诱导公式(二)
诱导公式(2)-课件
cosα=x，
cos(π+α)=−x，
tanα= ；
tan(π+α)=
−
−
= ；
x
对称轴
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
诱导公式？
y
O
P1(x,y)
x
问题1：作P1关于直线 y=x的对称点P5，以OP5为
终边的角 与角 有什么关系？
2.公式五和六的作用是什么？
知识上，又学会了两组诱导公式；
思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的
化归思想；诱导公式所揭示的是终边
具有某种对称关系的两个角三角函数
之间的关系.主要体现了化归和数形结
合的数学思想.
公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
课后作业
课本P194 练习2,3.
tan(−)＝−tan . tan(−)＝−tan .
tan(＋)＝tan .
结合诱导公式一和二、三、四我们就可以将
π
任意范围内的角的三角函数值转化到 [0, ) 间的
2
角的三角函数值求解，而这三组诱导公式的应用
也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.
回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以
诱导公式（2）
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
公式三
公式四
公式二
诱导公式二
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
sin(
cos( ) sin 2
1.3 正弦、余弦的诱导公式（2）
诱导公式
公式一：
sin(α+2kπ) = sinα 公式三：
cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四：
其中 k∈Z
公式二： sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
cos( ) sin 2
!!!记忆规律：
2 2 等于的余弦(正弦)函数值，
,
的正弦(余弦)函数值，
前面加一个把看成锐角时原函数值的 符号
3 3 例1. 证明：(1)sin( ) cos ; (2)cos( ) sin . 2 2 3 证明：(1)sin( ) sin[ ( )] 2 2 sin( ) cos ; 2 3 (2)cos( ) cos[ ( )] 2 2 cos( ) sin . 2 由(1) (2)还可以得到： 3 3 sin( ) sin[ ( )] cos( ) cos ; 2 2 3 3 cos( ) cos[ ( )] sin( ) sin . 2 2
课件4：5.3 诱导公式(二)
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
(完整版)诱导公式总结大全(2),推荐文档
半角的正弦、余弦和正切公式 sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2 cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2 tan^2(α/2)＝(1－cosα)/(1＋cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
两角和差公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ)
诱导公式 1
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角 n·(π/2)±α 的三角函数转化为角 α 的三角函数。
常用的诱导公式
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设 α 为任意角， π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之 间的关系 ： sin（π＋α）＝－ sinα cos（π＋α）＝－ cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－ sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－ tanα cot（－α）＝－ cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之 间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－ cosα tan（π－α）＝－ tanα
课件3：5.3 诱导公式(二)
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或 从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定 义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练 掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
名师提醒 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________. [解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1. [证明] 右边＝－2sin32π1－ －θ2s·in－2θsinθ－1＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边，所以原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用 【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值． (2)已知 cosα＝－45，且 α 为第三象限角． 求 f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sin2π－α的值． [思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α；π3＋α＋6π－α ＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
第一章 1.2.4诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
1.2.4（二）
公式一～三归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等 于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数
本 课 时 栏 目 开 关
值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． π 公式四～五归纳： ± α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦 2 (正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号， 简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、 符号象限定”． π 五组诱导公式可以统一概括为“k· ± α(k∈Z)”的诱导公式．当k 2 为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前 面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶 不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：
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探究点二 诱导公式五
1.2.4（二）
本 课 时 栏 目 开 关
(1)公式内容： π π sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α， π π tan2－α＝cot α，cot2－α＝tan α. (2)公式推导： 方法1：利用公式二和公式四可得： π π sin2＋－α ＝ cos(－α) ＝ cos α ， sin2－α＝ π π cos2＋－α －α＝ ＝ －sin(－α) ＝ sin α ， cos 2
α； α；
α.
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[典型例题] 例1
本 课 时 栏 目 开 关
1.2.4（二）
π 3 π 2π 3π 已知cosα＋6＝ ， ≤α≤ ，求sinα＋ 3 的值． 2 5 2
诱导公式(二)
4.5.2 诱导公式（二）
1.诱导公式3：180°－α→α：
sin（180°－α）＝sinα，cos（180°－α）＝－cosα，tan（180°－α）＝－tanα
2.诱导公式4：180°＋α→α：
sin（180°＋α）＝－sinα，cos（180°＋α）＝－cosα，tan（180°＋α）＝tanα
3.诱导公式的记忆口诀：函数名称同，符号象限定（判断符号时，可将
角α看作锐角）
一、选择题
1.下列式子正确的是（
A ）.
A. sin（180°－θ）＝sinθ
B. cos（180°＋θ）＝cosθ
C. tan（－θ）＝tanθ
D. cos（－θ）＝－cosθ
2.下列式子错误的是（
D ）.
A. sin（180°＋50°）＝－sin50°
（6）tan170°＝tan（ 180°－10° ）＝
cos70°
－tan10°
2.根据范例，计算下列各式的值.
3
2
（例：cos150°＝cos（180°－30°）＝－cos30°＝－ ）
（1）sin300°＝sin（
360°－60° ）＝
（2）tan225°＝tan（ 180°＋45° ）＝
（3）cos120°＝cos（
180°－60° ）＝
－
－sin60° ＝
tan45° ＝
3
2
1
－cos60° ＝
1
－2
三、解答题（计算）
1.sin240°
解：原式＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－
2.tan210°
解：原式＝tan（180°＋30°）＝tan30°＝
高二数学诱导公式2
2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得 的结果是（ ） C (A) 2sin2 (C) －2sin2 (B) 0 (D) －1
3. 化简： 1 2sin( 2) cos( 2) 得（ C ） A. sin2+cos2 C. sin2－cos2 B. cos2－sin2 D. ±(cos2－sin2)
=－1.
例4．已知cos(π+α)= sin(2π－α)的值是（
1 ， 2
3 <α<2π，则 2
）． A
(A)
3 (C)－ 2
3 2
1 (B) 2
(D)± 3 2
练习：
1．求下式的值：
2sin(－1110º ) －sin960º +
提示：
)+cos(－21043;sin60º － 2 cos45 cos30 答案：－2.
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
公式(三):
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
y P(x,y)
+ O
x
P'(- x,-y)
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
诱导公式（一）
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
公式（一） cos( k 2 ) cos
sin( k 2 ) sin tan( k 2 ) tan
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奇台县第一中学 高一数学◆必修1◆导学案 编写： 高一数学学科组 校审：高一数学学科组
书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
1
课题 §1.3诱导公式（二）
第 2 课时
【学习目标】1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱
导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三
角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
【重点难点】重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.
难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
【课前自学】 一 填空：
诱导公式一： 诱导公式二：
诱导公式三： 诱导公式四： 注意：（1）记忆口诀：
（2）其中角α是： ，但“符号看象限”时，把它看作：
二、阅读教材P26页 １．完成下列问题：
（1）角α是任意角，角α的终边与角
2
π
α-的终边关于 对称。
（2）在α终边上取一点P (x ，y )，在π
2
－α终边上也取一点P ′(x ′，y ′)，且|OP |＝|OP ′|＝r .试探究点
P (x ，y )与点P ′(x ′，y ′)两点坐标之间的关系是： 并利用这一关系推导诱导公式五．
(3)诱导公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭
⎫π
2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(4)诱导公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭
⎫π
2＋α＝________. 2 公式五～六可以概括如下:
2
π
α±的正弦（余弦）函数值，分别等于角α的： 三角函数值，前面加上一个把α看成锐
角时原函数值的________
3以上六组诱导公式可以归纳为一个记忆口诀：
注意：其中角α是： ，但“符号看象限”时，把角α看作： 二、预习自测
1. 若sin25°=a 。
则cos 65°=_______ sin 65°=________ tan 65°=_________
2. 若sin100°=m ，则sin10°=_________ cos10°=___________ tan10°=____________
3 利用上面所学公式求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
4化简：
)2cos()2sin()
2
5sin()
cos(a a a a --+-ππππ
三、自由质疑：
四、例题讲解：
例1 证明：
（1）a a cos )23sin(-=-π ，（2）a a sin )2
3cos(-=-π
例2 将下列三角函数转化为锐角的三角函数（能求值的求出值）。
53tan π=_______ )317sin(π-=_____665cos π=_______
例3 化简)2
9sin()sin()3sin()cos()
2
11cos()2cos())cos(cos(a a a +-----++-ππαπαπαπ
απαππ。
2013年上学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第 章
这个世界不会在乎你的自尊，这个世界期望你先做出成绩再去强调自己的感受
2
五、针对训练： 1填空：（1）3sin(
)2πα+= ， （2）3cos()2
π
α+= 2求值。
cos(210°)=_________ sin(－
3
5π
)= _____________ sin(114π-)=_________ tan(6
17π-)=__________________
3计算(1) sin420°cos(750°)+sin(－330°)cos(－660°)
(2)sin 625π+cos 3
25π+tan(34π-)
【课堂练习】 一、必做题 1． 将下列三角函数化为到
之间的三角函数：（不用求具体值）。
（1）
（2）
（3）
2． 化间： )
sin(360tan()(cos 2a a a -+︒-
-）
3．已知sin(π+α)=21
-，求 sin(a-2
3π) 的值
二、选做题 1．cos (π+α)= —
21，2
3π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.
23 B. 2
1
C. 23±
D. —23 2．已知3tan =α，2
3π
απ<
<，那么ααsin cos -的值是 3．已知tan(π+a)=3，求)
2sin()cos()
2(sin 3)2cos(2απααπ
π-+-+--a 的值
三、挑战题
1、已知αtan 、αcot 是关于x 的方程032
2
=-+-k kx x 的两实根，且,2
73παπ<
< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值.（注：αcot =1/αtan ）
2、记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求
)2000(f 的值．
【当堂总结】
作业：课本P28第7题和P29B 组第1和第2两题
奇台县第一中学高一数学◆必修1◆导学案编写：高一数学学科组校审：高一数学学科组
书山有路勤为径学海无涯苦作舟 3。