牛顿法和拟牛顿法
broyden 法 -回复
broyden 法-回复关于Broyden法的原理和应用。
Broyden法是一种迭代法，用于求解非线性方程组的数值解。
它是通过近似逆Jacobi矩阵的方法，在每一次迭代中更新Jacobi矩阵的逆矩阵，从而更新模型中的解向量。
该方法被广泛应用于各个领域，包括数学建模、物理学、工程学等。
Broyden法的原理是基于牛顿法和拟牛顿法的思想。
在牛顿法中，我们通过不断迭代求解线性化的方程组来逼近方程的解。
拟牛顿法则是通过近似Hessian矩阵的逆矩阵来更新解向量。
Broyden法则是基于拟牛顿法，但使用Jacobi矩阵的逆矩阵（即Broyden矩阵）来更新解向量。
假设我们要求解的非线性方程组为F(x) = 0，其中x为未知量向量，F(x)为方程组的函数向量。
初始解向量x0可以通过任意方法选择。
使用Broyden法求解该方程组的过程如下：1. 初始化：选择初始解向量x0和对应的函数向量F(x0)，并计算初始Jacobi矩阵的逆矩阵B0。
2. 迭代计算：对于每一次迭代k，假设我们已经有了解向量xk和对应的函数向量F(xk)。
我们首先计算增量向量dk，使得F(xk+dk) = 0。
具体计算方法为：dk = -Bk * F(xk)。
其中Bk为Jacobi矩阵的逆矩阵。
3. 更新解向量：通过计算得到的增量向量dk更新解向量xk+1 = xk + dk。
4. 更新Jacobi矩阵的逆矩阵：通过计算得到的解向量增量dk和函数向量增量dF = F(xk+1) - F(xk)来更新Jacobi矩阵的逆矩阵Bk+1 = Bk + (dF - Bk * dk) * dk' / (dk' * dk)。
5. 判断停止条件：如果满足停止条件（如收敛到某个精度要求或达到最大迭代次数），则停止迭代。
否则，回到步骤2。
Broyden法的优点在于它的收敛速度相对较快，同时也不需要计算Hessian矩阵的逆矩阵。
这使得Broyden法在求解大型非线性方程组时非常适用。
拟牛顿法算法步骤
拟牛顿法算法步骤拟牛顿法（Quasi-Newton method）是一种求解无约束优化问题的数值优化算法。
与牛顿法类似，拟牛顿法在每一步都尝试找到目标函数的一阶或二阶导数的最小值。
然而，与牛顿法需要计算目标函数的二阶导数不同，拟牛顿法通过估计目标函数的Hessian矩阵来近似二阶导数。
以下是拟牛顿法算法的步骤：1. 初始化：选择初始点x_0和近似的Hessian矩阵H_0（通常选择单位矩阵I）。
设定迭代终止条件，包括最大迭代次数和目标函数值收敛阈值。
2.迭代计算：对于每一次迭代k，计算当前点的梯度g_k=∇f(x_k)。
3.判断终止条件：检查终止条件，包括梯度范数的大小和目标函数值的收敛性。
如果满足终止条件，则算法结束，返回当前点x_k作为近似的最优解。
否则，继续下一步。
4. 方向计算：计算当前点的方向d_k。
拟牛顿法的一个核心思想是通过近似Hessian矩阵来更新方向。
常用的方向选择是d_k = -H_k*g_k。
5.步长计算：选择合适的步长α_k。
步长的选择可以使用线或精确线来求解，确定使得目标函数值减小的最佳步长。
6.更新：对于下一次迭代k+1，更新当前点x_k+1=x_k+α_k*d_k。
7. 修正：根据拟牛顿法的思想，通过计算当前点和上一次迭代点的参数更新量来修正近似的Hessian矩阵H_k。
常用的修正方法是BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）或DFP（Davidon-Fletcher-Powell）。
8.返回第2步：回到第2步继续迭代计算，直到满足终止条件。
拟牛顿法的优点是避免了计算目标函数的二阶导数，节省了计算量，并且避免了计算不可行或无效的Hessian矩阵的情况。
另外，拟牛顿法还能够处理非线性和非凸优化问题。
需要注意的是，拟牛顿法也有一些局限性。
首先，由于需要存储和更新近似的Hessian矩阵，算法的内存消耗较大。
其次，近似Hessian矩阵的计算可能受到噪声或不可靠的梯度信息的影响，导致方向的不准确性。
牛顿法和拟牛顿法
解：
f x1
26
x1
x2
22
3 x1
3 x2
x1 x2 3
x2
f x2
26
x1
x2
2 2 3 x1
3x2
x1 x2 3
x1
故
f x1 x 4,6T
344,
f x2
x 4,6T
56,
f
(
x1
)
344 56
.
2 f x12
2 23
x2 2 ,
2 f x22
在确定拟牛顿方程式的Hk+1时，若矩阵Hk+1对称，则需 要待定（n+n2)/2个未知数，n个方程，所以拟牛顿方程 一般有无穷个解，故由拟牛顿方程确定的一族算法，通 常称之为拟牛顿法
拟Newton算法
1、给定初始点x0,正定矩阵H0,精度ε>0,k=0 2、计算搜索方s向k Gk f(x k ) 3、令xk+1=xk+tk.sk,其中
当H 可逆时， k
若 f(x k 1)
,停止x*
xkx+k11=;否xk则-H，k-令1.hk k
k
1,转step2
Step4:
例1. 设 f x 6 x1 x2 2 + 2 3 x1 3 x2 x1 x2 2
求在点 x1 (4, 6)T 处的搜索方向.
分析: 搜索方向
故需要写出 f ( x), 2 f ( x) 的表达式.
Sk
-H
1 k
hk
k 1
其中
H k 2f(x(k )) hk f(x(k ))
1.牛顿法几何解释
几何直观解释：最密切的二次曲线逼近
求解非线性方程和方程组的一些新方法
求解非线性方程和方程组的一些新方法求解线性方程分为两种方法–二分法和迭代法常见的方法一共有5种二分法迭代法牛顿法割线法拟牛顿法Halley法使用条件二分法需要知道两个自变量，分别是一个根的两侧牛顿法迭代法是最常用的方法，收敛性信赖于初值，取不同的初值可以的方程不同的根，函数用的是一阶导数，输入的是一个猜想的可能的值割线法给定两个初值再带入计算,比如要在2附近求一个根，那就可以假设这个范围是（1.9，2）拟牛顿法这个比较方便，用时最好可以找到一个好的初始值Halley法需要知道函数值以及它的一阶求导、二阶求导这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
二分法基本函数是这样子的：y = dichotomy(fun,a,b,tol)；二分法的算法要输入四个变量，fun,a,b,tol：函数，一个根的左右点，tol=1.0e-6function y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;上面这个就是定义的fun，每次的输入的方程不同，第一条不动，直接改第二行就可以的。
比如这里我们要计算的方程y = x^3 - 5 * x + 4.272;我们是可以通过简单计算得到一个根的两侧分别是1和1.3那在窗口指令指令中输入x=dichotomy(’fun‘,1,1.3,1.0e-6)就可以得到结果function y =dichotomy(fun,a,b,tol)if nargin <4tol =1.0e-5;endn =1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<0c =(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)*feval( fun,a)>0)a = c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b = c;c =(a+b)/2;elsey = c;tol =100;endn = n +1;endy = c;elseif feval(fun,a)==0y = a;elseif feval(fun,b)==0y = b;elsedisp('there may not be a root in the interval');endnfunction y =fun(x)y = x^3-5* x +4.272;牛顿法还是用刚才那道题，y = x^3 - 5 * x + 4.272，一阶导是y = 3 * x^2 - 5;function y =dfun(x)y =3* x^2-5;下面的是具体的算法，根据x = newton(x0,tol)，我们只需要输入一个我们猜想的值就可以。
最优化问题的算法迭代格式
最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。
解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。
本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。
一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。
2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。
二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。
该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。
1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。
2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法是优化算法中的两种经典方法。
其中，牛顿法基于二阶导数信息，拟牛顿法则利用一阶导数信息对牛顿法进行改进。
牛顿法在每次迭代中，通过求解二阶导数矩阵的逆矩阵来更新参数，使得优化目标函数的值尽可能地减小。
这种方法速度快，但需要计算二阶导数，对于大规模问题的计算量就显得十分庞大。
此外，如果二阶导数矩阵不是正定的，则牛顿法可能会陷入不稳定的状态。
拟牛顿法则基于牛顿法的思想，但将二阶导数信息替换为一阶导数信息。
这种方法的优点是可以避免计算二阶导数矩阵，降低了计算复杂度，而且不需要保证矩阵正定性。
拟牛顿法中的BFGS算法是其中最著名的一种，其可以在较短的时间内找到全局最优解。
在实际应用中，牛顿法和拟牛顿法各有优劣，具体选择哪种方法取决于问题本身的特点、数据规模以及计算资源等因素。
- 1 -。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
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重置 否
x (1 ) = x ( n + 1 )
例4.13：用DFP方法求解 min 2 x + x − 4 x1 + 2
2 1 2 2
初始点x
(1)
2 1 0 = , H1 = 1 0 1
λ1 =
5 18
2 1
8 9 4 9
SQP方法
• 良好的性质 • 广泛应用 • 与Lagrange-Newton 法的关系
总结
简单的“拟”可以 是革命性的进步!
1 v
( k )T
q (k )
∆H k =
p
(k )
⋅p
( k )T (k )
p
( k )TΒιβλιοθήκη q−Hkq q
(k )
⋅q
( k )T
Hk
( k )T
Hkq
(k )
计 算 步 骤：
x (1 ) , ε > 0
H1 = I n , d (1) = −∇f ( x(1) ), k = 1
∇f ( x ( k ) ) < ε
p ( k ) := x ( k +1) − x ( k ) ⇓ q ( k ) := ∇f ( x ( k +1) ) − ∇f ( x ( k ) ) q
(k )
≈ ∇ f (x
2
( k +1)
)p
(k )
p ( k ) = H k + 1q ( k )
p ( k ) ≈ ∇ 2 f ( x ( k +1) ) −1 q ( k )
FletcherDavidon(1959), Fletcher-Powell(1963) DFP 方法
DFP公式的逆形式 公式的逆形式
如果 H 是B 的拟矩阵
BFGS公式 公式
方法： 最常用的方法） BFGS 方法： (最常用的方法） Broyden(1970), Fletcher(1970), Goldfarb(1970), Shanno(1970)
H1 = I; H k + 1 = H k + ∆H k
校正 矩阵
秩1校正
∆H k = α k z
p ( k ) = H k + 1q ( k )
(k )
⋅z
( k )T
秩为 1
= (Hk + αk z z
( k ) ( k )T
)q ( k )
(k )
z
(k )
=
p
(k )
− Hkq
( k )T
收敛快 －－－ 二次收敛 程序简单
计算量大 －－－ 需要二阶导数 需要二阶导数 要求高 －－－ 需要二阶导数 需要计算Hesse矩阵，而此矩阵可能非正定， Hesse矩阵 需要计算Hesse矩阵，而此矩阵可能非正定， 能导致搜索方向不是下降方向。 可能导致搜索方向不是下降方向。
找替代牛顿法的方法
目标： 目标： 收敛快 程序简单 同时 不需要二阶导数 找： 的家伙！！！ 像牛顿 又不是牛顿 的家伙！！！
p
−
Bk p p
⋅p
( k )T
Bk
( k )T
Bk p
(k )
BFGS修正公式 BFGS修正公式
Bk +1 = Bk + ∆Bk H k +1 = Bk +1
→ H
BFGS k +1 ( M+uv ) = M −
T −1 −1
−1
M −1uvT M−1 1+vT M −1u
是
x = x(k )
否
d (k ) = − H k∇ f ( x (k ) )
λ k = arg min f ( x ( k ) + λ d ( k ) )
λ ≥0
x (k +1) = x (k ) + λ k d (k )
p (k ) = x (k +1) − x (k )
k<n
是
q (k ) = ∇ f ( x (k +1) ) − ∇ f ( x (k ) ) ∆H k H k +1 = H k + ∆ H k k := k + 1
1.秩 1.秩1校正 2.DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法 2.DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法： 算法： 秩2校正 3.BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb3.BFGS(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)公式及 Shanno)公式及Broyden族 公式及Broyden族
基本思想： 基本思想：
用不包含二阶导数的矩阵近似Hesse矩阵的逆 用不包含二阶导数的矩阵近似Hesse矩阵的逆。 矩阵近似 矩阵的逆。
拟牛顿条件
d
(k )
H k( k ) ) −1 ∇f ( x ( k ) ) = −∇ f ( x
2
x ( k +1) = x ( k ) + λ k d ( k )
1≤ i < j ≤ n 1≤ i ≤ k ≤ n
(i )
−1
H k +1 Ap = p 其中p =x
( i +1)
−x
= λi d
DFP法具有二次终止性！ DFP法具有二次终止性！ H n + 1 = A 法具有二次终止性
BFGS公式 BFGS公式
p ( k ) = H k + 1q ( k )
特 点 Hesse矩阵。 • 不必计算 不必计算Hesse矩阵 矩阵。
• 当Hk>0时，算法产生的方向均为下 >0时 降方向，具有二次终止性。 降方向，具有二次终止性。 • 存储量较大。 存储量较大。
拟牛顿法是无约束最优化方法 拟牛顿法是无约束最优化方法 最有效的一类算法。 中最有效的一类算法。
拟牛顿公式
q
经验表明，比DFP公式好。 公式好。 经验表明， DFP公式好
Broyden族 Broyden族
H k + 1 = (1 − φ ) H
φ
DFP k +1
+ φH
BFGS k +1
=H
其中 v ( k ) = ( q
( k )T
DFP k +1
+ φv v
( k ) ( k )T
Hkq
1 (k ) 2
(k )
)
⇒ ∇ f ( x ( k ) )T ⋅ d ( k ) < 0
搜索方向为下降方向
定理 设用DFP方法求解正定二次函数 1 T T min f ( x) = x Ax + b x + c 2 (1) 任取x ，令H1 > 0 共轭 则 p
(i ) (i )T
Ap
( j) (i)
=0
(i) (i )
λ1 =
H2 =
17 36
1 86 − 38 306 − 38 305
1 0
DFP法具有二 DFP法具有二 次终止性！ 次终止性！
定理 : 若∇f ( x ) ≠ 0(k = 1,..., n),
(k )
则DFP方法构造的H k > 0.
d
(k )
= − H k∇f ( x
+ βkv v
( k ) ( k )T
)q ( k )
αku u
(k )
( k )T
q
(k )
+ βkv v
1 u
( k )T
( k ) ( k )T
q( k ) = p( k ) − H k q( k )
= − H kq ；β k =
(k )
令u
(k )
= p ；αk =
(k )
q
(k )
;v
(k )
SR1公式 公式
对称秩一方法
非对称秩一公式
优点： 优点：克服对称秩一方法的分母为零的困难 缺点： 缺点： 不对称
PSB公式 公式
Powell 对称化技巧： 对称化技巧： 交替利用 秩一方法
和 对称化
有限内存拟牛顿法
约束问题的拟牛顿法
SQP方法 方法
目标函数是LAGRANGE 目标函数是LAGRANGE 函数的近似
αk z
( k )T
q(k )
− Hkq
(k )
αk (z
( k )T
q
(k ) 2
) =q
(p
(k )
)
∆H k =
( p ( k ) − H k q ( k ) )( p ( k ) − H k q ( k ) )T q
( k )T
(p
(k )
− Hkq
(k )
)
> 0?
注释 • 在一定条件下，收敛且具有二次终止性。 在一定条件下，收敛且具有二次终止性。
首先分析 ∇ f ( x ) 与一阶导数的关系：
2
( k ) −1
展开： 在点 x ( k +1) 处进行二阶 Taylor展开： 1 f ( x ) ≈ f ( x ( k +1) ) + ∇f ( x ( k +1) )( x − x ( k + 1) ) + ( x − x ( k + 1) )T ∇ 2 f ( x ( k +1) )( x − x ( k + 1) ) 2 ⇓
p( k ) H k q(k ) ) − p ( k )T q ( k ) q ( k )T H q ( k ) k