【课题】5.5诱导公式(第二课时)
最新人教版高中数学必修4第一章《诱导公式》(第2课时)
第二课时 诱导公式(2)点)1．角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数间的关系 cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos_α， sin[α＋(2k ＋1)π]＝－sin_α， tan[α＋(2k ＋1)π]＝tan_α.通常，称上述公式为诱导公式(三)．归纳总结sin(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin α，当n 为奇数，sin α，当n 为偶数，cos(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos α，当n 为奇数，cos α，当n 为偶数，tan(α＋n π)＝tan α，n ∈Z . 【自主测试1－1】sin 19π6的值是( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案：A【自主测试1－2】化简1－sin 2460°为( ) A ．－cos 80° B．－sin 80° C ．cos 80° D ．sin 80° 答案：C2．角α与α＋π2的三角函数间的关系cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α. 通常，将上述公式称为诱导公式(四)．在诱导公式(四)中，以－α替代α，可得另一组公式cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cos α. 由三角函数之间的关系又可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cot α，cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝tan α. 我们知道，任意一个角都可表示为k ²π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫其中|α|≤π4的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到π4之间角的三角函数求值问题．【自主测试2－1】化简sin π＋α cos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α所得的结果为( )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 答案：C【自主测试2－2】若|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则角α的集合为__________． 解析：∵|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α≥0，∴2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z诱导公式的作用与规律性剖析：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值． (2)诱导公式存在的规律： ①α＋k ²2π(k ∈Z )，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”．如sin(300°＋180°)＝－sin 300°，我们把300°看成一个锐角α，则sin(300°＋180°)的符号为负，即sin 300°前面所带的符号为负．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．如cos(100°＋90°)＝－sin 100°，我们把100°看成锐角α，则cos(100°＋90°)的符号为负，即sin 100°前面所带的符号为负．③这两套公式可以归纳为α＋k ²π2(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍和偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．诱导公式有很多组，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序： ①化负角为正角；②大于360°的角化为[0°，360°)之间的角； ③把90°～360°的角转化为0°～90°之间的角．题型一 利用诱导公式求值【例题1】求sin(－1 920°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°的值．分析：求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．解：原式＝－sin(5³360°＋120°)²cos(3³360°＋210°)－cos(2³360°＋300°)²sin(2³360°＋330°)＋tan(2³360°＋225°)＝－sin(180°－60°)²cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)²sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°²cos 30°＋cos 60°²sin 30°＋tan 45°＝32³32＋12³12＋1＝2. 反思对于任意给定的角都要将其化成k ²360°＋α，180°±α，360°－α等形式进行求值，大体的求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．题型二 利用诱导公式化简【例题2】已知α是第三象限的角，f (α)＝sin π－α cos 2π－α tan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cot －α－π sin －π－α，(1)化简f (α)；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．分析：这是一道综合性题目，其实质就是化简求值，在化简求值的过程中，要正确运用十字诀(奇变偶不变，符号看象限)．解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2²π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4²π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3²π2－αcot ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2²π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2²π2－α＝sin αcos αcot α －cot α sin α＝－cos α. (2)∵－1 860°＝－21³90°＋30°，∴f (－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－21³90°＋30°)＝－sin 30°＝－12.反思三角函数的化简问题要依据诱导公式进行，关键是诱导公式的选择，要把角进行合理的拆分，再者要与前面所学三角函数基本关系式相互配合使用，化简中应遵循“三个统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式．题型三 利用诱导公式证明【例题3】已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin π－α ＋5cos 2π－α3cos π－α －sin －α＝－35.分析：首先将已知条件进行化简，得到一个结构比较简单的式子，然后再化简待求式的左边，最后将化简后的已知条件代入，进一步整理即可证得．证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.所以待求式的左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以sin π－α ＋5cos 2π－α 3cos π－α －sin －α ＝－35.反思利用诱导公式证明等式，关键在于公式的灵活运用，就本题而言，主要就是运用诱导公式由左边推导到右边，并先对已知条件进行化简．1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B ．1－32 C ．3－12 D ．3＋12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.答案：C2．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin A ＋B 2＝－cosC 2B ．sin(2A ＋2B )＝－cos 2C C ．sin(A ＋B )＝－sin CD ．sin(A ＋B )＝sin C解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ． sin A ＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2. sin(2A ＋2B )＝sin(2π－2C )＝－sin 2C ． 答案：D3．已知cos(π＋α)＝－35，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)的值是( )A ．45B ．－35C ．－45D ．35解析：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.又∵α是第四象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－45.答案：C4．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n ＋1 π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n ＋1 π－π3(n ∈Z )．其中函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：对于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，当n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3. 对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π－π6＝cos 5π6＝－cos π6＝－sin π3.故①与④中的函数值不等于sin π3.可以验证②③⑤中的函数值均与sin π3的值相同．答案：C5．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 150°)＝__________. 解析：∵sin 150°＝sin(60°＋90°)＝cos 60°， ∴f (sin 150°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案：－16．已知tan(π＋α)＝－2，求sin(3π－α)和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：∵tan(π＋α)＝－2， ∴tan α＝－2. ∴sin αcos α＝－2， ∴sin α＝－2cos α.将sin α＝－2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，整理，得5cos 2α＝1.∴cos 2α＝15.∴cos α＝±55. 又∵tan α＝－2＜0，∴α为第二或第四象限的角．当α为第二象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝－55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝255；当α为第四象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝－255.。
《诱导公式(二)》教案
1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。
【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
《诱导公式(第二课时)》示范教学方案
《5.3 诱导公式（第二课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2π±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图（一）新知探究引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．预设答案：（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标图2P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2π－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2π＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函sin （2π＋α）＝cos α， cos （2π＋α）＝－sin α． sin （2π－α）＝cos α， cos （2π－α）＝sin α．图4数值之间有什么关系？解：略．★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2π＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．预设答案：角α的终边旋转2π角，就得到角2π＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π3＝sin α．例4 化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫⎝⎛-α2π＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π＝sin α．例4 解：原式＝()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2ππ5cos sin cos sin图5＝()()[]⎪⎭⎫⎝⎛+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---ααααααα2πsin sin sin cos 2πcos cos sin 2＝－sin αcos α＝－tan α．设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养． 例5 已知sin （53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，求sin （37°＋α）的值．追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答． 预设答案：分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sin γ＝sin （90°－β）＝cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°． 由sin β＝51＞0，得143°＜β＜180°． 所以cos β＝－1－sin 2θ＝－2511⎪⎭⎫⎝⎛-＝－562．所以sin （37°＋α）＝sin γ＝－562． 设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养． （二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加2π的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加2π的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．（三）布置作业 教科书习题5.3． （四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos665π； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π431； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π326； （4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ25； （5）sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ211＝－cos α．预设答案：（1）－23；（2）22；（3）3；（4）sin α；（5）－cos α． 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．。
诱导公式2教学设计
编写时间：2020年4 月 17日 第二学期 总第 课时 编写人：马安山 课 题诱导公式（二） 授课班级 高一( 17) 授课时间 2020年 月 日学习目标 1.借助单位圆的对称关系推导诱导公式 2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值及三角函数式的化简和证明教学重点 发现并证明诱导公式并运用．教学难点 诱导公式的发现．课 型 新 课主要教学方法 思考、交流、讨论和概括． 教学模式 合作探究，归纳总结 教学手段与教具 智慧黑板．教 学 过 程 设 计各环节教学反思 一、问题探究并应用 问题一：如何把任一角的三角函数的求值问题转化为0º—360º间三角函数的求值问题？（师生活动：学生完成，教师补充）1.已知任意角α的终边与单位圆相交于P （x ，y ），求P 关于x 轴，y 轴，原点对称的三个点的坐标.2.如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？3.如果角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？4.如果角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，那么α与β的三角函数值之间各有什么关系？XXK]问题二：你能利用上述诱导公式求下列函数的值吗？(师生活动：学生完成，教师讲解）例题1：利用公式求下列三角函数值()0225cos 1 ()311sin 2π()⎪⎭⎫ ⎝⎛-316sin 3π ()()02040cos 4- 例题2：化简：()()()()αααα--•--+•+0000180cos 180sin 360sin 180cos变式训练：已知cos(6π+α)=33,求cos(65π-α)的值 问题三：对角απαπ±±2,23的三角函数的研究，你能得出什么结论？若角α的终边与角β的终边关于直线y=x 对称则角α的正弦与角β的余弦函数值之间有何关系？角απ-2的终边与角α的终边是否关于直线y=x 对称？（让学生在做题的过程中总结规律）1.利用已推导出的公式，推导 )2tan(),2cos(),2sin(απαπαπ+++ 2.利用前面学过的公式，推导 )23tan(),23cos(),23sin(απαπαπ+++ 问题四：你能概括上述诱导公式五、六吗？能否根据公式化简三角函数值？例题3：证明：()ααπcos 23sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()ααπsin 23cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 例题4、化简()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-απαπαπαπαπαπαπαπ29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin 二、变式训练：1.化简（1）()()()00180sin cos 180sin ---+ααα ;（2）()()()πααπα--+-tan 2cos sin 3; （3）()()αππααππα-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos 2sin 25sin 2cos ; （4）()()()ααα-+--sin 360tan cos 02 ; 2.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角3.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-4.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，求αtan 。
《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)
＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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合作探究 提素养
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利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
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1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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自主预习 探新知
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1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.
《诱导公式二》教案(新)
§5.5三角函数的诱导公式(二)教学目标：（一）知识目标理解并掌握三角函数诱导公式二～四的推导过程及应用。
（二）能力目标通过诱导公式的推导，培养学生的创新能力；通过类比、归纳思维的训练，培养学生把未知转化为已知的能力。
（三）情感目标通过诱导公式的引导、发现，让学生感受数学探索的成就感，激发学生的学习热情及兴趣，让学生养成善于观察、思考、发现的好习惯。
教学重点：诱导公式三~四的推导过程及灵活运用。
教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，解决问题．以及推导过程中数形关系的转换，符号的判定。
教学方法：启发诱导式教学课时安排：1课时教学过程：[复习提问]问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题2：2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？（公式一）问题3：－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？（公式二）归纳：利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.公式二可将负角三角函数值，转化为正角的三角函数值，其中锐角的三角函数可以查表计算：[新课引入]问题4：而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们本节课研究和解决的问题。
[新课讲授]知识探究（一）：π＋α的诱导公式思考1：210°角的三角函数怎样求？210°角与30°角有何内在联系？12 210°=180°+30°思考2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？180°+α思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？思考4：设角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考5：根据三角函数定义，sin （π＋α） 、cos （π＋α）、tan （π＋α）的值分别是什么？ sin(π＋α)=-ycos(π＋α)=-xtan(π＋α)= y / x思考6：对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？公式三：思考7：该公式有什么特点，如何记忆？知识探究（二）：π-α的诱导公式：思考1：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式四：思考2：如何根据三角函数定义推导公式四？思考3：公式三、四有什么特点，如何记忆？思考4：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？理论升华 整体建构ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-sin(2π)sin cos(2π)cos tan(2π)tan k k k αααααα+=+=+=sin πsin cos πcos tan πtan αααααα-=-=--=-（）（）（）sin(π+)sin cos(π+)cos tan(π+)tan αααααα=-=-=sin()sin cos()cos tan()tan αααααα-=--=-=-3以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公式的正负号可以用口诀：“函数名不变，符号看象限”来记忆．利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数巩固知识 典型例题例3 求下列各三角函数值： (1) 9cos4π；(2) 8tan 3π；(3) cos930°；(4) sin 690 运用知识 强化练习练习5.5.3求下列各三角函数值（1）tan 225︒ （2）sin 660︒ （3）cos 495︒（4）11πtan3 （5）17πsin 3（6）7πcos()6-． [归纳小结] 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin （2π－α）=－sin α， sin （3π－α）=sin α等.3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：(1) 任意负角的任意三角函数 , (2) 任意正角的三角函数,(3) 0～2π的角的三角函数, (4) 锐角的三角函数.[布置作业 继续探究](1)阅读:教材章节5.5。
诱导公式(第二课时)教案
当锐角 与锐角 互余时，它们的正、余弦值有什么关系？
解：设 ， ，则
，
借助直角三角形
得到互余两锐角
正、余弦的关系
诱导公式
5
进一步，我们思考对任意的角 与 ，设 ，是否总有 ，
对任意的角
，
聚焦目标
形成概念
诱导公式
6
探寻 与 的三角函数的关系
代数上：
几何上：
数和形两方面
加深对 的
诱导公式的理解
诱导公式
1. 在上节课中，我们学到了哪些诱导公式 ?
2. 它们是如何得到的 ?
3. 如何利用这些公式求特殊角的三角函数值 ?
4. 诱导公式有哪些功能？
整理学习成果
熟悉已有公式
类比已有公式
生成过程
有助于发现
新的公式
为方法迁移
做准备
情境
如果已知 ，你能用 表示 吗？
解：如图所示，
借助直角三角形
得到互余两锐角
正、余弦的关系
三角函数值
2. 寻找题目中的角的关系.
总结提升
画龙点睛
基础性
作业
1. 证明： ，
2. 化简：
（1）
（2）
熟悉本节课的
主要公式
发展性
作业
1. 对任意的 ，角 与 的终边
有何关系
2. 对任意的 ，角 与 的正、余弦值
之间有何关系
体会首先关注
角的关系
再探究三角
函数值的关系
的思维方式
诱导公式（第二课时）教案
教学基本信息
课题
诱导公式（第二课时）
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
5.3 诱导公式(第2课时)(34张PPT)
2．求值：ctaons2α7＋0°1＋80α°＋＋csions9900°°－＋αα＋－stiann237600°°－＋αα. 解：原式＝ctaons[α1＋80c°o＋s α9＋0°s＋in[α18]－0°s＋in9α0－°－tanαα]
＝－tacnosα＋90c°o＋s αα－－ssinin9α0－°－taαnα
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升 类型一：利用诱导公式化简与求值
典例示范
【例 1】 (1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值．
(2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值．
解：(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又 α 为第一象限角， ∴cos 2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α＝－
2．诱导公式五、六的整合与记忆 π2－α，π2＋α 的三角函数值，等于 α 的_异__名__三角函数值，前面加 上一个把 α 看成_锐__角__时__原__函__数__值__的__符__号__，记忆口诀为 “_函__数__名__改__变__，__符__号__看__象__限__”．
3．六组诱导公式的整合与记忆 (1)六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式． (2)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 其中“奇、偶”是指 k·π2±α(k∈Z)中 k 的奇偶性，当 k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变．“符号” 看的是诱导公式中把 α 看成锐角时原函数值的符号，而不是 α 函数 值的符号．
预习验收 衔接课堂
1．已知 cosπ2＋φ＝ 23，且|φ|<π2，则 tan φ＝( C )
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【课题】5．5 诱导公式(第二课时)
【教学目标】
知识目标：
了解 “360k α+⋅”、“α-”、“180°α±”的诱导公式． 能力目标：
（1）会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数； （2）会利用计算器求任意角的三角函数值；
（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．
【教学重点】
三个诱导公式．
【教学难点】
诱导公式的应用．
【教学设计】
（1）利用单位圆数形结合的探究诱导公式； （2）通过应用与师生互动，巩固知识；
（3）通过计算器的使用，体会数字时代科技的进步；
（4）提升思维能力，以诱导公式为载体，渗透化同的数学思想.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
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质疑
质疑
3
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2
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