2019年高中数学《平面向量》公式
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。
在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。
平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。
1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。
即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。
2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。
即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。
3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。
即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。
4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。
即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。
点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。
5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。
即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。
平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。
1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。
2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。
3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。
4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结高中数学平面向量的公式主要涉及向量的运算和向量的性质，主要的知识点总结如下：1. 向量的加法和减法：- 向量的加法和减法满足交换律和结合律。
- 向量相加的结果可以表示成三角形法则或平行四边形法则。
2. 数乘：- 向量与实数的乘积称为数乘，数乘可以改变向量的大小和方向，满足分配律和结合律。
3. 内积：- 内积也称点积或数量积，表示两个向量的乘积的数量。
- 内积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角。
4. 外积：- 外积也称叉积或矢量积，表示两个向量的乘积的向量。
- 外积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A×B表示向量A与向量B的外积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位向量。
5. 模长和单位向量：- 向量的模长表示向量的长度，记作|A|。
- 单位向量是模长为1的向量，可以通过向量除以模长得到。
6. 平行和垂直：- 如果两个向量的夹角为0或180度，则称它们为平行向量。
- 如果向量A与向量B的内积为0，则称它们为垂直向量。
7. 向量投影：- 向量A在向量B上的投影被定义为一个向量，它的方向与向量B相同，长度为A 在B上的投影长度。
8. 向量共线：- 如果两个向量可以表示为一个非零实数乘以另一个向量，则称它们为共线的。
这些是高中数学平面向量的主要知识点和公式，掌握这些知识点可以更好地理解和运用向量的概念和性质。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积定义:已知两个非零向量 a,b 。
作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角,记作〈 a,b 〉并规定0≤ 〈 a,b 〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积是一个数量,记作a•b 。
若 a 、 b 不共线,则a•b=|a|•|b|•cos 〈 a , b 〉;若 a 、 b 共线,则a•b=+-∣ a ∣∣ b ∣。
向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y' 。
向量的数量积的运算律a•b=b•a (交换律;(λa•b=λ(a•b(关于数乘法的结合律 ;(a+b•c=a•c+b•c (分配律;向量的数量积的性质a•a=|a|的平方。
a ⊥b 〈 =〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律, 即:(a•b•c≠a•(b•c ; 例如:(a•b^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由a•b=a•c (a≠0 ,推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或 a=-b。
2、向量的向量积定义:两个向量 a 和 b 的向量积 (外积、叉积是一个向量, 记作 a×b 。
若 a 、 b 不共线,则 a×b 的模是:∣ a×b ∣ =|a|•|b|•sin 〈 a , b 〉; a×b 的方向是:垂直于 a 和 b ,且 a 、 b 和 a×b 按这个次序构成右手系。
若 a 、 b 共线,则 a×b=0。
向量的向量积性质:∣ a×b ∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a ‖b 〈 =〉 a×b=0。
向量的向量积运算律a×b=-b×a ;(λa ×b=λ(a×b =a×(λb;(a+b ×c=a×c+b×c.注:向量没有除法, “ 向量 AB/向量CD” 是没有意义的。
高中数学平面向量公式知识点大全
高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全平面向量公式知识点定比分点定比分点公式(向量P1P=λ#8226;向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ#8226;向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
ab的重要条件是 xy#39;-x#39;y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a#8226;b=0。
a⊥b的充要条件是 xx#39;+yy#39;=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x#39;，y#39;)。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x#39;，y+y#39;)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x#39;,y#39;) 则a-b=(x-x#39;,y-y#39;).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣#8226;∣a∣。
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b;作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作a•b;若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣;向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y';向量的数量积的运算律a•b=b•a交换律；λa•b=λa•b关于数乘法的结合律；a+b•c=a•c+b•c分配律；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方;a⊥b 〈=〉a•b=0;|a•b|≤|a|•|b|;向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：a•b•c≠a•b•c；例如：a•b^2≠a^2•b^2;2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c a≠0,推不出b=c;3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b;2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积外积、叉积是一个向量,记作a×b;若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系;若a、b共线,则a×b=0;向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积;a×a=0;a‖b〈=〉a×b=0;向量的向量积运算律a×b=-b×a；λa×b=λa×b=a×λb；a+b×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的;3、向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时,左边取等号；②当且仅当a、b同向时,右边取等号;2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b同向时,左边取等号；②当且仅当a、b反向时,右边取等号;4、定比分点定比分点公式向量P1P=λ•向量PP2设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点;则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比;若P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则有OP=OP1+λOP21+λ；定比分点向量公式x=x1+λx2/1+λ,y=y1+λy2/1+λ;定比分点坐标公式我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式5、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0,则a。
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2019年高中数学《平面向量》公式
一，基本概念
1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。
2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。
3，向量的大小：即是向量的长度（或称模）
4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。
5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、
1=
1=
6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。
若平行于，则表示为∥。
7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。
若a 与b 相等，记为a =b
8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。
若a 与b 是相反向量，则表示为=-；向量-=
二，几何运算
1，向量加法：
（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：
（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示，
（3）两个向量和仍是一个向量；
（4）向量加法满足交换律、结合律：+=+，)()(
++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：
= << = 2，减法：
（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=- （2）两向量差依旧是一个向量；
（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：
（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，=- （2=，则四边形ABCD 为矩形
B
A
a
C
B A
∙
a
b
a b
a
b
b
a +
4，实数与向量的积：
（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下：
当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ
；=λ（2）实数与向量相乘满足：)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5，向量共线：
（1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得0=++OC n OB m OA q ，且0=++q n m ，反之也成立。
（3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积
（1
）数量积公式：=
⇔=⋅θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[
]
0180,0∈θ （3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=⋅a （4
）数量积与夹角关系：b a ≤⋅≤
00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ
=⋅
0>⋅> 0=⋅
>⋅>0
=⋅（5
=
θcos 称为b 在a
=
θcos a 在b 的方向上的投影
（6）重要结论：直角三角形ABC 中，2
=⋅ （7）向量数量积的运算律：
2a =
e =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） ⋅=⋅
)()()(λλλ⋅=⋅=⋅ =⋅+)(⋅+⋅
2222)(+⋅+=+ 2222)(+⋅-=- 2
2)()(-=-⋅+
b
a
b a b
a
b
a b
a
三，坐标运算
1，平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数μλ,，使得21e e a μλ+=，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（证明略）
2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 作为基底。
任作一个向量，
由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：y x +=，我们把),(y x 叫做
向量的（直角）坐标，记作),(y x =，其中x 、y 分别为向量的横纵坐标。
这个式子
叫做向量的坐标表示。
3，如图，已知点),(11y x A =，),(22y x B =，由向量的坐标定义可知，
),(11y x =，),(22y x =，),(1212y y x x --=-=由此可知，一个向量
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，),(1212y y x x --=
4，向量的加减乘坐标运算：已知),(11y x =，),(22y x =
（1）加、减、乘：),(2121y y x x ++=+ ),(2121y y x x --=- 2121y y x x +=⋅ （2）实数与向量乘积的坐标运算：),(11y x a λλλ= （3
2
2222121,y x y x +=+=
（4）b a ,夹角余弦值22
22
21
2
1
2121cos y
x y x y y x x +⋅++=
θ
5，向量间关系的坐标形式，已知),(11y x =，),(22y x = （1）)(,//≠的充要条件是，01221=-y x y x
（2）若,⊥则有0=⋅b a ，即02121=+y y x x
6，柯西不等式的向量形式
设向量),(),,(d c n b a m ==，则有bd ac n m +=⋅，
2222d c b a ++=
，因为n m ⋅，所以有柯西不等
式的向量形式：2222d c b a bd ac ++≤+，化简得：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+
y
x
B
A。