2.7 第2课时 二次根式的运算 省优获奖课件PPT
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北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
2.7.2二次根式(第2课时)
2 2 25 10 （3） 5 5 5 5 5
．
二次根式也可以进行加减运算，这 时，以前学过的实数运算法则、运算律 仍然适用。如果运算结果中出现某些项， 它们化简后被开方数相同，那么应将这 些项合并。
解： （ 1 ） 3 2 2 3 3 2 2 3 6 6
（2）12 3 5 12 3 5 6 5 1
知识小结
（1）一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽 方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 . （2）公式
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0） b b
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
课堂检测
• 课本随堂练习：第1题的8个小题
作业：习题 2.10 补充作业：
2 2 3 4 3 4 3 4 3 8 3 ；
化简： （1） 128 ; （2） 9000 ；（3）2 12 48 ；
2 1 3 2 （4） 50 32 ； （5） 3 20 45 ；（6） ． 9 5 2 3 2 2 解： 50 32 （4） 25 2 16 2 9 9
还记得吗?
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
新的用法!
（a≥0，b≥0）， a b a b
a a （a≥0，b＞0）． b b
练一练
例3 计算：
2 解： （ 1 ）6 3
2 6 4 2 3 6 3 63 63 （2） 93 2 2 2
2 （ 13） 32
13 9 4
解：（ 1 ）（ 48 3） 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3 1 5 4 （2） 5 5 5 5 5 5
2.7二次根式的加减(第二课时)E
已知 a 3 2 , b 3 2， 2 2 求a ab b 的值
想一想: 还有其他方法吗？
2014年9月19日9时23分
已知a, b为实数，且 1 a (b 1) 1 b 0 2006 2006 求a b 的值。
2014年9月19日9时23分
已知m,n为实数， n 9 9n 4 且m= n3 求6m-3n的值
2014年9月19日9时23分
1 1.若x , 2 1 2 则x 2 x 1 ( ) A. 2 B. 2 2 C .2 2 D.2
2.已知：x y 19, xy 3, x 求 y y 的值。 x
2
2
3.已知：x y 8 xy 8
y x 求y x 的值。 x y
2 2
(n＞2)
2014年9月19日9时23分
7.计算:
5 3 2 3 (1) 3 1 5 3 2 3 (2)( 2 2 3 3 6)( 2 2 3 3 6)
2014年9月19日9时23分
提高题
1.比较根式的大小.
(1)比较2 13和3 6
6 14和 7 13
练习: 把下列各式分母有理化:
1.《课时达标》22页-29页。
2.《天府数学》82页-86页。
2014年9月19日9时23分
练习 (1) 2( 3 5)
(2)( 80 40) 5 1 (3)( 48 6) 27 4
(1) ( 2 3)( 2 5)
( 2) ( 5 3 )( 5 3 )
•2计算
( 3) ( 3 2 5 )
2
•练习:
(1)( 5 3)( 5 2) (2)( a b )(3 a b ) (3)(4 7)(4 7)
2.7 二次根式(第2课时)
B．4
C． 10
D．2 2
2. 一个长方形的长和宽分别为 10和 2 2 ，则这个长方
形的面积为___4___5___．
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
C. 4 3 3 2 7 5
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
2.7 二次根式
二次根
整式加
式性质 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
连接中考
2.7 二次根式
1. 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除
以单项式法则，易得 m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
探究新知
2.7 二次根式
素养考点 1 利用二次根式的除法进行计算
2.7二次根式(第二课时)(共39张PPT)
有时候，人太清醒反而觉得累，觉得不快乐，但是 会装糊涂还真是难。不要等到人生垂暮，才想起俯 且行且珍惜。你可能在一个人面前一文不值，却在 人面前是无价之宝。谨记自己的价值所在。路再远 尽头;苦再深，也会结束，只要不放弃，就有希望。 在漫漫的长途中跋涉，在深深的痛苦中挣扎，我们 环境所迫，被困难所迷惑，放弃了希望，厌倦了生 得路越走越窄，苦越来越深。其实，窄的不是路， 与感情，深是错过 无缘;许多事，不是无能，就是无情，总是无缘。 就是一次艰辛的旅行，得意时，顿生许多豪情，期 浏览更多美好的风景;失意时，凭添许多伤心，渴 走出困境摆脱愁情。人生所有的一切，得意也好， 罢，圆满很少，完美不多，人如此，事这样，如意 人生，有许多无奈，好多人或事，明明喜欢，偏偏
《二次根式》PPT课件(第2课时)
课堂检测
拓广探索题
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a b c2 b c a2 c b a2 .
分析：
利用三角形 三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a ＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
ab
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
a c. b
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
探究新知
考 点 2 列代数式
（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v
km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的
速度； （2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，
探究新知 知识点 1
2
a
（a≥0)
性质
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.
用 aa (a≥0)表示.
探究新知
（1）填空：
( 4)2 ( 4 ),
解: （1） （0.76）2 0.76 ; （2）（ 15）2 15;
（3）（-2）2 22 2 ; （4）（-1.2）2 1.22 1.2.
课堂检测
5.在实数范围内分解因式：
（1）x2-3;
(2)y4-4y2+4.
解： （1）x2-3
《二次根式》PPT(第2课时)
取值范围是（ B ）
A.x为任意实数
B.1≤x≤4
C.x≥1
D.x≤4
【分析】
|1−x|−
− 4 2 ＝|1−x|−|x−4|，而结果是2x−5，
∴ 1−x≤0且x−4≤0，即1≤x≤4.
随堂训练
1 − 2 2 ＝2a−1，那么（ D ）
3.如果
1
2
B.a≤
1
2
D.a≥
A.a＜
C.a＞
1
2
1
这就是说，当a≥0时， ≥0.
新课导入
问题2 二次根式 ( )2 的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的值又是什么？
当a＞0时， ( )2 表示a的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝a；
当a=0时， ( )2 表示0的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝0 ，
这就是说，当a≥0时， ( )2 =a.
练一练
3.若 − 2＋9与|x−y−3|互为相反数，则x＋y的值为（ D ）
A.3
B.9
C.12
D.27
【分析】
根据互为相反数的两数相加得0，
可知 − 2＋9＋|x−y−3|＝0，
所以ቊ
− 2＋9＝0，
＝15，
解得 ቊ
即x＋y＝27.
− − 3＝0，
＝12，
知识讲解
例3
解：由题意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+4×2=9，
∴x+4y的平方根为±3.
随堂训练
1.下列运算中不正确的是（
A.
2
2
B. 3D2 ＝3
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2 , 2
2 , 2 5. 4
2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类? 几个二次根式化简后被开方数相同
1 8 ，18 ，0.5 ， 为一组； 8 80 ，20 为一组.
讲授新课
一 二次根式的乘除运算
还记得吗?
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
整式 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
例5：计算:
(1) 48 3;
1 (2) 5 ; 5
4 (3) 3 6. 3
解：(1)原式= 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3;
二次根式的 乘法法则和除法 法则
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
典例精析
例1：计算:
2 (1) 6 ； 3 6 3 (2) ； 2 2 (3) . 5
2 2 解： (1) 6 6 4 2; 3 3
6 3 63 63 (2) 9 3; 2 2 2
试回顾如何计算3a2· 2a3= 例3 计算: 6a5 .
提示：可 类比上面 的计算哦
1 (2)4 27 3 . (1)2 5 3 7； 2 解:(1)2 5 3 7 2 3 5 7 =6 35;
1 1 (2)4 27 3 4 2 2
5 5 4 5 5 ; (2)原式= 5 25 5 5
(3)原式=
4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2. 3
例6 若最简根式 2n 1 3m 2n 与 3 可以合并，求
4 m , 3 2n 1 2, 解：由题意得 解得 1 n , 3m 2n 3, 2
(3)
2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
归纳 (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算， 说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二 次根式相乘，即 a b k a b k （a 0, b 0, k 0) .
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
1 (5) 12 3; 3
8 18 (6) . 2
1 3 36 1 6 1 5; 解：(5)原式= 12 3 3
(6)原式=
8 18 4 9 2 3 5. 2 2
归纳总结
二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式
解：(1)原式= 3 2 2 3 6 6;
(2)原式= 12 3 5 36 5 6 5 1; (3)原式= ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5;
2 2 (4)原式= ( 13) 3 13 9 4;
化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并.
要点提醒
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二 次根式才能进行合并.
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8 + 18 = 2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
mn
的值.
即 mn
4 1 6 . 3 2 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程 求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 3a 8 与
xa
17 2a 可
以合并，那么要使式子 4a 2 x 有意义，求x的取 值范围. 解：由题意得3a-8=17-2a,
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号
外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
m a n b mn ab a 0, b 0
二 二次根式的加减运算
合作探究
1.（1）3x2+2x2=
5x2
;
（2）x2+2x2+4y=
(3) 2 2 2 5 10 . 5 55 5 5
例2 计算:
(1) 3 5; 1 (2) 27; 3
(3) 2 3 5.
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
解: (1)ห้องสมุดไป่ตู้3 5 15;
(2) 1 1 27 27 9 3. 3 3
27 3 2 9 18.
归纳 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项 式乘单项式的法则计算，即 m a n b mn ab a 0, b 0.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
a b c n abc n a 0, b 0, c 0 n 0
3x2+4y ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
80 45
解： 80 45 4 5 3 5 5.
3. 3 5
能不能再进行计算?为什么?
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
例4：计算:
(1)3 2 2 3; (3)( 5 1)2 ; (2) 12 3 5; (4)( 13 3)( 13 3);
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
学习目标 1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算. （重点）
2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点）
导入新课
1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：
1 8 ，18 ，80 ，0.5 ， ，20 . 8
2 2,
3 2,
4 5,