二次根式 复习
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
第16章 二次根式专题复习--分母有理化专题(共18张ppt)
a x b y 的有理化因式是 a x b y
展示方式：学生起立回答，要求说清楚过程，其 余同学直接站起来补充 （自学+展示2+2min）
指出下列各式的有理化因式
(1) 2 3
(1) 2 3
(2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27
22 5
0.1;
算 2 2 9x 6 x 2x 1;
3
4
x
3 3 x 2x .
32
程序设计：自学、合学+展示（4+4min）
展示方式：每组派学生代表演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来纠错，小组内组长负责纠错
拓展探索
怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？
x y x y x y
求a2 ab b2的值
程序设计：合学+展示（2+3min） 方法导航：先将a、b的分母有理化，化为最简 二次根式再代入求值. 展示方式：学生主动班级展示，要讲清楚过程，
其余同学直接站起来补充。
分母都同乘分母的有理化因式。
一. 分母有理化常规基本法 ---分子分母同乘有理化因式
例如：化简 (1)
6
2 3
(2) 2 1 2 1
程序设计：自学、合学+展示（4+4min） 方法导航：分子和分母都乘以分母的有理化因式. 展示方式：随机抽取学生演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来补充，小组内组长负责纠错
(3) 3 2 3
(4) 3 1 3 1
程序：老师检测小组长做题情况，小组成员完成后 交给组长检查，组长负责纠错讲解。（3+2min）
第十六章二次根式复习
一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做 二次根式
注意：使二次根式有意义的条件是 被开方数大于等于零
1．使式子 x 2 有意义的x的取值范围是 x 2
1
2．使式子 2x 3 有意义的x的取值范围是
x 3 2
3．使式子 1 有意义的x的取值范围是 x3
x3
4．使式子 3 x
（3）．二次根式的除法法则
[来源:Z。xx。]
（4）．商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb a a (a 0,b 0) bb
四．最简二次根式应满足两个条件
①被开方数不含 分母
．ห้องสมุดไป่ตู้
②被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式
．
练习：下列二次根式是最简二次根式的是（ C ）
x2
有意义的x的取值范围是 x 3 且x 2
二．二次根式的性质
( a )2 __a____ (a≥0)
三. 二次根式的乘除
a2
a
{a,a0 a,a0
（1）．二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
（2）．积的算术平方根的性质 ab a b (a 0, b 0)
A． 20
B． 9
C． 7
D． 1 3
五.二次根式加减法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化 为 最简二次根式 ，再把 被开方数相同 的二次根式 进行合并.
作业：
完成试卷上的作业
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式知识点总复习含答案
二次根式知识点总复习含答案一、选择题1．a 的取值范围为() A ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在 【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ．2．已知n n 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．15D ．45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n 是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n 的最小值为5．故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．3． ）A ．±3B ．-3C ．3D ．9【答案】C【解析】【分析】进行计算即可．【详解】，故选：C.【点睛】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键.4．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.5．若m 与18是同类二次根式，则m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】 将m 与18化简，根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：18=32A. 18m =时，12==84m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m =时，=2m ，此选项符合题意C. 32m =时，=32=42m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =时，62==273m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.6．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】．7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】22=-=故选:B8．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n 的取值，即可判断P 点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn ＞0，解得m ＜0，n ＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.9．已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】【分析】 【详解】解：135315n n =，若135n 是整数，则15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．10．50·a 的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到52a ，再根据条件确定正整数a 的最小值即可．【详解】∵50·a =50a =52a 是一个整数，∴正整数a 是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．11．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 12．有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2 C．a≠2D．a≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．13．a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1C．a＝1 D．a≤1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．14．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】=2，故不是最简二次根式；故选C.此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.15．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含开的尽的因数，故B 不符合题意；C 、被开方数是小数，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．实数,a b ||a b + ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b - 【答案】A【解析】【分析】 2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】 解：0,,a b a b ＜＜＞0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．18．下列运算正确的是( )A 532=B 822=C 114293=D ()22525-=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】 A ．532≠A 错误； B ．8222-2=2=，故B 正确；C ．137374=993=，故C 错误； D ．()225255-2-=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．19．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．20．下列计算正确的是( )A 6=B =C ．2=D 5=- 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A ====C.=，此选项计算错误；5=，此选项计算错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
二次根式知识点总复习附答案
二次根式知识点总复习附答案一、选择题1. 有意义，那么x 的取值范围是（）【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 【详解】x+5 解得 x>5.故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的 条件.——在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）V 6x 7A. x>5【答案】C【解析】 B . x>-5 C. x >5 D . x <5x 的不等式，求出x 的取值范围即可.2.已知 A . 4【答案】B . 6 2xJ 5 X 2的结果是（C. 4D . 2x 6c x2可得｛5 25 x =x-1+5-x=4，故选A.A .3时，二次根 m—5x 7式的值为，贝y m B. 晅2等于（）【答案】【解解：把x=-3代入二次根式得，原式 =m /io ，依题意得：mjio = J 5，故 =75 m=J io弓.故选B .4.若式子则化简•/ 6x 7是被开方数，••• 6x 70,又•••分母不能为零，7x > —；6故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件 .5.下列计算结果正确的是（ ）A. J 3 2= 3 B. 736 = ±6 C. 巧 +72 =5/5 D. 3 + 2 罷=5^3【答案】A 【解析】 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断. 【详解】故选A . 【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.6 •把a j —1中根号外的因式移到根号内的结果是 （）A .7B . x > 一6 7A. x A6【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解.C. x67D . XV —6•- 6x 7 0，解得, A 、 B 、 C 、D 、原式=卜3|=3，正确； 原式=6,错误； 原式不能合并，错误；原式不能合并，错误.B . T a D. v a【答案】A 【解析】 【分析】 由二次根式 a j —1知a 是负数，根据平方根的定义将 a 移到根号内是a 2，再化简根号内的因式即可. 【详解】1 ••• — 0,且 a 0,a••• a<0,a/I >,故选：A. 【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于a 的取值范围是解题的关键 7.下列运算正确的是( A . 2 込-73=1B .(- 逅)2=2C. 7(-11)2= ± 11 D .(32-22=432-422=3 - 2=1【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可【详解】根据二次根式的性质 （ja ）2=a （a>0 ,可知（-42）2=2，所以B 选项正确;a(a>0)a|= 0(a=0)，可知(-11)2 =| - 11|=11，所以 C 选项错 a(a<0)误;D 、根据二次根式的性质，可知 厶廿 =49~4=4^，所以D 选项错误.故选B . 【点睛】根据二次根式的加减，可知 2 J 3 - J 3= J 3，所以A 选项错误; (a)20得到根据二次根式的性质 77性质和运算法则计算是解题关键5 J 5 2x 3，则2xy 的值为（）【答案】A 【解析】 试题解析:2x 5 {5 2xx 解得{ya ，故③正确;故选：B . 【点睛】此题主要考查了的二次根式的性质 （苗）=a （a>0 ,a(a>0)0(a=0)，正确利用 a(a< 0)A .15B . 15C.15 15D.—22.52xy=2 X 2.5 &3) 故选A .=-15,9.如果 ab 0, a b 0，那么给出下列各式①>/ah£ a ；正确的是（）A .①②【答案】B .②③C.①③D .①②③【分析】 由题意得 0 ,然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可.【详解】 解：••• ab••• a 0, b a b1，故②正确;- = 1;②a••• j a 和j b 无意义，故①错误;b a b a1本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 10.下列各式中，不能化简的二次根式是( 【答案】C B . 5/0.3 D . 718 【解析】 【分析】 A 、B 选项的被开方数中含有分母或小数； 9 ;因此这三个选项都不是最简二次根式•所以只有 【详解】 D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数 C 选项符合最简二次根式的要求. 解: 卩返，被开方数含有分母，不是最简二次根式; N 2 2J 03 笑，被开方数含有小数，不是最简二次根式； 10 J 18 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式. 故选：C . 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： (1) 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式; (2) 在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，不是最简二次根式. 如果幕的指数大于或等于2，也11.已知a 1 J 2，则a,b 的关系是 A . a b ab 1 C. D . a b【答案】 D【解析】【分析】根据a 和 b 的值去计算各式是否正确即可. 【详解】A. a b 1 1 721逅1 1丘占1 V 211,错误；B. abB . 22，错误;1 V 212. 下列计算正确的是( A . 718 x/3 6 C. 2 罷 732【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得. 【详解】A. 尿 43 J 18 3 J 6，此选项计算错误；B. 廳 J 22^2 42 72，此选项计算正确；C. 2 J 3 43 逅，此选项计算错误；D.J ( 5)25，此选项计算错误；故选：B . 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运 算法则.13. J 50 •a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是(根据二次根式的乘法法则计算得到 5殛，再根据条件确定正整数 a 的最小值即可.【详解】••• J 50 •a ==5^2^ 是一个整数,•••正整数a 是最小值是2. 故选B. 【点睛】C. ab 1 迈1 1，错误;D. a b1 1 D . 1 1血严20,正确;1 72故答案为： 【点睛】本题考查了实数的运算问题,掌握实数运算法则是解题的关键.B.丽>/2 >/2D . J ( 5)25A . 1【答案】B 【解析】【分析】B . 2C. 3D . 5本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应 用二次根式的乘法法则化简.【解析】 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件 不含分母 ②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答 .【详解】(1) A 被开方数含分母，错误. (2) B 满足条件，正确.(3) C 被开方数含能开的尽方的因数或因式(4) D 被开方数含能开的尽方的因数或因式 所以答案选B. 【点睛】14.如果 J (X 1)2x!，那么x 的取值范围是()A. x>1【答案】AB . x>1C. x wiD . x<16【解析】 【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即 【详解】x-1>0求解即可.由于二次根式的结果为非负数可知： x-1 >0解得，x>1 故选A. 【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x 的取值范围.15.使代数式j a 岛有意义的a 的取值范围为 nn A . a 0【答案】C【解析】B . a 0C. D .不存在试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于 所以a=0.故选C. 0，可知:16.下列各式中，是最简二次根式的是【答案】B B. J 5C. V T8①被开方数 ，错误.本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键7X 的被开方数XV 0,无意义; 故选：C. 【点睛】17.计算 2412 —3J 2的结果是（ 4A .渥 2 【答案】A 【解析】2 C.- 33 D . 4【分析】 根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可. 【详解】 旦3424 (2 - 3)J 12 3 2 4 -3/2 6 區 2 . 故选：A . 【点睛】 此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键. 18.下列各式中是二次根式的是（ A .乘B .厂 D. T X (XV 0)【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的定义逐一判断即可. 【详解】 V s 的根指数为3, /〒的被开方数-72 的根指数为2, A 、B 、C 、 不是二次根式; 1V 0,无意义;且被开方数2> 0,是二次根式; D 、【解析】【分析】 先利用积的乘方得到原式=［（J 3 2）（乘 2）］2017（J 3 2）2，然后根据平方差公式和完全平方公式计算. 【详解】 解：原式=[(732) (73 2)]2017(品 2)2=(3 4)2017(3 4^3 4)1 (7 4^3)443 7故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的 乘除运算，再合并即可•在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根 式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.D 、符合二次根式的除法法则，正确.故选D .本题考查了二次根式的定义: 形如j a （a>0叫二次根式.19.计算点2）2017（丽 2）2019的结果是（）A . 2+运【答案】C B .C. 4/3 7 D . 7 4/320.下列各式中，运算正确的是（ ）A 、 a 6a 3a 2C. 2佢 3込 5^5【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幕的除法、幕的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算. 【详解】解：A 、a 6+3=a 3，故不对；B 、 （ a 3） 2=a 6,故不对； C 、 2运和3 73B . D ./ 3、2(a )76 73 72。
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(3) 12 5 ;
2 2
2
(3) 20 16果正确的是（ ）
A.2x B.0或2x
C. -2x或2x D. -2x
2 2
【变式】化简： ( x 1) ( 3 4 x )
3.若 (1 x ) 1 x ,则x的取值范围 为 (A ) (A)x≤1 (B) x≥1
5.化简：
6.代数式
2a 3a
a
2
x x 3 x 4
）
C. 3 D. 3
的最
小值是 （
A.0 B.1
7.设 3 a ， 10 b ，则 0.9 =
。
8 ． x ， y 分 别 为 8 11 的 整 数 部 分 和 小 数 部 分 ， 则
2 xy y ________
C
M
N
D
C F E B
A
P
Q
B
A
【变式】如图，△ABC是斜边AB的长为3的等 腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方 形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在 AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法 作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去， 操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长 是 ．
3.不用计算器, 比较 明理由.
2 与 3 2
6 -2.1 的大小,并说
【变式】n 1且为整数时，比较 n 1 n与 n n-1的大小。
4. 从一张等腰直角三角形纸板中剪一个 尽可能大的正方形,可怎样剪? 画图说明 你的剪法.如果这张纸板的斜边长为30 cm,能剪出最大正方形的面积是多少平方 厘米?
a,
中，二次根式有（ A.4个 B.5个
1 2 , x , , 1 2x 2 ）个
C.3个
D.2个
1.指出下列二次根式中字母a的取值范围.
x 2x 1 （ 1） （ 2 ） 2x 1 1 x
2x 1 1 x
2x 1 (3) 1 x
2. 无论x取任何实数，代数式 x 6 x m
——第一章 二次根式
本章知识框图
辨别 概念 二次根式 性质 应用 字母取值 范围
完成报纸第1版· 知识回顾
二次根式的概念
定义： 像 a 2500 , , 这样表示算术平 b 3
2
s
方根的代数式叫做二次根式。
3,
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 1
2
应用：代数式
2 2
(5)( 3 2) ( 3 2) . 2 3 3 2 （6） （5 2 6） 2 33 2
2012 2013
6.已知 x 3 1 ，求代数式 x x 3
2
的值。
7.设实数 7 的整数部分为a，小数部 分为b，求(2a+b)(2a-b)的值。
常见的几个二次根式化简： 1 2 8 2 2；12 2 3； 2 2
11、试说明二次三项式 x 5x 7 的值恒是正数。
2
归纳小结
• 本节课你对二次根式的哪些知识点又有新 的认识？ • 二次根式的解题思想方法中，主要涉及到 哪些？
2
1 ab 2 ， 9.已知 a，b 为有理数，且 4 18 8
则b =
a
.
10.若[x]表示不超过x的最大整数，根据 新定义计算下面的算式：
1 1 2 1 2 3 2 3 1 2013 2012 2013
2
都有意义，则m的取值范围为______。
3.若整数x满足 x 3 ，则使 x的值是 。
7 x 为整数的
4.若x、y为任意数，且满足
则xy的值是
2 x 1 1 2x y 4
。
5.当x=______时， 2 x 6 的值最小. 6.若a，b为实数,且 | 2 a | b 2 0
二次根式的性质
(1)( a ) a(a 0)
2
a (2) a a a
2
(a 0) (a 0) (a 0, b 0)
(3) a b a b a a (4) b b
(a 0, b 0)
1.计算：
(1) (1 2) ;
2
(2) (3 ) 6 ;
常见的几个二次根式近似值： 2 1.414；3 1.732；5 2.236
二次根式的应用
1. 如图，某公园入口处原有三级台阶， 每级台阶高20㎝，深为30㎝，为了方便 残疾人，现拟将台阶改为斜坡，斜坡的 坡比定为1：8，设台阶的起始点为A,斜 坡的起始点为C，求AC和BC的长。
2. 在如图所示的4×4 方格中,每个小方格的边 长都为1. (1)试在图中分别画出长度为 17 和 20 的线 段,要求线段的端点在格点上. (2)试在图中画出一个三条边长分别为3, 2 2 , 5 的三角形,使它的顶点都在格点上.
求 a2 b2 2b 1 的值。
7. 在直角坐标系中，点（1，3）与（-1，2）间 的距离是________.
8.作一条线段，使它表示二次根式
2
x 4
2
再作一条线段，使它等于 (2 x) 4 利用你所构造的图形，求代数式
x 4 (2 x) 4
2 2
的最小值，以及相应的x的值。
2
(C) 0≤x≤1
2 2
(D)一切有理数
若 a a, 则a 0; 若 a a, 则a 0.
5.计算：
1 1 (1) 18 2 ( 3) ; 2 (2) 6(2 3 18) 3 8
(3)( 2 3)( 6 3); (4)(3 2 2 3) (3 2 2 3) ;