压轴题讲义三(学生)

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中考数学压轴专题复习讲义

专题一代数综合压轴题专题精要解析代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等，解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的．本部分内容分为三部分，一是以方程为背景，主要掌握一元二次方程的定义，根的判别式等内容；二是以不等式为背景，主要掌握不等式的基本性质；三是以函数为背景，主要掌握初中所学各函数的定义、性质等内容．高频考点过关考点一：以方程为背景例题1．如果方程＋px ＋q =0的两个根是，那么，请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a ，b 满足求的值；(3)已知a ，b ，c 满足a ＋b ＋c =0，abc = 16，求正数c 的最小值．2x 12x x ,12x x p +=-12x x q = 200x m x n n ()++=≠2215501550a a b b ,--=--=a bb a+考点二：以不等式为背景例题2.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例：解一元二次不等式－4>0解：∵= (x ＋2) (x －2)，∴－4>0可化为(x ＋2)(x －2)>0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②解不等式组①，得x >2，解不等式组②，得x < －2． ∴(x ＋2) (x －2)>0的解集为x >2或x <－2．即一元二次不等式－4>0的解集为x >2或x < －2． (1)一元二次不等式>0的解集为____；(2)分式不等式>0的解集为_______； (3)解一元二次不等式<0．考点三：以函数为背景例题3．已知抛物线y = (0<2a <b )的顶点为P ，点A （1，），B (0，)，C (－1，)在该抛物线上．(l )当a =l ，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求的值；(2)当≥o 恒成立时，求的最小值．2x 24x -2x 2020x x ⎧+〉⎨-〉⎩2020x x ⎧+〈⎨-〈⎩2x 216x -13x x --223x x -2ax bx c ++()00x y ,A y B y C y A B Cy y y -0y A B Cy y y -由题意，如右图所示，过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1，则AA 1＝y A ，OA 1＝1．连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，则BD ＝y B －y C ，CD ＝1．过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )，交x 轴于点F (x 2，0)，则∠FAA 1＝∠CBD ．于是Rt △AFA 1∽Rt △BCD ．有AA 1BD ＝FA 1CD ，即y A y B －y C ＝1－x 21＝1－x 2．过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD ．有AG BD ＝EG CD ，即y A －y Ey B －y C＝1－x 1．∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，得y A ＝a ＋b ＋c ，y B ＝c ，y C ＝a －b ＋c ，y E ＝ax 12＋bx 1＋c ，∴(a ＋b ＋c )−(ax 12＋bx 1＋c )c −(a −b ＋c )＝1－x 1．化简，得x 12＋x 1−2＝0，解得x 1＝－2（x 1＝1舍去）．∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1，则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3．∴y A y B －y C的最小值为3．中考真题链接真题1．（荆州中考）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x ＋2(k －1)＝0（1）求证：无论k 为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|＝2，求k 的值．真题2．（镇江中考）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y ＝x －1的图象可以由正比例函数y ＝x 的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数y ＝k x ＋2（k ≠0）的图象是由反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数y ＝4x的图象C 与正比例函数y ＝ax （a ≠0）的图象l 相交于点A （2，2）和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求a 的值；（2）将函数y ＝4x的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C ′和l′，已知图象C′经过点M (2，4)．①求n 的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式4x －1≤ax −1的解集．真题3．（莆田中考）如图，直线l：y＝x＋1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y＝kx的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AN•BM的值．真题4．（北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．真题5．（荆州中考）已知：y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．真题6．（扬州中考）如右图所示，抛物线y＝x2－2x－8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．真题7．（南宁中考）如右图所示，抛物线y ＝ax 2＋c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，－1）两点，并与直线y ＝kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，－2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO ＝AM ；（3）探究：①当k ＝0时，直线y ＝kx 与x 轴重合，求出此时1AM ＋1BN的值；②试说明无论k 取何值，1AM ＋1BN的值都等于同一个常数．真题8．（天津中考）已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示：（Ⅰ）求y 1与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）若经过点T （0，t ）作垂直于y 轴的直线l′，A 为直线l′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P （x ，y 2）．（1）求y 2与x 之间的函数关系式；（2）当x 取任意实数时，若对于同一个x ，有y 1＜y 2恒成立，求t 的取值范围．x …－103…y 1＝ax 2＋bx ＋c…94…创新思维训练创新1．已知，方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有实根．（1）若k 为正整数，求kk －2的值；（2）若k 取最大的正整数，写出抛物线y ＝(k －1)x 2－2x ＋1的顶点坐标；（3）是否存在这样的函数使得无论k 取任意不等于1的实数时，抛物线y ＝(k －1)x 2－2x ＋1的顶点都在这个函数的图象上，若存在，请求出这个函数的解析式；若不存在，请说明理由．创新2．已知抛物线y ＝x 2＋2mx ＋2m －3．（1）求证：不论m 为任何实数时，二次函数的图象与x 轴总有两个交点；（2）若二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2m －3的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，满足x 1＜－2＜x 2，关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－3(m －2)x ＋2m －5＝0①有两个不相等的整数根，求整数m 的值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一个方程x 2＋2(a ＋m )x ＋6a ＋4m －5＝0②有大于－2且小于3的实数根，求整数a 的值．专题二几何综合压轴题考点精要解析几何综合题大致可分为几何计算综合题与几何论证型综合题，这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题，还有代数与几何的综合几何题．几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查学生分析问题，探究问题，综合应用数学知识解决实际问题的能力．以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面：1．以证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系） 2．证明图形的位置关系；　3．几何计算问题； 4．动态几何问题．高频考点过关考点一：三大变换之对称例题1．如右图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于点G ；E 、F 分别是C′D 和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D′处，点D′恰好与点A 重合．（1）求证：△ABG ≌△C′DG ；（2）求tan ∠ABG 的值；（3）求EF 的长．解：（1）∵△BDC′由△BDC 翻折而成，∴∠C ＝∠C ′＝∠BAG ＝90°，C ′D ＝AB ＝CD ，∠AGB ＝∠DGC ′，∴△ABG ≌△C ′DG ．（2）由（1）可知△ABG ≌△C ′DG ，∴GD ＝GB ，∴AG ＋GB ＝AD ，设AG ＝x ，则GB ＝8－x ，在Rt △ABG 中，∵AB 2＋AG 2＝BG 2，即62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝724．（3）∵△AEF 是△DEF 翻折而成，∴EF 垂直平分AD ，∴HD ＝12AD ＝4，∴tan ∠ABG ＝tan ∠ADE ＝724，∴EH ＝HD ×724＝4×724＝76．∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线，∴HF ＝12AB ＝12×6＝3．∴EF ＝EH ＋HF ＝256．例题2．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF，CF．（1）如图（a）所示，，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图（b）所示，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图（c）所示，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长（直接写出结果）．（a）（b）（c）解：（1）线段DF，CF之间的数量和位置关系分别是相等和垂直．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如右图所示，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．又∵AD＝DE，AC＝BC，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）线段CF的长为10 2．例题3．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D ，E 分别为AB ，AC 上的点．（1）如图（a ）所示，CE ＝AB ，BD ＝AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF ＝EB ，连接DF 交EB 于点G ，请你直接写出EBDC的值；（2）如图（b ）所示，，CE ＝kAB ，BD ＝kAE ，EB DC ＝12，求k 的值．（a ）（b ）解：（1）EB DC＝22．（2）如右图所示，过点C 作CF ∥BE 且CF ＝BE ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ．∴四边形BFCE 是平行四边形，∴CE ∥BF 且CE ＝BF ，∴∠ABF ＝∠A ＝90°，∵BF ＝CE ＝kAB ，BD ＝kAE ，∴BF AB ＝k ．∵BD ＝kAE ，∴BD AE ＝k ．∴BF AB ＝BD AE ．∴△DBF ∽△EAB ．∴DFBE＝k ,∠GDB =∠AEB .∴∠DGB =∠A =90°.∴∠GFC =∠BGF =90°.∵.∴.∴考点四：几何综合之动态问题例题4.已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF.如图（a）所示，线由一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一条直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图（b）s所示，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD 向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10.由题意，易知点G的运动线路平行于BC.如下图所示，过点G作BC的平行线，分别交AE，AF于点Q，R.∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM.∴四边形QEMG为平行四边形，∴QG=EM=10.∴t=10.（2）存在符合条件的点P.在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20.设∠AEB=，则sin，cos=.∵NE=t，∴QE=NE·cos=t，AQ=AE-QE=20-t.△APQ是等腰三角形，有三种肯能的情形：①AP=PQ，如下左图所示：过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP·cos=t.∵AQ=2AK,∴20-t=2×t，解得:t=.②AP=AQ.如下中土所示：t=20-t，解得:t=.③AQ=PQ，如下右图所示：过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ·cos=（20-t）×=16-t.∵AP=2AK,∴t=2（16-t），解得t=.综上所述，当t=，，秒时，使△APQ是等腰三角形.中考真题链接真题1.（龙岩中考）如图（a）所示，在矩形纸片ABCD中，AB=，AD=.（1）如图（b）所示，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为________；（2）如图（c）所示，再将四边形BCE沿向左翻折，压平后得四边形,交AE于点F，则四边形的面积为_______；（3）如图（d）所示，将图（b）中的△AE绕点E顺时针旋转α角，得△,使得E恰好经过顶点B，求弧的长.（结果保留π）真题2.（自贡中考）将两块全等的三角板按图（a）摆放，其中∠=∠ACB=90°，∠∠A=30°.（1）将图（a）中的△顺时针旋转45°得图（b），点是C与AB的交点，点Q是与BC 的交点，求证：C；（2）在图（b）中，若A=2，则CQ等于多少？（3）如图（c）所示，在C上取一点E，连接BE,,设BC=1，当BE⊥时，求△面积的最大值.真题3.（北京中考）在△ABC中，AB=AC,∠BAC=(0°<)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.（1）如图（a）所示，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）;（2）如图（b）所示，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值.真题4.（邵通中考）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF.（1）如图（a）所示，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图（b）所示，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC，CF，CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图（c）所示，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC，CF，CD 之间存在的数量关系.真题5.（资阳中考）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于点H，交AD于点N.（1）如图（a）所示，当点M与点C重合时，求证：DF=MN；（2）如图（b）所示，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s的速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t>0）；①判定命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由.②连接FM，FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由.真题6.（苏州中考）如右图所示，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0.（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为，△CDG的面积为，试说明-是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.创新思维训练创新1.已知，在四边形ABDC中，E，F分别在AB，AC上，BE=CD，CF=BD，M是EF的中点，连接BC.（1）如图（a）所示，若∠DBA=∠DCA=90°，△BMC的形状为_________.（2）若把“∠DBA=∠DCA=90°”改成“∠DBA+∠DCA=180°”，其他条件不变，如图（b）所示，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.（3）在（2）的条件下，若BM=8，BC=10，直接写出五边形BCDEF的面积.创新2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD 中点.（1）若过点D作DE⊥AB于点E，连接CF，EF，CE，如图（a）所示，判断CF与EF的关系，直接写出结论；（2）若将图（a）中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点F扔为BD中点，如图（b）所示.确定BE，DE与CF之间的关系，并证明你的结论；（3）若AD=AB，BC=4，将△ADE绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值.专题三代数几何综合压轴题考点精要解析近几年中考题目的压轴题目莫过于代几综合题目，而解决这类题目是有一定技巧的.数学压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题.解中考压轴题的技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合的思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何图形直观得到某些代数问题的解答.关键是掌握几种常用的数学思想方法.一是运用函数与方程的思想.以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式，研究其性质.二是运用分类讨论的思想，对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究.三是运用转化的数学思想.由已知向未知，由复杂向简单转化.高频考点过关考点一：点的存在性问题例题1：已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设对称轴与x轴的交点为M，以M为圆心，AB长为半径画圆，过点D作圆M的切线DN交圆M 于点N，交x轴于点Q，求直线DN的解析式.解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为.根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为.（2）存在.由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1.①如右图所示，若以CD为一腰，∵点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点与点C关于直线x=1对称，∴.②若以CD为底边，则=，∴∠=∠.由①可知，CH=DH=1，∴∠CDH=∠HCD.∴∠H=∠.∵∥,∴∠=∠.∴∠∠.∵, ∠,∴△≌△.∴.设P点坐标为（）,则,.∴.即解得<1(舍去).∴∴综上所术，点P 的坐标为（2，3）或（3）如右图所示，连接MN,∵D N 是圆M 的切线，∴∠D NM=900在Rt △D MN 中，.∵D M=4,MN=2, ∴易证△D MN ∽△MQN，∴∴设直线D N 的解析式为y=kx+b(k≠0)则有解得直线D N 的解析式为21 2x x x -=-2310.x x-+=12x x ==223x x -++=1p222DM DN MN =+DN ==4.DM DN QM MN QM =∴=1,0).QM =∴+4,1)0.k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩4k b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩4y =++考点二函数中的动点问题例题2 如下图所示，在平面直角坐标系中，已知，线段,平移至MN 处（注：与与N 分别为对应点）(1)若M （-2，5），请直接写出N 点坐标.(2)在（1）问的条件下，点N 在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式.(3)在（2）问条件下，若抛物线顶点为B ,与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 的中点，点C (0,m)是y 轴负半轴上一动点，线段 EC 与线段BO 相交于F ，且OC ：O F=，求m 的值.(4)在（3）问的条件下，动点P 从B 点出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少），将△ABE 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的ABP的面积的，求此时BP 的长度.解：（1）由点到点M 可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，N （0，2）.（2）∵N （０，２）在抛物线，∴k ＝２，抛物线的解析式为（３）∵∵∴CO =-m ，∵∴整理得：或0. ∵m<0. ∴m=-1.11(3,2),(5,1)M N-11,M N 1M 11,M N 216y x x k =+2:141M 216y x x k =++21 2.6y x x =++22112(x ,B(A(0,2),E(66y x x =++=+∴-:2:CO OF =,,FO BF ==+1,2BEC EBF BFC ABC S S S S ∆∆∆∆=+=1)(1)m).2m +-+=-201m m m +=∴=-(4)在Rt △ABO 中，tan ∠ABO =∴ABO =300,AB =2AO =4.①当∠BPE>∠APE 时，连接A 1B则对折后如图2，A 1为对折后A 的所落点，△EHP 是重叠部分.∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP = S △ABP ∵S △EHP = S △ABP∴= S △EHP = S △BHP = S △ABP ∴A 1H =HP ，EH =HB=1∴四边形A 1BPE 为平行四边形（图2）∴BP =A 1E =AE =2即BP =2②当∠BPE =∠APE 时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意③当∠BPE <∠APE 时.则对折后如图3，A 1为对折后A 的所落点.△EHP 是重叠部分∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP = S △ABP ∵S △EHP = S △ABP ∴S △EBH = S △EHP == S △ABP ∴BH =HP ，EH =HA 1=1又∵BE =EA =2∴ ∴AP =2 在△APB 中，∠ABP =30°，AB =4，AP =2∴∠APB =90° ∴BP =综合①②③知：BP =2或AO BO ==21411ΔA HE S 4121411ΔA HP S 41AP EH 2111(b)(c )(a)中考真题链接真题1.（贵港中考）如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线交y 轴于点C （0，4），对称轴x=2与x 轴交于点D ，顶点为M ，且D M=OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P （x ，y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P 的直线PE 与y 轴交于点E ，是否存在以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等？若存在，请求出直线PE 的解析式；若不存在，请说明理由．真题2.（黔西南州中考）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C （1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作P M ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2y ax bx c =++真题3.（潍坊中考）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB =4，点D （2，1.5）在抛物线上，直线l 是一次函数的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M ，N 两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线P M 与P N 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．真题4.（十堰中考）已知抛物线与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（-1，0）．（1）求D 点的坐标；（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P （﹣4，0），点Q 在x轴下方的抛物线上，直线P Q 交线段AC 于点M ，当∠P M A =∠E 时，求点Q 的坐标．2y ax bx c =++1x =20y kx k =-≠（）22y x x c =-+真题5.（荆州中考）如图，已知：如图①，直线两点，两动点D、E 分别从A 、B 两点同时出发向O 点运动（运动到O 点停止）；对称轴过点A 且顶点为M 的抛物线H （a ＜0）始终经过点E ，过E 作EG ∥OA 交抛物线于点G ，交AB 长度/秒，运动时间为t 秒．（1）用含t 代数式分别表示B F 、E F 、A F 的长；（2）当t 为何值时，四边形ADE F 是菱形？判断此时△A FG 与△A G B 是否相似，并说明理由；（3）当△AD F 是直角三角形，且抛物线的顶点M 恰好在B G 上时，求抛物线的解析式．（菏泽中考）如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求B ，C 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有P Q ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDC Q 的面积最小？此时四边形PDC Q 的面积是多少？y =2y x bx c =++真题7.（天门中考）如图，已知抛物线经过A (－8，0)，B (2，0)两点，直线x ＝－4交x 轴于点C ，交抛物线于点D ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点E 在直线x ＝－4上，若以A ，O ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；(3)若B ，D ，C 三点到同一条直线的距离分别是d 1，d 2，d 3，问是否存在直线l ，使？若存在，请直接写出d 3的值；若不存在，请说明理由．4y ax bx -2＝＋3122d d d ==创新思维训练创新1. 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线(a>0,b>0)的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于G,抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为，且（1）求抛物线的解析式及顶点坐标.（2）抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接CD ，CB ，求∠OCB +∠OCD 的度数.（3）点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求出点F 的坐标.（4）点M 的坐标为（2，0），点N 的坐标为（2，4），以点G 为圆心，2为半径的圆上有一动点H ，直接写出H M+2H N 的最小值.创新2. 在平面直角坐标系x O y 中，已知二次函数的顶点为A ，图像交y 轴于点N ，交x 轴于 B ,D 两点（点B 在点D 左侧），BD =2，对称轴方程为x=2.（1）请求出B ，D 两点坐标及二次函数的解析式.（2）若点A 关于x 轴的对称点为C ，则四边形ABCD 的形状为（3）连接N B ，AB ，N A ，探究在抛物线上是否存在一点K ，使得从A ，B ，N 中取两点与点K 所构成的三角形的面积与△AB N 的面积相等，若存在，求出K 点坐标；若不存在，说明理由.（4）在（2）的条件下若P 为BC 边上任意一动点（可与点B ，C 重合），分别过D ，C ，B 作射线AP 的垂线，垂足分别为M ，E ,F ,请求出D M+CE +B F 的最值，并说明理由.222y x ax b =++12,x x 122 5.x x -=23y ax bx =++专题四新题型考点精要解析新题型是近几年中考试题的一个考试热点，这类试题取材广泛，题目灵活性较大．1．试题呈现形式主要有：纯文型(全部用文字展示条件和问题)，图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)，表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)，改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正)．2．常见的类型有：规律探索、图形变换与动手操作和阅读理解等．高频考点过关考点一：规律探索例题1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，……，现用等式A M＝(i，j)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2013＝( )．A．(45，77) B．(45，39) C．(32，46) D．(32，23)答案：C考点二：图形变换例题2．对正方形ABCD进行分割，如图(a)所示，其中E，F分别是BC，CD的中点，M，N，G分别是OB，O D，E F的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图(b)所示就是用其中6块拼出的“飞机”，若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为________________．答案：14考点三：阅读理解(新定义运算)例题3．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下的定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得 ∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点.已知点 D (，)，E (0，－2)，F (，0)．(1) 当⊙O 的半径为1时，①在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是________．②过点F 作直线l交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围解：(1)①如右图所示，过点E作⊙O 的切线，设切点为R ，∵⊙O 的半径为l ，∴RO ＝l ，∵EO ＝2，∴∠OER ＝30°，根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°∴E 点是⊙O 的关联点．∵D (，)，E (0，－2)，F (，0)，∴OF ＞EO ，DO ＜EO ．∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，故在点D ，E ，F 中，⊙的关联点是D ，E ．②由题意可知，若P 要刚好是⊙C 的关联点，需要点P 到⊙C 的两条切线PA 和PB 之间所夹的角为60°，由右图可知∠APB ＝60°，则∠CPB ＝30°．连接BC ，则PC ＝2BC ＝2r ，∴若P 点为⊙OC 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d ≤2r ；由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，如下左图所示，点P 到原点的距离OP ＝2×l ＝2，过点O 作x 轴的垂线OH ，垂足为H ，t an ∠OGF ＝．∴ ∠OGF ＝60°，∴OH ＝OG sin60°sin ∠OPH ＝∴∠OPH ＝60°，可得点P 1与点G 重合．过点P 2作 P 2M 丄x 轴于点 M ，可得∠P 2OM ＝30°，∴OM ＝OP 2cos30°从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，∴0≤m (2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF 的中点；考虑临界情况，如下右图所示，12121212FO OG ==OH OP =即恰好E ，F 点为⊙K 的关联时，则KF ＝2KN ＝EF＝2，此时r ＝l ．故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r 的取值范围为r ≥l ．中考真题链接真题1．(日照中考)如下图所示，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m ，n 的关系是( )A ．M ＝mnB ．M ＝n (m ＋1)C ．M ＝mn ＋1D ．M ＝m (n ＋1)真题2．(重庆中考)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为( )A ．51B ．70C ．76D ．81真题3．(永州中考)我们知道，一元二次方程x 2＝－l 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2 ＝－l (即方程x 2＝－1有一个根为i )；并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ； i 2＝－1，i 3 ＝ i 2•i ＝(－l ) •i ，i 4＝(i 2)2 ＝ (－1)2＝1.从而对任意正整数n ，我们可得到i 4n ＋1 ＝ (i ) 4n •i ＝(i 4)n •i ＝i ，同理可得i 4n ＋2＝－l ，i 4n ＋3 ＝—i ，i 4n ＝ l ，那么，i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2012＋i 2013的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．i12。

2019年吉林省长春市九年级中考数学备课——压轴题怎么讲课件(97张PPT)

中垂线 DE边中垂线
在△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝2，BD＝4，E是BD中点，点 P在边BC上，点H在△BCD的边上（不包括顶点），且四边形 DEPH是轴对称图形，求CP的长.
中垂线 DE边中垂线
在△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝2，BD＝4，E是BD中点，点 P在边BC上，点H在△BCD的边上（不包括顶点），且四边形 DEPH是轴对称图形，求CP的长.
中垂线 DE边中垂线
在△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝2，BD＝4，E是BD中点，点 P在边BC上，点H在△BCD的边上（不包括顶点），且四边形 DEPH是轴对称图形，求CP的长.
中垂线 DE边中垂线
在△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝2，BD＝4，E是BD中点，点 P在边BC上，点H在△BCD的边上（不包括顶点），且四边形 DEPH是轴对称图形，求CP的长.
D
C
（点A在点C的左侧），以AC为
对角线作矩形ABCD，且矩形
O
x
ABCD的各边均与某条坐标轴垂直，则称矩形ABCD为该函数图
A
B
象的“垂美矩形”．如图，矩形
ABCD为直线l的“垂美矩形”．
2018长春市一模24题
平面内A、C两点的相对位置关系
在平面直角坐标系
中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点 C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，且矩形ABCD的各边均与某条坐标轴垂直，则称矩形 ABCD为该函数图象的 “垂美矩形”．如图，矩形ABCD为直线l的 “垂美矩形”．
型等等） • 抓住每次大考的契机讲压轴题（一模） • 因为这样的题学生都深思熟虑，对题意的理解比较全
面，参与度高 • 可以考完后同学互相讨论，（让不让讨论，都会讨论）

中考数学知识点复习压轴题复习讲义-推荐

中考数学压轴题复习讲义（动点问题详细分层解析，尖子生首选资料）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236xPH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG PO AB图1xy(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. AEDCB 图2A3(2)3(1)∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

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二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,HM NG POAB图1xy.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2A3(2)3(1)解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,AB CO 图8HC在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

压轴题讲义三(教师)

例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =+．例2：在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=．当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2yx=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-．图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3例3：如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x=--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC的函数表达式为3y x=-．（3）①因为AB＝4，所以334PQ AB==．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12-．于是得到点P的坐标为17,24⎛⎫--⎪⎝⎭，点F的坐标为70,4⎛⎫-⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF=-=-=，522 EC FC==．进而得到51322OE OC EC=-=-=，点E的坐标为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭．直线BC:3y x=-与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．在Rt△EDH中，DH＝1，13222EH OH OE=-=-=，所以tan∠CED23DHEH==．②1(12,2)P--，265 (1,)22P--．图2 图3 图4例4：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=．解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =．如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6。

压轴题讲义一(学生)

1.1 因动点产生的相似三角形问题例一：如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1提示：1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1提升：1．第三问当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1提示：1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1提示：1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．。

《压轴》专题复习讲义(学生版)

这部分压轴题的主要特征是先给出一个图形进行研究，然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化，进而进行证明。

解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系，通过计算进行说理。

3-1代数计算及通过代数计算进行说理问题
3-1例1、
思路点拨
3-1例2、
思路点拨
3-2几何证明问题3-2例1、
思路点拨
3-2例2、
思路点拨
3-2例3、
思路点拨
3-2例4、
思路点拨
3-2例5、
思路点拨
3-2例6、
思路点拨
3-2例7、
思路点拨
3-2例8、
思路点拨
3-2例9、
思路点拨
3-3通过几何计算进行说理问题
3-3例1、
思路点拨
3-3例2、
思路点拨
3-3例3、
思路点拨
3-3例4、
思路点拨
3-3例5、
思路点拨
3-3例6、
思路点拨。

初中理科压轴题讲解教案

初中理科压轴题讲解教案教学目标：1. 理解初中理科压轴题的概念和特点；2. 掌握解决初中理科压轴题的策略和方法；3. 培养学生的解题能力和思维能力。

教学内容：1. 初中理科压轴题的概念和特点；2. 解决初中理科压轴题的策略和方法；3. 例题讲解和练习。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生解释什么是初中理科压轴题；2. 强调初中理科压轴题在考试中的重要性和难度；3. 激发学生对解决初中理科压轴题的兴趣和挑战欲望。

二、讲解初中理科压轴题的特点（10分钟）1. 初中理科压轴题通常出现在试卷的最后部分；2. 题目难度较大，需要学生具备较高的思维能力；3. 题目涉及的知识点较多，需要学生具备扎实的基础知识；4. 题目往往有多种解题思路和方法，需要学生具备灵活的思维方式。

三、讲解解决初中理科压轴题的策略和方法（10分钟）1. 仔细阅读题目，理解题目的要求和条件；2. 分析题目涉及的知识点和难点；3. 寻找解题的突破口，确定解题思路和方法；4. 按照解题步骤逐一求解，注意解题的简洁和规范；5. 检查答案的合理性和正确性。

四、例题讲解和练习（15分钟）1. 选择一道具有代表性的初中理科压轴题；2. 讲解题目的解题思路和方法，步骤逐一解释；3. 让学生进行练习，并提供解答和解析；4. 针对学生的解答进行点评和指导。

五、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结解决初中理科压轴题的体会和收获；2. 强调解题过程中的重要性和注意事项；3. 鼓励学生在平时的学习中多加练习和思考，提高解题能力。

教学评价：1. 学生对初中理科压轴题的概念和特点的理解程度；2. 学生掌握解决初中理科压轴题的策略和方法的情况；3. 学生在练习中的表现和提高的程度。

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1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1：如图1，抛物线233384
y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．
三个时，求直线l 的解析式．
图1
提示：1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．
2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
例2、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值．
提示：1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是
k
y
x ．题
目中的k都是一致的．
2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
例3、如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段
3
4
PQ AB
时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
图1
提示：1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．
例4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244
m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．
（1）求点B 的坐标；
（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．
图1。