最优化牛顿法
牛顿法无约束最优化证明
牛顿法无约束最优化证明牛顿法是一种常用的非线性优化方法，它通过逐步逼近最优解来求解无约束最优化问题。
本文将介绍牛顿法的数学原理及其证明过程。
首先，我们考虑一个无约束的最优化问题，即：min f(x)其中，f(x)为目标函数，x为优化变量。
我们的目标是找到一个x，使得f(x)最小。
牛顿法的基本思想是通过求解目标函数的局部二次近似来逐步逼近最优解。
具体来说，我们首先选取一个初始点x0，然后利用目标函数的一、二阶导数信息，计算出目标函数在x0处的局部二次近似：f(x) ≈ f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 其中，f(x0)为目标函数在x0处的梯度，H(x0)为目标函数在x0处的黑塞矩阵。
我们将局部二次近似表示为：Q(x) = f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 然后，我们将Q(x)的导数置为零，得到如下方程：H(x0)·(x-x0) = -f(x0)接着，我们解出上述方程的解x1，将x1作为新的近似点，重复上述步骤，迭代求解，直到收敛于最优解。
接下来，我们来证明牛顿法的收敛性。
我们假设目标函数f(x)满足如下条件：1. f(x)是二次可微的凸函数。
2. H(x)是正定的。
在这种情况下，我们可以证明牛顿法是线性收敛的。
具体来说，设xk为牛顿法第k次迭代的近似解，x*为最优解，则有：f(xk+1) - f(x*) ≤ C·(f(xk) - f(x*))2其中，C>0是一个常数。
这个式子表明，每次迭代后，算法的误差都会平方级别的减小。
证明过程比较复杂，需要利用函数的泰勒展开式、中值定理等工具。
具体证明过程可以参考相关数学文献。
综上所述，牛顿法是一种有效的无约束最优化方法，其收敛速度较快，但需要满足一定的条件才能保证收敛性。
最优化理论方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。
由泰勒展开式： ()()()()()Tk k k k fx f x x x f x x x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0Tk k d g <的方向k d 是下降方向。
当α取定后，Tk k d g 的值越小，即T kk d g -的值越大，函数下降的越快。
由Cauchy-Schwartz 不等式：T k k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，Tk k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。
最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法在数学中，优化是一个非常重要的研究领域，其目的是找到使某个函数达到最大或最小值的变量集合。
在实际应用中，很多问题都可以转化为优化问题，如机器学习、经济学、物理学等。
在优化领域中，牛顿法和拟牛顿法是两种常见的方法。
本文将介绍这两种优化方法的基本原理、优缺点以及应用场景。
一、牛顿法牛顿法（Newton's method）是由数学家牛顿发明的非线性优化方法，其思想是利用函数的泰勒级数展开进行逼近。
具体来说，牛顿法先求出目标函数的一阶和二阶导数，然后使用二阶导数来逼近目标函数本身，进而得到近似最优解。
牛顿法的数学公式如下：$$\boldsymbol{x}_{k+1}= \boldsymbol{x}_{k} -{\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)^{-1}}\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$$其中，$\boldsymbol{x}_k$ 表示第 $k$ 次迭代的解，$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$ 和$\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)$ 分别表示目标函数在$\boldsymbol{x}_k$ 处的一阶和二阶导数。
牛顿法的优点是收敛速度非常快，通常只需要很少的迭代次数即可达到最优解。
另外，牛顿法适用于连续可微、二阶可导的函数，因此适用范围广。
然而，牛顿法也存在一些缺点，例如无法处理不可导或一阶可导但二阶不可导的函数。
此外，牛顿法需要计算目标函数的二阶导数，因此在大规模问题上计算成本很高。
二、拟牛顿法拟牛顿法（quasi-Newton method）是一类基于牛顿法的优化算法，它通过逼近目标函数的海森矩阵来求解。
拟牛顿法没有计算海森矩阵的显式表达式，而是通过估计海森矩阵的变化来逼近。
最简单和最流行的拟牛顿法是BFGS算法和L-BFGS算法。
lm算法牛顿法
lm算法牛顿法牛顿法和高斯-牛顿法都是最优化算法，它们通过多轮迭代逐步逼近最优解。
而LM 算法（Levenberg-Marquardt算法）是这两种算法的一种改进，旨在解决高斯-牛顿法在矩阵非正定时可能出现的问题。
以下是对这三种算法的简要介绍：1.牛顿法：牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
它使用函数f 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿法可以被用来找寻函数的最大值或最小值，这需要将函数的一阶导数设为零并求解，或者将函数的二阶导数设为零并求解以寻找拐点。
牛顿法在求解非线性最优化问题时也非常有效，特别是当问题的局部最优解是全局最优解时。
然而，当问题的维数增加时，计算二阶导数（即Hessian矩阵）可能会变得非常复杂和耗时。
2.高斯-牛顿法：高斯-牛顿法是牛顿法的一个变种，它专门用于求解非线性最小二乘问题。
在每一步迭代中，它使用雅可比矩阵（而不是Hessian矩阵）来逼近函数的Hessian矩阵，从而避免了直接计算二阶导数。
然而，高斯-牛顿法的收敛性依赖于初始值的选取和问题的性质。
如果初始值选取不当或者问题存在多个解，那么高斯-牛顿法可能会收敛到错误的解或者根本不收敛。
3.LM算法：LM算法是结合了梯度下降法和高斯-牛顿法的一种优化算法。
它通过引入一个阻尼因子来调整迭代步长，从而在高斯-牛顿法的基础上增加了算法的稳健性。
当阻尼因子较大时，LM算法更接近于梯度下降法，具有全局收敛性；当阻尼因子较小时，LM算法更接近于高斯-牛顿法，具有快速局部收敛性。
因此，LM算法可以在一定程度上解决高斯-牛顿法在矩阵非正定时出现的问题。
总的来说，这三种算法都是用于求解最优化问题的重要工具，它们各有优缺点并适用于不同类型的问题。
在实际应用中，需要根据问题的性质和需求选择合适的算法进行求解。
最优化牛顿法
Step 1. 给定初始点x0 ,正定矩阵H0 ,精度 0，k : 0
Step 2. 计算搜索方向d k H kf ( x k );
step 3. 令 x k1 x k tk d k , 其中 tk : f ( x k tk d k ) min f ( x k t d k )。
(sk Hk yk
Hk )T yk
yk
)T
SR1校正：H k1
Hk
(sk
H k yk )(sk H k (sk H k yk )T yk
yk )T
SR1校正具有二次终止性， 即对于二次函数，它不 需要线搜索，
而具有n步终止性质 H n G 1 .
定理
设s0 , s1 ,
,
s
n
线性无关，那么对二次
满足上述方程的解很多 ，我们可以如下确定一 组解：
k uk ukT yk sk kvkvkT yk Hk yk
这样，我们可以取：
uk sk ,
k ukT y k 1,
vk H k y k , k vkT y k 1。
即：
uk sk , vk Hk yk ,
k
1 skT y k
x k1 x k t k H k f ( x k )
xk1 xk tk Hkf ( xk )
H k I时 梯度法 最速下降方向 d k f ( x k ) , 度量为 x xT I x
H k Gk1时 Newton法 Newton方向 d k Gk1f (xk ), 度量为 x xT Gk x
当Gk 0 时，有 f ( xk )T d k f ( xk )T Gk1gk gkT Gk1gk 0 ,
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
牛顿法求解最优化问题例题
牛顿法求解最优化问题例题牛顿法求解最优化问题，这个听起来很高大上的词儿，其实就像咱们日常生活中的寻宝游戏。
想象一下，咱们在一个美丽的山谷里，四周环绕着高高的山峰，偶尔还会有小溪潺潺流过，鸟儿在树上叽叽喳喳，简直是个世外桃源。
可是，问题来了，咱们想找到最完美的那个地方，那个既能看到日出又能享受夜空的绝佳位置。
就得动动脑筋，想想怎么能最快找到那个地方。
好啦，牛顿法就是这样一种聪明的工具，能帮助我们一步步接近那个理想的位置。
它通过观察地形来决定咱们下一步该往哪个方向走。
这就像在攀登山峰，咱们得看看脚下的路，哪里陡峭，哪里平坦，然后决定脚该落在哪儿。
牛顿法的核心就是这个观察与决策，聪明得让人拍手称赞。
想象一下，你站在山顶，朝着山下的一片开阔地望去，想着：“哎呀，那里真不错！”于是你便开始朝那个方向迈出第一步。
然后呢，牛顿法还特别讲究数学，听起来有点儿复杂，但其实并不难。
简单来说，它借助函数的导数来找到目标点。
这个过程就像你在画一条线，线的倾斜度决定了你下一步走的方向和速度。
数学的魔力在于它能精确地告诉你，哪里是下降最快的地方，哪里是最陡的坡。
这样的判断可真是让人眼前一亮。
生活中也常常有这样的瞬间，咱们在做决定时，恨不得有个指南针指给我们方向，牛顿法正是那种智慧的指南针。
有趣的是，牛顿法并不是总能直达目的地。
走着走着就会发现，哎，这条路可能不是咱想要的，结果反而越走越偏。
像极了生活中的小插曲，不是每一次决定都是正确的，有时还得灵活应变。
就像咱们逛街，看到一家新店，心里想着“去试试吧”，结果发现店里的衣服并不合适，没关系，咱们转身去找下一个宝藏。
牛顿法也有这样的韧性，失败的时候可以重新调整，继续朝着目标前进。
再说说牛顿法的效率，真的是一绝。
它能迅速收敛，像是在山谷里找到一条捷径，省去不少麻烦。
想象一下，咱们在爬山，看到其他人还在兜圈子，自己已经踩到了平坦的地方，心里那个美呀，简直是“心花怒放”。
这种效率让人觉得，牛顿法真的是个了不起的伙伴，仿佛一位资深的向导，把我们带到了最好的位置。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
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H k 1 H k H k
T T H k k uk uk k vk vk
待定： k，k R , uk，vk Rn
根 据 拟Newton条 件 ： H k 1 yk sk， 我 们 有
T T ( H k k uk uk k vk vk ) y k sk T T 即：k uk uk y k k vk vk y k sk 。
3. 算法步骤
step1. 给定初始点x ，精度 0, k : 0
0
step2. 计算gk f ( x k )和Gk 2 f ( x k )
1 当Gk 可逆时，x k 1 x k Gk gk 。
step3. 由方程组Q( x ) gk Gk ( x x k ) 0 解出x k 1
即：
uk s k , vk H k y k ,
k
1 , T sk y k 1
T yk Hk
k
yk
。
根 据 上 述 推导 ， 我 们够 能得 到 H k的DFP的 校 正 公 式： H k 1 H k
T sk sk T sk yk
T H k y k yk Hk T yk Hk yk
DFP校 正 公 式
定理： H0 0 sT yk 0, 则DFP校正可以保证 H k 0。 k
3、DFP算法的步骤；
将变尺度法的第 5 步改为：
step 5. 按照DFP的校正公式： H k 1 H k
T sk sk T sk T H k y k yk Hk T yk Hk yk
SR1校正特点
1. 不需要做线搜索，而具 有二次终止性。
2. 具有遗传性质 H i y j s j , j i . 3. 不保证 H k 0, 只有（sk H k yk )T yk 0时，才正定。
H k 的确定。
四、DFP算法
1. DFP算 法 的 提 出 ： （1） 1959年Davidon首 次 提 出 （2） 1963年Fletcher和Powell做 了 改 进 （3） 多 变 量 无 约 束 优 化 问 的 题一 个 重 要 工 作
x k 1 x k t k H k f ( x k ) H k I时 梯度法 最速下降方向 d k f ( x k ) , 度量为 x xT I x
H k Gk1时 Newton法 Newton方向 d k Gk1f ( x k ), 度量为 x xT Gk x
0.26154 , s0 x x 1.04616
1 0
0.52308 。 y0 f ( x ) f ( x ) g1 g 0 8.36923
1 0
按照DFP的校正公式： H1 H 0
T s0 s0 T s0
No : 转step 5 。
step 5. 令 g k 1 f ( x k 1 ) , g k f ( x k ) ,
y k f ( x k 1 ) f ( x k ) g k 1 g k , s k x k 1 x k 。
按照校正公式 H k 1 H k H k , 计算H k 1使得H k 1满足 拟Newton条件 或拟Newton方程：H k 1 y k sk 。 令 k : k 1， 转step 2.
2 1 1 1 1
因为 f ( x 2 ) 0，所以 x 2是极小点。
五、BFGS 校正( Broyden Fletcher Goldfard Shanno ,1970)
满 足 上 述 方 程 的 解 很， 多我 们 可 以 如 下 确 定组 一解 ：
T k uk uk y k sk T k vk vk yk Hk yk
这样，我们可以取： uk sk , vk H k y k ,
T k uk y k 1, T k vk y k 1。
yk
计算 H k ， k : k 1 , 转 step 2.
例. 请用DFP算法求解min f ( x )
2 x1 解：取H 0 I , f ( x ) 8x 。 2 第一步DFP 算法与梯度法相同： 1 2t ， 因为 x tf ( x ) 1 8t
一、Newton 法
1. 问题
min f ( x ) xR
n
f ( x )是R 上二次连续可微函数 即f ( x ) C ( R )
2 n
n
2. 算法思想 0 1 k k 1 x x x x
为了由x 产生x
k k 1
，用二次函数Q( x )近似f ( x )。
f ( x ) Q( x ) f ( x k ) f ( x k )T ( x x k ) 1 k T 2 k k ( x x ) f ( x )( x x ) 2 1 k T k k T k f ( x ) g k ( x x ) ( x x ) Gk ( x x ) 2 其中 g k f ( x k )T , Gk 2 f ( x k )。
1 ( x x k 1 )T 2 f ( x K 1 )( x x k 1 ) 2
g( x ) g( x k 1 ) 2 f ( x k 1 )( x x k 1 )
g k g k 1 G k 1 ( x k x k 1 )
1 k 1 k Gk ( g g ) x x , 这样我们想到 1 k 1 k H k 1 ( g k 1 g k ) x k 1 x k 。
y0
T H 0 y 0 y0 H0 T y0 H0 y0
1.00380 0.03149 。 0.03149 0.12697
1
1.49416 。 搜索方向d H 1f ( x ) 0.09340
1
0.0000 。 x x t1d x 0.49423d 0.0000
（2） 初始点的选取困难，甚至无法实施。
(3)
1 Gk 的存在性和计算量问题。
问题一： 如何使得 f ( x k 1 ) f ( x k ) ?
在Newton 法中，有
1 x k 1 x k Gk gk x k d k
1 1 当Gk 0 时， 有 f ( x k )T d k f ( x k )T Gk g k g k T Gk gk 0 ,
称Newton法为变尺度算法。
3.
如何对H k 附加某些条件使得： （1）迭代公式具有下降性质 （2）H k 的计算量要小 （3）收敛速度要快
Hk 0
H k 1 H k H k ( H k H k 1 H k )
1 H k Gk
1 如何保证 H k 0和H k G k ?
SR1校正： H k 1
( sk H k y k )( sk H k y k )T Hk ( s k H k y k )T y k
SR1校正具有二次终止性， 即对于二次函数，它不 需要线搜索， 而具有n步终止性质H n G 1 .
定理 设s0 , s1 ,, sn1线性无关，那么对二次 函数，SR1校正 方法至多 n步终止，即H n G 1 .
二、拟Newton 算法
1. x
k 1 k 1 k
( 变尺度法 )
k
先考虑Newton迭代公式： x G f ( x )
在Newton 迭代公式中，如果我们用
1 正定矩阵H k 替代G k ，则有：
x k 1 x k H k f ( x k )
2. 考虑更一般的形式： x k 1 x k t k H k f ( x k )
当Gk 0 时， d k 是下降方向。
如果对Newton法稍作修正： x k 1 x k t k d k t k : f ( x k t k d k ) min f ( x k t d k )
则有：f ( x k 1 ) f ( x k ) 。
问题二： 如何克服缺点（ 2）和（ 3）?
uk 必在sk H k yk 上。 假定sk H k yk （否则， 0 H k已满足拟牛顿条件）
T ( s H y ) v T 则有 v k yk 0 H k 1 H k k T k k k v k yk ( sk H k y k )( sk H k y k )T 要求 H k 对称 H k 1 H k ( s k H k y k )T y k
H k 的确定。
三、对称秩一校正（ SR1）
如何确定 H k？ 秩1校正法
T H k 1 H k H k H k uk vk
待定：uk，v k R n
T 由拟牛顿条件H k 1 yk ( H k uk vk ) yk sk T uk vk y k sk H k yk
step 3. 令 x k 1 x k t k d k , 其中 t k : f ( x k t k d k ) min f ( x k t d k )。
Step 1. 给定初始点 x 0 ,正定矩阵 H0 ,精度 0，k : 0
Step 4. 判断 x k 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, x * : x k 1
记y k g k 1 g k , sk x k 1 x k , 则有
H k 1 yk sk 拟Newton条件或拟 Newton方程。
4、 拟Newton算 法 ( 变 尺 度 法 )的 一 般 步 骤 ；