2011届广东高考理科数学仿真模拟押题卷3

2011届高考数学仿真押题卷——广东卷（理3）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x yR =-=∈，则集合A B =A.)0,0(B. {}{}00=⋃=y xC. {}0D. {})0,0(2．201111i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知向量(12)a = ，，(4)b x = ，，若向量a b ⊥，则x =A ．2B ．2- C ． 8 D ．8-4．已知0a >,且1a ≠,11(),()12xf x f x a =--则是A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m 其中，真命题有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6．给出计算 201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i7．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的 A ．充分非必要条件能 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k=第6NA ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +．10．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几 何体的体积为 ．11．6)1(x x -的展开式中的常数项是 ．，y ∈N*) 则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ， 该数列的通项公式n a = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD 于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∙=∠25MAB 则=∠D ．15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．，求：（1）角C 的大小；（ 2）△ABC 最短边的长．17．（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3．（1）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围．18．（本小题满分14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望． 19．（本小题满分14分）如右图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA EF ⊥；（2）求二面角D －FG －E 的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ． 21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案40分1.选D 提示：求2条直线的交点.2.选C.提示：先将括号里面的式子化简.3.选D.提示：02121=+=⋅y y x x .4.选A.提示：)()(x fx f -=- 5.选B 提示：(2)(3)(4)为假命题6.选A.提示：11201614121=++++=i S 时，当 .7.选A.提示：当x,z 都取负数时.8.选B.提示：根据运算有1,,311*2=∴∈=++⋅k R k k k .二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．210．11．20-12．0.7 13．23 ；1321n -⋅- 14．115︒15．()2cos 1ρθ=-9.2.提示：）处取得最大值，在点（121.10..提示：12此几何体为圆锥，底面圆的半径为， 2.11.-20.提示：20)1(C 3336-=-x x 常数项为：.12.0.7.提示：7.02014205,9==++∴=+y x y x .13.23 ；1321n -⋅-.提示：11231),1(21-+⋅=+∴+=+n n n n a a a .14.115︒.提示：，，，由已知得：连接0090BAC 25BCA AC =∠=∠ 00115ADC 65ABC =∠=∠，.15.()2cos 1ρθ=-.提示：转化为直角坐标系求解.三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数基本公式和正弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）………………… 2分tan tan 1tan tan A BA B+=--112311123+=--⨯ 1=- ………………… 4分 ∵0C π<<， ∴34C π=…………………6分（2）∵0<tanB<tanA ，∴A.B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c, ………………… 8分由1tan 3B =，解得sin B =………………… 10分由sin sin b c B C =，∴1sin sin c B b C⋅===．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2， 由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3，知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a …… ① …………………2分 因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ，即0412=+-b a …… ②由①②联立解得4,2-==b a ，∴542)(23+-+=x x x x f ．…………………6分 （2）b ax x x f ++='23)(2， 由①知02=+b a ，∴b bx x x f +-='23)(．)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，依题意)(x f '在]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，………8分即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立，下面讨论函数()y f x '=的对称轴：在16≥=b x 时，03)1()(min >+-='='b b f x f ,∴ 6≥b ．…………………9分在26-≤=bx 时，0212)2()(min ≥++=-'='b b f x f ，无实数解．…………………10分在162<<-b时，1212)(2min≥-='b b x f ，∴ 60<≤b ．…………………11分 综合上述讨论可知，b 的取值范围是{}0≥b b ．…………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查条件概率.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识） 解：设事件A 为“第1次取到白球”， B 为“第2次取到白球”， C 为“第3次取到白球”，则（1）()()111114653612492|3C C C C C P C A C A +== ． …………………4分（2）因为每次取出之前暗箱的情况没有变化， 所以每次取球互不影响，所以()63105P C ==．…………………8分（3）设事件D 为“取一次球，取到白球”，则()25P D =，()35P D =，…………………10分这3次取出球互不影响，则23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ ，…………………12分 ()332355k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,2,3k =．…………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力） （1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD PD ⊥． 又ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥． ∵PD AD D = ，∴CD ⊥平面PAD ．…………………4分 ∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥． ∵EF CD ，∴PA EF ⊥．…………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,0,2)PA =- ，(0,1,0)EF =-．…………………4分∵()()2,0,20,1,00PA EF =--=，∴PA EF ⊥．…………………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF = ，(0,1,0)EF =-， (1,2,1)FG =-．…………………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵0,0.DF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 11110,20.z x y z =⎧∴⎨+-=⎩令11y =，得()2,1,0=-m 是平面DFG 的一个法向量．…………10分设平面EFG 的法向量为222(,,)x y z =n ，∵0,0.EF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220,20.y x y z -=⎧∴⎨+-=⎩ 令21z =，得()1,0,1=n 是平面EFG 的一个法向量．……………12分∵cos ,||||⋅<>=⋅m n m n mn ===．设二面角D FG E --的平面角为θ，则,θ=<>m n ．所以二面角D FG E --的余弦值为．…………………14分解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =， (1,2,0)DG = ，(0,1,0)EF =-，(1,1,1)EG =- ，(1,2,1)FG =-．…………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ， ∵,,F G M 三点共线， ∴()1DM DF DGλλ=+- ，∵0DM FG =，∴()10DF FG DG FG λλ+-= ，即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=．…………………10分∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ．再过E 作FG 的垂线，垂足为N ， ∵,,F G N三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+- ，∵0EN FG =， ∴()10EF FG EG FG μμ+-= ，即()()2140μμ⨯-+-⨯=，解得23μ=．∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ ．∴cos ,5DM EN DM EN DM EN==-⋅．…………………12分∵DM 与EN所成的角就是二面角D FG E --的平面角，所以二面角D FG E --的余弦值为5-．…………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数.最值.等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力.以及创新意识）（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1xf x e '=-． 令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．……………4分∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减， 在区间()0,+∞上单调递增.∴当0x =时，()f x 有最小值1．…………………6分（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n =-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01kn ke n -<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．…………………9分即(1,2,,1)n kn k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭ ． ∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n n n nn n n n ee e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…12分∵(1)(2)2111111111n n n e e eee e e e e ----------+++++=<=--- ，∴1211nnn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力.运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x <， ∵AM BM +=0 ，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0．∴124x x +=，22128x x p +=．…………………4分 ∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．…………………6分 （2）当2p =时，由（1）求得A .B 的坐标分别为()0,0.()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），…………8分使得经过A .B .C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A .B .C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ①…………9分 ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ，∴经过A .B .C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t ．………10分∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+，即()()324480t E t E ++-+=． ②…………………12分∵0t ≠，由①.②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=． ∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．…………………14分解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。