从解三角形的“误”中“悟”
高中数学解三角形题常见误区
解三角形题常见误区[错解剖析]文章来源：现代教育报·思维训练作者：窦桐斌点击数：913 更新时间：2007-3-9 16:20:27三角形与全等三角形是初中数学的基础知识，是中考必考的内容.我们在应用时常会出现以下几方面的错误，希望能从中吸取教训，避免以后出现类似错误.1.对三角形高线概念理解不清【例1】画钝角△ABC边AC上的高BE.错解：如下图，有两种画法：【错解分析】不理解高的定义，首先要明白三角形的高线是线段，其次要知道三角形一边上的高线是过此边相对的顶点的垂线.正解：从B点向对边AC画垂线，垂足为E，如图所示.2.不能正确找出全等三角形的对应边和对应角【例2】如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，说出对应角和另外一组对应边.错解：∠DCA与∠BCA，∠DAC与∠BAC，∠D与∠B是对应角，另一组对应边AC和AC.【错解分析】识图能力差，未能将两个全等三角形分离；对全等三角形的表示法理解不透.正解：对应角是∠D与∠B、∠BAC与∠DCA、∠BCA与∠DAC，另一组对应边是AC和CA.3.忽略三角形全等所要求的条件，一方面没有按照条件中的顺序来逻列条件，二方面对条件理解不透，三方面对“对应”二字理解不深，不透【例3】如图所示，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.错解：在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC .∴∠BAE=∠CAE.【错解分析】本题错在判定△AEB≌△AEC时，用了“边边角”的判定法，这是不正确的，因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.正解：在△BEC中，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB.∵∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC.在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC.∴∠BAE=∠CAE.【例4】已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等【错解分析】对“ASA”全等识别法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等.如图所示，Rt△ABC和Rt△EDC，在Rt△EDC中，CD=AB，∠1=∠2，∠C=∠C=90°，显然△ABC与△EDC不全等.4.判断全等三角形有几对，由于观察方法不对经常出现重复或遗漏的错误【例5】如图所示，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD=BE=CF，图中全等三角形组数为（）.Ａ. 3组Ｂ. 4组Ｃ. 5组Ｄ. 6组错解：A.【错解分析】没有灵活运用所给条件，只是直接运用了已知条件就做出判断.全等三角形共有6组，分别是：△ABE≌CAD，△ABE≌BCF，△CAD≌BCF，△ABF≌CAE，△ABF≌BCD，△CAE≌BCD.正解：C.【点评】对这类问题平时学习要多观察多总结，充分地用上所给条件，逐步找出所有的全等三角形.5.对“三线合一”的误用【例6】如下图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，求∠DBC.错解：∵△ABC中AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°-40°）÷2=70°.又∵BD⊥AC垂足为D，∴∠DBC=∠ABC=35°.【错解分析】误认为在等腰三角形中每条边上的“三线”都重合.其实在不是等边三角的等腰三角形中，只有底边上的“三线”才是重合的.若三角形ABC的三边为a、b、c，f(x)=b^2*x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2,则f(x)的图像A.与x轴相切B.在x轴上方C.在x轴下方D.与x轴交于两点最佳答案此答案由提问者自己选择，并不代表爱问知识人的观点(b^2+c^2-a^2)^2-4*b^2*c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)*(b^2+c^2-a^2-2bc)=[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]因a、b、c为三角形ABC的三边，所以有b+c>a而(b-c)的绝对值<a[(b+c)^2-a^2]>0[(b-c)^2-a^2]<0所以[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]<0f(x)与x轴交于两点高一数学解三角形问题.谢谢!回答：3 浏览：101 提问时间：2006-08-12 15:02设角A=60度,则(1/2)bcsin60=10√3,bc(√3/2)=20√3,bc=40a+b+c=20a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bca=20-(b+c)a^2=(b+c)^2-40(b+c)+400=(b+c)^2-120-40(b+c)=-520,b+c=13b=5,c=8或b=8,c=5此三角形三边a=7,b=5,c=8或a=7,b=8,c=5[大师]设三边为a,b,c,∠B=60`acsin60`/2=10√3,即ac=40又因为b^2=a^2+c^2-2accos60`=a^2+c^2-ac==a^2+c^2-40a+b+c=20三式联立可得,a=5,b=7,c=8或a=8,b=7,c=5回答：2006-08-12 15:14评论qqqq[神]设三条边分别为a、b、c，a、b的夹角为A=60度，则a+b+c=20，由b边正对的角作垂直于b的垂线，垂线长度为a*SINA，三角形面积S=b*a*SINA/2=10*3^(1/2)，得出ab=40。
常见常新题型__注重解题方法——解三角形易错点扫描
ʏ江苏省高邮市第一中学 袁达飞解三角形问题是高考中的常见题型,主要利用正弦定理㊁余弦定理来求解未知边角的关系或具体值,由于解三角形需要综合应用正余弦定理和有关角的一些变换,所以经常会出现一些顾此失彼的错误,现归纳如下,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁忽视解的讨论致误例1 在әA B C中,已知a =2,b =2,A =45ʎ,求B ㊂错解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或150ʎ㊂剖析:上述解法中忽现了A +B +C =180ʎ这一隐含条件,当B =150ʎ时,A +B =195ʎ,与三角形的内角和为180ʎ矛盾㊂正解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或B =150ʎ㊂若B =150ʎ,则A +B >180ʎ,应舍去㊂故B =30ʎ㊂易错点二㊁忽视三角形中角的范围致误例2 在әA B C 中,已知(a 2+b 2)㊃s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,判断әA B C 的形状㊂错解:原式可化为(a 2+b 2)(s i n A c o s B-c o s A c o s B )=(a 2-b 2)(s i n A c o s B +c o s A s i n B ),即a 2s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ㊂由正弦定理得b 2s i n 2As i n 2B㊃s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ,化简得s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以A =B ㊂所以әA B C 是等腰三角形㊂剖析:上述解法忽略了角的范围,s i n 2A=s i n 2B 是2A =2B 的必要但不充分条件,另外,有些同学也可能由于逻辑关系不清而出现以下错误的判断:由s i n 2A =s i n 2B ,得2A =2B ,又2A +2B =π,且A =B ,A +B =π2,所以әA B C 是等腰直角三角形㊂正解:将条件都化为有关角的关系形式,前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂因为A ,B 是三角形的内角,所以2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2㊂故әA B C 是等腰三角形或直角三角形㊂易错点三㊁忽视隐含条件致误例3 在不等边әA B C中,a 为最大边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是㊂错解:因为a 2<b 2+c 2,所以b 2+c 2-a2>0,则c o s A =b 2+c 2-a22b c>0㊂又因为A 为әA B C 的内角,故A 为锐角,所以0<A <90ʎ㊂剖析:上述解法忽视了隐含条件:三角形的内角和为180ʎ,所以最大边所对的角应该大于60ʎ㊂正解:前面同错解,得0ʎ<A <90ʎ㊂又因为a 为最大边,所以A >60ʎ㊂所以60ʎ<A <90ʎ㊂故A 的取值范围是(60ʎ,90ʎ)㊂易错点四㊁忽视角之间的关系致误例4 在әA B C 中,若s i n 2A s i n 2B =t a n Ata n B ,则әA B C 的形状为㊂错解:已知s i n 2A s i n 2B =t a n A ta n B =s i n A c o s Bc o s A s i n B ㊂因为s i n A >0,s i n B >0,所以s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以2A =2B ,即A =B ㊂故әA B C 为等腰三角形㊂剖析:上述解法忽视了 在әA B C 中,由72解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 2A =s i n 2B ,可以得到2A +2B =π这种情况,导致漏解,结果错误㊂正解:前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂所以2A =2B 或2A +2B =π,则A =B 或A +B =π2,故әA B C 为等腰三角形或直角三角形㊂易错点五㊁忽视三角形中三边的基本关系致误例5 已知钝角三角形的三边长分别是2a +1,a ,2a -1,求实数a 的取值范围㊂错解:因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,所以2a +1>0,a >0,2a -1>0,解得a >12㊂又2a +1是三边长的最大值,设该边所对的角为θ,则c o s θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)<0,解得12<a <8㊂剖析:不是任意的三个正数都能作为三角形的三条边长,还需要满足三角形三边的基本关系,即两边之和大于第三边㊂上述解法中少了这个约束条件㊂正解:前面同错解,得12<a <8㊂又a +(2a -1)>2a +1,解得a >2㊂综上可得,实数a 的取值范围是(2,8)㊂易错点六㊁实际问题中题意不明致误图1例6 如图1,在海岛A 上有一座海拔1k m的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛北30ʎ东㊁俯角为60ʎ的B 处,到11时10分,又测得该船在岛北60ʎ西㊁俯角为30ʎ的C 处㊂(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,试问:此时船距海岛A 有多远?易错分析:有的同学对题意没有理解透彻,方位确定不了,不能观察出әB A C 是直角三角形;有的同学在求A D 的长时不能放在әA C D 中利用正弦定理求解㊂剖析:实际应用问题中的有关名词㊁术语不能混淆㊂①仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角㊂②方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角㊂③方位角:从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角㊂④坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数㊂正解:(1)在R tәP A B 中,øA P B =60ʎ,P A =1,所以A B =3(k m )㊂在R t әP A C 中,øA P C =30ʎ,所以A C=P A ㊃t a n 30ʎ=33(k m )㊂在әA C B 中,øC A B =30ʎ+60ʎ=90ʎ,所以B C =A C 2+A B 2=332+32=303(k m )㊂所以该船的航行速度为303ː16=230(k m /h)㊂(2)øD A C =90ʎ-60ʎ=30ʎ㊂s i n øD C A =s i n (180ʎ-øA C B )=s i n øA C B =A B B C =3303=31010㊂s i n øC D A =s i n (øA C B -30ʎ)=s i n øA C B ㊃c o s 30ʎ-c o s øA C B ㊃s i n 30ʎ=31010㊃32-1-310102㊃12=33-11020㊂在әA C D 中,由正弦定理得A Ds i n øD C A=A C s i n øC D A ,所以A D =A C ㊃s i n øD C As i n øC D A=33㊃3101033-11020=9+313(k m )㊂故当船到达海岛的正西方向的D 处时,船与海岛A 的距离为9+313k m ㊂(责任编辑 王福华)82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
3-《解三角形应用》反思总结
3-《解三角形应用》反思总结第一篇：3-《解三角形应用》反思总结《解三角形应用》教学反思应用题教学是培养学生应用数学能力的一个良好途径。
数学应用题的教学模式一般是直接给出实际问题的解决方案，再让学生用数学知识去求解.给出的实际问题有很多并不是学生所能感觉到、体会到的，往往是一些文字、符号、事实、事件等，解决方案的单一性也会使学生感到枯燥、被动.因此在大多数情况下，应用题仅是作为理论联系实际和巩固新知识的一种手段，正如谭良军在《浅谈数学应用意识及其培养》一文中指出的，传统的应用题教学中常存在这样的“假象”，即在学生学完某一知识后，就给出一个应用题，要求学生解答。
这种所谓的“应用题”，有时是机械的辨别、模仿，强调的是学生解答数学问题的能力。
它有助于加深学生对知识的巩固和理解，但对于培养学生的应用意识和应用能力效果甚微。
要说培养学生的应用意识，那本节得设计成一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，让学生清楚工具可以做哪些测量，再根据老师给出的问题自行设计解决方案.接着组织学生探讨方案的实效性.最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.教师只负责引领学生促使问题的探讨层层深入。
问题一：如何测量距离。
1.两点间不可拉线测量，但测量者可以到达两端。
比如计算隧道的长度2.两点中有一点不可到达，比如测量小岛到岸边的距离3.两点都不可到达。
隔河可以看到两目标A、B，但不能到达.求A、B之间的距离。
进一步深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。
问题二：如何测量高度。
1.底部可以到达。
比如操场上旗杆的高度2.底部不可以到达。
比如测酒店的高度问题三：如何测量角度。
比如船的航向。
将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.让学生亲身经历和体验运用解三角形的知识可以变“不可测”为“可以算”.使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。
在学习过程中鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考。
解三角形中常见错误浅析
解三角形中常见错误浅析作者：霍福策来源：《新高考·高一数学》2012年第03期以三角形为载体,考查学生分析问题、判断能力是高考命题的一个重要方向,而同学们在解这部分问题时,常因考虑不周、审题不细、公式运用不当等原因而导致错解.下面就解三角形中的常见易错点举例剖析，以引起同学们的关注.例1 在△ABC中，已知 B= π 6， c= 23， b=2， 求△ABC的面积.错解由正弦定理得 sinC=cb sinB=32，所以C= π 3， A= π 2. 从而△ABC的面积为：剖析在△ABC中， sinC=32，因为c>b，所以C>B.故当C=2 π 3时，A= π 6时也符合要求，此时△ABC的面积为：S △=12b c sinA=12×23×2×12=3. 错误的原因在于求C时漏了一解.因此，我们要谨防走入：误区一利用正弦定理求三角形的内角时易丢解已知两边及其一边的对角，求解三角形用正弦定理，此时求得某个角的正弦值后，要注意正弦函数y= sinx在区间（0， π ）上不是单调函数，因此所求角有可能有两个，防止由正弦定理得 sinC=cb sinB=32.因为c>b，所以C>B，此时角C= π 3或2 π 3.当C= π 3， A= π 2时，S △=12b c sinA= 12× 23×2×1=23；当 C=2 π 3时，A= π 6时，S △=12b c• sinA= 12×23×2×12=3.故所求三角形的面积为23或3.例2 在△ABC中，已知 c=56， b=10， C=60 ° ， 不解三角形，判断三角形解的个数.错解由正弦定理 b sinB=c sinC得： sinB= bc sinC=1056•32=22， B= π 4或3 π 4， 所以此三角形有两组解.剖析由正弦定理知 sinB=bc sinC=1056•32=22，由已知b误区二机械套用定理、公式和已有结论，导致错解已知两边及其一边的对角，求解三角形用正弦定理，此时求得某个角的正弦值后，要注意根据三角形中的边角关系进行检验，防止出现增根，如：大边对大角，即： a>b A>B 等来进行要考虑角的范围.正解由正弦定理 b sinB=c sinC得 sinB =bc sinC=1056•32=22， B= π 4或3 π 4.由已知b例3 在△ABC中，已知 cosA=513， sinB=35， 求 cosC的值.错解因为 cosA=513,所以 sinA=1213.又 sinB=35，所以 cosB=±45.①当 cosB=45时， cosC=－ cos （A+B）=－ cosA cosB+ sinA sinB=1665；②当 cosB=－45时， cosC= － cos （A+ B） =－cosA cosB+ sinA sinB=5665.所以 cosC的值为1665或5665.剖析在△ABC中，因为 cosA=513>0,所以A为锐角， sinA=1213.又 sinB=35，所以sinA> sinB.由正弦定理知a>b，由三角形的性质有A>B, 所以B角不可能为钝角.因此cosB≠－45， 产生了增根.因此，我们要谨防走入：误区三不能挖掘隐含条件，进一步缩小角的范围而致错在解三角形时，有些条件在题目中能够显现，有些条件则隐含在解题过程中，这时候不能盲目求解，有根据过程适时作出相应的判断，缩小角的范围，从而得到正确的结果.正解在△ABC中，因为 cosA=513>0,所以A为锐角， sinA=1213.又 sinB=35，所以sinA> sinB.由正弦定理知a>b，由三角形的性质有A>B,所以B为锐角， cosB= 45.从而cosC=－ cos （A+B）= － cosA cosB+ sinA sinB=1665.－1 在△ABC中，三内角A， B， C满足： sin 2A+ sin 2B= sin 2CsinA sinB，求 sinC的值.。
三角函数中的“错中悟”
万方数据
感悟：函数ｙ—ｓｉｎ
ｃ肚（叫＞。）在［一詈，詈］上是
式为ｙ一２ｓｉｎ（ｚ＋号）。
感悟：上述解法没有弄清三角函数图像的特征。
单调增函数与函数Ｙ—ｓｉｎ ｃ以（叫＞ｏ）的单调增区间
为［一詈，詈］不是等价概念。
正解：因为函数Ｙ＝ｓｉｎ ｃｃＪｚ（ｃｃＩ＞０）在
厂
由“五点法”可知，点（ｏ，万）在第２个点与第３个点
用
使
七、三角函数图像中的错误 倒７函数Ｙ＝Ａｓｉｎ（（ｃＪｚ＋∞）（ｃｃＪ＞０，０＜９＜７【） 的图像如图１所示，则该函数的 表达式为
。
Ｊ
沙
换成Ｌ；若将图像上各点的横坐标缩短到原来的土
错解：由图像知Ａ一２。因为
图像过点（０，√３），所以２ｓｉｎ
。
Ａ≮
Ｄ —ｌ －２
夸！
（∞＞１），则只需将ｚ换成叫ｚ。
所以号＜臼＜荨＇且Ⅱ兀＜２臼＜萼。
所以ｃ。ｓ
２０一一￣／ｒ二五孑万一一去。
五、三角函数单调性中的错误 侧Ｆ若函数ｙ—ｓｉｎ
正解：Ｐ（４，ｙ）是角０终边上的一点，由三角函数 的定义知ｓｉｎ
以—兰一一半，解得ｙ一一８（了一８舍去）。
√１６＋ｖ
２
０－而Ｙ亏。因为ｓｉｎ口一＿竽，所
３
ｃＵｚ（叫＞ｏ）在ｌ一詈，詈Ｊ上
２ｓｉｎ
侧６求函数了一ｓｉｎ（詈一ｚ）的单调增区间。
错解：因为函数Ｙ—ｓｉｎ ｚ的单调增区间是
八、不理解平移规律出现错误 侧Ｐ函数ｙ－－－－ｓｉｎ
５ｚ一詈）的图像向右平移｛
）。
ｂ一２，２ｋ－＋２］（忌∈ｚ），所以２ｋｕ－－号≤号一
ｚ≤２忌７【＋詈（足∈ｚ），解得一２ｋ ７ｒ一罢≤ｚ≤一２ｋ ７【＋
反思一道“三角函数综合应用题”的典型错解
反思一道“三角函数综合应用题”的典型错解作者：周婷婷来源：《数学教学通讯·高中版》2016年第02期摘要：本文首先从知识点、解题思维、解题过程三方面对一道“三角函数综合应用”题进行反思，其次呈现该题的典型错解，并对错解原因进行剖析，最后为教师提供教学建议.关键词：三角函数；错解；反思反思是数学教育领域的热门词之一. 在数学教学过程中，教师常会提到反思一词，可见反思在数学教学中有着举足轻重的地位. 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用. 向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用. 本文对一道“三角函数综合应用”题的反思，重在引导学生反思解题所用的知识点，解题思维的起点、层次和规律，从根本上提高学生的数学思维能力.知识点反思：数学知识是解决数学问题的基础. 例题属于三角函数综合应用题型（三角函数与平面向量、数列相结合），知识点包括三角函数概念及同角关系式、三角函数的图象与性质、等差数列、等比数列、平面向量、平面几何等.解题思维反思：良好的思维起点是破题的关键.三角函数和向量、数列有机地结合起来，弄清三角函数与向量的“联合点”，灵活应用等差、等比数列的性质，借助正、余弦定理，并准确地运用求三角形内切圆半径的公式.解题过程反思：清晰的解题过程可以反映学生清晰的思维. 根据等差数列的概念可得出f （x）的周期，根据等比数列的性质得到相应的等式关系，结合正、余弦定理得到△ABC的面积，最后根据面积法得到三角形内切圆的半径.错解呈现例题是重庆某学校高一下学期月考的测试题，分析的班是全年级比较好的班，全班57人，有20人得了5-7分（该题12分），即大部分学生只做对了第（1）问，部分学生对第（2）问无从下手. 对于解题过程中出现的错误与疏忽，不能只看到其消极的方面，更要认识到这是一个提高解题能力、完善认知结构的极好机会.例题的错误解答主要集中在以下三种类型.1. 错解1的呈现如图1，该类学生把三角形内切圆半径与外接圆半径弄混淆，以致解答错误.该类学生出现这种错误的原因可能有：读题不仔细，没有弄清楚题目的具体要求；知识认知上的错误，把求外接圆半径的公式当作求内切圆半径的公式.2. 错解2的呈现如图2，该类学生第（1）问能够解答，但第（2）问就完全没有思路. 该类学生对三角函数综合的应用能力较弱，不知如何将数列应用到三角函数中，不清楚怎样求三角形内切圆的半径.3. 错解3的呈现如图3，该类学生掌握向量的定义，完成①，但三角函数的恒等变换掌握不好，出现错误②. 该类学生首先需要从基础知识——三角函数的恒等变换方面进行补救.反思能够提高学生的数学思维能力、创新能力. 本文通过对例题典型错解的反思，体现了知识点、解题方法、思维过程对学生解题有着重大的影响. 教师应引导学生学会反思，反思解题过程中出现的知识点、解题方法、解题思维.。
“误”中求“悟”——关于小学数学教学中学生错误的几点思考
不小 心跌 人陷 阱 。如 ： 三角形 的面积 是平行 四边形 面积的一半 。两个 面积相 等 的三角形一定 可以拼成一个 平行 四边 形 。等底等 高的两个三角形可 以拼成一 个 平行 四边 形 。当学生 纠误 后 ， 我 引导 学生进 行错 误归 因 ， 再现 三角 形面 积推 导过程 ， 引导学生总结 “ 怎样 的两个 三角 形可 以拼成 一个平 行 四边 形 ” ， 讨论 “ 等 底 等高与完全一样 ” 的意思 ， 重新 构建学 习正确 的认 知 。并 再 出示 以下判 断 ： 梯 形 的面积是平行 四边形面积 的一半 。平 行 四边形 的面积是梯形面积 的两倍 。两 个面积相等 的梯 形一定能拼成 一个平行 四边形 。让学生 在判断后 ， 对三角形 、 梯 形、 平行 四边 形面 积之 间的关 系进 行 系 统 的整理 ， 以帮助学生 构建完整 、 清晰 的 认知结构图 。 数学 教学 是个 动态 发展 的过程 ， 在 这个过程 中学生的错误反 映出学生建构 知识时 的障碍 ， 引导学 生正确看待错误 ， 正确归 因错误 对学生来说是 学习经验 的 种 积 累。当然 ， 正误 的过程 离不 开议 误， 议 误是学生对 自己错误 的一种反思 ， 从 心理学 的角度 来说 ， 反 思是 一种 主动 “ 再 认识 ” 的过 程 ， 是 思 维 的高 级形 式 。 正误 过程 中积极 培养 学生 的反思 习惯 ， 让学 生在 把错误 作为 反例 ， 发 现 同类事 物 的共 同本 质特 征 ， 使概 念 的描述 精确 化。 总之 ， 课堂是学生 出错 的地方 ， 出错
欲望 。
对 于数 学来 说 ， 正 确答 案也 许是 唯 的， 但是 错误 的答 案却 有它不 同的思 考过程 ， 正如华 应龙说 ： “ 在课 堂上 ， 正确 ” “ 明白的学生 明白的道理是一样 的 ， 不 明 白的学生就各 有各的 困惑 。 ” 当学生 出现错误 后 ， 我 们要 更多 地去琢 磨学 生 错误 的原 因究竟 是什么？ 只有找 到了这 个原 因 ， 才 能更好地 去帮助他 ， 而不是枯 燥、 简单 、 机械 地去强调规则 。郑毓 信教 授说： 学 生 的错 误不 可 能单纯依 靠正 面 的示 范 和反 复练 习得 到纠正 ， 而必须 经 历一 个 Ｉ ＋ Ｉ 我否 定的过程 。对 于这些似是 而非 的错误 ， 如果 教师 只告诉 正确 的做 法。 难 以触 及问题 的实质 ， 更容 易抑制学 生 主动性和创造 性的发展 。只有 引导学 生 进行 深入 的探 究 ， 给学 生思 维的 时间 和空 间 ， 让 他们 自己发现 错 误 ， 否定 错 误， 才能真正提高学 习的效率 。
三角恒等变换中的“误与悟”
＿ ＿ — —
教 师 教 育 课 程 改 革 研 究 项 目， 项 目编 号 ： ２ ０ １ ４一
Ｊ Ｓ Ｊ ＹＹＢ一 ０ １ １ ）
ｃ。 ｓ
２。
错解 ： 原式
—
—
（ ＋ 詈 ） ＿ 。 十 ｓ ｉ ｎ （ ｚ ＋ 詈 ） 一
．
— — — 一
（ 责任 编辑
郭 正华 ）
正 周 期 为 Ｔ 一 警 一 丌 。
（ ２ ） 因为 正 弦 函 数 ｙ— ｓ ｉ ｎ ｚ（ ｚ Ｅ Ｒ） 的值 域 为
１
一
中学生数理他 ． 高一 使用
譬ｓ ｉ ｎ （ ｚ ＋ 詈 ） ＋ 丢 ｃ ｏ ｓ （ ｚ ＋ 詈 ） 一 一
［ 一 １ ， １ ］ ， 所以－ 厂 （ ｚ ） 一２ ｓ ｉ ｎ ２ ｚ — Ｔ １ 的 值域为
忌 兀 一 蛋 ≤ ｚ ≤ 是 兀 ＋ （ ∈ ｚ ） 。
由 ｓ ｉ ｎ ａ ∈ ［ 一 １ ， １ ］ ， 可 求 得 一 ２ （ ｓ ｉ ｎ 一 ） ＋ 丢
的最 大 佰 与 最 小 佰
令 忌 一 。 ， 可 知 一 詈 ≤ ｚ ≤ 警 ， 即 函 数 ， （ ） 的 单
范围 。由 ２ ｓ ｉ ｎ ａ一 ３ ｓ ｉ ｎ ａ— ｓ ｉ ｎ ≥ ０， 得 Ｏ ≤ ｓ ｉ ｎ ａ≤
条件。 又 ＿ 厂 （ 。 ） 一 一 ２ ， ＿ 厂 （ 警 ） 一 ２ ， 厂 （ 号 ） 一 一 ２ ， 所 以 的 隐含 正解 ： 由 ２ ｓ ｉ ｎ ｄ一 ３ ｓ ｉ ｎ 口一 ｓ ｉ ｎ 口 ， 可得
ｓ ｉ ｎ 的取 值 范 围。
错解 ： 由 ２ ｓ ｉ ｎ ａ一 ３ ｓ ｉ ｎ ａ— ｓ ｉ ｎ ， 可得 ｓ ｉ ｎ ＋
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从解三角形的“误”中“悟”
1问题背景
解三角形是高中数学的重要内容，其本质就是根据已知边角的关系来求解未知边角之间的关系或具体值。
而正余弦定理恰好揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，是解三角形的重要工具。
2016年全国高考理科数学考试大纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
可以说，以三角形为载体，考查学生分析问题、判断问题的能力也是高考命题的重要方向。
利用正余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用之前所学的三角函数运算公式以及三角形的性质，但因公式多且在解题时常忽视三角形诸如两边之和大于第三边、大边对大角等性质而导致在解题时常会出现增解、错解现象。
下面结合解三角形中的常见错误加以实例剖析。