诱导公式ppt
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诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
高中数学三角函数诱导公式ppt课件
单调性
正弦函数和余弦函数在 $[0, pi]$和$[0, 2pi]$上单 调性不同；正切函数在$(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 上单调递增。
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
诱导公式
通过加减周期的整数倍，将任意角度 的三角函数转化为基本角度的三角函 数，实现角度的标准化。
典型例题解析
例题1
求sin(150°)的值。
01
解析
02 利用诱导公式，将150°转化为
30°，即 sin(150°)=sin(30°)=1/2。
例题2
求cos(-420°)的值。
03
解析
利用周期性质，将-420°转化 为60°，即cos(420°)=cos(60°)=1/2。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
例题2
化简表达式(sinα
+
cosα)/(sinα - cosα)。
例题3
证明恒等式(1 + sinα + cosα)/(1 + sinα - cosα) = (1 + cosα)/sinα。
三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
诱 导 公 式(一) 课件(42张)
.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 为第三象限角，且 sin (α－5π)＝15 ，求 f(α)的值；
(3)若 α＝－331 π，求 f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝sin
α·cos α（－sin sin α·sin α
α）
＝－cos
α.
(2)因为 sin (α－5π)＝－sin α＝15 ，所以 sin α＝－15 .
＝cos
π5－cos
π 5
＋cos
25π－cos
2π
5
＝0.
若将典例中代数式改为：tan
π 7
＋tan
2π 7
＋tan
3π 7
＋tan
4π 7
＋tan
5π 7
＋
tan
6π 7
，怎么化简？
【解析】原式＝tan
π 7
＋tan
2π 7
＋tan
3π 7
＋tan
π－37π
＋tan
π－27π
＋
tan
π－π7
已知 sin(π＋α)＝45 ，且 α 是第四象限角，则 cos (α－2π)的值是( )
A．－35
B．35
C．±35
D．45
【解析】选 B.由 sin (π＋α)＝45 ，得 sin α＝－45 ，
而 cos (α－2π)＝cos α，且 α 是第四象限角，
所以 cos α＝ 1－sin2α ＝35 .
诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要求 α≠kπ＋π2 ，k∈Z.
1．诱导公式一～四对任意角 α 都成立吗？
2．sin [π＋(2x－3)] ＝－sin (2x－3) 吗？
1.4.3诱导公式PPT课件
函符 数号 名看 不象 变限
函符 数号 名看 改象 变限
思考
利用诱导公式，可以求任意角的三角函数，其基 本思路是：
任意负角的 三角函数
公式1.8
公式1.9
任意正角的 三角函数
公式1.8
锐角的三角 函数
公式1.10~1.14
0～2π的角 的三角函数
思考
k 诱导公式可统一为 k Z 的三角 2 函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办
余弦函数
正弦函数
余弦函数
正弦函数
单调性 余弦函数
在 2k ,2k 1 k Z 上单调递增， 在2k , 2k k Z 上单调递减 .
将0°~360°间的角转化成锐角
sin 2k sin k Z ,
cos 2k cos k Z .
M'
2
O
M
cos 2 , sin 2
1x
sin cos , 2
cos sin . 2
角α与
2
的正弦函数、余弦函数的关系
法记住这些公式？
奇变偶不变
符号看象限
例题
1.求下列各式的值： 11 15 1sin cos ; 4 4 55 2 sin . 6
2.化简： 3 sin(2 - )cos(3 )cos( ) 2 sin(- )sin(3 - )cos(- )
北师大版高中数学必修4 第一章 三角函数
正弦函数、余弦函数的基本性质
定义域 值域 周期性 正弦函数 余弦函数 正弦函数
高中数学三角函数的诱导公式课件ppt
奇变偶不变
符号看象限
注意： 看成锐角;原函数值的符号
22
例题与练习
例3 、证明：i（ n3(21π ） αs)c o s α; ( 2 ) c3o2π s(α)s i n α.
23
例题与练习
1 求下列三角函数值
1sin12000
(1) 3
2cos47/6
2
(2) 3 2
2 求三角式sin12000·cos12900+cos10200· sin10500+tan9450 2
3 计算 cos/5+ cos2/5+
cos3/5+ cos4/5
0
24
例题与练习
练习1 已知sin/4+=1/2;则sin3/4的 值是 1/2
2 已知cos 750+=1/3; 求cos1050+cos2850
0
25
例题与练习
1 已知角的终边上的一点P3a;4a a<0 则cos5400的值是 3/5
8
r 1
公式三
siny c o s xta n y
x
sin()y
cos()x
tan()yy
xx
公式三
sin ( ) sin c o s( )c o s ta n ( ) ta n
9
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin() sin cos() cos tan () tan
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想
14
四 例题分析