2018学年高中数学人教A版必修四 第三章 三角恒等变换 学业分层测评21 含答案
2018学年高一数学人教A版必修四练习：第三章 三角恒等变换3-1-2 第二课时 含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°等于( )A .33 B .3C ．tan 6°D .1tan 6°解析： ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.答案： A2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－23B ．2＋3C ．4D .433解析： tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A .答案： A3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A .1318B .1322C .322D .318解析： ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.答案： C4．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定解析： 由tan A tan B ＞1，知tan A ＞0，tan B ＞0，从而A ，B 均为锐角． 又tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＜0，即tan C ＝－tan (A ＋B )＞0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________． 解析： 原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案： 33 6．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________．解析： ∵tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）＝24＝12， ∴tan α·tan β＝1－12＝12. 答案： 127．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于________________________________________________________________________．解析： tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝43－171＋43×17＝1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.4答案： π4三、解答题(每小题10分，共20分)8．化简：(1)tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)；(2)1＋tan 15°1－tan 15°； (3)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)．解析： (1)原式＝tan 10°tan 20°＋3[tan 30°(1－tan 10°·tan 20°)] ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.(2)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan (45°＋15°)＝tan 60° ＝3.(3)(1＋tan 1°)·(1＋tan 44°)＝1＋(tan 1°＋tan 44°)＋tan 1°·tan 44°＝1＋tan (1°＋44°)(1－tan 1°·tan 44°)＋tan 1°·tan 44°＝1＋tan 45°(1－tan 1°·tan 44°)＋tan 1°·tan 44°＝1＋(1－tan 1°·tan 44°)＋tan 1°·tan 44°＝2.同理(1＋tan 2°)·(1＋tan 43°)＝2，…，∴原式＝222.9．设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值． 解析： ∵π<α<3π2，0<β<π2， ∴π2<α－β<3π2. ∵cos α＝－55，∴tan α＝2， ∴tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1.4。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
高中数学人教a版高一必修四_第三章_三角恒等变换_学业分层测评22_word版有答案
学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2【解析】 (1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β ＝1＋tan π4·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 【答案】 C2．cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αB ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αC ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αD ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α【解析】 cos α－3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π3－sin αsin π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.【答案】 B3．(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A ．255 B ．－255 C ．55D ．－55【解析】 因为cos B ＝1010且0<B <π， 所以sin B ＝31010又A ＝π4，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin π4cos B＋cosπ4sin B＝22×1010＋22×31010＝255.【答案】 A4．若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝() 【导学号：00680071】A．－210B．210C．－7210D．7210【解析】因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cosα＝45，故cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝cosαcos 5π4－sinαsin5π4＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－22－35×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－210.【答案】 A5．若sin α＝35，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为()A．43B．－43C．7 D．17【解析】由sin α＝35，且α是第二象限角，可得cosα＝－45，则tanα＝－34，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tan α1＋tan（α＋β）tan α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－341＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝7.【答案】 C 二、填空题6．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】原式＝tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°·tan 15°）＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】1 37．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.【解析】 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＝15，① sin αcos β－cos αsin β＝35，② ①＋②得sin αcos β＝25，③ ①－②得cos αsin β＝－15，④ ③÷④得tan αtan β＝－2. 【答案】 －2 三、解答题8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．【解】 由题意知α＋β＝π12， 故原式＝cos(α＋β)－3sin(α＋β) ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－（α＋β）＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6－22.9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.图3－1－1(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．【解】 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2， ∴α＋2β＝3π4.[能力提升]1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．2 3B ． 3C ．1D ．0【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sin π3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.【答案】 D2．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 【解】 因为π2<β<α<3π4，所以π<α＋β<3π2，0<α－β<π4. 所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β） ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513. 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. 则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513 ＝－5665.。
2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换 检测A Word版含解析
第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1tan 105°=()A.2−√3B.−2−√3C.-3−√3D.−2−√2解析:tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45°1-tan60°tan45°=√3+11-√3=−2−√3.答案:B2sin 47°cos 43°+sin 137°sin 43°等于()A.0B.1C.-1D.12解析:sin47°cos43°+sin137°sin43°=sin47°cos43°+cos47°sin43°=sin90°=1.答案:B3函数y=3sin x-3√3cos x的最大值是()A.3+3√3B.4√3C.6D.3解析:y=3sin x-3√3cos x=6si n(x-π3),则最大值是6.答案:C4为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=√2cos 3x的图象()A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位解析:y=sin3x+cos3x=√2cos(3x-π4)=√2cos[3(x-π12)],因此需将函数y=√2cos3x的图象向右平移π12个单位.故选C.答案:C5函数f(x)=1-2sin2(x+π4),则f(π6)=()A.−√32B.−12C.12D.√32解析:f(x)=1-2sin2(x+π4)=cos2(x+π4)=cos(2x+π2)=−sin2x, 则f(π6)=−sin(2×π6)=−sinπ3=−√32.答案:A6若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,则sin 2α+2cos 2α的值是()A.−145B.−75C.−2D.45解析:∵点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上, ∴sinα=-2cosα,∴tanα=-2.∴sin2α+2cos2α=2(sinαcosα+cos2α-sin2α)=2(sinαcosα+cos2α-sin2α) sin2α+cos2α=2(tanα+1-tan2α)tan2α+1=−2.答案:C7设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则()A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2答案:C8已知sin α-cos α=√2,α∈(0,π),则tan α=()A.-1B.−√22C.√22D.1解析:将sinα-cosα=√2两边平方得sin2α-2sinαcosα+cos2α=2,即sinαcosα=−12,则sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=−12,整理得2tanα+tan2α+1=0,即(tanα+1)2=0,所以tanα=-1.故选A.答案:A9已知2sin θ=1+cos θ,则ta nθ2的值为()A.2B.12。
2018版数学人教A版必修四文档：第三章 三角恒等变换3-1-1 含答案 精品
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即____________________________________________. 答案 ①1 ②32 ③0 ④12cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β).OA →与OB →的夹角是α－β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)， ②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一 利用两角差的余弦公式化简求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°)＝cos 90° ＝0.反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°. 解 (1)原式＝cos(150°－45°) ＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二 给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值.解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值. 解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π). 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值.解 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)， 即cos β＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值. 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513.∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， ∴2β＝π，则β＝π2.1.计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( ) A.0 B.12 C.22D.32答案 C 解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22.2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于( ) A.22 B.12 C.32D.－12答案 A解析 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22，故选A. 3.设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.75 B.15 C.－75D.－15答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2⎝⎛⎭⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.4.已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值.解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫352， (cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.5.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝3665－2065＝1665.1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)； (3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(π6－α)等于( )A 3＋66B.3－66C.－3＋66D.6－36答案 A解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α ＝32×33＋12×63＝3＋66. 3.已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226B.12－5313C.5＋12326D.5＋5313答案 A解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，⎝6⎝⎭613∴cos θ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6 ＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，0)，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝⎛⎭⎫31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 5.若cos(α＋β)＝35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝513，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.22B.32C.5665D.3665答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. 又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝513， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，⎝4⎝⎭413∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝35×1213＋45×513＝5665，故选C. 6.计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( ) A.－12B.12C.32D.－32答案 B解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67° ＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23° ＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B.7.化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A.sin 2y B.cos 2y C.－cos 2y D.－sin 2y答案 C解析 原式＝－cos [(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C. 8.已知sin(π6＋α)＝14，则cos α＋3sin α的值为( )A.－14B.12 C.2 D.－1答案 B 二、填空题9.已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________.答案 －1解析 由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.10.已知sin α＝1517，α∈(π2，π)，则cos(π4－α)的值为________.答案723411.已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________. 答案 －1－m 2解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α ＝cos [(α－β)－α]＝m ， 即cos β＝m .又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.12.设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B ，3sin B ).若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________.答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B ). 又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________. 答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ， ① cos α＋cos β＝－cos γ，②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1 ⇒cos(α－β)＝－12.三、解答题14.已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B 两点.(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213， ∴sin α＝45，sin β＝1213， ∴cos α＝35. (2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.。
最新人教A版高中数学必修四第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1．sin105°cos105°地值为( )A.14B．－14C.34D．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cosα－sinα地值是( )A.32B．－32C.34D．－34解析(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2，∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－34＝－32.答案 B3．sin15°sin30°sin75°地值等于( )A.14B.34C.18D.38解析sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°sin30°＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18.答案 C4．在△ABC中，∠A＝15°，则3sin A－cos(B ＋C)地值为( )A. 2B.2 2C.32D. 2解析在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，3sin A－cos(B＋C)＝3sin A＋cos A＝2(32sin A＋12cos A)＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ等于( )A．－65B．－45C.45D.65解析原式＝cos2θ＋sinθcosθcos2θ＋sin2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝65.答案 D6．在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2 .答案 D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则( )A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cos x在(0，90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.答案 A8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tan A·tan B与1地大小关系为( )A ．tan A ·tanB >1 B. tan A ·tan B <1C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π地奇函数B ．周期为π地偶函数C ．周期为2π地奇函数D ．周期为2π地偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )地值域是( )A ．[－2，2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2地值为( )A.335B.45C．±35D．±45解析由sin(π－θ)＝2425，得sinθ＝2425.∵θ为第二象限地角，∴cosθ＝－725.∴cosθ2＝±1＋cosθ2＝±1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cosα地值为( )A.5665B.1665C.5665或1665D．以上都不对解析∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若1＋tanα1－tanα＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝tan2α＋1＋2tanα1－tan2α＝(tanα＋1)21－tan2α＝1＋tanα1－tanα＝2012.答案201214．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.解∵cos2α＝13，∴sin22α＝89 .∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12sin22α＝1－12×89＝59.答案5 915.sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)2cosα＝________.解析∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，∴原式＝cosα2cosα＝12.答案1 216．关于函数f(x)＝cos(2x－π3)＋cos(2x＋π6)，则下列命题：①y＝f(x)地最大值为2；②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数； ④将函数y ＝2cos2x 地图像向右平移π24个单位后，将与已知函数地图像重合．其中正确命题地序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴y ＝f (x )地最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n＝(sin x ，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α地值； (2)求sin2αsin α－cos α地值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α.证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3地值；(2)求f (x )地最大值和最小值．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－4×12＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－73，∵x ∈R ，cos x ∈[－1，1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 地值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3地值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35， 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350. 21．(12分)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )地最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上地最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 所以f (x )地最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3， 当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R. (1)求f (x )地最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )地最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加，得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。
2018-2019学年新设计高中数学(人教A版)必修四讲义：第三章 三角恒等变换章末检测3Word版含答案
章末检测(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(－2α)的值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析 ∵sin(π4＋α)＝32＝22sin α＋22cos α，∴sin α＋cos α＝62， ∴两边平方可得：1＋sin 2α＝32，解得sin 2α＝12，∴sin(－2α)＝－sin 2α＝－12.故选B ．答案 B2．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎫α－π4＝( )A ．22cos αB ．2cos αC ．2sin αD ．sin α解析 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α．答案 A3．函数f (x )＝3cos x －3sin x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝－π3解析 ∵f (x )＝3cos x －3sin x ＝23(32cos x －12sin x )＝23cos(x ＋π6)， ∴函数的对称轴方程为x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z ，∴当k ＝1时，x ＝5π6是其中的一条对称轴方程．故选A ．答案 A4．已知向量a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )A ．19B ．－19C ．－79D ．79解析 向量a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，可得tan αcos α＝23，即sin α＝23.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝19，故选A ．答案 A5．已知0<A <π2，且cos 2A ＝35，那么cos A 等于( )A ．425B ．45C ．55D ．255解析 ∵0<A <π2，∴cos A >0，∵cos 2A ＝35＝2cos 2A －1，整理可得：cos 2A ＝45，∴cos A ＝255.故选D ．答案 D6．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B 的值为( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13解析 由题意，得tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3．又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，且tan(A ＋B )＝2331－tan A tan B ＝3，解得tan A tan B ＝13．答案 C7．已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，则cos(α＋2π3)＝( )A ．－45B ．45C ．－35D ．35解析 ∵sin(α＋π3)＋sin α＝12sin α＋32cos α＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3(32sin α＋12cos α)＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝－12cos α－32sin α＝－(32sin α＋12cos α)＝－(－45)＝45.故选B ．答案 B8．若将函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A ．π8B ．π4C ．3π8D ．3π4解析 将函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，可得y ＝2sin[2(x －φ)＋π4]＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象．再根据所得图象关于y轴对称，可得π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ的最小正值是3π8．答案 C9．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B ．512C ．177D ．－717解析 依题意，角α的终边经过点P (2,3)，则tan α＝32，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－125，于是tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－717． 答案 D10．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．118B ．－118C ．1718D ．－1718解析 cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α， 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718． 答案 D11．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b解析 由题意知，a ＝sin 14°＋cos 14°＝2(22sin 14°＋22cos 14°)＝2sin 59°， 同理可得，b ＝sin 16°＋cos 16°＝2sin 61°，c ＝62＝2sin 60°， ∵y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，∴sin 59°<sin 60°<sin 61°， ∴a <c <b ，故选D ． 答案 D 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．解析 cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－ cos 1°sin 1°＝0． 答案 014．已知tan α＝12，tan(α－β)＝15，则tan(2α－β)＝________．解析 ∵tan α＝12，tan(α－β)＝15，则tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝12＋151－12·15＝79． 答案 7915．若sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)，则sin 2α－cos 2α2的值等于________．解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝1－sin 2α＝35(舍负)，因此，sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－12(1＋cos α)＝2×45×35－12×(1＋35)＝2425－45＝425．答案42516.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________． 解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°。
2018版高中数学(人教A版)必修4同步练习题：必考部分 第3章 3.1 3.1.3 学业分层测评2
学业分层测评(二十三) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6. 【答案】 D2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53【解析】 因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫232＝－19. 【答案】 B3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43【解析】 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.【答案】 B4．若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于( ) A ．2cos x B ．－2cos x C ．2sin xD ．－2sin x 【解析】 因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0， 所以1＋cos 2x ＝2cos 2 x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 【答案】 B 5．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255【解析】 ∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.【答案】 A 二、填空题6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于___________________________．【导学号：00680074】【解析】 法一：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725.【答案】7257．已知sin 2α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________.【解析】 因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2 ＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 【答案】 －32三、解答题8．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 【解】 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 9．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 【解】 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45. [能力提升]1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π【解析】 由题意得⎩⎨⎧sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，32π， ∴α＋2β＝π.故选D ． 【答案】 D2．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．【解】 (1)因为f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－1825＝725.但是，可能全国观众对我的文史知识评价太高了，很快有一个姓金的上海文人写出一本书来，指出我的《文化苦旅》里有一百多个“文史差错”。
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学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A．12 B．13
C．32 D．33
【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.
【答案】 A
2．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A．－3－222 B．3－226
C．3＋226 D．－3＋226
【解析】 因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α
－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝－223×12＋13×32＝－22＋36.
【答案】 B
3．(2016·梅州高一检测)若12sin x＋32cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是
( )
A．－π6 B．－π3
C．π6 D．π3
【解析】 对比公式特征知，cos φ＝32，
sin φ＝－12，故只有－π6合适．
【答案】 A
4．sin α＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为( )
A．－25 B．－210
C．－7210 D．－725
【解析】 因为sin α＝35，α∈π2，π，
所以cos α＝－1－sin2 α＝－1－925＝－45，
所以cosπ4－α＝cosπ4cos α＋sin π4sin α，
＝22×－45＋22×35＝－210.
【答案】 B
5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
【导学号：00680068】
A．0 B．1
C．±1 D．－1
【解析】 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以
sin α＝1，sin β＝1或者sin α＝－1，sin β＝－1，解得
cos α＝0，
cos β＝0，
于是cos(α－β)＝cos αcos
β
＋sin αsin β＝1.
【答案】 B
二、填空题
6．(2016·济南高一检测)已知cosπ3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为
________．
【解析】 因为cosπ3－α＝cosπ3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin 所以sin B＝1－cos2 B＝1－－12132＝513，且0 ＝－1114×17＋5 314×4 37＝12. 【解析】 cos[]α－（－β）－(cos α＋cos β) sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β， 2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求 ＝45×－45＋－35×35＝－1.
α
＝18，
所以cos α＋3sin α＝14.
【答案】 14
7．在△ABC中，sin A＝45，cos B＝－1213，则cos(A－B)＝________.
【解析】 因为cos B＝－1213，且0
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B，
＝35×－1213＋45×513＝－1665.
【答案】 －1665
三、解答题
8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α
－β)＝－12.
【证明】 由sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，①
(cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.
9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．
【解】 ∵α∈0，π2，tan α＝4 3，
∴sin α＝4 3cos α，①
sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝4 37，cos α＝17.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，
∴sin(α＋β)＝5 314.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
∴cos β＝12.
[能力提升]
1．若α，β为两个锐角，则( )
A．cos(α＋β)>cos α＋cos β
B．cos(α＋β)
＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β
＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β，
因为α，β是锐角，
所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0，
－sin αsin β<0，－cos β<0，
故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0，
即cos(α＋β)
α，β均为锐角，所以cos αcos β
>0，
同理cos(α－β)>sin αsin β，故C、D错误．
【答案】 B
β的值．
【解】 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，
∴sin(α－β)＝35.
∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，
∴cos(α＋β)＝45.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，
∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.