2011届广东高考理科数学仿真模拟押题卷3
2011届高考数学仿真押题卷——广东卷（理3）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x yR =-=∈，则集合A B =A.)0,0(B. {}{}00=⋃=y xC. {}0D. {})0,0(2．201111i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知向量(12)a = ，，(4)b x = ，，若向量a b ⊥，则x =A ．2B ．2- C ． 8 D ．8-4．已知0a >,且1a ≠,11(),()12xf x f x a =--则是A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m 其中，真命题有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6．给出计算 201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i7．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的 A ．充分非必要条件能 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k=第6NA ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +．10．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几 何体的体积为 ．11．6)1(x x -的展开式中的常数项是 ．，y ∈N*) 则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ， 该数列的通项公式n a = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD 于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∙=∠25MAB 则=∠D ．15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．，求：（1）角C 的大小；（ 2）△ABC 最短边的长．17．（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3．（1）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围．18．（本小题满分14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望． 19．（本小题满分14分）如右图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA EF ⊥；（2）求二面角D －FG －E 的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ． 21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案40分1.选D 提示：求2条直线的交点.2.选C.提示：先将括号里面的式子化简.3.选D.提示：02121=+=⋅y y x x .4.选A.提示：)()(x fx f -=- 5.选B 提示：(2)(3)(4)为假命题6.选A.提示：11201614121=++++=i S 时，当 .7.选A.提示：当x,z 都取负数时.8.选B.提示：根据运算有1,,311*2=∴∈=++⋅k R k k k .二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．210．11．20-12．0.7 13．23 ；1321n -⋅- 14．115︒15．()2cos 1ρθ=-9.2.提示：）处取得最大值，在点（121.10..提示：12此几何体为圆锥，底面圆的半径为， 2.11.-20.提示：20)1(C 3336-=-x x 常数项为：.12.0.7.提示：7.02014205,9==++∴=+y x y x .13.23 ；1321n -⋅-.提示：11231),1(21-+⋅=+∴+=+n n n n a a a .14.115︒.提示：，，，由已知得：连接0090BAC 25BCA AC =∠=∠ 00115ADC 65ABC =∠=∠，.15.()2cos 1ρθ=-.提示：转化为直角坐标系求解.三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数基本公式和正弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）………………… 2分tan tan 1tan tan A BA B+=--112311123+=--⨯ 1=- ………………… 4分 ∵0C π<<， ∴34C π=…………………6分（2）∵0<tanB<tanA ，∴A.B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c, ………………… 8分由1tan 3B =，解得sin B =………………… 10分由sin sin b c B C =，∴1sin sin c B b C⋅===．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2， 由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3，知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a …… ① …………………2分 因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ，即0412=+-b a …… ②由①②联立解得4,2-==b a ，∴542)(23+-+=x x x x f ．…………………6分 （2）b ax x x f ++='23)(2， 由①知02=+b a ，∴b bx x x f +-='23)(．)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，依题意)(x f '在]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，………8分即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立，下面讨论函数()y f x '=的对称轴：在16≥=b x 时，03)1()(min >+-='='b b f x f ,∴ 6≥b ．…………………9分在26-≤=bx 时，0212)2()(min ≥++=-'='b b f x f ，无实数解．…………………10分在162<<-b时，1212)(2min≥-='b b x f ，∴ 60<≤b ．…………………11分 综合上述讨论可知，b 的取值范围是{}0≥b b ．…………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查条件概率.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识） 解：设事件A 为“第1次取到白球”， B 为“第2次取到白球”， C 为“第3次取到白球”，则（1）()()111114653612492|3C C C C C P C A C A +== ． …………………4分（2）因为每次取出之前暗箱的情况没有变化， 所以每次取球互不影响，所以()63105P C ==．…………………8分（3）设事件D 为“取一次球，取到白球”，则()25P D =，()35P D =，…………………10分这3次取出球互不影响，则23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ ，…………………12分 ()332355k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,2,3k =．…………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力） （1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD PD ⊥． 又ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥． ∵PD AD D = ，∴CD ⊥平面PAD ．…………………4分 ∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥． ∵EF CD ，∴PA EF ⊥．…………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,0,2)PA =- ，(0,1,0)EF =-．…………………4分∵()()2,0,20,1,00PA EF =--=，∴PA EF ⊥．…………………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF = ，(0,1,0)EF =-， (1,2,1)FG =-．…………………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵0,0.DF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 11110,20.z x y z =⎧∴⎨+-=⎩令11y =，得()2,1,0=-m 是平面DFG 的一个法向量．…………10分设平面EFG 的法向量为222(,,)x y z =n ，∵0,0.EF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220,20.y x y z -=⎧∴⎨+-=⎩ 令21z =，得()1,0,1=n 是平面EFG 的一个法向量．……………12分∵cos ,||||⋅<>=⋅m n m n mn ===．设二面角D FG E --的平面角为θ，则,θ=<>m n ．所以二面角D FG E --的余弦值为．…………………14分解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =， (1,2,0)DG = ，(0,1,0)EF =-，(1,1,1)EG =- ，(1,2,1)FG =-．…………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ， ∵,,F G M 三点共线， ∴()1DM DF DGλλ=+- ，∵0DM FG =，∴()10DF FG DG FG λλ+-= ，即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=．…………………10分∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ．再过E 作FG 的垂线，垂足为N ， ∵,,F G N三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+- ，∵0EN FG =， ∴()10EF FG EG FG μμ+-= ，即()()2140μμ⨯-+-⨯=，解得23μ=．∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ ．∴cos ,5DM EN DM EN DM EN==-⋅．…………………12分∵DM 与EN所成的角就是二面角D FG E --的平面角，所以二面角D FG E --的余弦值为5-．…………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数.最值.等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力.以及创新意识）（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1xf x e '=-． 令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．……………4分∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减， 在区间()0,+∞上单调递增.∴当0x =时，()f x 有最小值1．…………………6分（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n =-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01kn ke n -<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．…………………9分即(1,2,,1)n kn k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭ ． ∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n n n nn n n n ee e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…12分∵(1)(2)2111111111n n n e e eee e e e e ----------+++++=<=--- ，∴1211nnn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力.运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x <， ∵AM BM +=0 ，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0．∴124x x +=，22128x x p +=．…………………4分 ∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．…………………6分 （2）当2p =时，由（1）求得A .B 的坐标分别为()0,0.()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），…………8分使得经过A .B .C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A .B .C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ①…………9分 ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ，∴经过A .B .C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t ．………10分∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+，即()()324480t E t E ++-+=． ②…………………12分∵0t ≠，由①.②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=． ∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．…………………14分解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。
2011年广东省高考理科数学模拟试题(三)
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b =A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 A ．4B ．41 C ．－4D ．－144．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =A ．2B 3C ．3D ．3或3-5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种 7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=A ．2C ．D ．48．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为A ．14 B ． 58 C ．38 D ．12二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分30分．9．52)1)(1(x x -+展开式中x 3的系数为_________．10．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________．11．以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________．12．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则=_________．13．已知3444815=，…若=（,a t 均为正实数），则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ．▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．15．(几何证明选讲选做题）点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数()f x a b =⋅，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．17．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC2,CA CB CD BD AB AD ======(1) 求证：AO ⊥平面BCD ；(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小； (3) 求点E 到平面ACD 的距离． 19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率2e =，求P 的方程； （2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20．（本小题满分14分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间； （3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明； （Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ， 证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .CE。
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学
19．（本小题满分14分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M 在直线上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程. 20．（本小题满分14分）已知函数. （I ）当的单调区间；（II ）若函数的最小值；…（III ）若求证：.21．（本小题满分14分）设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y 有：且．⑴、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n 项和,求数列的通项公式；．⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：对一切成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．．10x y +-=22221(0)x y a b a b+=>>A BM AB AM BM =-1:2l y x=2c e a ∴==l 221x y +=2212x y +=()(2)(1)2ln f x a x x =---1,()a f x =时求[)2,+∞单调增区间为1()(0,),2f x a 在上无零点求24ln 2.a -则的最小值为,0m n <<m nm nm 2ln ln <--()f x ()0,+∞()()()f xy f x f y =+1()12f =-{}n a ()()(1)1n n n f s f a f a =++-n S {}n a {}n a n a n ∴=1212221(21)(21)(21)n n n aa a M n a a a ⋅≥+---*n N ∈∴03M <≤（第20题）19．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．(1)综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值； 当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ；当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ae．(2) 故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．20．（本小题满分14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程． (1)当且仅当22b =S 取到最大值1． (2) 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =-- 21．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，33312n n S a a a =+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：21221n n nn n n a a a +-+≥．(1) 22a =． (2) n a n =．。
2011届高考数学 模拟试题 理 新人教版
2011届高考模拟试题数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至6页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷满分为150分，完成时间为120分钟。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的。
1．已知复数z =z 在复平面上对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设a 、b 是非零实数，那么“a >b ”是“lg(a -b )>0”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 已知函数()y f x =在其定义域(,0]-∞内存在反函数，且2(1)2f x x x -=-，则11()2f --的值等于A ．2-B ．C ．-D ．12-4．以抛物线241x y =的焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是A ．160098122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y xB ． ()259122=-+y xC ．1600168122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x yD ． ()2516122=-+x y 5. 若n xx )13(+的展开式中各项的系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项PCABQ共有 ( ) A 2项 B 3项 C 4项 D 5项4． 6. 若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn c a c a )(lim 22++∞→等于A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在7．如图，设平面EF αβ⋂=，AB α⊥，CD α⊥，垂足分别是B 、D ，如果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，这个条件不可能．．．是下面四个选项中的 A ．CD β⊥ B ．AC EF ⊥C ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角都相等8．甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为A ．72种B ．54种C ．36种D ．24种9．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ =23AB +14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为A ．45B ．15C ．14D ．1310． 已知A ，B 为椭圆22143x y +=的左右两个顶点，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上异于A 、B 点的任意一点，直线AP 、BP 分别交椭圆的右准线于M 、N 两点，则MFN ∆面积的最小值是 A ．8 B ．9 C ．11 D ．12第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
2011年高考广东数学(理科)模拟试题
2011年高考广东数学(理科)模拟试题本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={-1,0,a},B={x02，条件q:x A．（-∞,-1） B. （-∞,-1] C. （3,+∞） D. [3,+∞）6．已知函数g(x)=2x，且有g(a)g(b)=2，若a>0且b>0，则ab的最大值为（）A．B．C. 2 D． 47. 设和是两个不重合的平面，给出下列命题：①若内两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②若外一条直线l与内一条直线平行，则l//；③设∩=l，若内有一条直线垂直于l，⊥；④直线l⊥的充要条件是l与内的两条直线垂直．上面的命题中，真命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ②③④8．定义一种运算S=ab，运算原理如下框图所示，则式子cos45°sin15°+sin45°cos15°的值为（）9．已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=010．已知凸函数的性质定理：“若函数f（x）在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的任意x1,x2,…,xn，有：[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（）”．若函数y=sinx在区间(0,)上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）A．B．C．D．第二部分非选择题(共100分)二、填空题：(本大题共6小题，其中11-14题为必做题. 15、16题为选做题，任选一题完成．每小题5分，共30分，将正确答案填在答卷相应的位置上）（一）必做题：9-13题是必做题，每道试题考生都必须作答．11．已知向量=(1,2),=(x,-4)若//,则•等于.12．若△ABC的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45°，=2，则b= .13．若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，且a5=56，则a0+a1+a2+…+a8=．14．已知正实数x,y满足xy=1,则(+y)(+x)的最小值为.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为sin(+)=，则点A(2,)到这条直线的距离为.16．（几何证明选讲选做题）如图：已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2. AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知=(1,sinx-1),=（sinx+sinxcosx,sinx）,f（x）=•.(x∈R)求：（1）函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．18．（本小题12分）如图3，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,AC⊥BC,点D是A1B1中点.(1)求证：平面AC1D⊥平面A1ABB1;(2)若AC1与平面A1ABB1所成角的正弦值为，求二面角D-AC1-A1的余弦值.19．（本小题12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；(Ⅱ) 观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知定点E(-1,0)，F(1,0)，动点A满足AE=4，线段AF的垂直平分线交AE于点M．（1）求点M的轨迹C1的方程；（2）抛物线C2：y2=4x与C1在第一象限交于点P，直线PF交抛物线于另一个点Q，求抛物线的POQ 弧上的点R到直线PQ的距离的最大值．21．（本题满分13分）设数列{an}是首项为a1(a1>0)，公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且,,成等差数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=的前n项和为Tn，求Tn.22．（本题满分14分）已知三次函数f （x）=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).（Ⅰ）若函数f （x）过点(-1，2)且在点(1，f （1）) 处的切线方程为y+2=0，求函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有f （x1）-f （x2）≤t，求实数的最小值；（Ⅲ）当-1≤x≤1时，f ′（x）≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f （x）的表达式.2011年高考广东数学（理科）仿真试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题（每小题5分，共25分，15、16题为选做题）11. -10;12. 5;13. 28;14. 4;15. ;16. .三、解答题17．（本小题满分12分）解：（1）f（x）=•=sinx+sinxcosx+sin2x-sinx …………2分=sin(2x-)+，…………4分∴x=k+(k∈Z)时，f（x）取得最大值，…………6分最小正周期为. …………8分（2）当2k-≤2x-≤2k+,k∈Z…10分即k-≤x≤k+,k∈Z时函数为增函数， (11)分∴原函数的递增区间是[k-,k+](k∈Z) (12)分18. （1）据题意A1C1=B1C1，且D为A1B1中点，∴C1D⊥A1B1，又BB1⊥面A1B1C1，C1D 面A1B1C1，∴BB1⊥C1D, ∴C1D⊥面A1ABB1. …………2分又C1D 面AC1D，∴面AC1D⊥平面A1ABB1．……………4分（2）由（1）知C1D⊥面A1ABB1,∴∠C1AD为AC1与平面A1ABB1所成的角． (6)分设AC=CB=1,AA1=x,则AC1=,C1D=，sin∠C1AD===,∴x=2.…………8分又因为AC、CB、CC1两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：取面A1C1A的法向量为==(0,1,0)，设面ADC1的法向量为=(x,y,z)，又C1(0,0,2),A(1,0,0),D(,,2),∴=(1,0,-2),=(,,0),•=0, ∴x-2z=0．•=0 ,∴x+y=0 , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴=(2,-2,1)．cos〈，〉=＝＝－.………11分又D在面A1AC1上的射影为A1C1的中点，故二面角D-AC1-A1为锐角，设为，所以cos= .…………………12分19.(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只”, i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只”, i=0,1,2, …………………2分依题意有: P(A1)=2××=,P(A2)=×=.P（B0）=×=,P(B1)=2××=,……4分所求概率为:P=P(B0•A1)+P(B0•A2)+P(B1•A2) =×+×+×=．………………6分(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,).P(ξ=0)=()3=,P(ξ=1)=C31××()2=,P(ξ=2)=C32×()2×=,P(ξ=3)=()3=．…………………10分ξ的分布列为:数学期望: Eξ=3×=.……………………12分20. （1）依题意有ME+MF＝ME+MA＝AE＝4>EF ＝2，∴点M的轨迹是以E，F为焦点的椭圆． (3)分∵2a=4,2c=2，∴a=2,b=，故所求点M的轨迹方程是+=1.………6分（2）联立方程y2=4x，+=13x2+16x-12=0，解得x=或x=-6（舍去）．将x=代入抛物线方程得y=，∴点P的坐标为P(,)．……………8分∴kPF=-2，于是可得PQ所在直线的方程为：2x+y-2=0．………………………………9分设PQ的平行线方程为：2x+y+t=0，由y2=4x，2x+y+t=024x2+4(-t)x+t2=0．令△=16(t-1)2-96t2=0t=．………11分∵R到PQ的最大距离即为直线2x+y+=0与PQ之间的距离，故所求为d==．………………………………13分21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2， (2)分由,,成等差数列得，2=+，即2=+，解得a1=1，故an=2n-1．…………………4分（Ⅱ）bn===(2n-1)()n，……………5分法1：Tn=1×()1+3×()2+5×()3+…+(2n-1)×()n………………………………①①×，得Tn=1×()2+3×()3+5×()4+…+(2n-3)×()n+(2n-1)×()n+1………………………………②①-②，得Tn=+2×()2+2×()3+…+2×()n-(2n-1)×()n+1=2×--(2n-1)×()n+1=--，………………………………10分∴Tn=3--=3-．………………12分法2：bn===n•-，设Fn=，记f（x）=(kxk-1)，则f（x）=(xk)′=(xk)′=()′=，∴Fn=4-(n+2)()n-1， (10)分故Ｔn=Fn-=4-(n+2)•-1+=3-．……………………12分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵函数f（x）过点(-1,2)，∴f（-1）=-a+b-c=2，………………………………①又f（x）=3ax2+2bx+c，函数f（x）在点(1, f（1）)处的切线方程为y+2=0，∴ f （1）=-2, f （1）=0, ∴a+b+c=-2,3a+2b+c=0. ………………②由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x3-3x．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）f ′（x）=3x2-3，令f ′（x）=0，解得x=±1，∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，∴在区间[-3,2]上fmax（x）=2，fmin（x）=-18，∴对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1，x2，f（x1）-f（x2）≤20，∴t≥20，从而t的最小值为20．……………8分（Ⅲ）∵ f ′（x）＝3ax2+2bx+c，则f ′（0）=c,f ′（-1）=3a-2b+cf ′（1）=3a+2b+c,,可得6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）．∵当-1≤x≤1时，f ′（x）≤1，∴f ′（-1）≤1，f ′（0）≤1，f ′（1）≤1，∴6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）≤f ′（-1）+f ′（1）+2f ′（0）≤4，∴a≤，故a的最大值为．当a=时，f ′（0）=c=1,f ′（-1）=2-2b+c=1,f ′（1）=2+2b+c=1,解得b=0，c=-1，∴a取得最大值时f（x）=x3-x． (14)分（作者单位：刘会金：光明新区教育科学研究管理中心；陈兴旺：光明新区高级中学）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
广东省2011届高三全真高考模拟试卷(四)(数学理)
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）注意事项：1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将第I 卷答案的序号填涂在答题卡上，第II 卷答案填写在答卷的相应位置上；2. 本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A C B = （ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则3z x y =-的最小值（ ）A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-3. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ ）A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-4. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为( )A.2 B.3 C. 23-或 D. 23或5. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b, 则b = ( )A.B.C.D. 6. 曲线3123y x =-在点（5(1,)3-处切线的倾斜角为（ ）A .6πB.4πC. 34π D .56π7. 给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在A B C ∆中，“45A > ”是“sin 2A >”的充要条件.其中不正确的命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 08. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数. 给出下列函数： ①x x x f cos sin )(+=； ②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=；④2sin 2)(+=x x f .其中“互为生成”函数的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9. 已知0x >，则43x x--的最大值为 ．10. 在A B C ∆中，3B π=，且BA BC ⋅=则A B C ∆的面积是____________. 11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．12. 右面是计算3331021+++ 的程序框图，图中的①、②分别 是 和_____________.13. 设P 是边长为a 的正A B C ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则1232h h h a ++=；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体A B C D 内的一点，则P点到四个面的距离之和1234h h h h +++= .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.14.（几何证明选讲选做题）如图，已知R t A B C ∆的两条直角边A C ,B C 的长分别为3cm ，4cm ，以A C 为直径的圆与A B 交于点D ，则B D ＝ cm .15. （坐标系与参数方程选做题）直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为_____ ______.三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知函数()4sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=,求sin θ的值.17．（本小题满分12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴、求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； ⑵、求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； ⑶、设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．18．（本小题满分14分）如图所示的长方体1111ABC D A B C D -中，底面A B C D 是边长为2的正方形，O 为A C 与B D 的交点，1BB =M 是线段11B D 的中点．（Ⅰ）求证：//B M 平面1D AC ；（Ⅱ）求证：1D O ⊥平面1AB C ； （Ⅲ）求二面角1B AB C --的大小．19．（本小题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 20．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；第18题图（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为))((*N n n f ∈. （1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式； （2）记()(1)2n nf n f nT ⋅+=，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有mT n ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中)(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由.2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U A C B = {}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值.3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42a x =≥即可.4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b = 6.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==.7.选 Ａ．提示： ①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”； ③在A B C ∆中，“45A > ”是“sin 2A >”的必要非充分条件.8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可. 10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s B A B C B =⋅⋅=.11.223144xy -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.13. 3.提示:把棱长为a 的空间正四面体A B C D 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值. 14． 165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理.15．85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为35,然后由弦长l =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=，∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=,∴21sin 3θ=…………………10分由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin 3θ=…………………12分17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ， 那么4424541()10A P E C A==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C Aξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：18. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是B D 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D O BM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分……… 12分∵1D O ⊂平面1D AC ，B M ⊄平面1D AC ，∴//B M 平面1D AC ． ………… 4分 （Ⅱ）连接1O B ，∵正方形A B C D 的边长为2，1BB =，∴11B D =12O B =，12D O =， 则2221111O B D O B D +=，∴11O B D O ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABC D A B C D -中，A CB D ⊥，1ACD D ⊥，∴A C ⊥平面11BD D B ， 又1D O ⊂平面11BD D B ， ∴1AC D O ⊥， 又1AC O B O = ，∴1D O ⊥平面1AB C ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1A B B 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结E C ，∵C B A B ⊥，1C B BB ⊥， ∴C B ⊥平面1A B B ，又1AB ⊂平面1A B B ， ……………………………9分 ∴1C B AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CB BE B = ，∴1A B ⊥平面EBC ，而E C ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴B E C ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分在R t B E C ∆中，3BE =，2B C =∴tan BEC ∠=60BEC ∠= ，∴二面角1B AB C --的大小为60 ． …………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，则点(1,1,0)O 、1(0,0,D ，∴1(1,OD =--又点(2,2,0)B ，M ，∴(1,1,BM =--∴1O D BM = ，且1OD 与BM 不共线， ∴1//O D BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，B M ⊄平面1D AC ，∴//B M 平面1D AC ． ……………………………4分（Ⅱ）∵11(1,0OD OB ⋅=--⋅=，1(1,(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥ ，1OD AC ⊥ ，即11O D O B ⊥，1O D AC ⊥， 又1O B AC O = ，∴1D O ⊥平面1AB C ． …………………………8分 （Ⅲ）∵C B A B ⊥，1C B BB ⊥， ∴C B ⊥平面1A B B ，∴(2,0,0)BC =-为平面1A B B 的法向量．∵11OD OB ⊥ ，1OD AC ⊥ ，∴1(1,OD =--为平面1AB C 的法向量．∴11cos ,2B C O D <>= ，∴BC与1O D 的夹角为60 ，即二面角1B AB C --的大小为60 ．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1A B B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，1112A B B S A B B B ∆=⋅⋅=1112A B C S A C B O ∆=⋅⋅=∴111cos 2AB B AB CS S α∆∆===，∴二面角1B AB C --的大小为60…………14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k =·，于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分…………12分故12x =时，()f x 达到极大值． 因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴F B B C ⊥ ∵,B C B F b k b k c=-=∴1b b c-⋅=- --------------------2分∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分解得12c -= --------------------------------------5分∴椭圆2c e a ==分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------①-----------7分∵BC 的中点为1(,)22b，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22by x b -=------②---------9分 由①②得21,22cb cx y b --==， 即21,22cb cm n b --== -----11分∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022cb c b --+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22n n n f n f n n n T ++==119(1)(2)229(1)22n n n n n n T n n n T n +++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立，只需272m ≤∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b ===8(18)8(81)187nnn S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n nn tb S tb S ， 化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分 若1t =时 8817781277nn -<-，81577n<即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815877n t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n nn tb S tb S 成立. - --------------14分。
2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题(二) 理(广东卷)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z •在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()x y a=（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是 （ ）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值范围是 （ ）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f的解集是 （ ）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9） （6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安 岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 （ ） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是 （ ） A ．21B ．22 C ．21-D ． -22 （8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为 （ ）A ．1BC．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为 （ ）A ．36πBC ．9π D ．6π （10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）. 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是 （ ） A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2011高考数学(理)仿真模拟题及答案(9)
2011届高考数学仿真押题卷——全国卷（理9）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2．=-2)1(21i （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－iD ．i3．已知),2,23(,54)2sin(ππααπ∈=-则)tan(απ-等于 （ ）A ．43 B ．34- C ．43-D ．344．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 ( ) A ．18 B. 36 C. 54 D. 72 5．设函数xxx f +-=121)(，若函数)(x g 的图象与)1(1+-x f 的图象关于直线x y =对称，则)2(g 等于 ( )A 54-B 45- C 1- D 2- 6.若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （ ）（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 347．下列同时满足条件：（1）是奇函数（2）在[]1,0上是增函数（3）在[]1,0上最小值为0的函数是 （ ）A x x y 55-= B x x y 2sin += C xxy 2121+-= D 1-=x y8已知函数)1.0(log )(≠>=a a x x f a 满足)2(a f >)3(a f ，则0)11(>-xf 的解是（ ）A. 0<x<1B. x<1C. x>0D. x >19．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ( )A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种10.对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与直线a 异面；②与直线a 所成的角为定值θ③与直线a 的距离为定值d,那么这样的直线b 有 ( )A.1条B.2条C.3条D.无数条11．已知P 是双曲线14822=-y x 右支上的一动点，21,F F 分别是左右焦点,O 为坐标原点,则OPPF PF 21+的取值范围是 ( )A (2,3)B (2, 6]C D12若向量),sin 3,cos 1(),0.1(θθ++==OB OA 则OA 与OB 的夹角的取值范围是（ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．13若（812)2x-展开式的第3项为56，则2l i m ()nn x xx →∞+++ = 。
2011高考数学(理)押题及答案(3)
2011届高考数学仿真押题卷——全国卷（理3）第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，集合B={0，1，3}，则（ ） A ．U B C A U =)( B ．φ=B A C U )(C ．U B C A C U U =)()(D ．φ=)()(B C A C U U2．定义运算bc ad d c b a -=,,，则符合条件01121=+-+ii iz ，，的复数z 的共轭复数．．．．z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，32008201120082011=-S S ，则2a =（ ）A ．2008-B ．2012-C ． 2008D ．20124. 已知两条直线2121//,08)5(2:,0534)3(:l l y m x l m y x m l =-++=-+++，则直线l 1的一个方向向量是（ ）A ．（1，－12）B ．（－1，－1）C ．（1，－1）D ．（－1，－12）5．若,,R y x ∈则“()324log 2=-+y x xy ”是“0258622=++-+y x y x ”成立的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6. 设(5nx -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开中3x 的系数为（ ）A ．－150B ．150C ．－500D ．5007．若a,b,c 0>且a (a b c)bc 4+++=-2a b c ++的最小值为（ ）A 1-B 1+C ．2+D ．2-8. 某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（ ） A.60 B.54 C.48 D.429．已知1,2==BC AB 的矩形ABCD ，沿对角形BD 将BDC ∆折起得到三棱锥C —ABD ，且三棱锥的体积为,1552则异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为( ) A .51 B. 52 C. 54 D. 2017 10. 设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y xx y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．411．设函数f （x ）＝x e (sin x cosx)-（0≤ x ≤2011π），则函数f （x ）的各极大值之和为（ ）A.20122(1)1e ee πππ－－ B.1006(1)1e ee πππ－－ C.10062(1)1e e eπππ－－ D.20102(1)1e e e πππ－－12. 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知4(,0),cos(),tan 225παπαα∈--=-则= 14.直线x y 30ι-= 与抛物线42y =x 相交于A 、B 两点，与x 轴相交于点F ，AMCBNPQ若OF ＝λOA ＋μOB （λ≤μ），则μλ＝_______．15．对于函数b x a x a x x f +-+-=||)3(2||31)(23，若)(x f 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 .16. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=5，AB=6，AD=8.该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈;（2）C α∈,则C 1 、O 两点间的最大距离为 .三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分） 17.已知O 为坐标原点，(cos (2cos ,sin cos )M x N x x x 其中,x R a ∈为常数，设函数x f ⋅=)(（Ⅰ）求函数()y f x =的表达式和对称轴方程；（Ⅱ）若角C 为ABC ∆的三个内角中的最大角,且()y f C =的最小值为0，求a 的值. 18. 在衡水中学举办的教师阳光心理素质拓展活动中有一项趣味投篮比赛, A 、B 为两个定点投篮位置，在A 处投中一球得2分，在B 处投中一球得3分.教师甲在A 和B 处投中的概率分别是12和13，且在A 、B 两处投中与否相互独立. （Ⅰ）若教师甲最多有2次投篮机会，其规则是：按先A 后B 的次序投篮，只有首次在A处投中后才能到B 处进行第二次投篮，否则中止投篮，试求他投篮所得积分ξ的分布列和期望；（Ⅱ）若教师甲有5次投篮机会，其规则是：投篮点自由选择，共投篮5次，投满5次后中止投篮，求投满5次时的积分为9分的概率.19. 四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,44PAPQ ==，底面为直角梯形90,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点（Ⅰ）求证：MQ// 平面PCB ；（Ⅱ）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅲ）求点A 到平面MCN 的距离．20. 已知函数()f x 满足2(+2)=()f x f x ，当()10,2()ln ()2x f x x ax a ∈=+<-时，，()4,2()x f x ∈--时，的最大值为4-。
广东省中山市2011届高三数学第三次模拟 理
中山市2011年高三第三次模拟试题理科数学本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 线性回归方程系数公式：ˆybx a =+，其中121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数421ii-+（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．3 B ．6 C ．3- D ．22．命题“,xx e x ∃∈>R ”的否定是（ ）A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,xx e x ∃∈≤R3．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(1)0.9P ξ>=，则(5)P ξ<=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.1D ．0.2 4．下列命题正确的是（ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称的图形5．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足1133CM CB CA =+，则MA MB ⋅=（ ） A ．2- B ．2 C ．23- D ．236．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，其中所有真命题．．．的序号是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①②7．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2011项2011a 满足（ ）A ．20111010a <<B ．20111110a ≤<C ．2011110a ≤≤D ．201110a >8．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ） A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是 10．已知x 、y 的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.86.7若y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ； 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 ； 12． 在ABC ∆中，已知(1,3)A ，A ∠的平分线的方程为2y x =+，BC 边上的高所在的直线的方程是142y x =-+，则AC 边所在的直线的方程为13. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则点集{1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈{}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积分别为 ； ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________； 15．(几何证明选讲选做题） 如图, ,PC DA 是O 的两条切线，AB 为O 的直径，若2, :1:2DA CD DP ==，则AB = ________ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2011广东高考数学(理)押秘试题及答案
广 东 省2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数学（理）试题本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高. 球的表面积公式24S R π=, 其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤ C ．}{11x x -<< D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为A B C ．5 D ．13 4. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上NMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)A ．是减函数B ．是增函数C ．有极小值D ．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, A ．96 B ．114C ．128D ．136 图1 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2, 长 为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有 户.D 10. 以抛物线2:8C y x=上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点，那么该圆的方程为.11. 已知数列{}n a是等差数列, 若468212a a a++=, 则该数列前11项的和为.12. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知3,,3c Cπ==2a b=, 则b的值为.13. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件25,2,6.x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题)如图4, CD是圆O的切线, 切点为点A、B在圆O上，1,30BC BCD︒=∠=，则圆O15. (坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，若过点(极轴垂直的直线交曲线4cosρθ=于A、B两点，则AB图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x=+(x∈R).(1)当x取什么值时,函数()f x取得最大值,并求其最大值;(2)若θ为锐角，且8fπθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tanθ的值.DA 1B 1BA17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A A B==. (1) 求证：1//AB 平面1BC D ；(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图519.（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足 O P O Q ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得 ()()1212fx f x L x x -≤-都成立.(1) 若()f x =求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n = .① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑； ② 令()121,2,3,k k a a a A k k ++== ，证明：112111nk k k A A a a L +=-≤--∑.参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 3312. 13. 1014.π15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 1分22x x ⎫=+⎪⎪⎭ (2)分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (3)分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值, …… 5分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分 ∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==. …… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ== (9)分∴22tan 1tan θθ=-. …… 10分2tan 0θθ+-=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan 2θ= 或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分∴tan 2θ=. …… 12分解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos θ=. …… 9分∴sin θ==. …… 10分∴sin tan cos 2θθθ==. …… 12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==. (8)分∴sin tan cos θθθ= …… 9分22sin cos 2cos θθθ= (10)分sin 21cos 2θθ=+=. …… 12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：…… 2分∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分 ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分GFEODC 1A 1B 1CBA故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. (12)分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……6分 设BC a =，在Rt △ABC中，AC ==AB BC BE AC ==∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=a =. …… 8分依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分 由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得1132BF CC GF BC ⨯=== 在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠=3=. ∴二面角1--C BC D的正切值为3. …… 14分 解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -.则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =- ,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC = 及n 0BD = ,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-.故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 11分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-,∴cos 〈n ,AB 〉= ⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-== …… 12分 ∴sin 〈n ,AB 〉== …… 13分 ∴tan 〈n ,AB 〉=∴二面角1--C BCD …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =- .当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. …… 2分 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠.∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=.∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d =212= …… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯ …… 9分= …… 10分=，即k =.此时1b =-. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d =2412x += …… 7分12⎫=+ …… 8分12≥⨯ …… 9分= …… 10分=，即1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d ==…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯ …… 9分= …… 10分=，即11y =时，等号成立,此时1x = ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分 ① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； (9)分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． (10)分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分（ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有()()12f x f x -===. ……2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.12,x x >>且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. ……4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分(2) 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n = ,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤- . ……6分∴112233411nkk n n k aa a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L La a -≤++++- …… 7分1211nL a a L-=--. …… 8分∵01L <<, ∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分②∵12kk a a a A k++=,∴1212111k k k k a a a a a a A A k k ++++++++-=-+ ()()12111k k a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+ .…… 11分∴1122311nkk n n k AA A A A A A A ++=-=-+-++-∑ ()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭ 1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++- 1211a a L≤--. ……14分。