第二章 谓词逻辑 1.原子命题的内部结构
第2章谓词逻辑
例2.2.2 将命题“没有最大的自然数”符号化。 解 命题中“没有最大的”显然是对所有的自然 数而言，所以可理解为“对所有的x，如果x是自然 数，则一定还有比x大的自然数”，再具体点，即 “对所有的x如果x是自然数，则一定存在y，y也是 自然数，并且y比x大”。令 N(x): x是自然数， G(x,y): x大于y， 则原命题表示为：
2.3 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一 部分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A 的x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元；A中不是约束出现的其它个体变 元的出现称为自由出现，这些个体变元称自由 变元。自由变元可以看作是公式中的参数。
有了项的定义，函数的概念就可用来表示 个体常元和个体变元。例如，令f(x,y)表示x+y， 谓词N(x)表示x是自然数，那么f(2,3)表示个体自 然数5，而N(f(2,3))表示5是自然数。这里函数是 就广义而言的，例如P(x): x是教授，f(x): x的父 亲，c:张强，那么P(f(c))便是表示“张强的父亲 是教授”这一命题。
(x)(N(x)(y)(N(y)∧G(y,x)))。
例2.2.3 将语句“今天有雨雪，有些人会跌跤” 符号化。
解 本语句可理解为“若今天下雨又下雪，则 存在x，x是人且x会跌跤”。
令R: 今天下雨，S: 今天下雪，M(x): x是人， F(x): x会跌跤，则本语句可表示为： R∧S(x)(M(x)∧F(x))。
2.1 个体、谓词和量词 2.2 谓词公式与翻译 2.3 约束变元与自由变元 2.4 公式解释与类型 2.5 等价式与蕴涵式 2.6 谓词公式范式 2.7 谓词逻辑的推理理论
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
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2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
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§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
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§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
第二章 谓词逻辑 1.原子命题的内部结构
第二章 谓词逻辑一、原子命题的内部结构12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。
在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。
但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。
例如：推理1：所有的人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以，苏格拉底是要死的。
推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是()r q p →∧。
这不是一个重言式。
因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。
这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。
命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。
传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。
但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。
例如：推理2：所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。
有些罪犯不是故意犯罪。
因此，有些罪犯是过失犯罪。
这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。
为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。
这就是谓词逻辑的任务。
在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。
谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。
谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。
(1) 这张桌子是方的。
(2) 陈先生是贾女土的丈夫。
显然，以上两个命题都是原子命题。
在(1)中，今F(x)表示“x 是方的”，a 表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。
第二章 谓词逻辑
通常。一元谓词表达了客体的“性质”，而多元谓词表达了客体之间的“关系”。
*重点：谓词是描述命题中客体性质或客体之间关系的部分，用大写字母表示。
第2节命题函数与量词
同理，若L(x,y)表示x小于y，那么L(2,3)表示了一个真命题：“2小于3”。而L(5,1)表示假命题：“5小于1”。
又如A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z”。则且A(3,2,5)衷示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题“1+2=4”。
从上述三个例子中可以看到H(x)，L(x,y)，A(x,y,z)中的x，y，z等都是客体变元，很象一些函数，于是便有如下定义。
(2)若A是谓词公式，则 A是一个合式公式。
(3)若A和B都是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)和(A B)是谓词公式。
(4)如果A是合式公式，x是A中出现的任何变元，则 xA和彐xA都是谓词公式。
(5)只有经过有限次地应用规则(1)、(2)、(3)、(4)所得到的公式是谓词公式。
在讨论命题公式时，曾用了关于圆括号的某些约定，即最外层的括号可以省略，在谓词合式公式中亦将遵守同样的约定，但需注意，量词后面若有括号则不能省略。
注意，代表客体名称的字母，它在多元谓词表示式中出现的次序与事先约定有关，因此未经约定前，上例记作L(a，b，c)或L(b c,a)等都可以，但一经约定，L(a,b,c)与L(b,c,a)就代表两个不同的命题。
单独一个谓词不是完整的命题，我们把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式，这样谓词和谓词填式应该是两个不同的概念。
第二章 谓词逻辑
解：符号化为：x(N(x) ∧y(N(y）G(x,y))
以后可以证明，这两个公式是等价的。
谓词逻辑 22
在谓词逻辑，使用量词应注意以下几点：
1.
在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同， 命题的真值也可能会改变。
2.
在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，
一律使用全总个体域。 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序， 否则可能会改变命题的涵义。
谓词逻辑 16
说明 ： 命题符号化之前，必须明确个体域的范围， 以上两例子均为全总个体域。 如果将个体域改为D={人类}，则特性谓词 M(x)就不需要了。 (对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件； 对存在量词，特性谓词常作合取项。) 例1：(1) (x)H(x) (2) (x)D(x) 例2：(1) (x)(Q(x)R(x)) (2) (x)E(x)
（1）设M(x)：x是人，H(x)：x是要呼吸。 解： 命题符号化为：(x)(M(x)H(x))。 （2）设M(x)：x是人，D(x)：x是要死的。 命题符号化为：(x)(M(x)D(x))。
谓词逻辑 15
存在量词： “有些”，“存在”，“至少有一个”，表示个体域 D中存在个体，用符号“”表示，称为存在量词。 例2：将下列命题符号化 (1) 有些人是聪明和美丽的。 (2) 有人早饭吃面包。 解: (1) 设M(x)：x是人，Q(x)：x是聪明的，R(x)：x是 美丽的。命题符号化为：(x)(M(x)Q(x)R(x))。 (2) 设M(x)：x是人，E(x)：x是早饭时吃面包，命 题符号化为：(x)(M(x)E(x))。
谓词逻辑
2
说明：
谓词逻辑是命题逻辑的继续和深入，不仅研 究命题间的逻辑结构，而且考察命题的内部性质， 在这里，对命题的内部逻辑结构作了进一步的刻 画分析。 这需要对客体、谓词以及谓词公式中的量词、 辖域等基本概念的理解，带量词的谓词公式也有 等值演算和推理理论，范式概念，对此需要理解 并学会简单应用。
离散数学第2章 谓词逻辑
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§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
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§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
第二章 谓词逻辑
离散数学
第一章
例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。 当x,y指人或物时，它是一个命题，但 若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命题。
离散数学
第一章
例4 R(x)表示“x是大学生”。 如果x的讨论范围为某大学里班级中的学 生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学 生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些 观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 真值不理，若L(x,y)表示x小于y，那么 L(2,3) 表示一个命题：“2小于3”, 为真。 而 L(5,1) 表示一个命题：“5小于1”, 为假。 又如,A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z” 则 A(3,2,5) 表示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题 “1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到 H(x)，L(x,y)，A(x,y,z) 中的x，y，z等都是客体变元。 它们很象数学中的函数，这种函数就是命题函数。
离散数学
第一章
3. 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达 日常生活中的各种命题。 例如：S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的 职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学生，也可以 表示某单位存在一些职工是大学生。 为了避免这种理解上的混乱，需要引入量词，以刻划 “所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如: (1) 所有的人都是要呼吸的。 (2) 每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此 ，引入符号： (x) 或 (x) 表示“对所有的x”。
离散数学
第一章
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
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第二章谓词逻辑一、原子命题的内部结构12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑什么是谓词逻辑在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。
在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。
但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。
例如：推理1：所有的人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以，苏格拉底是要死的。
推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是()r∧。
这不p→q是一个重言式。
因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。
这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。
命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。
传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。
但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。
例如：推理2：所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。
有些罪犯不是故意犯罪。
因此，有些罪犯是过失犯罪。
这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。
为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。
这就是谓词逻辑的任务。
在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。
谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。
谓词和个体词我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。
(1) 这张桌子是方的。
(2) 陈先生是贾女土的丈夫。
显然，以上两个命题都是原子命题。
在(1)中，今F(x)表示“x是方的”，a表示“这张桌子”，这样，F(a)就表示“这张桌子是方的”，也就是说，命题(1)的表达式是F(a)。
这里，F就是谓词，表示“方”这种性质；x 和a就是个体词，表示具有“方”这种性质的个体。
其中，x称为个体变项，它只表示某一个个体，而不表示一个确定的个体；a称为个体常项，它表示一个确定的个体，即这张桌子。
在(2)中，令H(x，y)表示“x是y的丈夫”，a表示陈先生，b表示贾女士，这样，H(a，b)就表示“陈先生是贾女士的丈夫”，也就是说，命题(2)的表达式是H(a，b)。
这里，H是谓词，表示某人是某人的丈夫”这种关系，x、y和a、b是个体词，同样，x和y是个体变项，a和b是个体常项。
刻画一个个体的性质的谓词称为一元谓词，刻画两个个体之间的关系的谓词称为二元谓词，一般地，刻画n 个个体之间的关系的谓词称为n 元谓词。
显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。
如果一个谓词符号表示的是一个具体谓词，即表示某种确定的性质或关系，则称为谓词常项；如果表示的是某个不确定的谓词，则称为谓词变项。
相应地，个体词也分为个体常项和个体变项，已如上述。
约定：以大写英文字母F 、G 、H …表示谓词常项或谓词变项，以小写字母a 、b 、c 、d …表示个体常项，以小写字母x 、y 、z 、u 、v 、w …表示个体变项。
一般地，如果F 是n 元谓词，则它的表达式也可记为F(n x x x ,,,21 )。
其中，n x x x ,,,21 称为谓词F 的主目。
量词、全称量词和存在量词一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。
例如，上面的例句(1)中F(x)断定“x 是方的”，但由于x 是个体变项，因而F(x)没有真假，不是命题。
如何使F(x)这样没有真假的表达 式变为有真假的命题呢?有两种方法：第一种方法，用个体常项取代个体变项，例如，令a 表示“这张桌子”，则F(a)就表示“这张桌子是方的”，这是命题，有真假。
这种方法称为解释。
后而将对此作进一步讨论。
第二种方法，对个体变项进行量化。
例如，对F(x)我们进一步断定，对所有的x 来说，F(x)成立；或者断定，至少存在一个x ，F(x)成立。
也就是断定所有的个体都是方的，或者断定至少存在一个个体是方的。
这样的断定就是命题，它们有真假。
在量化的过程中，我们使用了量词。
量词分为全称量词和存在量词。
全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系；存在量词断定存在(即至少有一个)个体具有相关谓词所表示的性质或关系。
∀表示全称量词，∃表示存在量词。
∀x F(x)表示“任一x 具有F 这种性质”。
∃x F(x)表示“存在x 具有F 这种性质”。
∀x ∀y G(x ，y)表示“任一x 和任一y 具有关系G ”。
∀x ∃yG(x ，y)表示“对任一x ，存在y ，x 和y 具有关系G ”。
∃x ∀yG(x ，y)表示“存在x ，对任一y ，x 和y 具有关系G ”。
∃x ∃yG(x ，y)表示“存在x ，并且存在y ，x 和y 具有关系G ”。
例如，令x 和y 表示自然数，即个体变项的取值范围是自然数，F(x)表示“x 是偶数”， G(x ，y)表示“x ＞y ”，则：∀x F(x)断定“任一自然数都是偶数”，这是个假命题。
∃x F(x)断定“存在自然数是偶数”，这是个真命题。
∀x ∀y G(x ，y)断定“任一自然数x 和任一自然数y ，都满足x ＞y ”，这是个假命题。
∀x ∃y G(x ，y)断定“对任一自然数x ，都存在自然数y ，满足x ＞y(即没有最小的自然数)”，这是个假命题。
∃x ∀yG (x ，y)断定“存在自然数x ，对任一自然数y ，满足x ＞y(即存在最大的自然数)”，这是个假命题。
∃x ∃y G(x ，y)断定“存在自然数x ，并且存在自然数y ，满足x ＞y ”，这是个真命题。
个体域量词直接刻画个体变项的量化。
这样，个体变项的取值范围就是一个重要的问题。
同—个带量词的命题，由于个体变项的取值范围不同，可以具有不同的真假值。
例如，令F(x)表示“x有思想”，那么，如果x的取值范围是人，则∀x F(x)断定“所有的人都有思想”，是真命题；而如果x的取值范围是动物，则∀x F(x)断定“所有的动物都有思想”，就成为假命题。
再如，在上面的讨论中，个体变项的取值范围是自然数，因而∀x∃y G(x，y)断定“没有最小的自然数”，是个假命题；但是，如果个体变项的取值范围改为整数，则∀x∃y G(x，y)变为断定“没有最小的整数”，这是个真命题。
个体变项的取值范围称为个体域。
个体域可根据需要作特殊的限制；如果不作特殊的限制，个体域就是指全域，即由所有能被思考的对象组成的域。
∀x F(x)和F(x)的含义是不同的。
∃x F(x)是断定存在个体具有性质F，这是命题。
如果至少有一个这样的个体存在，它就是真的，否则，它就是假的。
而F(x)则只表示某个不确定的个体具有F这种性质，至于这样的个体是否存在，如果存在的话是哪一个，都没有断定，因而不是命题。
∃x F(x)和F(a)的含义也是不同的。
∃x F(x)只是断定存在个体具有性质F，至于是哪一个个体，没有断定；F(a)则具体断定个体常项a所表示的那个个体具有性质F。
因此，如果∃x F(x)真，F(a)未必真；而如果F(a)真，则∃x F(x)一定真。
量词的辖域·约束个体变项和自由个体变项在一个表达式中，量词的约束范围称为量词的辖城。
约定：紧靠量词的括号内的表达式是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，紧靠量词的不包含联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。
例如：(1) ∃x F(x) ∨G(x)(2) ∃x(F(x)∨G(x))在这两个表达式中，带横线的部分分别表示∃x的辖域。
在相关量词的辖域中出现的个体变项，称为被量词约束的个体变项，简称约束个体变项；不被量词约束的个体变项称为自由个体变项。
例如，在F(x)和G(x，y)中，x和y都是自由个体变项；在∀x F(x)和∃x∀y G(x，y)中，x和y都是约束个体变项；在∀xG(x，y)中，x是约束个体变项，y是自由个体变项。
再如，在上面的(1)式中，F(x)中的x是约束个体变项，而G(x)中的x是自由个体变项。
(2)式中，x都是约束个体变项。
也就是说，在同一个表达式中，同一个个体变项可以既作为约束个体变项，又作为自由个体变项出现。
一个体变项在它的量词的辖域中出现，称为约束出现：否则，称为自由出现。
一个体变项在一公式中是自由的，当且仅当它在该公式中至少有一次自由出现；一个体变项在一公式中是约束的，当且仅当它在该公式中至少有一次约束出现。
也就是说，一个体变项在一公式中可以既是自由的，又是约束的。
因此，x在(1)式中既是自由的，又是约束的；而在(2)式中是约束的，不是自由的。
什么是一阶谓词逻辑上面讨论的谓词逻辑，是一阶谓词逻辑。
其中，谓词表达的性质和关系，只是个体的性质和个体之间的关系；量词只是对个体变项进行量化。
对象的性质和对象之间的关系，统称对象的属性。
问题在于，不光个体具有属性，属性本身也有属性，属性的属性仍然有属性，如此等等。
例如，“这面红旗”作为个体，具有“红色”这种性质，而“红色”这种性质，具有“鲜艳”这种性质。
因此，“红色”是个体的属性，而“鲜艳”则是属性的属性，自然同时也是个体的属性。
再如，“大张”和“小李”两个个体具有“同乡”这种关系，而“同乡”这种关系，具有“传递性”(即如果a和b是同乡，并且b和c是同乡，则a和c是同乡)。
因此，“同乡”是个体的属性，面“传递”则是属性的属性。
因此，在谓词逻辑中，表达同性的谓词具有层次，这就是渭词的阶。
所谓一阶谓词，就是只刻画个体属性的谓词。
一阶谓词的主目中，只出现个体变项。
当我们说存在某些个体，具有“红色”这种性质，这是在对个体变项进行量化；当我们说存在某些性质具有“鲜艳”这种性质，我们就是在对谓词变项进行量化了。
当我们涉及谓词的谓词，或者对谓词变项进行量化时，就进入了高阶谓词逻辑。
高阶逻辑的许多问题，可以化归为一阶逻辑。
我们只讨论一阶逻辑。
概括地说，一阶谓词逻辑，就是其中的谓词都是一阶谓词，其中的量词只刻画个体变项的量化。
13．谓词逻辑层次上自然语言的符号化现在，我们可以在一阶谓词逻辑的层次上，对自然语言进行符号化，这是对日常思维进行比命题逻辑更深入一步的逻辑分析的基础。
以下的讨论，都通过实例说明。
直言命题的表达式在传统逻辑中，断定个体是否具有某种性质的原子命题称为直言命题。
直言命题分为四种基本类型：全称肯定命题，全称否定命题，特称肯定命题和特称否定命题。
我们先讨论这四种基本命题的符号化。
[例1] 将下列命题符号化：(1)所有的商品都是有价值的(2)有的官员是清廉的。