牛顿法和拟牛顿法
拟牛顿法算法步骤
拟牛顿法算法步骤拟牛顿法（Quasi-Newton method）是一种求解无约束优化问题的数值优化算法。
与牛顿法类似，拟牛顿法在每一步都尝试找到目标函数的一阶或二阶导数的最小值。
然而，与牛顿法需要计算目标函数的二阶导数不同，拟牛顿法通过估计目标函数的Hessian矩阵来近似二阶导数。
以下是拟牛顿法算法的步骤：1. 初始化：选择初始点x_0和近似的Hessian矩阵H_0（通常选择单位矩阵I）。
设定迭代终止条件，包括最大迭代次数和目标函数值收敛阈值。
2.迭代计算：对于每一次迭代k，计算当前点的梯度g_k=∇f(x_k)。
3.判断终止条件：检查终止条件，包括梯度范数的大小和目标函数值的收敛性。
如果满足终止条件，则算法结束，返回当前点x_k作为近似的最优解。
否则，继续下一步。
4. 方向计算：计算当前点的方向d_k。
拟牛顿法的一个核心思想是通过近似Hessian矩阵来更新方向。
常用的方向选择是d_k = -H_k*g_k。
5.步长计算：选择合适的步长α_k。
步长的选择可以使用线或精确线来求解，确定使得目标函数值减小的最佳步长。
6.更新：对于下一次迭代k+1，更新当前点x_k+1=x_k+α_k*d_k。
7. 修正：根据拟牛顿法的思想，通过计算当前点和上一次迭代点的参数更新量来修正近似的Hessian矩阵H_k。
常用的修正方法是BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）或DFP（Davidon-Fletcher-Powell）。
8.返回第2步：回到第2步继续迭代计算，直到满足终止条件。
拟牛顿法的优点是避免了计算目标函数的二阶导数，节省了计算量，并且避免了计算不可行或无效的Hessian矩阵的情况。
另外，拟牛顿法还能够处理非线性和非凸优化问题。
需要注意的是，拟牛顿法也有一些局限性。
首先，由于需要存储和更新近似的Hessian矩阵，算法的内存消耗较大。
其次，近似Hessian矩阵的计算可能受到噪声或不可靠的梯度信息的影响，导致方向的不准确性。
牛顿法和拟牛顿法
解：
f x1
26
x1
x2
22
3 x1
3 x2
x1 x2 3
x2
f x2
26
x1
x2
2 2 3 x1
3x2
x1 x2 3
x1
故
f x1 x 4,6T
344,
f x2
x 4,6T
56,
f
(
x1
)
344 56
.
2 f x12
2 23
x2 2 ,
2 f x22
在确定拟牛顿方程式的Hk+1时，若矩阵Hk+1对称，则需 要待定（n+n2)/2个未知数，n个方程，所以拟牛顿方程 一般有无穷个解，故由拟牛顿方程确定的一族算法，通 常称之为拟牛顿法
拟Newton算法
1、给定初始点x0,正定矩阵H0,精度ε>0,k=0 2、计算搜索方s向k Gk f(x k ) 3、令xk+1=xk+tk.sk,其中
当H 可逆时， k
若 f(x k 1)
,停止x*
xkx+k11=;否xk则-H，k-令1.hk k
k
1,转step2
Step4:
例1. 设 f x 6 x1 x2 2 + 2 3 x1 3 x2 x1 x2 2
求在点 x1 (4, 6)T 处的搜索方向.
分析: 搜索方向
故需要写出 f ( x), 2 f ( x) 的表达式.
Sk
-H
1 k
hk
k 1
其中
H k 2f(x(k )) hk f(x(k ))
1.牛顿法几何解释
几何直观解释：最密切的二次曲线逼近
牛顿法和拟牛顿法
重置 否
x (1 ) = x ( n + 1 )
例4.13：用DFP方法求解 min 2 x + x − 4 x1 + 2
2 1 2 2
初始点x
(1)
2 1 0 = , H1 = 1 0 1
λ1 =
5 18
2 1
8 9 4 9
SQP方法
• 良好的性质 • 广泛应用 • 与Lagrange-Newton 法的关系
总结
简单的“拟”可以 是革命性的进步!
1 v
( k )T
q (k )
∆H k =
p
(k )
⋅p
( k )T (k )
p
( k )TΒιβλιοθήκη q−Hkq q
(k )
⋅q
( k )T
Hk
( k )T
Hkq
(k )
计 算 步 骤：
x (1 ) , ε > 0
H1 = I n , d (1) = −∇f ( x(1) ), k = 1
∇f ( x ( k ) ) < ε
p ( k ) := x ( k +1) − x ( k ) ⇓ q ( k ) := ∇f ( x ( k +1) ) − ∇f ( x ( k ) ) q
(k )
≈ ∇ f (x
2
( k +1)
)p
(k )
p ( k ) = H k + 1q ( k )
p ( k ) ≈ ∇ 2 f ( x ( k +1) ) −1 q ( k )
FletcherDavidon(1959), Fletcher-Powell(1963) DFP 方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6function y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4tol =1.0e-5;endn =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0c =(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)a = c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b = c;c =(a+b)/2;elsey = c;tol =100;endn = n +1;endy = c;elseif feval(fun,a)==0y = a;elseif feval(fun,b)==0y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');endnfunction y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;function y =dfun(x)y =3* x^2-5;下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解
如何在Matlab中进行迭代优化和迭代求解引言：Matlab是一种非常强大和流行的数值计算软件，广泛应用于工程、科学和数学等领域。
在问题求解过程中，迭代优化和迭代求解是常常使用的技术。
本文将介绍如何在Matlab中利用迭代方法进行优化和求解，以及相关的技巧和应用。
一、什么是迭代优化和迭代求解迭代优化指的是通过多次迭代，逐步接近优化问题的最优解。
常用的迭代优化方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
迭代求解则是通过多次迭代，逐步逼近方程或问题的解，常用的迭代求解方法有牛顿迭代法、弦截法、二分法等。
二、迭代优化的基本原理与方法1. 梯度下降法（Gradient Descent）:梯度下降法是一种常用的迭代优化方法，用于寻找函数的极小值点。
其基本原理是通过计算函数对各个变量的偏导数，从当前点开始沿着负梯度的方向迭代更新，直至达到最小值。
在Matlab中，可以利用gradient函数计算梯度向量，并通过循环迭代实现梯度下降法。
2. 牛顿法（Newton's Method）:牛顿法是一种迭代优化方法，用于求解非线性方程的根或函数的极值点。
其基本思想是利用函数的局部线性近似，通过求解线性方程组来得到函数的极值点。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来实现牛顿法。
3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）:拟牛顿法是一类迭代优化方法，主要用于求解无约束非线性优化问题。
其基本思想是通过构造逼近目标函数Hessian矩阵的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式或拟牛顿方法中的其他公式，来估计目标函数的梯度和Hessian矩阵。
在Matlab中，可以利用fminunc函数，并设置算法参数来实现拟牛顿法。
三、迭代求解的基本原理与方法1. 牛顿迭代法（Newton's Method）：牛顿迭代法是一种常用的迭代求解方法，用于求解方程或问题的根。
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Hk k z(k) z(k)T
p(k ) H k1q(k )
(Hk k z(k)z(k)T )q(k)
z(k)
p(k) Hkq(k)
k z(k)T q(k)
秩为 1
k (z(k)T q(k) )2 q(k)T ( p(k) Hkq(k) )
0? Hk
( p(k)
Hkq(k ) )( p(k ) Hkq(k ) )T q(k)T ( p(k) Hkq(k) )
例4.13：用DFP方法求解
min 2x12 x22 4x1 2
初始点x(1)
2 1,
H1
1 0
0 1
2 1
1
5 18
8
9 4
9
1
17 36
1 86 38 H2 306 38 305
1 0
DFP法具有二 次终止性！
定理 : 若f (x(k) ) 0(k 1,...,n), 则DFP方法构造的Hk 0.
d (k ) H kf ( x(k ) ) f ( x(k ) )T d (k ) 0
搜索方向为下降方向
定理
设用DFP方法求解正定二次函数
min f (x) 1 xT Ax bT x c 2
任取x(1)，令H1 0 共轭 则 p(i)T AAp(i) p(i) 1 i k n
其中p(i) x(i1) x(i) id (i)
DFP法具有二次终止性！ H n1 A1
BFGS公式
p(k ) H k1q(k )
DFP公 式
H k
p(k) p(k)T p(k )T q(k )
Hkq(k) q(k)T Hk q(k)T H kq(k )
q(k ) Bk 1 p(k )
是
f ( x(k) )
x x(k)
否
d (k ) H kf ( x(k ) )
k
arg min 0
f (x(k)
d (k) )
x(k1) x(k ) kd (k )
是
kn
否
x(1) x(n1)
p(k ) x(k1) x(k ) q(k ) f ( x(k1) ) f ( x(k ) ) H k H k1 H k H k k : k 1
式
H BFGS k1
Hk
(1
q( k )T p(k
Hkq(k) q )T (k )
)
p(k)T p(k) p(k)T q(k)
p(k)q(k)T Hk Hkq(k) p(k)T p(k)T q(k)
p(k ) ,q(k ) 互换
Bk
q(k ) q(k)T q(k )T p(k )
Bk p(k ) p(k )T Bk p(k )T Bk p(k )
BFGS修正公式
Bk1 Bk Bk
H k 1
B 1 k 1
(
M
uv T
)1
M
1
M 1uv T M 1 1vT M 1u
ShermanMorrison公
牛顿法和拟牛顿法
无约束优化问题
线搜索方法
• dk ：搜索方向 （下降就可）： dk ▽f(xk) < 0
• αk ： 搜索步长： 1） 精确搜索： f(x＋αd ) 达到最小 2） Wolfe 搜索： （两个条件）
精确搜索
Wolfe 非精确搜索
Wolfe 非精确搜索
线搜索方法的下降
• 方法收敛之关键：估计 搜索方向与最速下降方向的夹角
在 点x ( k 1) 处 进 行 二 阶Taylor展 开 ：
f ( x) f ( x(k1) ) f ( x(k1) )(x x(k1) ) 1 ( x x(k1) )T 2 f ( x(k1) )(x x(k1) )
2
f ( x) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )(x x(k1) )
f ( x(k) ) f ( x(k1) ) 2 f ( x(k1) )(x(k) x(k1) ) p(k ) : x(k 1) x(k ) q(k ) : f (x(k 1) ) f (x(k ) ) q(k ) 2 f (x(k 1) ) p(k )
p(k ) H k1q(k )
注释
• 在一定条件下，收敛且具有二次终止性。 • 无法保证Hk的正定性；即使能，也有可能导致
△Hk无界。
DFP算法
Hk k u(k) u(k)T kv(k) v(k)T
秩为 2
p(k ) H k1q(k )
(Hk k u(k)u(k)T kv(k)v(k)T )q(k)
k u(k )u(k )T q(k ) kv(k)v(k)T q(k) p(k ) Hkq(k)
令u(k )
p(k )；k
1 u(k )T q(k )
;v(k)
Hkq(k )； k
1 v(k )T q(k )
H k
p(k) p(k)T p(k )T q(k )
Hkq(k) q(k)T Hk q(k)T H kq(k )
计 算 步
骤：
重置
x(1) , 0
H1 In , d (1) f ( x(1) ), k 1
p(k ) 2 f ( x(k 1) )1 q(k )
1.秩1校正 2.DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法：
秩2校正
3.BFGS(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)公式及Broyden族
H1 I; Hk1 Hk Hk
校正 矩阵
秩1校正
找替代牛顿法的方法
目标： 收敛快 程序简单
同时 不需要二阶导数
找： 像牛顿 又不是牛顿 的家伙！！！
基本思想：
用不包含二阶导数的矩阵近似Hesse矩阵的逆。
拟牛顿条件
d (k ) 2 f H( xk(k ) )1f ( x(k ) )
x(k1) x(k) kd (k) 首先分析 2 f (x(k) )1与一阶导数的关系：
线搜索方法的收敛性
定理 如果 f(x) 下方有界，如果搜索方向 与最速下降法的夹角不靠近π/2,则由线搜索 方法产生的点列 xk 满足：
|| gk || → 0
搜索方向
最速下降法： 共轭梯度法： 牛顿法：
牛顿方向
牛顿方向
是如下问题的解
牛顿法的优缺点
收敛快 －－－ 二次收敛 程序简单
计算量大 －－－ 需要二阶导数 要求高 －－－ 需要二阶导数 需要计算Hesse矩阵，而此矩阵可能非正定， 可能导致搜索方向不是下降方向。