x1,x2的variance占剩下的variance比重最大；....
依次类推；
最后，我们转换之后得到的(x1,x2,...xn)之间都是incorrelated，我们做PCA时，仅取（x1，x2,....xk）,来表示我们测量的物体，其中，k要小于n。
主成分的贡献率就是某主成分的方差在全部方差中的比值。
这个值越大，表明该主成分综合X1，X2，…，XP信息的能力越强。
如果前k 个主成分的贡献率达到85%，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息，这样既减少了变量的个数又方便于对实际问题的分析和研究。
注意，当（a1,a2,a3,...an）之间都是incorrelated时，我们就没有做PCA的必要了
数据点在上图所示的方向上进行投影后，数据仍然有着很大的variance,但在下图所示的方向上，投影后的数据的variance就很小。
我们所需要做的就是找到这一系列的向量，使得数据在其上的投影有着较大的variance。
3.数学描述
为了能够找到这一系列的向量，我们对数据进行预处理1) Alcohol
2) Malic acid
3) Ash
4) Alcalinity of ash
5) Magnesium
6) Total phenols
7) Flavanoids
8) Nonflavanoid phenols
9) Proanthocyanins
10)Color intensity
11)Hue
12)OD280/OD315 of diluted wines
13)Proline
样本数为130，在matlab下按照以上步骤，进行PCA，得到的特征值如下：选取前k个特征值使得前k个主成分的贡献率达到85%，计算得到的结果为k=1，其对应的特征向量
为u=令X=X*u即可得到新的X，其中X原来维数为130×13，进行PCA后的维数为130×1。