高三数学-2018年苏州市高三七校联考数学试卷(20184)江苏精品

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2018年江苏省高三年级数学第七次综合考试

2018年江苏省高三年级数学第七次综合考试数学试题（试卷总分：160分考试时间：120分钟）一、填空题（共14题，每小题5分，共计70分） 1.设集合{}1A x x =>-,{}5B x x =≤，则AB = .2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 ( ) A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种4不等式⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x 的解集为( ) A ．{x|0<x<1} B ．{x|x<0或x>1} C ．{x|x>0}D ．{x|x<1}5.甲、乙两同学各自独立地考察两个变量X 、Y 的线性相关关系时，发现两人对X 的观察数据的平均值相等，都是s ，对Y 的观察数据的平均值也相等，都是t ，各自求出的回归直线分别是21,l l ，则直线l 1与l 2必经过同一点 .6.在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AC AM >的概率是 .7.右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位: cm ），可知这个几何体的表面积是 2cm .8.设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且满足2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 .9.以下伪代码： Read xIf x ≤-1 Then()f x ←x +2Else If -1<x ≤1 Then()f x ←2xElse ()f x ← 2x -+End IfPrint ()f x根据以上伪代码，若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是．10.根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ．11.已知)3,3(A ，O 是原点，点P 的坐标为),(y x 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-002303y y x y x则z =的取值范围是．12.给出下列四个命题：①“k=1”是“函数π的最小正周期为kx kx y 22sin cos -=”的充要条件； ②函数6)62sin(ππ轴向右平移的图象沿x x y -=个单位所得的函数表达式是x y 2cos =；③函数a R ax ax y 则实数的定义域是,)12lg(2+-=的取值范围是（0，1）；④设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为1：2；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）． 13．92x21x ）（-的展开式中9x 的系数是． 14．若实数，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≥-+03y 4x 33y 02y x 2则22y x +的最大值等于．二：解答题（共6小题，共计90分） 15.（本小题满分14分）已知c b a ,,分别是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且222sin sin sin sin sin A C B A C +-= （1）求角B 的大小；（2）若3c a =，求tan A 的值．16.（本小题满分14分）如图，已知在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．A 1 QB 1C 1（1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ；（2）求证：PC 1∥面MNQ ．17.（本小题满分15分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=)10(31000108)100(3018.10)(22x x xx x x R ．（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）18.（本小题满分15分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程； (3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．19. （本小题满分16分）已知函数()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]2,1上单调递增．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围；（3）若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点，求实数p 的取值范围．20. （本小题满分16分）已知集合{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=，其中()2,1>≤≤∈n n i R a i ，()A l 表示()n j i a a j i ≤<≤+1的所有不同值的个数．（1）已知集合{}8,6,4,2=P ，{}16,8,4,2=Q ，分别求()P l ，()Q l ；（2）若集合{}n A 2,,8,4,2⋅⋅⋅=，求证：()()21-=n n A l ；（3）求()A l 的最小值．附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）选做题：在D C B A ,,,四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.A.选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△A MC 的外接圆交BC 于点N ．若AC=12AB ，求证：BN=2AM ．第21－A 题B.选修4-2：矩阵与变换设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量．C.选修4-4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段AB 的长．D.选修4-5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥必做题：第22题、第23题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1PD AD ==，2AB =，点E 是AB 上一点，AE 等于何值时，二面角P EC D --的平面角为4π．23.已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101nn a =∑的值；（2）101nn na=∑的值．BCD PEA数学试题（答案）1. ](5,1- 2. 10 3。

江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案

苏州市2018届高三调研测试数学Ⅰ试题 2018．1命题指导思想1.数学试卷坚持“原创为主，改编为辅”的命题方式，知识点不超纲，基本题不设障碍，原创题能围绕考生熟悉的情境来设置，改编题基本来自于教材以及通用复习资料，体现平稳中有变化，平和里有创新，坚持能力立意，尊重教学习惯。

2.强化“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本经验积累）”、“四能（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力）”的新课标理念，彰显数学文化，体现考查学生必备知识与关键能力（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）。

3.试题形式朴实大气，重本质而轻外形。

在知识点、思想方法和能力考查等方面科学搭配，落实知识与能力并重、思想与方法同行的高三复习策略。

4.试题起点较低、知识覆盖全面、解题入口宽泛、题目从易到难，遵循考试心理规律，契合考生考试习惯，符合“上手容易深入难”的常规命题思路。

参考公式：球的表面积公式S =4πr 2，其中r 为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知i 为虚数单位，复数3i 2z 的模为 ▲ ． 2．已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为 ▲ ． 4．苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ ．5．已知42a =，log 2a x a =，则正实数x = ▲ ．6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为 ▲ ．7．已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≤≥≤则23z x y =-的最大值为 ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 ▲ ．9．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ▲ ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）10．如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=︒，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = ▲ m ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = -2x上，则圆C 的标准方程为 ▲ ．12．已知正实数a ，b ，c 满足111a b +=，111a b c+=+，则c 的取值范围是 ▲ ．DCBA13．如图，△ABC 为等腰三角形，120BAC ∠=︒，4AB AC ==，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ ．14．已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()sin )2f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；（2）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调增区间．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABHG ；（2）求证：平面ABHG ⊥平面CFED ．17. （本小题满分14分）如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2αθ<≤，其中锐角α的正切值为12）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；（2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．A 1B 1C 1D 1ABCDEF G HA在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>P到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点(0,1)M-的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若2123n n n a S S -++=（n ∈N *，n ≥2），且12a =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若12n n S λ+⋅≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10n T ．若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得(1)k n knT T +为定值，求首项1a 的值．已知函数32,0,()e ,0.x x x x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-⎪⎩≥（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()()e 3x f x f x -+=-在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数,[0,2]m n ∈，且||1m n -≥，使得()()f m f n =，求证：1e e 1a-≤≤．2018届高三调研测试数学Ⅱ（附加题）2018．121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F . 求证：2PF PD PE =⋅.B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求4M β．C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θρθ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．AD ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB =BP =2，AD =AE =1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP ．（1）求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23．（本小题满分10分）在正整数集上定义函数()y f n =，满足()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，且(1)2f =．（1）求证：9(3)(2)10f f -=；（2）是否存在实数a ，b ，使1()13()2nf n a b=+--，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案一、填空题（共70分） 12．23．(2,0)-4．1105．126．48 7．9- 8．94 9．30π10．18 11．22(1)(2)2x y -++= 12．4(1,]313．[11,9]--14．3ln 22+ 二、解答题（共90分）15. 解（1）2()sin )2f x x x x =+-223cos cos sin 2x x x x x =++-3(1cos2)1cos2222x xx +-=+ ···················································· 2分cos 222x x =-+2cos(2)23x π=++． ··········································· 4分当223x k π+=π+π，即()3x k k π=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．此时，()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π⎧⎫=π+∈⎨⎬⎩⎭Z ．····································································································· 7分（注：结果不写集合形式扣1分）（2）因为()2cos(2)23f x x π=++，令2222()3k x k k ππ+π+π+π∈Z ≤≤， ··············································· 8分解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤， ····················································· 10分又[,]22x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，令0k =，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在[,]22ππ-的单调增区间是,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ························ 14分（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16. 证明：（1）因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以11EF A B ∥，在正方体1111ABCD A B C D -中，A 1B 1∥AB ，（注：缺少A 1B 1∥AB 扣1分）所以EF AB ∥． ········································ 3分又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ，（注：缺少AB ⊂平面ABHG 不扣分）所以EF ∥平面ABHG ． ······························· 6分（2）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，又BH ⊂平面11BB C C ，所以BH CD ⊥．① ············································ 8分设BHCF P =，△BCH ≌△1CC F ，所以1HBC FCC ∠=∠，因为∠HBC +∠PHC =90︒，所以1FCC ∠+∠PHC =90︒．所以90HPC ∠=︒，即BH CF ⊥．② ···················································· 11分由①②，又DCCF C =，DC ，CF ⊂平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED ．A 1B 1C 1D 1 A B C DE FG H P又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED ． ··························································· 14分（注：缺少BH ⊂平面ABHG ，此三分段不给分）17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=︒-，50AB =，则5050cos(90)sin AP θθ==︒-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθθθθ︒-=︒-==︒-． 50cos 100100sin PC BP θθ=-=-． ························································· 4分（注：AP ，BP 写对一个给2分）由A 到P 所用的时间为1225sin AP t θ==，由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ-==-， ·························· 6分所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为12242cos 62cos 4()sin 33sin 3sin 3t f t θθθθθθ-==+=++-． ································· 8分函数()f θ的定义域为(,]2απ，其中锐角α的正切值为12.（2）由（1），62cos 4()3sin 3f θθθ-=+，(,]2θαπ∈，2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=，令()0f θ'=，解得1cos 3θ=， ······························· 10分设θ0∈(0,)π，使01cos θ=····································································································· 12分所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =0050cos sin θθ≈17.68 km ，答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少．············ 14分（注：结果保留根号，不扣分）18. 解（1）由题意c a =，故a =， ··················································· 1分又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=， ····································································································· 2分解得3c =，a =2229b a c =-=， ········································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ··················································· 6分（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ···································· 7分当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ············ 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ··············································· 9分对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k +==-++． ················································· 12分（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分）因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k-+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ·············· 16分19. 解（1）①当2n ≥时，由212,3n n n a S S -++= ①则2112,3n n n a S S ++++= ②②-①得22111()3n n n n a a a a ++-=-，即13n n a a +-=，2n ≥···························· 2分当2n =时，由①知2212123a a a a +++=，即2223100a a --=，解得25a =或22a =-（舍），所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ················································· 5分（注：不验证213a a -=扣1分）②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n n S -++==，由题意可得212322n n n S n nλ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立，记2232n n n nc ++=，则2113(1)(1)2n n n n c -+-+-=，2n ≥，所以21231142n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ················································ 8分当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =，且31516c =，278c =，112c =，所以当3n =时，2232n n n n c ++=取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为15[,)16+∞. ······················································· 11分（2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ⋅⋅⋅=，两边取常用对数，12lg lg lg n n T a a a +++=．令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ····························· 13分若(1)k n knT T +为定值，令(1)k n knT T μ+=，则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qkn kn kn a qμ++-++=-+，即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q qμμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，因为0,1q q >≠，问题等价于2221(1)0,(1)0.k k k k a q μμ⎧+-=⎪⎨+-==⎪⎩或将1k k+=(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或. 因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，所以21a q =，又0,n a >故1a =. ························································ 16分20. 解（1）当2a =-时，32,0,()e +2,0,x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩≥当0x <时，32()f x x x =-+，则2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得0x =或23x =（舍），所以0x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数. ··············································· 2分当0x ≥时，()e 2x f x x =-，()e 2x f x '=-，令()0f x '=，解得ln2x =，当0ln2x <<时，()0f x '<，当ln2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(0,ln 2)上为减函数，在区间(ln 2,)+∞上为增函数，且(0)10f =>. ················································································· 4分综上，函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)，单调增区间为(ln 2,)+∞．····································································································· 5分（注：将单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)写出(,ln 2)-∞的扣1分）（2）设0x >，则0x -<，所以32()()e x f x f x x x ax -+=++-，由题意，32e e 3x x x x ax ++-=-在区间(0,)+∞上有解，等价于23a x x x=++在区间(0,)+∞上有解. ············································· 6分记23()(0)g x x x x x=++>，则322222323(1)(233)()21x x x x x g x x x x x +--++'=+-==， ························ 7分令()0g x '=，因为0x >，所以22330x x ++>，故解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，故函数()g x 在1x =处取得最小值(1)5g =. ············································· 9分要使方程()a g x =在区间(0,)+∞上有解，当且仅当min ()(1)5a g x g ==≥，综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5,)+∞. ······································· 10分（3）由题意，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由()()f m f n =，可得m n =，与条件||1m n -≥矛盾，所以0a >. ·············· 11分令()0f x '=，解得ln x a =，当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.若存在,[0,2]m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于m ，n 之间， ······················ 12分不妨设0ln 2m a n <<≤≤，因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n =≤，由02m n <≤≤，||1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故(1)()()f f m f n =≤，又()f x 在(,ln )m a 上单调递减，且0ln m a <≤，所以()(0)f m f ≤．所以(1)(0)f f ≤，同理(1)(2)f f ≤． ··················································· 14分即2e 1,e e 2,a a a -⎧⎨--⎩≤≤解得2e 1e e a --≤≤，所以1e e 1a-≤≤.·············································································· 16分2018届高三调研测试数学附加题参考答案21B 选修4－2 矩阵与变换解矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， ··················· 2分令()0f λ=，解得123,1λλ==-，解得属于λ1的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，属于λ2的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． ······· 5分令12m n =+βαα，即111711m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,7,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4,3m n ==-．····································································································· 7分所以44441212(43)4()3()=-=-M M M M βαααα44441122113214()3()433(1)11327λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⨯-⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αα． ············· 10分 21C 选修4－4 坐标系与参数方程解由曲线C 的极坐标方程是22cos =sin θρθ，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ．所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x ． ··················································· 2分由直线l 的参数方程1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，得40x y --=，所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································· 4分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得2870t t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以221212122||2()4284762AB t t t t t t =-=+-=-⨯=， ············· 7分因为原点到直线40x y --=的距离|4|222d -==，所以△AOB 的面积是11(62)(22)1222S AB d =⋅⋅=⨯⨯=． ····················· 10分 21D 选修4－5 不等式选讲解因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ·························· 4分因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，所以|1||1|3x x -++≥．当1x <-时，23x -≥，即32x -≤；当11x -≤≤时，23≥不成立；当1x >时，23x ≥，即32x ≥；综上，实数x 的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞． ···································· 10分22. 解（1）因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P （0，2，0），B （0，0，0），D （2，0，1），E （2，1，0），C （0，0，1），因为BC ⊥平面ABPE ，所以(0,0,1)BC =为平面ABPE 的一个法向量， 2分(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220,x x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则2z =，故(0,1,2)=n ，4分设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则225cos ||||15BC BC θ⋅===⋅⨯n n ，显然π02θ<<，所以平面PCD 与平面ABPE 25····· 6分（2）设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25．设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==-≤≤，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． ··· 7分由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)=n ，所以22cos ,55984BN BN BN λλ⋅<>===⋅-+n n |||n |，即29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． ·································· 9分 y PNEDA当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． ··········· 10分 23. 解（1）因为()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，整理得4()(1)()2f n f n f n -+=+，由(1)2f =，代入得421(2)222f -==+，1472(3)1522f -==+，所以719(3)(2)5210f f -=-=． 2分（2）由(1)2f =，1(2)2f =，可得41,55a b =-=． ································· 3分以下用数学归纳法证明存在实数，41,55a b =-=，使1()1431()525n f n =+---成立．① 当1n =时，显然成立． ································································· 4分 ② 当n k =时，假设存在41,55a b =-=，使得1()1431()525k f k =+---成立，····································································································· 5分那么，当1n k =+时，141431()()4()525(1)1()212431()()525k k f k f k f k ⎡⎤-+⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦+==+++--- 11238()11525111232631431()()()525525525k k k k +-+==+=+-------，即当1n k =+时，存在41,55a b =-=，使得11(1)1431()525k f k ++=+---成立．9分由①，②可知，存在实数，41,55a b =-=，使1()13()2n f n a b =+--对任意正整数n 恒成立． ··················································································· 10分。

江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）.本卷满分160 分，考试时间为120分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：球的表面积公式 S=4 n 2，其中r 为球的半径一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上 .1已知i 为虚数单位，复数z 诗弓的模为 2. 已知集合 A 二｛1,2a ｝，B =｛ -1,1,4｝，且 A 5B ，则正整数 a 二 ▲23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =-8x 的焦点坐标为 ▲苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ .已知 4a =2，log a x=2a ，则正实数 *=▲_.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为▲.苏州市2018届高三调研测试数学试题2018. 14. 5.开始：'（第6题图）I0 < x < 3, 7.已知变量x , y 满足x y > 0, 则z=2x-3y 的最大值为▲x - y 3 < 0,已知等比数列｛ an ｝的前n 项和为S n ，且詈「罟，a「a2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 _▲忽略不计，结果保留 n AB , CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角.CAD =45，则这两座建筑物 AB 和CD 的底部之间的距离BD 二 ▲ m .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点A （2, -1）的圆C 和直线x y =1相切，且圆心在直线 y- _2x 上，则圆C 的标准方程为 ▲ .11 1 112.已知正实数a ， b ， c 满足 1， 1，则c的取值范围是▲a b a +b c13. 如图，△ ABC 为等腰三角形，• BAC=120，AB = AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的BC一点，贝U PB PC 的取值范围是▲ .（第13题图）14 •已知直线y = a 分别与直线y =2x -2，曲线y =2e x - x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为▲.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出1515，则33的值为 ▲9. 10.如图，两座建筑物（第10题图）（第 9题图）（容器壁的厚文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) =(. 3cosx sin x)2-2 3sin2x .(1)求函数f(x)的最小值，并写岀f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x ■，匸，求函数f (x)的单调增区间.IL 2 216. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCD -A1BQ1D1中，已知E, F, G,H 分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点.(1)求证：EF //平面ABHG ;(2)求证：平面ABHG丄平面CFED .17. (本小题满分14分)如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西B角(w n，21其中锐角：•的正切值为-)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽2车到城市 C .已知船速为25km/h，车速为75km/h.(1 )试建立由A经P到C所用时间与二的函数解析式；(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.18. (本小题满分16分)北•.东2x 2 yxOy 中，椭圆C ：p 牙=1(a b . 0)的离心率为a b点P 到一个焦点的距离的最小值为3(、. 2 —1).(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0, —1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由.19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S n .a 2 +2(1 )若 S n= -----------------5迂N *, n 》2),且 a t =2 .3① 求数列｛a n ｝的通项公式；②若S n w ■・2n1对任意n N *恒成立，求实数■的取值范围；(2)数列｛a n ｝是公比为q (q >0, q -1)的等比数列，且｛a n ｝的前n 项积为10Tn •若存在正整数k ,对任意N *，使得卫3 为定值，求首项a 1的值.T kn20. (本小题满分16分)'32x x ,x ：： 0,已知函数f(x)二x、e x —ax, x > 0.(1 )当a =2时，求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f (-X )• f (x)二e* _3在区间(0,+ ：：)上有实数解，求实数 a 的取值范围;在平面直角坐标系，椭圆上动(3)若存在实数m,n [0,2],且|m-n| >1 ,使得f (m) = f (n),求证：1 w 旦w e . e —122018届高三调研测试数学n （附加题）2018. 1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题•若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分•第22、23题为必答题•每小题10分，共40分•考试时间30分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选•其中两题.，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A .选修4 -1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD_AB 于点D，PE_AC 于点E，PF _ BC 于点F.B .选修4 - 2:矩阵与变换（本小题满分10分）C .选修4 - 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）求证：PF—PDPE.DBPFOCEAi x =1 t,在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数)，以原点0为』=t -3极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为亍=竺二，若直线Isin 日与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积. D .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)已知 a , b , c € R , a 2 b 2c 2 =1，若 |x -1| |x 1|> (a -b • c)2 对一切实数 a , b ,c 恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE AB 二BP =2, AD=AE=1 , AE 丄 AB , 且 AE // BP . (1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； (2)线段PD 上是否存在一点 N ,使得直线BN 与2平面PCD 所成角的正弦值等于 -?若存在，试确定5点N 的位置；若不存在，请说明理由.23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数 y = f( n)，满足f( n)[ f(n • 1) • 1] =2[2 - f (n • 1)]，且f(1)=2 .9(1) 求证：f (3) - f (2p101(2) -------------------------------------------------------- 是否存在实数a , b ,使f(n) = 1，对任意正整数n 恒成立，并证a(-3)n -b 2明你的结论.z CB苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案、填空题(共70 分)15.解(1) f (x) =( 3cosx sinx)2 -2 3sin 2x亠2 .3sin xcosx 亠sin? x -2 . 3sin 2x= cos2x - ■ 3sin2x 2 =2cos(2x )2 . 3■TT-TT当2x 2k 二•二，即x =k (k ・Z )时，f (x)取得最小值0.3 3此时，f (x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为』xx=k^+上，k € Z 》.I3 J....................................................................... •分(注：结果不写集合形式扣 1分) (2)因为 f(x) =2cos(2x ) 2 ,3设 BH P]CF =P , △ BCH ◎△ CC 1F ，所以 HBC =”FCC 1, 因为/ HBC + Z PHC=90，所以 ZFCC 1 + / PHC=90 .11.3 2. 2 3. (-2,0)4.102 210. 1811. (x -1) (y 2) =2二、解答题(共90分)195.6. 487. -9 8.9.2443 In 2 12. (1-] 13. [-11,-9]14.322二 3cos3(1 cos2x) 1 -cos2x2 2i£：3sin 2x令〔2k 二 w 2x< ^;：>2^:(^= Z ), (3)解得 k 二 w x w k 二(k Z ),.....................................................................3 6又 x ・［一二 T ，令 k 「1, x -匸二，令 k=0 , x 二二，2 2 126」 13 2」口丿〕和徑兰］ .............IL 2, 6. IL 3,21分，其中写对一个区间给 2分)B 1C 1的中点，所以EFJi Ji•10分所以函数在的单调增区间是 2 2(注：如果写成两区间的并集，扣 16.证明：(1)因为E , F 是A 1D 1 ,在正方体 ABCD - A 1BQD 1中， (注：缺少 A 1B 1 / AB 扣1分)所以 EF // AB . .......................Ji Ji14分A 1B 1 // AB ,又EF 二平面ABHG , AB 平面 ABHG , (注：缺少 AB 二平面ABHG 不扣分) 所以EF //平面 ABHG ........................................ 6分(2)在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CD —平面 BB 1C 1C , 又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH — CD .①.........C 1H3分C11分所以.HPC =90，即 BH _CF •② ................由①②，又 DC "CF =C , DC , CF 平面 CFED , 所以BH —平面CFED • 又BH 平面ABHG ,所以平面 ABHG 丄平面 CFED •............................................................................. 14分（注：缺少BH 平面ABHG ，此三分段不给分）（注：AP , BP 写对一个给 2分）由A 至U P 所用的时间为右二塑 —25 si n 日50cos J100 -si n 日75所以由A 经P 到C 所用时间与9的函数关系为函数f （力的定义域为（:•，匸］，其中锐角:-的正切值为-2 2（2）由（1）, f （®=6：4日十朕（口£ ,3sin 日 32f G ） =6H，令 f （刃“，解得 COST -1 , •9si n 日311设 (0, —)，使 COS^o :312分所以，当v - -0时函数f （9）取得最小值，此时 BP=50cos 玉二经2胡7.68 km ,sin 日0 2 答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. (14)（注：结果保留根号，不扣分）17•解（1）由题意，轮船航行的方位角为9,所以 N BAP = 90“一日,AB=50 ,贝U AP =•50cos(90 -力50BP = 50ta n(90 -^)=50sin(90 - ^) cos(90 - RPC =100 - BP =100 -50cos v2cos 3sin r由P 到C 所用的时间为t 2 f (力二t 1 t 2 二4 2cos v3 3sin 二 6 - 2cos 二 4一 3si nr 310分1分解得 c=3, a = 3.. 2，所以 b 2 =a 2 _c 2 =9,...............................................2 2所以椭圆C 的标准方程为 —•X=1. ..........................................................................18 9(2)当直线l 的斜率为0时，令y = _1，则x = 4 ,此时以AB 为直径的圆的方程为 X 2 (y • 1)=16 •...........................................当直线I 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 • y 2 =9 , ...........................『x 2 +(y +1) =16,联立解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3) •[x 2 +y 2 =9,猜想以AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) • .........................................................对一般情况证明如下：设过点M(0,-1)的直线I 的方程为y=kx-1与椭圆C 交于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),f y 二kx -1,22则 2 2 整理得(1 - 2k )x-4kx -16 =0 ,x 2y =18,所以 E +x 2=—, x 1x 21 +2k②-①得an -an 4(a2 -a 2)，即时记a +2当 n =2 时，由①知 a a 2 a 12，即 a ； -3a 2 T0 = 0 , 解得a 2 =5或a 2 ■ -2（舍）, 所以a 2 =3，即数列｛a .｝为等差数列，且首项印=3, 所以数列｛a .｝的通项公式为a .=3n -1.18.解(1)由题意一,故 a,a 2又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为 3(.. 2 一1)，所以a - c = 3'.空-3 ,2分 4分16 ~21 2k12分3分） (注果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给因为 TA TB 二区，％-3)化』2 -3) 7X 2 丫必 -3(% y 2)92= )^X 2(kjq-1)(kx 2 T) 一3(心-1 kx 2 一 1) 9 =(k"X 1X 2 -4k (X 1 X 2) 16-16(k 2 1) 16k 2 -16(1 2k 2)2 … 2 16- 1+2k 2 1 +2k 2所以TA_TB • 所以存在以AB 为直径的圆恒过定点1 2k 216 =0 , 19•解（1）①当 n > 2 时，由 S n S n 1 =T ,且定点 a ： 2 3，T 的坐标为(0,3) •16分(注：不验证a ? -a<i =3扣1分)S n3n 2 + n■ >扩2^对一切n N *恒成立,②由①知,2an=3n -1，所以"込口UJ ,记c -汇记 c n - _n 2 n，则 C n tWZ), n > 2 ,2n 12所以c n ③「忙4，n > 2 , n 2当n 4时,13C n <C n!，当 n =4 时，C 4，且 1615C3 :16 所以当n =3时, 2 3n 亠 n 15 代取得最大值一，2 16 15 所以实数•的取值范围为右；).• 11分(2)由题意，设 n 」 an 二 a 1q(q >0,q 式1), a 1 a^10Tn ，两边取常用对数,T n =lga i Iga 2 Hl Iga n • 令 b n =lga n =n Igq lg 印-lg q , 则数列｛0｝是以lga i 为首项，lgq 为公差的等差数列, 13分(k +1)nlga 十(k+1)n[(k+1)n_ 1]T T(k 1) nlga 1 lgq若上少为定值，令上少一I ,贝V T kn T kn kn lg a 1 如第一1)lg q 2 即{[( k 1)2 - 'k 2]lg q}n [(k 1) -」k](lg aL)lg q =0对 n N * 恒成立, q l7k +1)2 _“2 =0 因为q 〉0,q 右，问题等价于广l) k O ， i (k 1)-」k =0或a ； = q. 将-—=\、1 代入(k ■ 1) - "k =0 ,解得」=0或"=1. k因为k ・N *，所以J0/-1, 所以a ； =q ，又a n - 0,故耳=.q.16分由题意可得20.解(i )当 …时，e +2x, x > 0,322当 X ：：：0 时，f(x)二-x x ,则 f(x)=—3x 2x =「x(3x -2),2令 f (x) =0，解得 X = 0 或 X 丄(舍)，所以 x ：：：0时，f (x) ::： 0,3所以函数f(x)在区间(亠,0)上为减函数. ...................................... •分当 x > 0 时，f(x) =e x -2x , f (x) =e x —2 ,令 f (x) =0，解得 x = In2，当 0 ：：： x ：：： ln2 时，f (x) ：：：0，当 x In2 时，f(x) . 0 , 所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(In2,；)上为增函数，且 f (0) =1>0................................................................................................... •分综上，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0)和(0,1 n 2)，单调增区间为(I n2,；)............................................................................................................................ 5分(注：将单调减区间为 (-：：,0)和(0,ln2)写出(-：,ln2)的扣1分) (2)设 x • 0 ,则-X ：：： 0 ,所以 f (-x) • f (x) = x 3 • x 2 • e x —ax , 由题意，x 3 x 2 e x -ax =e x -3在区间(0,；)上有解，等价于 x 2 x 3在区间(0,；)上有解.x记 g(x) =x 2 x 3(x 0),则 g (x) =2x ・1 -2 -2-2xxx令g (x) =0，因为x • 0 ,所以2x 2 3x 3 0，故解得x =1 , 当 x^(0,1)时，g(x)c0，当 x^(1,亦)时，g(x)n0,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,=)上单调递增，故函数g(x)在x =1处取得最小值 g(1) = 5. .................................................... 9分要使方程a =g(x)在区间(0,；)上有解，当且仅当a > g(x)min 二g(1)=5 ,综上，满足题意的实数 a 的取值范围为［5, ；). ............................ 10分 (3)由题意，f (x) =e x -a ,当a <0时，f (x)・0，此时函数f (x)在［0,；)上单调递增，由f (m) = f (n)，可得m = n ,与条件| m - n |> 1矛盾，所以a 0 . ........................ 11分令 f (x) =0，解得 x = lna ,x3 2x 3 x 2 -3 (x -1)(2x 2 3x 3)当x (0,ln a)时，f (x) ：：0,当x (l n a,；)时，f (x) 0 ,所以函数f (x)在(0,l n a)上单调递减，在(I na,；)上单调递增.若存在m, n可0,2］, f(m)=f( n)，则lna介于m, n之间， (12)不妨设 0 < m ：：： In a ::: n < 2,因为f(x)在(m,l n a)上单调递减，在(I na, n)上单调递增，且 f(m)=f( n), 所以当 m < x < n 时，f (x) < f (m) = f (n),由 0 < m ::: n < 2 , | m -n 1，可得 1 二［m, n ］，故 f (1)< f (m) = f (n), 又f (x)在(m,lna)上单调递减，且0匕m ：：： Ina ，所以f (m) < f (0).所以f ⑴w f (0)，同理f ⑴w f(2) . (14)e _a w 1即-；解得 e-1 w a w e 2 -e ,|e -a w e -2a,所以1 w 旦w e. (16)e —12018届高三调研测试数学附加题参考答案21A 选修4— 1几何证明选讲证明连PB , PC ,因为.PCF,. PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以.PCF =/PBD. ......................... 2 分因为 PD _BD , PF _ FC ,所以△ PDBPFC ，故匹二EB ................. 5分PF PC 同理， PBF =PCE , 又 PE _EC , PF _FB , PF所以△ PFB PEC ，故竺PEPD PF 2所以——=——，即PF =PD PE . (10)PF PE21B 选修4— 2矩阵与变换九 _1 -2解矩阵M 的特征多项式为f 仏)==丸2—2k —3 , .......................... 2分一2 九一1令f( ■) =0，解得'1 =3,匕二-1，解得所以 M 4 ：二 M 4(4 打 _3： 2) =4(M " J -3(M 4 2) =4(人4円)一3(财口PB PC属于入的一个特征向量为令：二m ： 1 • nd ,即了=¥ "，属于甩的一个特征向量为«2】1」 1 w 1n 1，所以 m n^7 1 <1m-n=7, 解得 m = 4, n - -3.卜(町擋］ 10分8分2) =4 汉34fl21C选修4—4坐标系与参数方程所以曲线C 的直角坐标方程是 \ =1 由直线I 的参数方程一'l y =t -3所以直线l 的普通方程为x _y -4 =0 ...........................................将直线I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程y 2=2x ,得t 2 -8t • 7 = 0, 设A , B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2, 所以 AB = .2 出—t 2 |= .2 馆 t 2)2 -4址2 二 2 . 82 -4 7 =6.2 , 因为原点到直线x —y —4=0的距离d= 2^2 ,42所以△ AOB 的面积是 AB d 二1(6 2) (2、一 2) =12 . ..................2 221D 选修4— 5不等式选讲解因为 a , b , c € R , a 2 b 2 c 2 =1,2 2 2 2由柯西不等式得(a-b ・c)< (a b c )(1 11^3, ...............因为|x-1| Tx ，1p (a -b c)2对一切实数a , b , c 恒成立，所以 | x -1| | x 1|> 3 . 3 当 x ：：： -1 时，-2x > 3，即 x < - 3 ； 2 当_K x <1时，2 > 3不成立； 3 当x ・1时，2x > 3，即x > 3；2综上，实数x 的取值范围为(亠一勻山？讼).，2 2，22. 解( 1)因为平面 ABCD 丄平面 ABEP ，平面 ABCD 门平面 ABEP 二AB , BP 丄AB , 所以BP 丄平面ABCD ，又AB 丄BC ,所以直线 BA , BP , BC 两两垂直，以B 为原点，分别以 BA , BP , BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P ( 0, 2, 0), B ( 0,生 0), D (・2, 0, 因为BC 丄平面ABPE ，所以BC =(0,0,1)为平面 ABpE 的一个法向量， ..................... 2分 PD =(2, -2,1),CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个法向量为n =(x,y,z),2x =0,令y 日，则2x -2y z =0,解由曲线C 的极坐标方程是「= 2°°：，得p 2sin 2 (=2 pcos 0.sin 0y 2=2x. .......................................(t 为参数)，得x -y —4 = 0 ,10分10分n CD =0,则n PD =0,z =2 ,故 n二(0,1,2) ,...............................................4分设平面PCD 岂平面ABPE 所成的二面角为二，则a n BC 2 2^5 cos^| n | | BC | 1 755n显然0 '—,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值2(2)设线段PD上存在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角设詣= ?JD=(2 打—2 扎知(0 =(2 九,2—2九,九).•••—分由(1)知，平面PC巳的一个法向量为n二(0,1,2),BN n 2 2所以cos ：：BN, n i：| BN | |n| 亦J9九2—8厂+4 51即9 ' -8 '-1=0，解得，-1或(舍去).92 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 -.••…54- f (n) 23•解(1)因为f(n)[f(n 1) 1]=2[2-f(n 1)]，整理得f(n 1)=f (n) + 24 一2由f(1)=2，代入得f⑵二—2+2以下用数学归纳法证明1- 1成立.5 2 5①当n =1时，显然成立.②当n = k时，假设存在a 4 1 1,b ，使得f (k) 1成立, 5 5 _4(_3)」5(2)54-_-那么，当时，吐"恭」14 3 k 1 (一5)(一3)飞11 25 2 512(3)k 8养匕)律―J12/ 3、k 2 6/ 3、k 1 4/ 3k 1 () () () 5 2 5 5 2 5 5 2a的正弦值等于-510分丄f(3)=——=—2，1 5，22 5 27 1所以f (3) -f (2)= -----------5 2 (2)由f ⑴=2 , f (2)910 .1，可得a二-里,b二12 5 5存在实数，a —£b」，使f(n)二5 5即当4 1 1n =k J时，存在a二—,b=-，使得f (k -1) 1成立•5 5 4( _3)k + —~~5^~2"5由①，②可知，存在实数, 数n恒成立. ......... a=，b=［，使f (n)= _________ 1_______ +1对任意正整5 5吨―•10分。

2018江苏高考数学试题(试卷版+详解版)

) 的图象关于直线 x 对称，则的值是 2 2 3
7．已知函数 y sin(2 x )(
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8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线线的距离为
x2 y 2 1( a 0, b 0) 的右焦点 F (c, 0) 到一条渐近 a 2 b2
be x ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函 x
数 f ( x) 与 g ( x ) 在区间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分 16 分）设 {an } 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列，{bn } 是首项为 b1 ，公比为 q 的等比数列．（1）设 a1 0, b1 1, q 2 ，若 | an bn | b1 对 n 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围；（ 2 ）若 a1 b1 0, m N* , q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得 | an bn | b1 对
（本小题满分 14 分） 15．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AB , AB1 B1C1 ．求证：（1） AB∥ 平面 A1 B1C ；（2）平面 ABB1 A1 平面 A1 BC ．（本小题满分 14 分） 16．已知 , 为锐角， tan （1）求 cos 2 的值；（2）求 tan( ) 的值．（本小题满分 14 分） 17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此

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10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

高考最新-2018届苏州市高三教学调研测试数学(附答案) 精品

2018届苏州市高三教学调研测试（数学）2018．9一、选择题1、设全集{01234}U =，，，，，集合{1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则U AB =ðA 、{1}B 、{01}，C 、{0123}，，，D 、{01234}，，，， 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-，则1a 等于A 、12-B 、12C 、32-D 、323、,a b R ∈，a b >，0ab >是11a b<成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为A 、平均数和方差都不变B 、平均数不变，方差改变C 、平均数改变，方差不变D 、平均数和方差都改变 5、函数21()cos (0)3f x x ωω=->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则ω等于 A 、2 B 、1 C 、12 D 、146、已知l m n 、、是直线，αβγ、、是平面，给出下列命题：（1）若//m l ，且m α⊥，则l α⊥；（2）若//m l ，且//m α，则//l α （3）若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n （4）若m αβ=，l βγ=，且//αβ，则//m l其中两个真命题的是A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（4）D 、（2）（4） 7、直线y kx =与圆22(4)4x y -+=相切，则直线的倾斜角为A 、6π，6π- B 、6π，56π C 、3π，3π- D 、3π，23π-8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为三内角,,A B C 所对的边，若2B A =，则:2b a 的取值范围是A 、(2,2)-B 、(0,2)C 、(1,1)-D 、(0,1) 9、已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为A 、(,2)-∞B 、(1,2)C 、(2,)+∞D 、(,1)-∞10、若动点P 的横坐标为x 、纵坐标为y 使lg lg ||lgy xy x -、、成等差数列，则点P 的轨A 、B 、C 、D 、11、若点O 为ABC ∆的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角C 等于A 、45B 、60C 、90D 、12012、某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单。

江苏七市联考2018届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

2018 届高三年级第三次模拟考试 (十三 )数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )参照公式：柱体体积公式 V 柱体＝Sh ，此中 S 为柱体的底面积，h 为高 .锥体的体积公式1 h 为高．V 锥体＝ Sh ，此中 S 为锥体的底面积，3一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．1. 已知会合 A ＝ { － 1， 0， 3，5} ，B ＝ {x|x － 2>0} ，则 A ∩ B ＝ ________.2. 已知 (1＋3i )(a ＋ bi)＝ 10i ，此中 i 为虚数单位， a ， b ∈ R ，则 ab 的值为 ________．3. 已知一组数据 82， 91， 89， 88， 90，则这组数据的方差为 ________．4. 依据以下图的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．5. 函数 y ＝ lg(4－ 3x － x 2)的定义域为 ________．6. 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完整相同．现从中随机摸出1 只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ________．7. 在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 4∶5∶ 6，则 cos C 的值为________．x 2 y 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 12－b 2＝ 1(b>0) 的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为________．9. 已知 {a n } 是等比数列， S n 是其前 n 项和．若 a 3＝ 2，S 12＝4S 6，则 a 9 的值为 ________．10. 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8 倍，将其融化铸造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件 (不计资料消耗 )．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S ，S ，则S 1的值12S 2为 ________．11. 已知实数 a ，b ，c 成等比数列， a ＋ 6，b ＋2，c ＋ 1 成等差数列，则 b 的最大值为 ________．12. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 2，∠ DAB ＝ 60°，AC ＝ 3BC ，则边 CD 长的最小值为 ________．13. 如图，已知 AC ＝ 2，B 为 AC 的中点，分别以 AB ，AC 为直径在 AC 同侧作半圆，→ →M ，N 分别为两半圆上的动点 (不含端点 A ，B ，C)，且 BM ⊥ BN ，则 AM ·CN 的最大值为 ________．ax － 1，x ≤0，则实数 a 的取值 14.已知函数f(x)＝x 3－ax ＋ |x － 2|，的图象恰巧经过三个象限， x>0范围是 ________________ ．二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分 14 分 )如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C1D 1中，底面 ABCD 为平行四边形，C1B ＝ C1D. 求证：(1)B 1D1∥平面 C1BD ；(2)平面 C1BD ⊥平面 AA 1C1C.16. (本小题满分14 分)如图是函数f(x) ＝ A sin(ωx＋φ)A>0 ，ω >0， |π在一个周期内的图象．已知点φ|≤ 2P( －6， 0)， Q(－2，－ 3)是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数 f(x) 的分析式；(2)记∠ RPO＝α，∠ QPO＝β (，αβ均为锐角 )，求 tan(2 α＋β)的值．17.(本小题满分 14 分 )如图，某生态农庄内有向来角梯形地区ABCD ， AB ∥ CD， AB ⊥ BC，AB ＝ 3 百米，CD ＝ 2 百米．该地区内原有道路AC ，现新修一条直道DP( 宽度忽视不计 )，点 P 在道路 ACπ上 (异于 A ，C 两点 )，∠ BAC ＝6，∠ DPA＝θ.(1)用θ表示直道 DP 的长度；(2) 计划在△ ADP 地区内栽种赏析植物，在△CDP 地区内栽种经济作物．已知栽种赏析DP 植物的成本为每平方百米 2 万元，栽种经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路的成本为每百米 1 万元，求以上三项花费总和的最小值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2y2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F，P 为右准线a2＋b2上一点，点Q 在椭圆上，且FQ⊥FP.1(1) 若椭圆的离心率为2，短轴长为 2 3.①求椭圆的方程；②若直线OQ ， PQ 的斜率分别为k1， k2，求 k1·k2的值；(2) 若在 x 轴上方存在P， Q 两点，使O， F， P， Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．19. (本小题满分16 分)已知数列 {a n} 知足 a n＋1＋ (－ 1)n a n＝n＋5(n∈N* )，数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.2(1)求 a1＋a3的值；(2)若 a1＋a5＝ 2a3.①求证：数列 { a2n} 为等差数列；②求知足 S2p＝ 4S2m(p， m∈N* )的全部数对 (p， m)．20. (本小题满分16 分)关于定义在区间 D 上的函数f(x) ，若存在正整数k，使不等式1k<f(x)<k恒建立，则称f(x)为 D(k) 型函数．(1) 设函数 f(x) ＝ a|x|，定义域 D＝ [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]．若 f(x) 是 D(3) 型函数，务实数 a 的取值范围；(2)设函数 g(x) ＝ e x－ x2－ x，定义域 D＝ (0，2)．判断 g(x) 能否为 D(2) 型函数，并给出证明． (参照数据： 7< e2<8)2018 届高三年级第三次模拟考试(十三 )数学附带题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】此题包含 A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 41：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分 )如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ 3，BC ＝6，AC ＝ 4，D 是边 BC 上一点， AC 与过点 A ，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长.B. [ 选修 42：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分)1 0 1 2， C ＝AB . 已知矩阵 A ＝ 1 ， B ＝3－ 1 0(1) 求矩阵 C ；(2) 若直线 l 1 ：x ＋ y ＝ 0 在矩阵 C 对应的变换作用下获得另向来线 l 2，求 l 2 的方程．C. [ 选修 44：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )x ＝ 3＋ 3t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 C 的参数y ＝ 1－ 4t方程为 x ＝ rcos θ，4，求 r 的值．(θ为参数， r >0)．若直线 l 被圆 C 截得的弦长为y ＝ rsin θD. [ 选修 45：不等式选讲](本小题满分10 分)已知 a， b， c 是正实数，且a＋b＋ c＝ 5，求证： a2＋2b2＋c2≥ 10.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分 )将 4 本不一样的书随机放入以下图的编号为1， 2， 3， 4 的四个抽屉中．(1)求 4 本书恰巧放在四个不一样抽屉中的概率；(2) 随机变量X 表示放在 2 号抽屉中书的本数，求X 的散布列和数学希望E(X) ．123423.(本小题满分 10 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点，直线 l 过点 F 与抛物线订交于 A ，B 两点 (点 A 在第一象限 )．4 2(1)若直线 l 的方程为 y＝3x－3，求直线 OA 的斜率；(2)已知点 C 在直线 x＝－ p 上，△ ABC 是边长为 2p＋ 3 的正三角形，求抛物线的方程．2018 届江苏七市联考高三年级第三次模拟考试(十三 )数学参照答案1.{3 ， 5}2.33. 104.－ 25. (－ 4，1)6. 0.37. 188. 2339. 610. 2511.3412. 61－ 3213. 1414. (－∞， 0)∪ (2，＋∞ )15. (1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1 ∥ DD1 ，且 BB1 ＝ DD1 ，因此四边形BDD1B1 为平行四边形，因此 B1D1 ∥BD.(4 分 )又 BD ? 平面 C1BD ，B1D1 ?平面 C1BD ，因此 B1D1 ∥平面 C1BD.(6 分 )(2)如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连接 C1O.由于底面ABCD 为平行四边形，因此 O 为 BD 的中点．又 C1B ＝ C1D ，因此 C1O⊥ BD.(8 分 )在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD.又 BD ? 平面 ABCD ，因此 C1C⊥ BD.(10 分)由于 C1O∩C1C＝ C1， C1O， C1C? 平面 AA1C1C ，因此 BD ⊥平面 AA1C1C.(12 分 )由于 BD ? 平面 C1BD ，因此平面C1BD ⊥平面 AA1C1C.(14 分 )16. (1) 如图，由于图象在一个周期内的最低点为Q(－ 2，－ 3)，与 x 轴的交点为P(－6，0)，因此 A ＝ 3， T＝ 4× (－ 2＋6)＝ 16，因此ω＝ 2π T＝π8，因此 f(x) ＝3sinπ8x＋φ .(3 分)将点 Q(－2，－ 3)代入，得－ 3＝ 3sin－ 2× π 8＋φ，因此－π 4＋φ＝－π 2＋ 2kπ， k∈ Z，因此φ＝－π 4＋ 2kπ， k∈ Z.(5 分 )又 |φ |≤ π 2，因此φ＝－π 4，因此 f(x) ＝3sinπ8x－π 4.(7 分 )(2)点 R 的横坐标 xR＝ xQ＋ 12T＝－ 2＋8＝ 6，因此 R(6， 3)． (9 分 )由于α，β均为锐角，进而 tan α＝ 14， tan β＝34，因此 tan 2α＝ 2tan α 1－ tan2 α＝ 2× 141－ 142＝ 815， (12 分 )因此 tan(2α＋β )＝ tan 2α＋ tan β 1－ tan 2α tan β＝ 815＋ 341－ 815× 34＝7736.(14 分 )17.(1) 过点 D 作 DD ′垂直于线段 AB ，垂足为 D′ .在 Rt△ ABC 中，由于 AB ⊥ BC ，∠ BAC ＝π 6， AB ＝ 3，因此 BC＝3.在 Rt△ ADD ′中，由于 AD ′＝ 1， DD ′＝ 3，因此 AD ＝ 2，因此 sin ∠ DAD ′＝ 32，因此∠ DAD ′＝π 3.由于∠ BAC ＝π 6，因此∠ DAP ＝π 6.(2 分 )在△ ADP 中，由正弦定理得ADsinθ ＝DPsinπ 6，因此 DP＝ 1sin θ，π 6< θ <5π6.(6 分 )(2) 在△ ADP 中，由正弦定理得APsin ∠ ADP ＝ ADsin 因此 AP＝ 2sin ∠ ADPsin θ＝ 2sin 5π 6－θ sin θ，因此 S△APD ＝ 12AP?PD?sin θ＝ 12?2sin 5π 6－θ sinθ ，θ ?1sinθ?sinθ＝ sin 5π 6－θsinθ .S△ ADC ＝ 12AD?DC?sin ∠ADC ＝ 12× 2× 2sin 2π 3＝ 3，因此 S△DPC＝ S△ADC －S△ APD ＝ 3－ sin 5π 6－θ sin θ .(8 分 )设三项花费总和为f( θ )，则 f( θ )＝ sin 5π 6－θ sin θ × 2＋ 3－ sin 5π 6－θsin θ× 1＋ 1sin θ ×1＝3＋ sin 5π 6－θ＋ 1sin θ，＝12cos θ＋1sinθ＋ 332，π6<θ <5π6， (10 分 )因此 f′ (θ )＝－ 12－ cos θ sin2 θ .令 f′ ( θ)＝ 0，θ＝ 2π 3.当θ化， f ′ (θ )， f( θ)的化状况以下：因此当θ＝2π 3 ， f( θ )min ＝ 23.故以上三用和的最小23 万元． (14 分 )18.(1) ① 的焦距 2c.由意，得ca＝ 12，2b＝ 23，a2＝ b2＋ c2，解得 a＝2， b＝ 3， (2 分 )因此的方程x24＋ y23＝ 1.(4 分 )②由①得焦点F(1， 0)，准方程x＝ 4，焦点 P(4，t) ， Q(x0， y0) ， x204 ＋ y203＝ 1，因此 y20＝ 3－ 34x20.因此 FQ→＝ (x0－1， y0) ， FP→＝ (3， t)，因 FP⊥FQ，因此 FQ→ ?FP→＝ 3(x0 － 1)＋ ty0 ＝0，因此－ ty0＝ 3(x0 －1)． (6 分 )因此k1?k2＝ y0x0?y0－ tx0 － 4＝ y20 － ty0x20 － 4x0＝ 3－ 34x20 ＋ 3（ x0－ 1） x20 － 4x0 ＝－34.(10 分 )(2)Pa2c， t， Q(x0， y0) ．因 FP⊥ FQ，因此△ FPQ 的外接即以PQ 直径的x－a2c(x－ x0)＋ (y－ t)(y － y0) ＝ 0.(12 分 )由意知焦点 F、原点 O 均在上，因此 c－ a2c（c－ x0）＋ ty0 ＝ 0， a2cx0＋ ty0＝ 0，消去 ty0 得 c－a2c(c－x0) － a2cx0＝ 0，因此 x0＝ c－ a2c.(14 分 )因点 P，Q 均在 x 上方，因此－ a<c－ a2c<c，即 c2＋ ac－ a2>0，因此 e2＋ e－1>0.因 0<e<1，因此5－12<e<1.(16 分)19. (1) 由条件，得a2－ a1＝ 3，① a3＋a2＝ 72，②②－①得 a1＋ a3＝ 12.(3 分)(2) ①因 an＋ 1＋( －1)nan＝ n＋ 52，因此 a2n－ a2n－ 1＝ 2n＋ 42，③a2n＋ 1＋a2n＝ 2n＋ 52，④④－③得 a2n－ 1＋ a2n＋ 1＝ 12， (6 分 )因此 1＝ 12＋ 12＝ (a1＋ a3)＋ (a3＋ a5)＝ 4a3，因此 a3＝ 14，进而 a1＝ 14.(8 分 )因此 a2n－1－ 14＝－ a2n－ 3－14＝⋯＝ (－ 1)n－ 1?(a1－14)＝ 0，因此 a2n－1＝ 14，将其代入③式，得a2n＝ n＋ 94，因此 a2(n＋ 1)－a2n＝ 1(常数 )，因此数列 {a2n} 等差数列． (10 分 )②注意到a1＝ a2n＋ 1，因此 S2n＝a1＋ a2＋⋯＋ a2n＝ (a2＋ a3)＋ (a4＋ a5)＋⋯＋ (a2n＋a2n ＋1)＝＝ n22＋3n.(12 分 )由 S2p＝ 4S2m 知 p22＋ 3p＝ 4m22＋3m.因此 (2m＋ 6)2＝ (p＋ 3)2＋ 27，即 (2m＋ p＋ 9)(2m － p＋ 3)＝ 27.又 p， m∈ N* ，因此 2m＋ p＋9≥ 12 且 2m＋ p＋ 9， 2m－p＋ 3 均正整数，因此 2m＋ p＋9＝ 27， 2m－ p＋ 3＝ 1，解得 p＝ 10， m＝ 4，因此所求数对为 (10， 4)． (16 分 )20. (1) 由于 f(x) ＝a|x|是 D(3) 型函数，因此13＜ a|x|＜ 3 在[ －3，－ 1]∪ [1， 3]上恒建立，即 13|x|＜ a＜ 3|x|在 [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]上恒建立． (2 分 )又 |x|的取值范围为 [1， 3]，因此 a＜ 3|x|min＝ 1， a＞ 13|x|max＝ 13，因此实数 a 的取值范围为13，1.(4 分 )(2)g(x) 是 D(2) 型函数．证明以下：①先证明g(x) ＜ 2，记 h(x) ＝ x2 ＋x＋ 2ex，0＜ x＜ 2，因此 h′ (x)＝－（ x2 － x＋1） ex＝－ x－ 122＋ 34ex＜ 0，因此 h(x) 在 (0， 2)上为单一减函数， (6 分 )因此 h(x) ＞ h(2)＝ 8e2＞ 1，因此 x2＋ x＋ 2ex＞ 1，即 ex－ x2－ x＜ 2，因此 g(x) ＜ 2 建立． (8 分 )②再证明g(x) ＞ 12.记 r(x) ＝ x2＋ x＋ 12ex， 0＜ x＜2，因此 r′ (x) ＝－ x2－x－ 12ex.令 r′ (x) ＝0，得 x＝ 1＋ 32∈(0 ，2)，记 x0＝ 1＋ 32，则 x0＋ 12＝ x20.当 0＜ x＜ x0 时， r′ (x) ＞ 0；当 x0＜ x＜2 时， r′ (x) ＜ 0，因此 r(x) 在(0， x0)上为单一增函数，在 (x0， 2)上为单一减函数，因此 r(x)max ＝r(x0) ＝ x20＋ x0＋ 12ex0＝ 2x20ex0.(12 分 )要证 g(x) ＞ 12，只需证 r(x) ＜ 1，只需证 r(x)max ＜1，即证 2x20ex0＜ 1，即证 (2x0)2 ＜ ex0，即证 2ln 2 ＋2ln x0 ＜ x0.(*)要证明 (*) 式，先证当x＞ 1 时， ln x ＜ x2－ 12x.记 p(x) ＝ln x － x2－ 12x， x＞ 1，因此 p′ (x)＝ 1x－12－ 12x2＝－（ x－ 1） 22x2＜ 0，因此 p(x) 在 (1，＋∞ )上为单一减函数，因此 p(x)<p(1) ＝ 0，即 ln x<x2 － 12x 得证，因此 2ln 2<2 × 2－ 122＝ 12， 2ln x0<2?x20 －12x0＝ x0－ 1x0，故要证明 (*) 式，只需证明 12＋ x0－1x0<x0 ，即证 x0<2.又 x0＝ 1＋32<2，进而 g(x)>12.由①②得12<g(x)<2 ，即 g(x) 是 D(2) 型函数． (16 分 )21. A.由于过点A，B，D的圆O与AC相切，因此∠ CAD＝∠ ABC.又∠ ACD ＝∠ BCA ，因此△ ACD ∽△ BCA ， (5 分 )因此 ADAB ＝ACBC.由于 AB ＝3，BC＝6，AC＝4，因此 AD3 ＝46，因此 AD ＝ 2.(10 分)B. (1) C ＝AB ＝ 10－ 111203＝12－ 11.(4 分 )(x′， y′ )，(2) 设直线 l1：x＋ y＝ 0 上随意一点 (x ，y)在矩阵 C 对应的变换作用下获得点则 x′ y′＝ 12－ 11xy，其坐标变换公式为x′＝ x＋2y ， y′＝－ x＋ 2y.(6 分 )由此得 x＝x′－ 2y′ 3，y＝ x′＋ y′3，代入 x＋ y＝ 0，得 2x′－ y′ 3＝ 0，即 2x′－ y′＝0,因此直线l2 的方程为2x－ y＝0.(10 分 )C.直线 l 的一般方程为 4x＋3y－ 15＝0，圆 C 的一般方程为 x2＋ y2＝ r2.(4 分 )由于圆心C(0 ， 0)到直线l 的距离 d＝ |－ 15|5＝3，又直线 l 被圆 C 截得的弦长为4，因此 r＝ 32＋22＝ 13.(10 分)D. 由柯西不等式得[a2＋ (2b)2＋ c2]?12＋ 222＋12≥ (a＋ b＋ c)2.(6 分)由于 a＋ b＋ c＝ 5，因此 (a2＋ 2b2＋ c2)×52≥ 25，因此 a2＋ 2b2＋ c2≥ 10，当且仅当a＝ 2b＝c 时取等号． (10 分 )22. (1)将 4 本不一样的书放入编号为1， 2，3，4 的四个抽屉中，共有44＝ 256(种 )不一样放法．记“ 4 本书恰巧放在四个不一样抽屉中”为事件事件 A 共包含 A44 ＝24(个 )基本领件，因此 P(A) ＝24256＝ 332，因此 4 本书恰巧放在四个不一样抽屉中的概率为A ，332.(3 分 )(2)X 的可能取值为 0， 1， 2，3， 4，P(X ＝ 0)＝ 3444＝ 81256， P(X ＝ 1)＝ C14× 3344＝ 2764 ，P(X ＝ 2)＝C24× 3244＝ 27128，P(X ＝ 3)＝C34× 344＝ 364， P(X ＝4)＝ C4444＝ 1256.因此 X 的散布列为：X01234P812562764271283641256(8 分)因此 X 的数学希望E(X) ＝ 0× 81256＋1× 2764＋2× 27128＋ 3× 364＋ 4× 1256＝ 1.(10 分 )23.(1) 由题意，焦点 Fp2， 0 在直线 l 上，因此 43× p2－ 23＝ 0，解得 p＝1.因此抛物线的方程为y2＝ 2x.由 y＝ 43x－ 23， y2＝ 2x 消去 x 得 2y2－ 3y － 2＝0，因此 y＝ 2 或 y＝－ 12.由于点 A 在第一象限，因此点 A 的坐标为 (2， 2)，因此直线OA 的斜率为 1.(3 分 )(2)依题意，直线 l 的斜率存在，且不为零．设直线 l 的方程为 y＝kx － p2，设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2)， C(－ p， y3)， AB 的中点为M(x0 ， y0)．由 y2＝ 2px， y＝ kx－ p2 消去 y 得 k2x2－ (k2p ＋ 2p)x＋ 14k2p2 ＝0，＝ 4p2＋ 4k2p2>0 ，x1， 2＝（ k2p ＋ 2p）±2k2，因此 AB ＝ x1＋ x2＋ p＝ 2p＋ 2pk2＝ 2p＋ 3，即 2pk2＝ 3.(5 分 )MC ＝（ x0＋ p） 2＋（ y0－ y3） 2＝ 1＋1k2|x0 ＋ p|.由于 x0＝ x1＋ x22＝k2p ＋ 2p2k2＝ 12p＋ pk2 ，因此 MC ＝1＋ 1k232p＋ pk2，将 1k2＝ 32p 代入得 MC ＝1＋ 32p32p＋ 32.(8 分 )由于△ ABC 是边长为2p＋ 3 的正三角形，因此 MC ＝32(2p ＋ 3)，因此 1＋ 32p32p＋ 32＝ 32(2p＋ 3)，解得 p＝ 3，因此抛物线的方程为y2＝ 23x.(10 分 )。

苏州2018高三零模数学试卷及答案

A1 G E B1 H D1 F C1
D A B
C
17. （本小题满分 14 分）如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨 C 公路相连，B，C 之间的距离为 100km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50km处．从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 θ 角（ ≤ 其中锐角的正切值为
A E P F
▲
．
13．如图，△ABC 为等腰三角形， BAC 120 ，
AB AC 4 ，以 A 为圆心，1 为半径的圆分
» 上的别交 AB，AC 与点 E，F，点 P 是劣弧 EF uuu r uuu r B 一点，则 PB PC 的取值范围是 ▲ ．
C （第 13 题图）
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为 ▲ ．
N
高三数学Ⅰ第 1 页，共 4 页
0 ≤ x ≤3, 7．已知变量 x，y 满足 x y ≥ 0, 则 z 2 x 3 y 的最大值为 x y 3 ≤0,
A
▲
．（容器壁的厚度
（第 9 题图）
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 A(2, 1) 的圆 C 和直线 x y 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上，则圆 C 的 D 标准方程为 ▲ ．
（第 10 题图）
B
12．已知正实数 a，b，c 满足
1 1 1 1 1 ，则 c 的取值范围是 1， ab c a b
π ， 2
北东
1 ）航行到海岸公路 P 处登陆，再换乘汽 2

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2018年苏州市高三七校联考 18.4数学试卷注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试用时120分钟，采用闭卷考试方式（用答题卡的请将答案在答题卡上答涂）。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=侧面 P （A+B ）=P(A)+P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式334R V π=球， P(AB)=P(A)P(B) 其中R 表示球的半径。

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n p p C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题:(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)．11>1>的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件2、设M ＝{}1,0，N ＝{}a a a a,2,lg ,11-，是否存在a 值，使=⋂N M {}1 ( )（A ）存在，且有四个值（B ）存在，且有二个值（C ）存在，但只有一个值（D ）不存在3、在等差数列{}n a 中，若a 4＋a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10－a 12的值为（）（A ）20 （B ）22 （C ）24 （D ）28 4、若1021001210(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则a 1+a 2+a 3+…+a 10的值为（）（A ）105－103 （B ）105 （C ）103 （D ）103－15、用一个平面去截正方体，所得的截面图形不可能是（）（A ）正方形（B ）矩形（C ）菱形（D ）直角梯形 6、下列命题：①若A （－1，1），B （1，5），C （－2，－5），D （4，7），则向量AB 与CD 共线； ②2()a b ⋅＝2()a ⋅2()b ； ③若()pa pb p R =∈，则有a b =；④已知A （2，1），B （6，7），把向量AB 按向量（3，2）平移后得到一个新向量CD ，那么＝（7，7）。

其中错误．．命题的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47、已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2,双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）（A ）6π[，]2π （B ）3π[，]2π （C ）2π[，]32π （D ）32π[，π] 8、下列函数中同时具有性质：（1）最小正周期是π，（2）图象关于3π=x 对称，（3）在6π[-，]3π上是增函数的是（）（A ）)6π2sin(+=x y （B ）)3π2cos(+=x y（C ）)6π2sin(-=x y （D ）)6π2cos(-=x y9、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f '(x)的图象可能为（）（A ）（B ）（C ）（D ）10、若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（）（A ）至多一个（B ）2个（C ）1个（D ）0个11、现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（） (A) 4.6米 (B) 4.8米 (C) 5.0米 (D) 5.2米 12、设)2(log )1(+=+n a n n （n 为正整数），我们把使乘积12n a a a 为整数的数n 叫做“优数”，则在区间（1，2018）内所有“优数”的和为（）（A ）1012 （B ）2024 （C ）1013 （D ）2026第II 卷（非选择题，90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡相应的位置)。

13、若点)sin ,(cos ααP 在直线y=－2x 上，则sin 22cos 2αα+= .14、定义符号函数10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集．．是__________． 15、从正四棱锥P －ABCD 的8条棱中选取三条棱，其中至少有一对异面的选法共有种。

16、已知函数xx f )21()(=的图象与函数g （x ）的图象关于直线x y =对称，令|),|1()(x g x h -=则关于函数)(x h 有下列命题：①)(x h 的图象关于原点对称；②)(x h 为偶函数； ③)(x h 的最小值为0； ④)(x h 在（0，1）上为减函数. 其中正确命题的序号为（注：将所有正确．．命题的序号都填上）三、解答题:(本大题共6小题，共74分，解答题应在答题卡相应的位置写出文字说明，证明过程或演算步骤)。

17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且BC 边上的高为12a . （Ⅰ）若2A π=，求c b 的值；（Ⅱ）若b cc b+=A 的大小。

18、（本小题满分12分）三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和．．．．．．．．．．第三个元件串联．．．．．．．接入电路。

（Ⅰ）在如图的电路中，电路正常工作的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路正常工作的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由。

19、（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，D 、E分别是AB 、BC 的中点。

（Ⅰ）求1B D 与1C E 所成的角；（Ⅱ）求二面角11A AC D --的大小；（Ⅲ）求多面体11ADECC A 的体积。

A 1C 1B 1ABCDE20、（本小题满分12分）已知二次函数)0(1)(2>++=a x ax x f 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x . （1）证明：1)1)(1(21=++x x ；（2）证明：11-<x ，12-<x ；（3）若1x 、2x 满足不等式1lg 21≤x x ，试求a 的取值范围。

21、（本小题满分12分）如图：)0,3(-E ，)0,3(F10=，且EG EH =2，0=⋅EG HP （G 为动点）。

（1）求动点P 的轨迹方程。

（2）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点C ，的取值范围。

22、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项为a 1＝2，前n 项和为S n ，且对任意的正整数n ，a n 总是3S n －4 与1252--n S 的等差中项。

)2(≥n （1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求通项a n ；（2）证明：n S 2(log 21<++)log 22n S 12log +n S ；（3）若b n ＝14-n a ，22)4(log nn a c =,T n ，R n 分别为{}n b 和{}n c 的前n 项和。

问：是否存在正整数n ，使得T n >R n ，若存在，请求出所有n 的值，若不存在请说明理由。

X2018年苏州市高三七校联考数学参考答案及评分标准一、选择题：1、B2、D3、C4、A5、D6、C7、C 8、C 9、D 10、B 11、C 12、D 二、填空题：13、2- 14、 15、40 16、②③ 三、解答题：17、解(1)由已知，得⋅a 21=a 21A bc sin 21，又2π=A ，故a 2=2bc ，………………2分又b 2+c 2＝a 2＝2bc ，所以b=c ，即1=bc。

……………………5分（2）由已知，得=241a A bc sin 21，即=2a A bc sin 2，由余弦定理：a 2=b 2+c 2－A bc cos 2 ……………………7分得b 2+c 2＝)cos (sin 2A A bc +＝sin()4A π+， ……………………9分又c b ＋22=bc ，即1)4sin(=+πA ，而π<<A 0，4544πππ<+<A ，所以24ππ=+A ，即4π=A 。

…………………12分18、解：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P ……………1分（Ⅰ）电路正常工作的事件为（A 2+A 3）A 1.∴电路正常工作的概率为1231131231[()]()()[1()()]()11115(1)44232P P A A A P A A P A P A P A P A =+=+⋅=-⋅⋅=-⨯⨯=……5分……6分（Ⅱ）画出示意图， …………………………………8分此时电路正常工作的概率最大.证明如下：图中电路正常工作事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴电路正常工作概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P21P P ∴> ……………………………………………………………… 12分19、解：（I ）延长EB 至点F ，使BF ＝BE 。

则四边形B 1C 1EF 为平行四边形，B 1F ∥C 1E ，所以B 1D 与B 1F 所成的叫就是B 1D 与C 1E 所成的角， ……2分由已知B 1D ＝B 1F ＝52，在∆BDF 中，BD ＝BF ＝2，︒=∠120FBD ，由余弦定理，求得FD ＝32 ，又在∆B 1DF 中，由余弦定理，107cos 1=∠D FB ，所以107arccos 1=∠D FB 。

……4分（II ）易知DE ∥A 1C 1。

故所求二面角就是面AC 1与面DC 1所成的二面角，取AC 中点Q ，连结BQ 交DE 于点N ，取A 1C 1的中点P ，连PN ，PQ ，则PQ ⊥A 1C 1，又PN 在面AC 1上的射影为PQ ，所以PN ⊥A 1C 1，NPQ ∠就是所求二面角的平面角， ……6分又PQ ＝AA 1＝4，NQ ＝BQ 21＝3，︒=∠90PQN ，所以PQ NQ NPQ =∠tan ＝43，则NPQ ∠= ……8分（III ）连A 1E 、A 1C ，则11A ADECC V ＝+-AD EC A V 111A CC E V -，设E 到面AC 1的距离为h ，则h＝3。