十章节方差分析
合集下载
方差分析_精品文档
方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
方差分析1132页PPT
数理统计在化学中的应用
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
《方差分析》课件
总结与展望
方差分析的意义方差分析Fra bibliotek一种有效的统计方法，可以帮助我们理 解数据之间的差异，并探索影响因素。
方差分析的未来发展趋势
随着数据分析和统计方法的进步，方差分析将继续 发展并得到更广泛的应用。
注
本PPT课件内容仅供教学参考，禁止用于商业用途！谢谢观看！
什么是方差分析
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本之间的差异。它适用于试验设计、医学研究、社会科学、 以及生产制造等领域。
单因素方差分析
单因素方差分析是一种用于比较一个因素（变量）对于一个响应变量的影响的统计方法。它基于一组样本之间 的方差差异来评估因素的影响。
双因素方差分析
双因素方差分析是一种用于比较两个因素（变量）对于一个响应变量的影响 的统计方法。它可以同时评估两个因素以及两个因素之间的交互作用。
方差分析的应用
生产制造
方差分析可以帮助优化生产 过程，提高产品质量和生产 效率。
医学研究
方差分析可以用于比较不同 治疗方法的效果，评估药物 的疗效。
社会科学
方差分析可以帮助理解不同 人群之间的差异，例如不同 年龄组之间的意见差异。
方差分析的局限性
方差分析有一些局限性，如对于非正态分布的数据不适用。但可以通过优化方法，如转换数据或使用非参数方 法，来应对这些局限性。
《方差分析》PPT课件
Presentation introducing the concept of variance analysis. Explore the definition, application scenarios, and the steps involved in both single-factor and two-factor variance analysis.
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
概率论及数理统计课程教学进度及教案表
概率论及数理统计课程教学进度及教案表教案编写日期：2024年9月教案编辑专员：教学目标：1. 理解概率论的基本概念和原理；2. 掌握随机事件的概率计算方法；3. 学会运用概率论解决实际问题；4. 了解数理统计的基本概念和方法；5. 掌握描述统计和推断统计的基本技术；6. 学会运用数理统计方法分析数据和做出决策。
教学内容：第一章：概率论基本概念1.1 随机现象和样本空间1.2 事件及其概率1.3 条件概率和独立事件1.4 概率计算公式第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的定义和分类2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 连续型随机变量的概率密度2.4 随机变量的期望和方差第三章：多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布3.2 边缘分布和条件分布3.3 随机变量的独立性3.4 多维随机变量的数字特征第四章：大数定律和中心极限定理4.1 大数定律的定义和意义4.2 中心极限定理的定义和意义4.3 大数定律和中心极限定理的应用第五章：数理统计的基本概念5.1 统计量和抽样分布5.2 估计理论和估计方法5.3 假设检验的基本原理5.4 参数估计和假设检验的应用教学方法：1. 讲授法：通过讲解和示例，让学生掌握概率论和数理统计的基本概念、原理和方法；2. 案例分析法：通过实际案例，让学生学会运用概率论和数理统计解决实际问题；3. 练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对知识的理解和运用能力；4. 小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力和思维能力。
教学评价：1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和课堂练习；2. 期中考试：考查学生对概率论和数理统计基本概念和方法的掌握程度；3. 期末考试：全面测试学生对课程内容的掌握和运用能力。
教学进度安排：1. 第一章：2周2. 第二章：3周3. 第三章：3周4. 第四章：2周5. 第五章：2周教学资源：1. 教材：概率论与数理统计教程；2. 课件：PowerPoint演示文稿；3. 案例资料：实际问题和相关数据；4. 练习题：课后习题和自测题。
第十 方差分析优秀课件
2、自由度的计算
dtfn1
例10-3
n k1（n相等时）
dfb k1
dwf nk dft dfb
dtf918
dbf312 dw f826
kn1 （n相等时）
3、方差（均方）的计算
St2MtS
XXt 2 SS t
dtf
df t
Sb 2MbS
XXt 2
dbf
SS b df b
Sw 2MwS
n X22 n X2 n X2
n 2 k n 2
SSbk nX nX
例10-1
学法
X
∑X ∑X2 n M
A 6 5 7 18 110 3 6
B 11 9 10 30 302 3 10
C
5 4 6 15
77 3 5
∑ －－－
63 489 9 7（Mt）
X X2 n
StSX2 nX2
X X t2 X X 2 k nXXt2 k nXXt2 k nXX2
总平方和 组间平方和 组内平方和
SS t SS b SS w
计算式
St S XX t2X2 nX2
SbS X X t2nX2
X2
n
Sw S XX 2X2nX2
SSt SSb
k n
2
SSt
C 80 73 70 76 82 5
D 76 74 80 78 82 5
∑
20
∑X
382 420 381 390 1573
∑X2
29276 35314 29129 30460 124179
St S 12 4 11 4 22 7 7 0 4 9 3 .5 65 2
Sb S32 8 4 22 2 5 3 02 8 312 9 1 0 25 20 7 2.3 0 50 5 Sw S 46 .52 520 .50 5262
第10章-方差分析PPT课件
2021/3/9
1.正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， 非参数检验
2021/3/9
2.等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2
Levene检验 *
N
均值 标准差
第10章 方差分析
2021/3/9
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素、双因素方差分析的应用条件、
意义及计算方法； 熟悉多重比较方法的意义及方法； 掌握用Excel，spss进行方差分析的操作
方法。
2021/3/9
一、方差分析引论
为什么要进行方差分析？
2021/3/9
（续）组间方差和组内方差
组间离差平方和
k
SSA ni(xi x)2 i1
组内离差平方和
k ni
SSE
(xij xi)2
பைடு நூலகம்i1 j1
组间方差
MSA SSA k 1
2021/3/9
受因素A和 随 机
因素的影响
组内方差
MSE SSE nk
只受随机 因素的影响
（续）方差分析的基本思想
F=
组间方差 MSA SSA k 1
组内方差 MSE SSE
nk
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间方差中 只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1
如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组内方差， 组间方差与组内方差的比值就会大于1
当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在显 著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
1.正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， 非参数检验
2021/3/9
2.等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2
Levene检验 *
N
均值 标准差
第10章 方差分析
2021/3/9
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素、双因素方差分析的应用条件、
意义及计算方法； 熟悉多重比较方法的意义及方法； 掌握用Excel，spss进行方差分析的操作
方法。
2021/3/9
一、方差分析引论
为什么要进行方差分析？
2021/3/9
（续）组间方差和组内方差
组间离差平方和
k
SSA ni(xi x)2 i1
组内离差平方和
k ni
SSE
(xij xi)2
பைடு நூலகம்i1 j1
组间方差
MSA SSA k 1
2021/3/9
受因素A和 随 机
因素的影响
组内方差
MSE SSE nk
只受随机 因素的影响
（续）方差分析的基本思想
F=
组间方差 MSA SSA k 1
组内方差 MSE SSE
nk
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间方差中 只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1
如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组内方差， 组间方差与组内方差的比值就会大于1
当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在显 著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
十章节协方差分析
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
StPx1n.1 y1.x2n.2 y2..
.. xk.yk.x.y...
nk
k
ni
i1
dft k1
SPe
k i1
ni j1
xij
yij
x1n.1y1.x2n.2y2..
.. xkn.kyk.
=SPT-SPt
k
df e = n -i k =dfT-dft i1
(10-9)
有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS， 就可进行协方差分析。
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y)
n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
回归关系显著性检验表
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明 哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线 性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来 校正y，并对校正后的y进行方差分析。
2、对校正后的50日龄重作方差分析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i1 q
E(SB)(q1)2pj2
j1
定理15.3 对模型(**)有
(1) SE,SA,SB相互独立。
(2) SE 2～ 2((p1)q (1)).
(3) 当 H 0成 1 立 S A 2～时 2(p， 1 ). (4) 当 H 0成 2 立 S B 2～时 2(q， 1).
pqi1 j1
ij,
i i q 1jq1ij
j j
1p pj1
ij ,
ij (ij)ij
称 为理论总均值， 表示所考虑的 pq个总体
数学期望的总平均；称 i 为因素 A的第i个水平
A i 对试验结果的效应； 称 j为因素 B的第 j个
p
SAqr (xi x)2
q
SBpr (xj x)2
i1
j1
pq
SA Br (xijxixjx)2
i 1j 1
其中
x
1p pqri1
qr j1k1
xijk
xij
1 r r k1
xijk
1 q r
xi
rqj1
且相互独立，即 x i jk i ji, j i k 1 , , p , j 1 , , q , k 1 , , r
其中ij～k N(0,2).令
1 p q
pqi1 j1
ij,
i i q 1jq1ij
j j
1p pj1
ij ,
ij (ij)ij
则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为
xijk i j ij ijk
ijk～ N(0,2)且ijk相互独立
i 1,, p; j 1,,q;k1,,r
（***）
p
q
p
q
i1i
产生的交互效应，因此在这里假定ij 0。这样
所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为
xij i j ij
～
ij
N(0,
2
)且
相互独立
ij
i 1,, p; j 1,,q
p
q
i和
满足
j i1
i
0,
j1
j
0.
（**）
因素的不同水平效应 j 的差异所引起的波动。
由于
E (n S E p )2 ,E (p S A 1 )2 p 1 1 j p 1 n j j2
当 H 0 成立时，
E SA E SE 1 p1 np
当
H
0
不成立时，
E SA p1
水平 B j 对试验结果的效应。 ij 反映了水
平搭配 Ai Bj对试验结果的总效应， ij 是总效
B
j 的效应
，因此
j
ij
实际上表示的是水平搭配 Ai Bj对试验结果的
交互效应。 但由于两个因素各个水平的搭配只
进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所
H03: ij 0,i1,,p,j1,,q
为了检验这些假设检验问题，将总离差平方
和进行分解有
这里
S T S E S A S B S A B
pq r
pq r
ST
(xijkx)2 SE
(xijkxij)2
i1 j1k1
i1 j1k1
所考虑的假设检验问题变为
H 0 ： 12 p 0 ； H 1 ： 1 , ,p 不全
方差分析的任务就是选择的适当的统计量，
根据所获等的样本，对假设检验问题做出回答。
为此，令 p
n nj
j1
xj
1 nj
nj i1
xij,
j1,,p
---组平均值
xn 1j p1in j1xij n 1j p1njxj ---总平均值
pq
p
其中 ST (xijx)2 SAq(xi x)2
i1 j1
i1
pq
q
SE (xijxixjx)2 SB p (xj x)2
i1j1
j1
定理15.2 对模型(**)有
E (S E ) (p 1 )q ( 1 )2
p
E(SA)(p1)2q i2
pn j
p n j
S E (x ijxj)2 (ijj)2
j 1i 1
j 1i 1
pn j
p
S A (x jx )2 n j(jj)2
j 1i 1
j 1
其中 j
1 nj
nj
ij。
i 1 p nj
E (S E) E (ijj)2(np) 2
且 S A 与 S E相互独立。
因此当 H 0 成立时，根据定理有
F SA SE ～ F (p 1 ,n p ) p1 np
拒绝域为 W F : F F 1 ( p 1 , n p )
二、多因素试验方差分析
（一）无重复试验的方差分析(无交互效应) 设因素A有p个不同的水平： A1,A2, ,Ap,
因素B有q个不同的水平：B1,B2, ,Bq,对每个 可能的搭配Ai Bj进行一次独立试验，共获得 pq个试验结果 x i,ji 1 ,2 , ,p ,j 1 ,2 , ,q 并列 表如下：
A
A1 A2 Ap
B B 1 B 2 B q
x 11 x 12 x 1 q x 21 x 22 x 2 q x p 1 x p 2 x pq
因此，由定理可知，当 H 01 成立时， F A S E /S A p ( / p 1 ( ( ) q 1 ) (1 )～)F (p 1 ,(p 1 )q (1 ))
对给定的显著性水平 ，检验问题(1)拒绝域为
W A { F A : F A F 1 ( p 1 ( ) ( p , 1 ) q 1 ( ))
而当 H 02 成立时， F B S E /S B p (/ q 1 ( ( ) q 1 ) (1 )～)F ( q 1 ,(p 1 )q (1 ))
对给定的显著性水平 ，检验问题(2)拒绝域为
W B { F B : F B F 1 ( q 1 ( ) ( p , 1 ) q 1 ( ))
B A
B1
B2
B q
A 1 x11, 1 x1r1 x12, 1 x1r2 x1q1,x1qr A 2 x21, 1 x2r1 x22, 1 x2r2 x2q1,x2qr
A p xp11,xp1r xp21,xp2r xpq1,xpqr
假定 xij(k k1,2, ,r)来自正态分布 N(ij,2)，
平均值 xi
x 1 x 2 x p
平均值xj x1 x2 xq
x
假定 x ij 来自正态分布N(ij,2)，且相互独
立，即
x i j i j i,j i 1 , ,p ,j 1 , ,q
其中ij～ N(0,2).为了了解各因素的影响，令
1 p q
E SE 1 np
故当
H
成立时，
0
SA p 1
SE n
p
应与1相差不大，
而当
H
0
不成立时，
SA p 1
SE n
p
与1比较应有明
显偏大的趋势。 这样可用其作为检验统计量。
定理15.1 对模型(*)有
（1）
SE～ 2(np); 2
（2） 当
H
成立时，有
0
SA ～ 2(p1) 2
第十讲 方差分析
一、单因素试验方差分析 二、多因素试验方差分析 三、应用方差分析时应注意的几
个问题
一、单因素试验分差分析
因素： 影响试验结果的原因。 水平：试验中因素所处的不同状态。
设因素 A有 p个水平 A1,,Ap，假定在每个 水平A j 上，做 n j 次独立重复试验，其结果记为 x1j,x2j, ,xnjj且服从正态分布，即
（二）等重复试验的方差分析（交互效应） 设有两个因素 A和 B， 因素A有 p个不同的
水平A1,A2, ,Ap， 因素B有q个不同的水平 B1 , B2,,Bq, 这样共有 pq个不同的水平搭配 Ai Bj ( i 1 , ,p ; j 1 , ,q )对.每个搭配 Ai Bj，作r 次独立重复试验，共获得 npq个r观察值，列 表如下：
的效应为正；当 j 0时，称 A j 的效应为负。
这样所考虑的模型可改写为
x ii～jj N ( 0 ,j 2)ij(i 1 , ,n j;j 1 , ,p )（*）
其中各 ij 相互独立 ，,j,2是未知的参数，且
有 1 2 p 0
i 1j 1
定理15.5 对模型(**)有
(1) SE,SA,SB,SAB相互独立。
(2) SE 2～ 2(pq(r1)).
(3) 当 H 0成 1 立 S A 2～时 2(p， 1 ). (4) 当 H 0成 2 立 S B 2～时 2(q， 1).
(5) 当 H 0成 3 立 S A 2 B ～时 2 (p ( 1 ， )q ( 1 ))
p nj
ST (xijx)2 ---总变差(离差)平方和
j1 i1
p nj
SE (xijxj)2 ---组内(误差)平方和
j1 i1
p nj
p
SA (xjx)2 nj(xjx)2
j 1i 1
j 1
---组间平方和
E(SB)(q1)2pj2
j1
定理15.3 对模型(**)有
(1) SE,SA,SB相互独立。
(2) SE 2～ 2((p1)q (1)).
(3) 当 H 0成 1 立 S A 2～时 2(p， 1 ). (4) 当 H 0成 2 立 S B 2～时 2(q， 1).
pqi1 j1
ij,
i i q 1jq1ij
j j
1p pj1
ij ,
ij (ij)ij
称 为理论总均值， 表示所考虑的 pq个总体
数学期望的总平均；称 i 为因素 A的第i个水平
A i 对试验结果的效应； 称 j为因素 B的第 j个
p
SAqr (xi x)2
q
SBpr (xj x)2
i1
j1
pq
SA Br (xijxixjx)2
i 1j 1
其中
x
1p pqri1
qr j1k1
xijk
xij
1 r r k1
xijk
1 q r
xi
rqj1
且相互独立，即 x i jk i ji, j i k 1 , , p , j 1 , , q , k 1 , , r
其中ij～k N(0,2).令
1 p q
pqi1 j1
ij,
i i q 1jq1ij
j j
1p pj1
ij ,
ij (ij)ij
则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为
xijk i j ij ijk
ijk～ N(0,2)且ijk相互独立
i 1,, p; j 1,,q;k1,,r
（***）
p
q
p
q
i1i
产生的交互效应，因此在这里假定ij 0。这样
所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为
xij i j ij
～
ij
N(0,
2
)且
相互独立
ij
i 1,, p; j 1,,q
p
q
i和
满足
j i1
i
0,
j1
j
0.
（**）
因素的不同水平效应 j 的差异所引起的波动。
由于
E (n S E p )2 ,E (p S A 1 )2 p 1 1 j p 1 n j j2
当 H 0 成立时，
E SA E SE 1 p1 np
当
H
0
不成立时，
E SA p1
水平 B j 对试验结果的效应。 ij 反映了水
平搭配 Ai Bj对试验结果的总效应， ij 是总效
B
j 的效应
，因此
j
ij
实际上表示的是水平搭配 Ai Bj对试验结果的
交互效应。 但由于两个因素各个水平的搭配只
进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所
H03: ij 0,i1,,p,j1,,q
为了检验这些假设检验问题，将总离差平方
和进行分解有
这里
S T S E S A S B S A B
pq r
pq r
ST
(xijkx)2 SE
(xijkxij)2
i1 j1k1
i1 j1k1
所考虑的假设检验问题变为
H 0 ： 12 p 0 ； H 1 ： 1 , ,p 不全
方差分析的任务就是选择的适当的统计量，
根据所获等的样本，对假设检验问题做出回答。
为此，令 p
n nj
j1
xj
1 nj
nj i1
xij,
j1,,p
---组平均值
xn 1j p1in j1xij n 1j p1njxj ---总平均值
pq
p
其中 ST (xijx)2 SAq(xi x)2
i1 j1
i1
pq
q
SE (xijxixjx)2 SB p (xj x)2
i1j1
j1
定理15.2 对模型(**)有
E (S E ) (p 1 )q ( 1 )2
p
E(SA)(p1)2q i2
pn j
p n j
S E (x ijxj)2 (ijj)2
j 1i 1
j 1i 1
pn j
p
S A (x jx )2 n j(jj)2
j 1i 1
j 1
其中 j
1 nj
nj
ij。
i 1 p nj
E (S E) E (ijj)2(np) 2
且 S A 与 S E相互独立。
因此当 H 0 成立时，根据定理有
F SA SE ～ F (p 1 ,n p ) p1 np
拒绝域为 W F : F F 1 ( p 1 , n p )
二、多因素试验方差分析
（一）无重复试验的方差分析(无交互效应) 设因素A有p个不同的水平： A1,A2, ,Ap,
因素B有q个不同的水平：B1,B2, ,Bq,对每个 可能的搭配Ai Bj进行一次独立试验，共获得 pq个试验结果 x i,ji 1 ,2 , ,p ,j 1 ,2 , ,q 并列 表如下：
A
A1 A2 Ap
B B 1 B 2 B q
x 11 x 12 x 1 q x 21 x 22 x 2 q x p 1 x p 2 x pq
因此，由定理可知，当 H 01 成立时， F A S E /S A p ( / p 1 ( ( ) q 1 ) (1 )～)F (p 1 ,(p 1 )q (1 ))
对给定的显著性水平 ，检验问题(1)拒绝域为
W A { F A : F A F 1 ( p 1 ( ) ( p , 1 ) q 1 ( ))
而当 H 02 成立时， F B S E /S B p (/ q 1 ( ( ) q 1 ) (1 )～)F ( q 1 ,(p 1 )q (1 ))
对给定的显著性水平 ，检验问题(2)拒绝域为
W B { F B : F B F 1 ( q 1 ( ) ( p , 1 ) q 1 ( ))
B A
B1
B2
B q
A 1 x11, 1 x1r1 x12, 1 x1r2 x1q1,x1qr A 2 x21, 1 x2r1 x22, 1 x2r2 x2q1,x2qr
A p xp11,xp1r xp21,xp2r xpq1,xpqr
假定 xij(k k1,2, ,r)来自正态分布 N(ij,2)，
平均值 xi
x 1 x 2 x p
平均值xj x1 x2 xq
x
假定 x ij 来自正态分布N(ij,2)，且相互独
立，即
x i j i j i,j i 1 , ,p ,j 1 , ,q
其中ij～ N(0,2).为了了解各因素的影响，令
1 p q
E SE 1 np
故当
H
成立时，
0
SA p 1
SE n
p
应与1相差不大，
而当
H
0
不成立时，
SA p 1
SE n
p
与1比较应有明
显偏大的趋势。 这样可用其作为检验统计量。
定理15.1 对模型(*)有
（1）
SE～ 2(np); 2
（2） 当
H
成立时，有
0
SA ～ 2(p1) 2
第十讲 方差分析
一、单因素试验方差分析 二、多因素试验方差分析 三、应用方差分析时应注意的几
个问题
一、单因素试验分差分析
因素： 影响试验结果的原因。 水平：试验中因素所处的不同状态。
设因素 A有 p个水平 A1,,Ap，假定在每个 水平A j 上，做 n j 次独立重复试验，其结果记为 x1j,x2j, ,xnjj且服从正态分布，即
（二）等重复试验的方差分析（交互效应） 设有两个因素 A和 B， 因素A有 p个不同的
水平A1,A2, ,Ap， 因素B有q个不同的水平 B1 , B2,,Bq, 这样共有 pq个不同的水平搭配 Ai Bj ( i 1 , ,p ; j 1 , ,q )对.每个搭配 Ai Bj，作r 次独立重复试验，共获得 npq个r观察值，列 表如下：
的效应为正；当 j 0时，称 A j 的效应为负。
这样所考虑的模型可改写为
x ii～jj N ( 0 ,j 2)ij(i 1 , ,n j;j 1 , ,p )（*）
其中各 ij 相互独立 ，,j,2是未知的参数，且
有 1 2 p 0
i 1j 1
定理15.5 对模型(**)有
(1) SE,SA,SB,SAB相互独立。
(2) SE 2～ 2(pq(r1)).
(3) 当 H 0成 1 立 S A 2～时 2(p， 1 ). (4) 当 H 0成 2 立 S B 2～时 2(q， 1).
(5) 当 H 0成 3 立 S A 2 B ～时 2 (p ( 1 ， )q ( 1 ))
p nj
ST (xijx)2 ---总变差(离差)平方和
j1 i1
p nj
SE (xijxj)2 ---组内(误差)平方和
j1 i1
p nj
p
SA (xjx)2 nj(xjx)2
j 1i 1
j 1
---组间平方和