【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件：第一章 导数及其应用 2、1-2-2-1
合集下载
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件：第一章 导数及其应用 2、1-1-2
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概念、瞬
时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段时间内的平均速度当 Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导 数．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[例2] 求函数y＝x2在点x＝3处的导数． [分析] 利用导数定义求导． [解析] (1)求y在点x＝3处的增量．
[答案] －2A
人 教 A 版 数 学
f(x0－2Δx)－f(x0) [解析] liΔm x→0 Δx f[x0＋(－2Δx)]－f(x0) ＝－2liΔm ＝－2A. x→0 －2Δx
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[例 4] s)
若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
人 教 A 版 数 学
由导数的意义可知，求函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数的 方法是：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy f(x0＋Δx)－f(x0) (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)Δx 趋近于 0 时，若Δx趋近于一个常数，则这个常 数就是函数在该点处的导数．
(3)t＝4时，物体的速度v(4)．
[解析] (1)s(4)＝43＋3＝67.
(2)t＝2 到 t＝4 的平均速度为
3 3 Δs s(4)－s(2) 4 ＋3－2 －3 64－8 ＝ ＝ ＝ ＝28. Δt 2 2 4－2
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
3 3 (4 ＋ Δ t ) ＋ 3 － (4 ＋3) Δs (3)∵ ＝ Δt Δt
1－ 1＋Δx －Δx ＝ ＝ ， 1＋Δx 1＋Δx· (1＋ 1＋Δx) －1 Δy ∴Δx＝ ， 1＋Δx· (1＋ 1＋Δx) Δy ∴liΔm x→0 Δx＝liΔm x→0 －1 1＋Δx· (1＋ 1＋Δx)
高中数学人教A版选修2-2课件：1.2.1几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
x������������5
x5
Байду номын сангаас
.
题型一
题型二
题型三
反思求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较复杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初 等函数,再选择合适的求导公式求解.
题型一
题型二
题型三
2 (3)y'=(������ 3 )′
2 2 -1 2 -1 2 3 3 = ������ = ������ = 3 . 3 3 3 x 2 2 - 2- 1 2 -5 (4)y'=(x 3 )′ = − ������ 3 = − ������ 3 = 3 3
−
2 3
3
(5)y'=(3x)'=3xln 3. 1 (6)y'=(log5x)'= .
1 . 10ln10
反思求函数在某一点处的导数,需要先对原函数进行求导,再将 变量值代入导函数求解.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 过原点作曲线y=ex的切线,求切点的坐标及切线 的斜率. 解:因为(ex)'=ex,设切点坐标为(x0, e������ 0 ), 则过该切点的直线的斜率为e������ 0 , 所以所求切线方程为 y−e������ 0 = e������ 0 (������ − ������0). 因为切线过原点,所以 − e������ 0 = −������0 ·e������ 0 , ������0 = 1. 所以切点坐标为(1,e),斜率为 e.
题型一
题型二
题型三
导数的综合应用 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐 标原点,试在直线AB下方的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大. 分析:解答本题的关键是寻求到直线x+2y-4=0的距离最大的点P, 可考虑用切线或直接用点到直线的距离公式求解.
x5
Байду номын сангаас
.
题型一
题型二
题型三
反思求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较复杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初 等函数,再选择合适的求导公式求解.
题型一
题型二
题型三
2 (3)y'=(������ 3 )′
2 2 -1 2 -1 2 3 3 = ������ = ������ = 3 . 3 3 3 x 2 2 - 2- 1 2 -5 (4)y'=(x 3 )′ = − ������ 3 = − ������ 3 = 3 3
−
2 3
3
(5)y'=(3x)'=3xln 3. 1 (6)y'=(log5x)'= .
1 . 10ln10
反思求函数在某一点处的导数,需要先对原函数进行求导,再将 变量值代入导函数求解.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 过原点作曲线y=ex的切线,求切点的坐标及切线 的斜率. 解:因为(ex)'=ex,设切点坐标为(x0, e������ 0 ), 则过该切点的直线的斜率为e������ 0 , 所以所求切线方程为 y−e������ 0 = e������ 0 (������ − ������0). 因为切线过原点,所以 − e������ 0 = −������0 ·e������ 0 , ������0 = 1. 所以切点坐标为(1,e),斜率为 e.
题型一
题型二
题型三
导数的综合应用 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐 标原点,试在直线AB下方的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大. 分析:解答本题的关键是寻求到直线x+2y-4=0的距离最大的点P, 可考虑用切线或直接用点到直线的距离公式求解.
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件：第二章 推理与证明 2、2章末
x
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明
(选修2-2)
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一 步是命题成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊 性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学
人 教 A 版 数 学
归纳法证明有关命题要注意以下几点：
人 教 A 版 数 学
因为 f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以
A＋B＋C f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f ，(结论) 3
π 3 3 即 sinA＋sinB＋sinC≤3sin ＝ ， 3 2 3 3 因此 sinA＋sinB＋sinC 的最大值是 2 .
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[解析] f(1)＝1，观察图可知 f(2)＝4，f(3)＝10，f(4) ＝20，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的 个数，而第一层的个数构成数列 1,3,6,10，„，其第 n 项 n(n＋1) n(n＋1) 是 ， 所以 f(n)＝f(n－1)＋ ， 所以有 f(2)－f(1) 2 2 2×(2＋1) 3×(3＋1) ＝ ， f(3) － f(2) ＝ ， f(4) － f(3) ＝ 2 2 4×(4＋1) n(n＋1) ，„，f(n)－f(n－1)＝ . 2 2
第二章 推理与证明
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明
(选修2-2)
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的 一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，
因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三
段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个 命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合 这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑 结果．
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明
(选修2-2)
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一 步是命题成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊 性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学
人 教 A 版 数 学
归纳法证明有关命题要注意以下几点：
人 教 A 版 数 学
因为 f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以
A＋B＋C f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f ，(结论) 3
π 3 3 即 sinA＋sinB＋sinC≤3sin ＝ ， 3 2 3 3 因此 sinA＋sinB＋sinC 的最大值是 2 .
第二章 推理与证明
(选修2-2)
[解析] f(1)＝1，观察图可知 f(2)＝4，f(3)＝10，f(4) ＝20，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的 个数，而第一层的个数构成数列 1,3,6,10，„，其第 n 项 n(n＋1) n(n＋1) 是 ， 所以 f(n)＝f(n－1)＋ ， 所以有 f(2)－f(1) 2 2 2×(2＋1) 3×(3＋1) ＝ ， f(3) － f(2) ＝ ， f(4) － f(3) ＝ 2 2 4×(4＋1) n(n＋1) ，„，f(n)－f(n－1)＝ . 2 2
第二章 推理与证明
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明
(选修2-2)
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的 一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，
因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三
段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个 命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合 这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑 结果．
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第一章 计数原理3、1-1-1
原理得24×2＝48种．
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
本节重点：归纳得出两个计数原理，能运用它们解决
简单的实际问题．
本节难点：正确理解“完成一件事情”的含义，正确 区分“分类”与“分步”．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不 同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这 件事共有N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分类加法计数原理的推广
[解析]
解法一：按十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是 8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， 1 个． 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共
人 教 A 版 数 学
有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
第一章 计数原理
(选修2-3)
1．通过实例总结出分类加法计数原理，理解分类加法 计数原理；
2．通过实例总结出分步乘法计数原理，理解分步乘法
计数原理； 3．会利用两个计数原理解决一些简单问题．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
(选修2-3)
二、填空题
4 ．从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个数相加，其和是偶数， 共得________个偶数． [答案] 4 [ 解析 ] 分两类： 3 个奇数两两相加， 3 个偶数两两相
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
本节重点：归纳得出两个计数原理，能运用它们解决
简单的实际问题．
本节难点：正确理解“完成一件事情”的含义，正确 区分“分类”与“分步”．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不 同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这 件事共有N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分类加法计数原理的推广
[解析]
解法一：按十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是 8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， 1 个． 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共
人 教 A 版 数 学
有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
第一章 计数原理
(选修2-3)
1．通过实例总结出分类加法计数原理，理解分类加法 计数原理；
2．通过实例总结出分步乘法计数原理，理解分步乘法
计数原理； 3．会利用两个计数原理解决一些简单问题．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
(选修2-3)
二、填空题
4 ．从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个数相加，其和是偶数， 共得________个偶数． [答案] 4 [ 解析 ] 分两类： 3 个奇数两两相加， 3 个偶数两两相
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第一章 计数原理3、1-3-1
1 r x
＝(－1) · 2
3 r C9· x9－ r， 2
人 教 A 版 数 学
3r ∴令 9－ 2 ＝0，得 r＝6.
6 3 3 ∴T 常＝C9 · (－1)6· 23＝C9 · 2 ＝672.
第一章 计数原理
(选修2-3)
5. x－
1 8 5 展开式中 x 的系数为________． x
)
人 教 A 版 数 学
A．8
B．9
[答案] B
第一章 计数原理
(选修2-3)
[解析]
1r r n－r Tr＋1＝Cnx －
x
r n－2r ＝C r ( － 1) x n 3 n－6 ∴T4＝C3 n(－1) x
∴n－6＝3，∴n＝9，故选 B.
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
[例 1]
求 3
1 4 x＋ 的展开式． x
[分析] 可直接应用二项式定理展开，也可先化简再 展开．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
[解析]
3
解法 1：(直接法)
1 4 4 1 3 1 2 2 1 2 x＋ ＝ (3 x ) ＋ C 4 (3 x ) ＋ C 4 (3 x ) ＋ C 3 4 x x x 1 12 1 3 4 1 4 2 ＋C4 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2. x x
(选修2-3)
3．(2010·江西文，3)(1－x)10展开式中x3项的系数为
( A．－720 C．120 [答案] D
[解析] 本题考查了二项式展开定理， 要认清项的系数与
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修1-1教学课件：第二章 圆锥曲线与方程1、2-2-2
2
人 教 A 版 数 学
9 ②.由①，②得 a ＝ ，b2＝4， 4
第二章
圆锥曲线与方程
y2 x2 (2)设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， a 4 3 因为 ＝ ，所以 b＝ a ③， b 3 4 12 9 因为 m(－3,2 3)在双曲线上，所以 2 － 2＝1 ④. a b 由③④所得方程组无解． x2 y2 综上可知双曲线方程为 9 － 4 ＝1. 4 x2 y2 解法二：设所求双曲线方程为 9 －16＝λ(λ≠0)，
要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个
所求量的定义作答．
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
x2 y2 将 9y －4x ＝－36 变形为 － ＝1， 9 4
2 2
x2 y2 即32－22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， c 13 离心率 e＝a＝ 3 ， b 2 渐近线方程 y＝± ax＝± 3x.
2
人 教 A 版 数 学
不存在．
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
一、选择题 x2 y2 1．双曲线 － ＝1 的顶点坐标是 25 9 A．(± 5,0) C．(± 4,0) B．(± 5,0)或(0，± 3) D．(± 4,0)或(0，± 3) ( )
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
椭圆 (－a,0)、(a,0) 顶点 (0， －b)、(0，b) (1， 长轴长 2a，短轴长 2b 离心率 c e＝a，(0<e<1) 无
人 教 A 版 数 学
9 ②.由①，②得 a ＝ ，b2＝4， 4
第二章
圆锥曲线与方程
y2 x2 (2)设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， a 4 3 因为 ＝ ，所以 b＝ a ③， b 3 4 12 9 因为 m(－3,2 3)在双曲线上，所以 2 － 2＝1 ④. a b 由③④所得方程组无解． x2 y2 综上可知双曲线方程为 9 － 4 ＝1. 4 x2 y2 解法二：设所求双曲线方程为 9 －16＝λ(λ≠0)，
要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个
所求量的定义作答．
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
x2 y2 将 9y －4x ＝－36 变形为 － ＝1， 9 4
2 2
x2 y2 即32－22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， c 13 离心率 e＝a＝ 3 ， b 2 渐近线方程 y＝± ax＝± 3x.
2
人 教 A 版 数 学
不存在．
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
一、选择题 x2 y2 1．双曲线 － ＝1 的顶点坐标是 25 9 A．(± 5,0) C．(± 4,0) B．(± 5,0)或(0，± 3) D．(± 4,0)或(0，± 3) ( )
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
椭圆 (－a,0)、(a,0) 顶点 (0， －b)、(0，b) (1， 长轴长 2a，短轴长 2b 离心率 c e＝a，(0<e<1) 无
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-2教学课件：第一章 导数及其应用 2、1-1-3
(选修2-2)
本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程．
人 教 A 版 数 学
本节难点：求曲线在某点处的切线方程．
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、
“导数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量． (2) 函 数 的 导 数 ， 是 针 对 某 一 区 间 内 任 意 点 x 而 言 的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为
( A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
1 1 D.－2，－8
人 教 A 版 数 学
)
C．(2,8)
[答案] B
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
3 3 ( x ＋ Δ x ) － x ∵y＝x3，∴y′＝liΔm x→0 Δx
x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的 导函数，再计算这点的导函数值．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2．函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲
线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线 在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝ 在x＝0处有切线，但它不可导．
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2 当 x0＝1 时，y0＝x3 － x 0 0＋1＝1，
【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件：第一章 计数原理3、1-2-1-2
＝192 种． 解法 2：乙、丙的排法有 2 种，乙、丙可在甲的左边也可 在右边，每边都有 2 种位置，乙、丙站好后其余 4 人任意排
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
本节重点：有限制条件的排列问题解题思路．
本节难点：定元素与定位置分析的方法．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
1．直接法：以 元素 为考察对象，先满足 特殊元素 一般元素 的要求，再考虑 ( 又称为元素分析
1 2 种)， 十位和百位从余下的数字中选 (有 A2 种 ) ， 于是有 A A4个； 4 4· 1 2 第三类：4 在个位时，与第二类同理，也有 A4 · A4个．
人 教 A 版 数 学
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：
3 2 A5 ＋2A1 · A 4 4＝156(个)．
第一章 计数原理
(选修2-3)
(2)五位数中 5 的倍数的数可分为两类：个位上的数字是
4 3 0 的五位数有 A5 个； 个位数上的数字是 5 的五位数有 A1 A4 个． 4·
故满足条件的五位数的个数共有：
4 3 A5 ＋A1 · A 4 4＝216(个)．
人 教 A 版 数 学
第一章 计数原理
(选修2-3)
(3)比 1325 大的四位数可分为三类： 第一类：形如 2 ，共
元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将 其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的 空隙及两端位置，故称“插空法”．
人 教 A 版 数 学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义，导数的运 算法则及运算能力．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
一、选择题 1．下列结论： (1)若 y＝cosx，则 y′＝－sinx； 1 1 (2)若 y＝ ，则 y′＝ ； x 2x x 1 2 (3)若 f(x)＝x2，则 f′(3)＝－27. 其中正确命题的个数是 A．0 C ．2 B．1 D．3 ( )
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[答案] C
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(
A．ab C．0 [答案] D [解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab B．－a(a－b) D．a－b
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3x )′＋(4x )′ 3 2 3
4 3
人 教 A 版 数 学
[点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简 便．
2 ．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求
导．
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
)
人 教 A 版 数 学
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
sinx 3．设 y＝ ，－π<x<π，当 y′＝2 时，x 等于 1＋cosx ( 1 A．± π 3 1 C．± 4π
[答案] D
)
人 教 A 版 数 学
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．2.2
基本初等函数的导数公式
人 教 A 版 数 学
及导数的运算法则
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．熟记基本初等函数的导数公式，理解导数的四则运 算法则．
f′(x)＝ cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ axlna (a>0) f′(x)＝ ex f′(x)＝ f′(x)＝ (a>0且a≠1)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2.导数的四则运算法则
设函数f(x)、g(x)是可导的，则 (1)(f(x)±g(x))′＝ (2)(f(x)·g(x))′＝ f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
5．设f(x)＝(2x＋a)2，则f′(2)＝20，则a＝________.
[答案] 1 [解析] ∵f(x)＝(2x＋a)2＝4x2＋4ax＋a2 ∴f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a，又f′(2)＝20， ∴16＋4a＝20，∴a＝1.
[例3]
[ 分析 ]
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点
题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条
人 教 A 版 数 学
(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． 件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值． [解析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
2)′＝x4－4x2＋3.
人 教 A 版 数 学
(2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 － 4x3)(4x5 ＋3x3)′＝(15x4 － 12x2)(4x5 ＋3x3)＋ (3x5 －4x3)(20x4 ＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
[分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得 到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则 进行求导．
3
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
1 4 3 5 (1)y′＝ 5x －3x ＋3x＋
2 ′
1 4 5 ＝5x ′－3x3′＋(3x)′＋(
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．基本初等函数的导数公式 原函数
f ( x) ＝ c f′(x)＝0
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax f ( x) ＝ ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
f′(x)＝nxn－1
1 B．± π 6 2 D．± 3π
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
sinx ∵y＝ 1＋cosx
人 教 A 版 数 学
cosx(1＋cosx)－sinx(－sinx) 1＋cosx ∴y′ ＝ ＝ 2 2 ＝ (1＋cosx) (1＋cosx) 1 1＋cosx 1 ∵y′＝2，∴ ＝2 1＋cosx 1 2 ∴cosx＝－2，又－π<x<π，∴x＝± 3π.故应选 D.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
二、填空题 1－sinx 4．若 f(x)＝ x ，则 f′(π)＝________.
π－1 [答案] π2
(1－sinx)′x－(x)′(1－sinx) [解析] f′(x)＝ x2 －xcosx－1＋sinx ＝ x2 －πcosπ－1＋sinπ π－1 ∴f′(π)＝ ＝ 2 . π2 π
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[分析]
对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的
1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， 如 y＝x4可 以写成 y＝x ，y＝ x ＝x5等，这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
(1)y′＝(x12)′＝12x11.
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－x5.
人 教 A 版 数 学
(4)y′＝(2x)′＝2xln2.
x x (5)y′＝2sin2cos2′＝(sinx)′＝cosx.
人 教 A 版 数 学
f′(x)g(x)－f(x)g′(x) f(x) (3)( )′＝ (g(x)≠0) g(x) g2(x)
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[例 1]
求下列函数的导数：
12
人 教 A 版 数 学
1 x 5 3 x (1)y＝x ； (2)y＝x4； (3)y＝ x ； (4)y＝2 ； (5)y＝2sin2 x cos . 2
1 1 2 3 －2 －3 (2)y′＝ x＋x2＋x3′＝ x＋2x ＋3x ′
人 教 A 版 数 学
1 1 4 9 －3 －4 ＝－x2－4x －9x ＝－x2－x3－x4.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1 2 3 (2)求 y＝ x＋x2＋x3的导数．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
(1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′
＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2· 2x＝4x3－2x.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[点评] 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要
从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯， 要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[例 2]
求下列函数的导数：
人 教 A 版 数 学
1 5 4 3 (1)y＝ x － x ＋3x＋ 2； 5 3 (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； (3)y＝3 x4＋4 x3.
人 教 A 版 数 学
2．能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函
数的导数．
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
本节重点：导数公式和导数的运算法则及其应用． 本节难点：导数公式和运算法则的应用．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
a＋b＋c＝1， 由4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1，
a＝3， 解得b＝－11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
一、选择题 1．下列结论： (1)若 y＝cosx，则 y′＝－sinx； 1 1 (2)若 y＝ ，则 y′＝ ； x 2x x 1 2 (3)若 f(x)＝x2，则 f′(3)＝－27. 其中正确命题的个数是 A．0 C ．2 B．1 D．3 ( )
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[答案] C
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(
A．ab C．0 [答案] D [解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab B．－a(a－b) D．a－b
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3x )′＋(4x )′ 3 2 3
4 3
人 教 A 版 数 学
[点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简 便．
2 ．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求
导．
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
)
人 教 A 版 数 学
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
sinx 3．设 y＝ ，－π<x<π，当 y′＝2 时，x 等于 1＋cosx ( 1 A．± π 3 1 C．± 4π
[答案] D
)
人 教 A 版 数 学
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．2.2
基本初等函数的导数公式
人 教 A 版 数 学
及导数的运算法则
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．熟记基本初等函数的导数公式，理解导数的四则运 算法则．
f′(x)＝ cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ axlna (a>0) f′(x)＝ ex f′(x)＝ f′(x)＝ (a>0且a≠1)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
2.导数的四则运算法则
设函数f(x)、g(x)是可导的，则 (1)(f(x)±g(x))′＝ (2)(f(x)·g(x))′＝ f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
5．设f(x)＝(2x＋a)2，则f′(2)＝20，则a＝________.
[答案] 1 [解析] ∵f(x)＝(2x＋a)2＝4x2＋4ax＋a2 ∴f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a，又f′(2)＝20， ∴16＋4a＝20，∴a＝1.
[例3]
[ 分析 ]
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点
题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条
人 教 A 版 数 学
(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． 件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值． [解析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
2)′＝x4－4x2＋3.
人 教 A 版 数 学
(2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 － 4x3)(4x5 ＋3x3)′＝(15x4 － 12x2)(4x5 ＋3x3)＋ (3x5 －4x3)(20x4 ＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
[分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得 到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则 进行求导．
3
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
1 4 3 5 (1)y′＝ 5x －3x ＋3x＋
2 ′
1 4 5 ＝5x ′－3x3′＋(3x)′＋(
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1．基本初等函数的导数公式 原函数
f ( x) ＝ c f′(x)＝0
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax f ( x) ＝ ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
f′(x)＝nxn－1
1 B．± π 6 2 D．± 3π
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
sinx ∵y＝ 1＋cosx
人 教 A 版 数 学
cosx(1＋cosx)－sinx(－sinx) 1＋cosx ∴y′ ＝ ＝ 2 2 ＝ (1＋cosx) (1＋cosx) 1 1＋cosx 1 ∵y′＝2，∴ ＝2 1＋cosx 1 2 ∴cosx＝－2，又－π<x<π，∴x＝± 3π.故应选 D.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
二、填空题 1－sinx 4．若 f(x)＝ x ，则 f′(π)＝________.
π－1 [答案] π2
(1－sinx)′x－(x)′(1－sinx) [解析] f′(x)＝ x2 －xcosx－1＋sinx ＝ x2 －πcosπ－1＋sinπ π－1 ∴f′(π)＝ ＝ 2 . π2 π
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[分析]
对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的
1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， 如 y＝x4可 以写成 y＝x ，y＝ x ＝x5等，这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
(1)y′＝(x12)′＝12x11.
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－x5.
人 教 A 版 数 学
(4)y′＝(2x)′＝2xln2.
x x (5)y′＝2sin2cos2′＝(sinx)′＝cosx.
人 教 A 版 数 学
f′(x)g(x)－f(x)g′(x) f(x) (3)( )′＝ (g(x)≠0) g(x) g2(x)
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[例 1]
求下列函数的导数：
12
人 教 A 版 数 学
1 x 5 3 x (1)y＝x ； (2)y＝x4； (3)y＝ x ； (4)y＝2 ； (5)y＝2sin2 x cos . 2
1 1 2 3 －2 －3 (2)y′＝ x＋x2＋x3′＝ x＋2x ＋3x ′
人 教 A 版 数 学
1 1 4 9 －3 －4 ＝－x2－4x －9x ＝－x2－x3－x4.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
1 2 3 (2)求 y＝ x＋x2＋x3的导数．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[解析]
(1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′
＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2· 2x＝4x3－2x.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[点评] 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要
从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯， 要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
[例 2]
求下列函数的导数：
人 教 A 版 数 学
1 5 4 3 (1)y＝ x － x ＋3x＋ 2； 5 3 (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； (3)y＝3 x4＋4 x3.
人 教 A 版 数 学
2．能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函
数的导数．
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
本节重点：导数公式和导数的运算法则及其应用． 本节难点：导数公式和运算法则的应用．
人 教 A 版 数 学
第一章 导数及其应用
y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
第一章 导数及其应用
(选修2-2)
a＋b＋c＝1， 由4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1，
a＝3， 解得b＝－11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.