拟牛顿法.
拟牛顿算法
拟牛顿算法
拟牛顿算法是一种求解现代机器学习中复杂优化问题的数值解法，又称为增量式牛顿方法或增量算法。
拟牛顿算法是一种迭代优化算法，它是由美国物理学家Isaac Newton发明的牛顿法的改进版本，并被用于优化复杂的函数。
拟牛顿算法的主要思想是使用一组特定的校正器来更新牛顿法中的参数，从而实现更高效的迭代优化。
拟牛顿算法的基本原理是：拟牛顿算法从一个初始状态开始，通过迭代的方式，不断地更新参数，使目标函数最小化。
首先，使用梯度下降法确定一个起始状态，并计算出目标函数的梯度值，即梯度偏导数。
然后，根据牛顿法构建拟牛顿算法，即在更新参数时，使用牛顿法计算出增量向量，从而实现梯度下降，使目标函数尽可能小。
拟牛顿算法可以用于大多数优化问题，如拟合数据、优化机器学习模型等。
它与牛顿法的速度相比非常快速，大大提高了收敛速度，并具有更好的收敛性能。
另外，拟牛顿算法也可以方便地适用于正则化情况，使优化效率更高。
拟牛顿算法不仅可以用于优化机器学习模型，还可以用于一些复杂的优化问题，如现实世界中的优化问题，例如非线性系统优化、智能机器人的行为优化等。
与牛顿法相比，拟牛顿算法具有空间收敛性更强、更少的迭代次数和更快的收敛速度的优势。
拟牛顿算法的缺点也是显而易见的，它的计算量比传统的牛顿法大，而且它需要一些复杂的算法来更新参数，这也是它不能广泛应用的原因之一。
总而言之，拟牛顿算法是一种求解现代机器学习中复杂优化问题的有效数值解法，它具有高效率和更快的收敛速度的优势。
但是，由于它计算量大，需要较复杂的算法，因此不能广泛应用。
牛顿法拟牛顿法
牛顿法拟牛顿法牛顿法是一种求解非线性方程的方法，其原理是在迭代中使用方程的导数来近似方程的根。
虽然牛顿法非常有效，但它往往需要非常精准的初始猜测才能保证收敛性。
另一种类似于牛顿法的方法是拟牛顿法，它可以通过逐步调整矩阵B来近似牛顿法的矩阵Hessian。
本文将介绍牛顿法和拟牛顿法的原理和应用。
一、牛顿法假设有一个n维非线性方程系统f(x)=0，其中x是一个n维向量。
牛顿法中的每个迭代都是通过以下公式来更新当前估计xk的：xk+1=xk-Hk^(-1)fk其中Hk是f(x)的Hessian矩阵在xk处的值，假设Hk是可逆的。
牛顿法的优点是它快速收敛，并且可以通过适当选择初始估计来实现收敛。
另一个好处是它可以直接用于求解大型系统，因为它只涉及二次导数的计算。
然而，牛顿法的缺点是它需要计算Hessian矩阵，这通常是一个费时且复杂的任务。
另一个问题是当Hessian矩阵的条件数（即最大特征值与最小特征值之比）很大时，牛顿法的收敛可能会变得很慢。
二、拟牛顿法拟牛顿法的思想是利用一个矩阵Bk来代替牛顿法中的Hk矩阵。
Bk是一个正定对称的矩阵，其初值通常为单位矩阵In。
在每个迭代中，Bk被更新为一个近似的Hessian逆矩阵。
最常用的拟牛顿法算法之一是BFGS算法，其更新规则如下：Bk+1=Bk+(yk^Tyk)/(yk^Ts)+(BkSkS^TBk)/(sk^TBksk)其中sk=xk+1-xk，yk=g(xk+1)-g(xk)，g表示f的梯度，^T表示矩阵转置。
该公式是基于以下观察得出的：Bk+1应该满足以下性质：Bk+1是正定对称的。
Bk+1应该近似于Hk+1的逆，其应该满足以下方程：Bk+1sk=yk另外，BFGS算法的收敛速度也相对比牛顿法要慢，因为BFGS算法需要逐步修正矩阵Bk，直到其逼近Hessian矩阵的逆。
三、应用牛顿法和拟牛顿法在许多实际问题中应用广泛，特别是在数学、物理、金融和工程领域。
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法在数学中，优化是一个非常重要的研究领域，其目的是找到使某个函数达到最大或最小值的变量集合。
在实际应用中，很多问题都可以转化为优化问题，如机器学习、经济学、物理学等。
在优化领域中，牛顿法和拟牛顿法是两种常见的方法。
本文将介绍这两种优化方法的基本原理、优缺点以及应用场景。
一、牛顿法牛顿法（Newton's method）是由数学家牛顿发明的非线性优化方法，其思想是利用函数的泰勒级数展开进行逼近。
具体来说，牛顿法先求出目标函数的一阶和二阶导数，然后使用二阶导数来逼近目标函数本身，进而得到近似最优解。
牛顿法的数学公式如下：$$\boldsymbol{x}_{k+1}= \boldsymbol{x}_{k} -{\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)^{-1}}\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$$其中，$\boldsymbol{x}_k$ 表示第 $k$ 次迭代的解，$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$ 和$\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)$ 分别表示目标函数在$\boldsymbol{x}_k$ 处的一阶和二阶导数。
牛顿法的优点是收敛速度非常快，通常只需要很少的迭代次数即可达到最优解。
另外，牛顿法适用于连续可微、二阶可导的函数，因此适用范围广。
然而，牛顿法也存在一些缺点，例如无法处理不可导或一阶可导但二阶不可导的函数。
此外，牛顿法需要计算目标函数的二阶导数，因此在大规模问题上计算成本很高。
二、拟牛顿法拟牛顿法（quasi-Newton method）是一类基于牛顿法的优化算法，它通过逼近目标函数的海森矩阵来求解。
拟牛顿法没有计算海森矩阵的显式表达式，而是通过估计海森矩阵的变化来逼近。
最简单和最流行的拟牛顿法是BFGS算法和L-BFGS算法。
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度法推导总结
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度
法推导总结
一、牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代方法。
牛顿法的基本思想是：在当前点附近，用一次泰勒展开式近似原函数，然后求解近似函数的极值点。
牛顿法每次迭代所需要的计算量较大，但其收敛速度较快。
二、拟牛顿法
拟牛顿法是一种求解无约束极值问题的优化算法。
拟牛顿法是将牛顿法中Hessian矩阵用近似Hessian矩阵Bk表示的算法。
拟牛顿法的计算量比牛顿法小，但是收敛速度较牛顿法慢。
三、高斯-牛顿法
高斯-牛顿法是求解非线性最小二乘问题的一种迭代算法。
该算法假设误差服从高斯分布，利用牛顿法求解目标函数的局部极小值，以最小化残差平方和。
高斯-牛顿法在处理非线性最小二乘问题时具有很好的收敛性。
四、共轭梯度法
共轭梯度法是解决对称正定线性方程组的迭代算法。
该算法通过对一个对称正定矩阵进行迭代求解，寻找线性方程组的解。
共轭梯度法的优点是可以使用较少的内存和计算量实现高效的求解。
以上算法都是数值优化中比较常用的算法，它们各自具有不同的优缺点，可根据实际问题的特点来选择合适的算法。
最优化方法-拟Newton法
0
1 4
0.25
2 X1 0.5,
f ( X1) 5.5
1 f ( X1) 2
（4）判 断 || f ( X 1 ) |，|转（5）
（5）第二次迭代采用DFP变尺度法，构造 E 0
1 0
G0 0
1
1 S0 X1 - X 0 - 0.5
min
f
(X
)
x2 1
2
x2 2
2 x1 x2
4x1
已知 X 0 [1,1]T , 0.1
解：（1）第一次迭代，实际上是沿负梯度方向进行一维搜索。
（2）
f
(
X
)
2x1 2
x1
2x2 4x2
4 ,
4
f ( X0) 2
,G0 I
➢ 5、DFP算法的收敛速度是超线性的。
Relax 做个题，轻松一下
例：用DFP变尺度算法求解无约束最优化问题
min
f
(X
)
x2 1
2
x2 2
2 x1 x2
4x1
已知 X 0 [1,1]T , 0.1
参照：拟Newton法的基本格式做题：
例：用DFP变尺度算法求解无约束最优化问题
三、对称秩1算法 2、对称秩1算法的性质
四、DFP算法（Davidon-Flether-P0well)
四、DFP算法
在DFP算法中，校正矩阵的构造公式为：
Ek
S
k
S
T k
S kTYk
拟牛顿法
拟牛顿法牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求海森矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了就算机计算量。
为了克服牛顿法的缺点，同时保持较快收敛速度的优点，就产生了拟牛顿法。
拟牛顿法是牛顿法的直接推广，通过在试探点附近的二次逼近引进牛顿条件来确定线搜索方向，它主要有DFP 和BFGS 两种形式，拟牛顿法的一般步骤为：（1） 给定初始点(0)x ，初始对称正定矩阵0H ，(0)0()g g x =及精度0ε>； （2） 计算搜索方向()k k k p H g =-；（3） 作直线搜索(1)()()(,)k k k xF x p +=，计算(1)(1)11(),()k k k k f f x g g x ++++==，(1)()1,k k k k k k S x x y g g ++=-=-（4） 判断终止准则是否满足；（5） 令1k k k H H E +=+置1k k =+，转步骤（2）；不同的拟牛顿法对应不同的k E ，主要介绍DFP 和BFGS 两种拟牛顿法。
1. DFP 法（1） 算法原理DFP 算法中的校正公式为：1k kk kT T k k k kk k T T kk k S S H y y H H H S y y H y +=+-为了保证k H 的正定性，在下面的算法中迭代一定次数后，重置初始点和迭代矩阵再进行迭代。
（2） 算法步骤1） 给定初始点(0)x ，初始矩阵0n H I =及精度0ε>； 2） 若()(0)f xε∇≤，停止，极小点为(0)x ；否则转步骤3）；3） 取()(0)(0)0p H f x =-∇，且令0k =； 4） 用一维搜索法求k t ，使得()()()()0()min ()k k k k k k t f Xt p f X tp α≥+=+，令(1)()()k k k x x tp +=+，转步骤5）；5） ()(1)k f xε+∇≤，停止，极小值点为(1)k x +；否则转步骤6）；6） 若1k n +=，令(0)()n x x =，转步骤3）；否则转步骤7）；7） 令()()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)()(1)()1(1)()(1)()(1)()(1)()(1)()(1)()Tk k k k k k Tk k k k Tk k k k k kTk k k k kx x x x H H xx f x f x H f xf x f x f x H f x f x H f x f x +++++++++--=+-∇-∇∇-∇∇-∇-∇-∇∇-∇，取()()(1)1k k k p H f x ++=-∇，置1k k =+，转步骤4）。
拟牛顿法
•主页•专栏作家•量化基础理论•软件使用经验•量化软件•资源导航•资料下载•量化论坛搜索搜索用户登录用户名:*密码:*登录•创建新帐号•重设密码首页拟牛顿法及相关讨论星期三, 2009-06-17 00:24 —satchel1979使用导数的最优化算法中，拟牛顿法是目前为止最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强、编写程序容易等优点。
在现今的大型计算程序中有着广泛的应用。
本文试图介绍拟牛顿法的基础理论和若干进展。
牛顿法(Newton Method)牛顿法的基本思想是在极小点附近通过对目标函数做二阶Taylor展开，进而找到的极小点的估计值[1]。
一维情况下，也即令函数为则其导数满足因此(1)将作为极小点的一个进一步的估计值。
重复上述过程，可以产生一系列的极小点估值集合。
一定条件下，这个极小点序列收敛于的极值点。
将上述讨论扩展到维空间，类似的，对于维函数有其中和分别是目标函数的的一阶和二阶导数，表现为维向量和矩阵，而后者又称为目标函数在处的Hesse矩阵。
设可逆，则可得与方程(1)类似的迭代公式：(2)这就是原始牛顿法的迭代公式。
原始牛顿法虽然具有二次终止性（即用于二次凸函数时，经有限次迭代必达极小点），但是要求初始点需要尽量靠近极小点，否则有可能不收敛。
因此人们又提出了阻尼牛顿法[1]。
这种方法在算法形式上等同于所有流行的优化方法，即确定搜索方向，再沿此方向进行一维搜索，找出该方向上的极小点，然后在该点处重新确定搜索方向，重复上述过程，直至函数梯度小于预设判据。
具体步骤列为算法1。
算法1：(1) 给定初始点，设定收敛判据，.(2) 计算和.(3) 若< ，则停止迭代，否则确定搜索方向.(4) 从出发，沿做一维搜索，令.(5) 设，转步骤(2).在一定程度上，阻尼牛顿法具有更强的稳定性。
拟牛顿法(Quasi-Newton Method)如同上一节指出，牛顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数，难度较大。
10--拟牛顿法
一般约束问题的一阶最优性条件
考虑
min f (x)
x Rn
s.t.
gi (x) 0, hj (x) 0,
起作用约束：
i 1,...,m j 1,...,l
gi
(i
I
)
;
hj ( j 1,...,l)
hj ( j 1,...,l)
定理(Fritz John条件) :
设x S, f (x)在x处可微,
wi 0
例min f (x) (x1 2)2 x22
s.t.
g1(x) x1 x22 0
g2 (x) x1 x2 0
验证下列两点
x (1)
00和x(2)
1 1
是否为K T点。
x(1)不是；x(2)是
例min f (x) (x1 1)2 x2
s.t.
g1(x) x1 x2 2 0 g2 (x) x2 0
Hkq(k ) )( p(k ) Hkq(k ) )T q(k)T ( p(k) Hkq(k) )
注释
• 在一定条件下，收敛且具有二次终止性。 • 无法保证Hk的正定性；即使能，也有可能导致
△Hk无界。
DFP算法
秩为
Hk k u(k) u(k)T kv(k) v(k)T
2
p(k ) H k1q(k )
2
f ( x) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )(x x(k1) )
f ( x(k) ) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )(x(k) x(k1) ) p(k ) : x(k 1) x(k ) q(k ) : f (x(k 1) ) f (x(k ) ) q(k ) 2 f (x(k 1) ) p(k )
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根据Schwartz不等式 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 anbn )2
故有 ( pT
p)(qTq）（pTq)2 ，从而
( pT
p)(qT q) ( pTq)2 qT q
0
(10.4.21)
p( j)T q( j) jd ( j)T (g j1 g j ) jd ( j)T g j 由于λj>0,gj≠0,Hj
j (H j g j )T
gj
j
g
T j
H
j
g
j
,
正定，从而
p( j)T q( j) 0
(10.4.22)
( yT p( j) )2 p( j)T q( j)
0
(10.4.23)
接下来证明（10.4.20）等式右端两项不能同时为零。 假设第一项为零，则p//q，即p=βq，（β为非零常数）
将
代入上式得到
证明：
思路：归纳法。用k归纳。先证k=1、2时两式成立，再假设 k=m时两式成立，证明k=m+1时也成立。
k
1时，H2 Ap(1)
(H1
p(1) p(1)T p(1) qT (1)
H1q q (1) (1)T H1
q H q (1)T
(1)
1×1
1
) Ap(1)
1×1
Ap(i) A( x(i1) x(i) ) g(i1) g(i) q(i) ,
搜索方向
最速下降法： 共轭梯度法： 牛顿法：
牛顿方向
牛顿方向
是如下问题的解
牛顿法的优缺点
收敛快 －－－ 二次收敛 程序简单
计算量大 －－－ 需要二阶导数 要求高 －－－ 需要二阶导数 需要计算Hesse矩阵，而此矩阵可能非正定， 可能导致搜索方向不是下降方向。
找替代牛顿法的方法
目标： 收敛快 程序简单
f ( x(k ) ) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )( x(k ) x(k1) )
p(k ) : x(k1) x(k) q(k ) : f (x(k1) ) f (x(k) )
q(k ) 2 f (x(k1) ) p(k ) p(k ) 2 f (x(k 1) )1 q(k )
（10.4.16）
DFP算法
容易验证，这样定义校正矩阵 Hk，得到的矩阵
Hk1 Hk
p(k) p(k)T p(k )T q(k )
Hk q(k ) q(k )T Hk （10.4.17） q(k)T Hk q(k )
满足拟牛顿条件(10.4.7)。(10.4.17)式称为DFP公式。
DFP方法的计算步骤：
并用(10.4.14)求出在点x(k+1)出发的搜索方向d(k+1)。
以此类推，直至|| f (x(k) ) || ，
是事先给定的允许误差。
DFP算法
Hk k u(k ) u(k )T kv(k ) v(k )T
p(k ) Hk1q(k )
(Hk
k u(k )u(k )T
v v (k ) (k )T k
yT H j y
( yT p( j) )2 p( j)T q ( j)
( yT H jq( j) )2 q ( j)T H j q ( j)
(10.4.18)
11
因为Hj是对称正定阵，故存在对称正定阵Hj1/2,使得
Hj
H
2 j
H
2 j
.
1
1
令
p
H
2 j
y,
q
H
2 j
q(i
)
,
(10.4.19)
则有 yT H j y pT p, yT H jq(j) pT q,
2
1
5 18
4 2
9
4
, 得到
g2
4 9
8
.
9
9
算出
p(1) x(2) x(1) 1d (1)
根据DFP定义的ΔHk，得
10 9
5 9
,
q(1)
g2
g1
40 9
10 9
,
H2
H1
p(1) p(1)T p(1)T q (1)
H1q (1)q (1)T H1 q (1)T H1q (1)
x(1) x(n1)
p(k ) x(k1) x(k ) q(k ) f ( x(k1) ) f ( x(k ) ) H k H k1 H k H k k : k 1
例10.4.1 用DFP方法求解如下问题：
min 2x12 x22 4x1 2
解：
初始点及初始矩阵分别取为：
x( 1 )
DFP算法的正定性及二次终止性
1、正定性 DFP方法构造的矩阵Hk是对称的正定矩阵
搜索方向 d (k) Hkf (x(k) ) 均为下降方向
每次迭代使函数值有所下降
定理10.4.1 若gi≠0(i=1,2,....,n)，则DFP方法构造的 矩阵Hi(i=1,2,,.....,n)为对称正定矩阵。
d (k) Hkf (x(k) )
然后沿d(k)方向搜索，求步长 k ,满足
f
(x(k)
k d (k) )
min
0
f
(x(k)
k d (k) )
从而确定出后继点 x(k1) x(k) k d (k)
求出点x(k+1)处的梯度 f (x(k1) ) 以及 p(k) 和q(k) ，再利用
(10.4.13)式计算 Hk+1 ，
（10.4.5） （10.4.6）
p(k ) Hk1q(k )
（10.4.7）
1.秩1校正 2.DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法：
秩2校正
3.BFGS(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)公式及Broyden族
H1 I; Hk1 Hk Hk
（5）检验是否满足收敛准则，若 f (x(k1)) 时则停止迭代，
得到点 __
x x(k1)
；否则，进行步骤（6）。
（6）若k=n,则令 x(1) x(k1) ，返回步骤（2）；否则，进行步骤
（7）。
（7）令 gk1 f (x(k1) ), p(k) x(k1) x(k) , q(k) gk1 gk 。利用 （10.4.17）计算Hk+1,令k=k+1，返回步骤（3）。
同时 不需要二阶导数
找： 像牛顿 又不是牛顿 的家伙！！！
基本思想：
用不包含二阶导数的矩阵近似Hesse矩阵的逆。
拟牛顿条件
d (k) 2 f H( xk(k) )1f ( x(k) )
x x d (k1)
(k)
(k ) （10.4.1）
k
首先分析2 f (x(k) )1与一阶导数的关系：
当i=m+1时，因为Ap(m+1)=q(m+1)，代入上式得到
当i<m+1时，有Hm+1Ap(i)=p(i)成立及p(i)TAp(m+1)=0（已证）。在 式（10.4.29）中有 同时，把（10.4.29）中的Ap(i)乘入括号内，则有
2
1
,
H1
1 0
0 1
,
点x=x(x1,x2)T的梯度及在x（1）处的梯度：g
4(x1 1)
2x2
,
4 g1 2 ,
令搜索方向为
d (1)
H1 g1
4 2
从x（1）出发沿d（1）做一维搜索：min 0
f ( x (1) d (1) ),得到λ1=5/18。
令
8
x (2)
x (1)
1d (1)
计 算 步
骤：
重置
x(1) , 0
H1 In , d (1) f ( x(1) ), k 1
Y
f ( x(k) )
x x(k)
N
d (k ) H kf ( x(k ) )
k
arg min 0
f (x(k)
d (k) )
x(k1) x(k ) kd (k )
N
k n?
Y
证明：
思路：归纳法。在DFP方法中H1给定的n阶单位阵，只要假设Hj 是对称正定阵成立，证明Hj也是对称正定阵。
对任意非零量 y Rn ，
yT H j1 y
yT H j y
yT p( j) p( j)T p( j)T q ( j)
yT H j q ( j)q ( j)T H j y q ( j)T H j q ( j)
)q(k )
k u(k )u(k )T q(k ) kv(k )v(k )T q(k ) p(k ) Hkq(k )
令u(k )
p(k )；k
1 u(k )T q(k )
;v(k)
Hk q(k )； k
1 v(k )T q(k )
H k
p(k) p(k)T p(k )T q(k )
Hkq(k) q(k)T Hk q(k )T Hkq(k)
先证k=m+1时（10.4.24）成立。
当1=<i<=m时，有 Hm1Ap(i) p(i) ,
由此得出：p(i)T Ap(m1) p(i)T A(m1Hm1gm1) m1gmT 1Hm1Ap(i)
g p T (i)
m1 m1
m1gmT 1id (i).
(10.4.28)
因为有 gmT 1d (i) 0, i m 1,
在 点x ( k 1) 处 进 行 二 阶Tayl or展 开 ：
f ( x) f ( x(k1) ) f ( x(k1) )( x x(k1) ) 1 ( x x(k1) )T 2 f ( x(k1) )( x x(k1) )