单调性与最大(小)值
函数的单调性与最大(小)值
2.()下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|
3.()设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()
2.函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
8. ()若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝_________.
类型三 抽象函数的单调性
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
()f(x)的定义域为(0，
＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
函数的最值与单调性
函数的最值与单调性函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。
在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。
一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。
在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：1. 找到函数的定义域。
2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。
3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。
4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。
举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。
首先，我们需要找到函数的定义域。
由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。
然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。
将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。
由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。
因此，这个函数的最值是 f(3/4) = 1/8。
另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。
对于这个函数，它的定义域是整个实数集。
由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。
函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。
二、函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。
一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。
要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：1. 求解函数的导数。
2. 研究导数的符号。
如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。
如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。
比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。
我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x - 3。
通过分析导数的符号，我们可以发现当 x < 3/2 时，导数为负，说明函数 h(x) 在这个区间上是递减的；当 x > 3/2 时，导数为正，说明函数h(x) 在这个区间上是递增的。
高一数学复习考点题型专题讲解14 单调性与最大(小)值
高一数学复习考点题型专题讲解第14讲 单调性与最大（小）值一、单选题1．下列四个函数在(),0∞-是增函数的为（ ）A ．()24f x x =+B ．()12f x x =-C ．()21f x x x =--+D ．()32f x x=- 【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【解析】对A ，()24f x x =+二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(),0∞-是减函数，故A 不对．对B ，()12f x x =-为一次函数，0k <，在(),0∞-是减函数，故B 不对．对C ，()21f x x x =--+，二次函数，开口向下，对称轴为12x =-，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是增函数，故C 不对．对D ，()32f x x=-为反比例类型，0k <，在(),0∞-是增函数，故D 对． 故选：D2．函数1()f x x=的单调递减区间是（ ）A ．(,0),(0,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞ 【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【解析】解：因为1()f x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减， 故函数的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞； 故选：A3．定义域为R 的函数()f x 满足:对任意的12,R x x ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->，则有（ ）A ．(2)(1)(3)f f f -<<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(3)(2)(1)f f f <-<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【解析】定义域在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2x R ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->， 可得函数()f x 是定义域在R 上的增函数， 所以(2)f f -<（1）f <（3）． 故选：A ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【解析】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B5．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的1x ，[]2,x a b ∈（12x x ≠），则下列结论不正确的是（ ）A ．()()12120f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x ≠ 【答案】C【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解析】解：由函数的单调性定义知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -，与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B ，D 都正确. 若12x x >，则()()12f x f x >，故选项C 不正确. 故选：C.6．若()f x 是R 上的严格增函数，令()()13F x f x =++，则()F x 是R 上的（ ） A ．严格增函数B ．严格减函数C ．先是严格减函数后是严格增函数D ．先是严格增函数后是严格减函数 【答案】A【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.【解析】解：因为()f x 是R 上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，()+1f x 也是R 上的严格增函数，所以()()13F x f x =++是R 上的严格增函数.故选：A.7．若函数()()2318f x x mx m =-+∈R 在()0,3上不单调，则m 的取值范围为（ ）A ．02m ≤≤B ．02m <<C ．0m ≤D ．2m ≥ 【答案】B【分析】要想在()0,3上不单调，则对称轴在()0,3内【解析】()()2318f x x mx m =-+∈R 的对称轴为32mx =，则要想在()0,3上不单调，则()30,32m∈，解得：()0,2m ∈ 故选：B8．若函数2()21f x x mx =+-在区间(1,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞-B ．[4,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞- 【答案】B【分析】根据二次函数的性质可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，即可解出．【解析】依题意可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以14m-≤-，解得4m ≥． 故选：B ．9．函数s ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【解析】由230x x +≥得3x ≤-或0x ≥，即函数s (][),30,-∞-⋃+∞，又二次函数23t x x =+的图象的对称轴方程为32x =-，所以函数23t x x =+（x ∈(][),30,-∞-⋃+∞）在区间(],3-∞-上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，又函数0)y t =≥为增函数，所以s (],3-∞-． 故选：D10．函数()41f x x x =++在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）A ．103B ．152C ．3D ．4 【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【解析】设1t x =+，则问题转化为求函数()41g t t t =+-在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数()g t 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]2,3上单调递增，所以()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭．故选：B11．已知函数()f x 在[]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(](,01,2022)-∞⋃B ．(](,00,2022)-∞⋃C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．()(),00,1-∞⋃ 【答案】A【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.【解析】当a =0时，()f x =.当a >0时，设2022t ax =-，则函数y =2022t ax =-在区间[]0,1上单调递减，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10? 20220a a ->⎧⎨-≥⎩，解得12022a <≤.当a <0时，2022t ax =-在区间[]0,1上为增函数，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10?202200a a -<⎧⎨-⨯≥⎩，解得a <0.综上，a 的取值范围为(](,01,2022)-∞⋃.故B ，C ，D 错误. 故选：A.12．若函数()()2,12225,1a x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪+-<⎩在R 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A ．81,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．81,5⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]1,2-D ．()1,2-【答案】B【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.【解析】由题意122201232a a aa ⎧≤⎪⎪+>⎨⎪⎪-≥-⎩，解得815a -<≤，故选：B二、多选题13．（多选）下列函数中，满足“1x ∀，()20x ∞∈+，，都有1212()()0f x f x x x -<-”的有（ ）A ．()1f x x =-B ．()31f x x =-+C ．()243f x x x =++D ．()2f x x=【答案】BD【解析】由题设条件可得()f x 应为()0,∞+上的增函数，逐项判断后可得正确的选项. 【解析】因为1x ∀，()20,x ∈+∞，都有1212()()0f x f x x x -<-，故()f x 应为()0,∞+上的减函数.对于A ，当1x > ，()1f x x =-，则()f x 在()1,+∞上为增函数，故A 错误. 对于B ，()31f x x =-+在()0,∞+上为减函数，故B 正确.对于C ，对称轴20x =-<，故()243f x x x =++在()0,∞+上为增函数，故C 错误.对于D ，()2f x x=在()0,∞+上为减函数，故D 正确. 故选：BD ．14．（多选）若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 【答案】AB【分析】根据一次函数的单调性分0a >和0a <两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.【解析】依题意，当0a >时，1y ax =+在2x =取得最大值，在1x =取得最小值，所以()2112a a +-+=，即2a =；当0a <时，1y ax =+在1x =取得最大值，在2x =取得最小值，所以()1212a a +-+=，即2a =-．故选AB ．【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.15．（多选）已知函数()()22101x x f x x x -+=≥+，则（ ）A ．()f x 最小值为12B ．()f x 在[]0,1上是增函数C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 无最大值 【答案】AC【分析】分0x =和0x ≠两种情况，把函数转化为()111f x x x=-+，利用对勾函数的性质和基本不等式求函数的最值与值域即可.【解析】()2221111x x xf x x x -+==-++， 当0x =时，()1f x =；当0x >时，()111f x x x=-+，此时()f x 在()0,1是减函数，在[)1,+∞上是增函数， 所以()()min 112f x f ==，故A 正确，B 错误； 当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号，所以11012x x<≤+，所以11112x x≤-<1+，此时()112f x ≤<，又0x =时，()1f x =，所以()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 16．设函数()21,21,ax x af x x ax x a-<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．1 【答案】BC【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【解析】解：当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题17．若函数()22f x x x =-，则()1f 、()1f -、f 之间的大小关系为______．【答案】()()11f f f <<-##()()11f f f ->>【分析】结合二次函数开口和对称轴，判断自变量与对称轴距离，进而判断大小.【解析】因为()()22211f x x x x =---=，因为()f x 开口向上，所以()1f 最小，又()1110,1--=∈，所以()1f f->，所以()()11f f f <<-.故答案为：()()11f f f <<-18．已知函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=，则()1a b -的最大值为______.【答案】94##214##2.25【分析】依题意可得4a b +=，再根据函数的定义域求出a ，b 的取值范围，则()239124a b a ⎛⎫- ⎪⎭-=-+⎝，[]1,2a ∈，根据二次函数的性质计算可得.【解析】解：∵函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=， ∴()232130a b -+--=，可得4a b +=，[]1,2a ∈-，[]0,3b ∈，又4b a =-，∴[]1,2a ∈，则()()2391324a b a a a -=-=--⎫ ⎪⎭+⎛⎝，[]1,2a ∈， 所以当32a =时，()max 914a b ⎡⎤⎣⎦-=，即32a =，52b =时，()1a b -取得最大值94. 故答案为：9419．已知函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞，则实数a 的值为___________. 【答案】6【分析】去绝对值将()3f x x a =-+转化为分段函数，再根据单调性求解a 的值即可.【解析】因为函数()3,33,3a x a x f x a x a x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，故当3a x ≤时，()f x 单调递减，当3a x >时，()f x 单调递增. 因为函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞， 所以23a =，所以6a =. 故答案为：6.20．已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论： ①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x xx=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题21．指出下列函数的单调区间： （1）13y x =-； （2）12y x=+； （3）21y x =+； （4）21y x x =-+-.【答案】（1）单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间；（2）单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间；（3）单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，；（4）单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）根据一次函数的单调性，由30-<，可得出函数的单调区间； （2）根据反比例函数的单调性可得出函数的单调区间； （3）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间； （4）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间.【解析】解：（1）函数13y x =-的定义域为()-∞+∞，，因为30-<，所以13y x =-在()-∞+∞，上单调递减，所以13y x =-单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间； （2）函数12y x=+的定义域为()()00-∞∞，，+，因反比例函数1y x=在()0-∞，和()0+∞，上单调递减，所以12y x=+单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间； （3）因为函数21y x =+的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为0x =，所以21y x =+的单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，； （4）函数21y x x =-+-的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴为12x =，所以21y x x =-+-的单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 22．（1）在定义域[],a b 上单调递减的函数()f x ，最大值是多少？ （2）若()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增，最小值是多少？ 【答案】（1）()()max f x f a =；（2）()()min f x f u =. 【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性进行求解即可.【解析】（1）因为()f x 是定义域[],a b 上单调递减的函数， 所以()()max f x f a =；（2）因为()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增， 所以()()min f x f u =.23．设a 为实数，已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>，求a 的取值范围. 【答案】()1,+∞【分析】直接根据函数的单调性可得12a a +<，从而可得出答案.【解析】解：因为函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>， 所以12a a +<，解得1a >， 所以a 的取值范围()1,+∞. 24．已知函数f (x )=12x x ++，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析.【分析】∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得. 【解析】证明：∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，且x 1>x 2>-2， f (x )=11122x x x +=-++ 则f (x 1)-f (x 2)=212x -+112x + =1212-(2)(2)x x x x ++，因为x 1>x 2>-2，所以x 1-x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，所以1212-(2)(2)x x x x ++>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(-2，+∞)上单调递增.25．设函数()f x 的定义域为()4,5-，如果()f x 在()4,0-上是减函数，在()0,5上也是减函数，能不能断定它在()4,5-上是减函数？如果()f x 在()4,0-上是增函数，在[)0,5上也是增函数，能不能断定它在()4,5-上是增函数？ 【答案】见解析【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【解析】取()3,405,05x x f x x x -+-<≤⎧=⎨-<<⎩，则()f x 在()4,-0上是减函数，在()0,5上也是减函数， 但()()0.2 3.2,0.01 4.99f f -==，()()0.20.01f f -<， 因此不能断定()f x 在()4,5-上是减函数. 若取()5,403,05x x f x x x +-<<⎧=⎨+≤<⎩，则()f x 在()4,-0上是增函数，在[)0,5上也是增函数，但()()0.2 4.8,0.01 3.01f f -==，()()0.20.01f f ->， 因此不能断定()f x 在()4,5-上是增函数.26．已知函数f (x )=[](],0,24,2,4x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩；（1）在图中画出函数f (x )的大致图象.（2）写出函数f (x )的单调递减区间. 【答案】（1）答案见解析；（2）[2，4].【分析】（1）根据分段函数的解析式可画出图象； （2）根据图象观察可得答案.【解析】（1）函数f (x )的大致图象如图所示.（2）由函数f (x )的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].27．函数()f x ，()(),,x a b b c ∈⋃的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说函数()f x 在定义域上是增函数；乙说函数()f x 在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数()f x 的增区间有两个，分别为(),a b 和(),b c .请你判断他们的说法是否正确. 【答案】甲的说法是错误的；乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.【分析】根据函数图象，应用数形结合的思想直接判断甲、乙、丙说法的正误. 【解析】甲的说法是不正确的，乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.若取120x b x c <<<<（如上图），则12y y >，与甲的说法矛盾， 故甲的说法是错误的；由甲的说法的错误可知：乙的说法是正确的，这两个增区间分别是(),a b 和(),b c ， ∴丙的说法是正确的.28．画出函数2()1f x x x =-++（11x -剟）的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当12112x x -<剟时，比较()1f x 与()2f x 的大小； （2）是否存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-？ 【答案】（1）()1f x ＜()2f x ；（2）不存在.【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解； （2）根据函数的最小值判断得解. 【解析】（1）函数的图象如图所示，当12112x x -<剟时，由于函数单调递增，所以()1f x ＜()2f x ； （2）由图得当1x =-时，函数取到最小值1-， 所以不存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-.29．若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围【解析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴f （x ）＝x 2－x ＋1.（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－54－m ，其对称轴为x ＝32， ∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数，∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.30．已知函数()()a f x x a R x=+∈(1)当1a =，证明函数在()0,1上单调递减；(2)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()371,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求a 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14a =【分析】(1)利用证明函数单调性的定义()12,0,1x x ∀∈，由1201x x <<<，()()120f x f x ->，可证明函数在()0,1上单调递减.(2)通过讨论参数a ，分别求出0a =，0a <，0a >时()f x 的值即可. （1）证明：若1a =，则()1f x x x=+()12,0,1x x ∀∈，1201x x <<<()()12121212121111f x f x x x x x x x x x -=+--=-+- ()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+= 当()120,1x x ∈时，1201x x <<，所以()()12121210x x x x x x -->所以，函数在()0,1上单调递减. （2）①当0a =时，()f x x =，不满足条件；②当0a <时，易知函数()f x 在定义域内单调递增，则满足：112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37312f =联立()11237312f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，即11122373312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14136a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不满足条件；③当0a >时，令120x x <<<()()()()121212121212x x a a af x f x x x x x x x x x --=+--=- 所以()()12f x f x >，函数在(上单调递减；同理可证，函数在)+∞上单调递增， 所以，函数()f x最小值应在x =当102<时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得14a =，符合条件；当3<函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为()3f ，所以()31f =，解得6a =-，不符合条件；当132≤时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f，所以1f =，解得：14a =，不符合条件； 综上，14a =.31．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()()f x f x =-；(2)试判断()f x 在(0,)+∞的单调性并用定义证明你的结论； (3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<- 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数；证明见解析(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)()2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解. （1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f = 再令121,x x x x ==，则1()()(1)0f x f f x+== 所以1()()f x f x =- （2）()f x 在(0,)+∞上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x > 所以11221()()()0xf x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =- 所以1221()()()f x f f x x >-= 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =， 又因为11(2)()22f f =-=， 所以11()22f =-， 所以1(1)(1)2f x f x -++<-⇔21(1)()21010f x f x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩由上可知，()f x 是定义在(0,)+∞上为增函数所以，原不等式⇔21121010x x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩，解得1x <<. 32．已知函数ty x x=+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．(1)已知()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数()f x 和函数()2g x x a =--，[]0,1x ∈，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的值．【答案】(1)()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]4,3--． (2)32a =【分析】（1）令21t x =+，[]1,3t ∈，将()f x 化为()48h t t t =+-，由对勾函数的单调性可得()f x 的单调区间和值域（2）由题意可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得()g x 的值域，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围 （1）()2412342182121x x y f x x x x --===++-++． 设21u x =+，[]0,1x ∈，则48y u u =+-，[]1,3u ∈．由已知性质，得当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 由()03f =-，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1113f =-，得()f x 的值域为[]4,3--． （2）因为()2g x x a =--在[]0,1上单调递减， 所以()[]12,2g x a a ∈---．由题意，得()f x 的值域是()g x 的值域的子集， 所以12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩，所以32a =．。
3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版
问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想 证明 运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;
单调性与最大(小)值(第2课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
思考2：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才
是函数的最大值，否则不是．
函数的最值与值域有怎样的关系？
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
x1 x2 x1 x2
由2 x1 x2 6，得x2 x1 0，x1 x2 0，于是
f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 )
∴ 函数f(x) =
是区间[2,6]上的单调递减.
x
求函数的最大(小)值的方法总结：
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值；
1．求函数
f(x)＝x＋ x在[
1
2
1)
1
2
1
2
x 1x 2
1x 2 1,4] 上的最值．
x
x
x
1x 2
1
2
.
x
4x 2－x 1
x 1x 2－4
x
x
4
4
4x
－x
x
x
1
2
2
1
1 2－4
＝(x
＝
1－x 2)
4
4
－f(x
)＝x
＋
－x
－
＝x
－x
＋
＝＋
12－4
1
2x 1－x 2＝(x
2)
2x 1x
x
－4
∵1≤x
1 1－x
2 2)1 2
1<x 2<2，∴x 1－x 2<0，
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
3.2.1单调性与最大(小)值
概念学习
PART 2
知识点一 增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递 当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时 函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上 随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容 请在此输入内容
2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单调性与最大（小）值
廖登玲
一、教学目标
(1)使学生理解函数单调性的概念，并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法；
(2)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力，通过例题讲解，培养学生的逻辑思维能力；
(3)理解函数的最大（小）值及其几何意义；
(4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
二、教学重点与难点
重点：形成增（减）函数的形式化定义；函数的最大（小）值及其几何意义．
难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三、教学过程
Ｔ：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的一些性质。
1.问题情境
T：由下图，你能说出下列函数图象有何特征？
启发学生由图象（主要是升降变化）获取函数性质的直观认识，从而引入新课。
2.建构教学
T：再来看两个特殊函数：一次函数和二次函数（由学生作出图象），
图１图２
从左到右，这两个函数的图象是如何变化的？
Ｓ：图１是上升的；图２的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的。
Ｔ：从上面的观察分析可以看出，不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。
函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
T：所谓的从左到右观察图象，体现在函数身上是哪个量发生了怎样的变化？
S：是值由小变大。
T：图象的上升或下降又可以用函数的哪个量的变化来描述？（以函数为例）
3.教学设计
用计算机作出函数的图象，在上面任选一点P，测出其坐标，引导学生观察当点P在函数图象上“按横坐标（即自变量）增大”的方向移动时，点P的纵坐标（即函数值）的变化规律。
S：图2中图象在轴右侧“上升”，也就是，在时，随着的增大，相应的值随之增大；图象在轴左侧“下降”，也就是，在时，随着的增大，相应的值反而随之减小。
T：如何用数学符号语言描述这种变化趋势呢？
教学设计：（1）让学生在区间上，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表1；（2）让学生在区间上，从9开始，每隔0.1个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表2；（3）让学生在区间上，从10开始，每隔10个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表3；（4）让学生在区间上，任选一个自变量的值作起点，任选一个单位取其它自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表4。
根据以上表格，引导学生得出结论：四个表格都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大。
即函数在上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于上任意的，当时，都有。
我们就说函数在区间上是增函数。
T：你能仿照这样的描述，说明函数在区间上具有的性质吗？
学生给出回答，并加以命名，称其在该区间上是减函数。
T：一次函数具有什么性质？
T：以上两个函数都是具体的，那对于一般函数，如何定义其为增函数（或减函数）？
引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善后给出增（减）函数、单调性、单调区间的定义。
T：能否将改为，函数在该区间上仍是增函数？改为？
S：都可以，不影响单调性。
T：这说明什么问题？
S1：两个相邻单调区间的公共端点，可任意放入哪个区间。
S2：也说明对于单独一点，由于其函数值是唯一确定的常数，故没有增减变化，不存在单调性问题。
S3：还说明单调性是针对区间而言的。
T：一次函数在整个实数集上是增函数，我们能说二次函数在整个实数集上是增函数（或减函数）吗？
S：不能。
该函数有两个单调区间。
T：这又说明了什么问题？
S：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，并不是所有的函数在其定义域上都具备单调性。
T：1.2.2小节例3中的函数是否具有单调性？
S：不具备。
因为该定义域不是区间。
通过设置这三问，使学生加深对定义的理解。
4.新课教学
函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；
5.数学应用
（一）例题
例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：（略）
T：在区间[-5，-2]，[1，3]都是减函数，能否说在[-5，-2]∪[1，3]上是减函数？
S：不能，不符合定义。
这说明单调区间不能写成并集形式。
例2 物理学中的玻意耳定律为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大。
试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数即可。
解：（略）
小结判断函数单调性的方法：
例3（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
例4（新题讲解）
旅馆定价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）住房率（%）
16055
14065
12075
10085
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例5（教材P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
巩固练习：（教材P32练习5）
（二）练习
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系。
四、单调性与最大（小）值——回顾小结
教师提出下列问题让学生思考：
（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
（2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？（3）怎样用定义证明函数的单调性？
(4)求函数的最值有什么方法？最常用的是什么方法？。