习题20.1 正式稿 -精简稿2

20.1 平均数加权平均数专题练习题(含答案)

20.1平均数加权平均数专题练习题1．数据3，2，2，3，2中2的权数为________．2．一组数据由100个数组成，x的权数为0.35，则x出现________次．3．甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克糖果混在一起，则售价应定为每千克( )A．6.7元 B．6.8元C．7.5元D．8.6元4．某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电( ) A．41度B．42度C．45.5度D．46度5．为了调查某一路口某时段的汽车流量，某同学观察记录了15天，其中2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为( )A．146辆　B．150辆　C．153辆　D．600辆6．学校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩三部分组成，各部分所占比例分别是60%，20%，20%，小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分，80分，85分，则小明的期末数学总评成绩为( ) A．84分　B．85分 C．86分 D．87分7．某校八(1)班一次数学考试的成绩为：100分的3人，90分的13人，80分的17人，70分的12人，60分的2人，50分的3人，全班数学考试的平均成绩是________．(结果保留到个位)8．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：环数6789人数132若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数是________．9．某校测量了七(1)班学生的身高(精确到1cm)，得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)，根据图中信息，计算出该班学生的平均身高大约是______cm.10．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用，三位候选人的各项测试成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用？说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用？说明理由．11．在一组数据中出现x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1，x 2，x 3的权数为，，，则x 4的权数为( )315215615A ．15B ．4C.D.4151412．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班甲组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：金额(元)56710人数2321这8名同学捐款的平均金额为( )A ．3.5元B ．6元C ．6.5元D ．7元13．某班学生在一次测验中平均成绩为80分，其中男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生人数之比为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．3∶2D ．2∶314．x 1，x 2，x 3，…，x 10的平均数是5，x 11，x 12，x 13，…，x 20的平均数是3，则x 1，x 2，x 3，…，x 20的平均数是( )A ．5B ．4C ．3D ．815．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩，孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是________分．16．某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：时间(小时)4567人数1020155则这50名学生一周的平均课外阅读时间是________小时．17．勤劳是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务．王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查(时间取整数小时，每组含最大值，不含最小值)，所得数据统计如下表：由此可估计王刚同学所在学校的同学寒假在家做家务的平均时间是________小时．18．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量/吨1013141718户　数22321(1)计算这10户的平均月用水量；(2)如果该小区有500户，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月用水多少吨？19．小明家买了一辆小轿车，小明连续记录了一周每天行驶的路程：请你用学过的统计知识解决下面的问题：(1)小明家的轿车每月(按30天计算)要行驶多少千米？(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.64元，请你算出小明家一年(按12个月计算)的汽油费用大约是多少元(精确到百位)．20．小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得104分，第二单元得96分，第三单元得112分；期中考试得102分；期末考试得110分．如果按照平时、期中、期末各占10%，30%，60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩为多少分？参考答案1. 0.62. 353. B4. C5. C6. D7. 798. 4人9. 16210. (1)x甲＝73分，x乙＝72分，x丙＝74分，丙将被录用　(2)x甲＝76.3分，x乙＝72.2，x丙＝72.8，甲将被录用11. C12. C13. C14. B15. 8816. 5.317. 4418. (1)14吨　(2)7000吨19. (1)1050千米　(2)6700元20. 107分。

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)，即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。

职场练习题

职场练习题一、综合能力测试1.1 沟通能力1. 请描述如何与同事有效沟通以解决工作中的冲突。

2. 你如何确保在团队会议中，每个成员都能充分表达自己的意见？3. 当你的观点与上级不一致时，你会如何表达？1.2 时间管理4. 请列举三种提高工作效率的时间管理技巧。

5. 如何在紧急任务和日常工作中找到平衡？6. 描述一次你成功应对突发任务的经历。

1.3 问题解决7. 当你遇到一个复杂问题时，你会如何分析并解决？8. 请举例说明如何通过团队合作解决问题。

9. 如何在压力下保持冷静，有效解决问题？二、专业技能测试2.1 计算机操作10. 请列举三种常用的办公软件及其功能。

11. 如何使用Excel进行数据分析和图表制作？12. 如何利用PowerPoint制作高质量的演示文稿？2.2 语言能力14. 请用英语描述一次难忘的工作经历。

15. 如何在商务邮件中表达感谢和道歉？三、职场礼仪与规范3.1 职场礼仪16. 请列举三种职场礼仪的基本原则。

17. 如何在职场中正确称呼同事和上级？18. 在商务宴请中，如何正确使用餐具？3.2 职场规范19. 请描述一次你遵守公司规定的经历。

20. 如何在职场中保持专业形象？21. 当发现同事违反公司规定时，你会如何处理？四、团队协作与领导力4.1 团队协作22. 请描述一次成功的团队合作经历。

23. 如何在团队中发挥自己的优势？24. 当团队成员出现分歧时，你会如何协调？4.2 领导力25. 请列举三种领导力特质。

26. 如何激励团队成员提高工作效率？27. 当团队面临困难时，你会如何领导团队克服？五、法律法规与职业道德5.1 法律法规28. 请简述劳动法中关于加班工资的规定。

29. 如何确保在工作中遵守商业秘密？30. 当发现公司存在违法行为时，你会如何处理？5.2 职业道德31. 请列举三种职业道德的基本原则。

32. 如何在职场中保持诚信？33. 当面临职业道德困境时，你会如何抉择？六、个人发展计划6.1 职业规划34. 请描述你的职业发展目标。

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)，即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。

部编版语文四年级下册20.1芙蓉楼送辛渐同步练习题2-精品

部编版语文四年级下册20.1芙蓉楼送辛渐同步练习题2一、默写《七步诗》，并填空：七步诗 [三国·魏]曹植煮豆持作羹，漉菽以为汁。

萁在釜下燃，豆在釜中泣。

本自同根生，相煎何太急？1、这首诗里写到了（2）种事物，分别是（萁）（豆）。

2、这首诗里有几个表示动作的词，请分别找出来，并作解释：持：用来。

泣：哭泣煎：残害3、“本自同根生，相煎何太急？”是（反问）句。

这是（曹植）对（曹丕）说的，它的意思是（你我本来是同条根上生出来的，你又怎能这样急迫地煎熬我呢？）。

4、曹丕和曹植本是亲兄弟，为了争夺太子的地位，二人反目为仇。

曹植把自己比喻成（豆），把曹丕比喻成（萁）。

曹植用这个比喻，指责（曹丕迫害亲兄弟），表达了（内心的悲愤）。

二、读《鸟鸣涧》，完成填空。

1、《鸟鸣涧》是（唐）朝被称为“诗佛”的（王维）写的。

全诗写了这个季节（深山幽谷夜晚寂静）的景色，突出了一个“（静）”字。

诗中有一个字“时”，它的意思是（时而，偶尔）。

2、这是一首（山水诗），主要描绘（深山幽谷夜晚寂静）的情景，抒发了作者（热爱大自然）的心情。

三、读《芙蓉楼送辛渐》，完成练习。

《芙蓉楼送辛渐》是唐朝（王昌龄）写的一首（送别）诗。

写到：“寒雨连江夜入吴，平明送客楚山孤。

洛阳亲友如相问，一片冰心在玉壶。

”诗中“平明”的意思是（清晨）；诗最后一句的意思是（朋友呵，洛阳亲友若是问起我来；就说我依然冰心玉壶，坚守信念！）。

这首送别诗实际上是表明诗人（开朗胸怀和坚强性格）的品质。

我还能默写一首送别诗，并写上朝代和作者：别董大（唐·高适）千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷。

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

送元二使安西（唐代·王维）渭城朝雨浥轻尘，客舍青青柳色新。

劝君更尽一杯酒，西出阳关无故人。

送孟浩然之广陵(唐·李白)故人西辞黄鹤楼, 烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽, 唯见长江天际流。

四、读《江畔独步寻花》，完成练习。

1、《江畔独步寻花》的作者杜甫，被称为“（诗圣）”。

20.1 平均数加权平均数专题练习题(含答案)

20.1平均数加权平均数专题练习题1．数据3，2，2，3，2中2的权数为________．2．一组数据由100个数组成，x的权数为0.35，则x出现________次．3．甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克糖果混在一起，则售价应定为每千克( )A．6.7元 B．6.8元C．7.5元D．8.6元4．某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电( ) A．41度B．42度C．45.5度D．46度5．为了调查某一路口某时段的汽车流量，某同学观察记录了15天，其中2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为( )A．146辆　B．150辆　C．153辆　D．600辆6．学校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平时成绩三部分组成，各部分所占比例分别是60%，20%，20%，小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分，80分，85分，则小明的期末数学总评成绩为( ) A．84分　B．85分 C．86分 D．87分7．某校八(1)班一次数学考试的成绩为：100分的3人，90分的13人，80分的17人，70分的12人，60分的2人，50分的3人，全班数学考试的平均成绩是________．(结果保留到个位)8．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：环数6789人数132若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数是________．9．某校测量了七(1)班学生的身高(精确到1cm)，得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)，根据图中信息，计算出该班学生的平均身高大约是______cm.10．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用，三位候选人的各项测试成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用？说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用？说明理由．11．在一组数据中出现x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1，x 2，x 3的权数为，，，则x 4的权数为( )315215615A ．15B ．4C.D.4151412．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班甲组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：金额(元)56710人数2321这8名同学捐款的平均金额为( )A ．3.5元B ．6元C ．6.5元D ．7元13．某班学生在一次测验中平均成绩为80分，其中男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生人数之比为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．3∶2D ．2∶314．x 1，x 2，x 3，…，x 10的平均数是5，x 11，x 12，x 13，…，x 20的平均数是3，则x 1，x 2，x 3，…，x 20的平均数是( )A ．5B ．4C ．3D ．815．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩，孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是________分．16．某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：时间(小时)4567人数1020155则这50名学生一周的平均课外阅读时间是________小时．17．勤劳是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务．王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查(时间取整数小时，每组含最大值，不含最小值)，所得数据统计如下表：由此可估计王刚同学所在学校的同学寒假在家做家务的平均时间是________小时．18．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量/吨1013141718户　数22321(1)计算这10户的平均月用水量；(2)如果该小区有500户，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月用水多少吨？19．小明家买了一辆小轿车，小明连续记录了一周每天行驶的路程：请你用学过的统计知识解决下面的问题：(1)小明家的轿车每月(按30天计算)要行驶多少千米？(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.64元，请你算出小明家一年(按12个月计算)的汽油费用大约是多少元(精确到百位)．20．小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得104分，第二单元得96分，第三单元得112分；期中考试得102分；期末考试得110分．如果按照平时、期中、期末各占10%，30%，60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩为多少分？参考答案1. 0.62. 353. B4. C5. C6. D7. 798. 4人9. 16210. (1)x甲＝73分，x乙＝72分，x丙＝74分，丙将被录用　(2)x甲＝76.3分，x乙＝72.2，x丙＝72.8，甲将被录用11. C12. C13. C14. B15. 8816. 5.317. 4418. (1)14吨　(2)7000吨19. (1)1050千米　(2)6700元20. 107分。

人教版九年级全册物理 20.1磁现象磁场同步练习题(含解析)

20.1磁现象磁场同步练习题一．选择题1．研究发现，人体内部存在磁场，但与地磁场相比很弱，则（）A．人体内部磁场的磁感线分布比地磁场密B．人体内部磁场的磁感线不是闭合的曲线C．把人体看作一个磁体，该磁体可能只有一个磁极D．人体内部磁场可能是由人体内的电流产生2．爱因斯坦曾说，在一个现代的物理学家看来，磁场和他坐的椅子一样实在。

如图所示的磁场与实际不相符的是（）A．B．C．D．3．为了判断一根铁棒是否具有磁性，小明提出了如下四个实验方案，可行的方案是（）A．甲图中，将悬挂的铁棒转动一次，静止时指向南、北B．乙图中，将铁棒一端靠近小磁针，相互吸引C．丙图中，将铁棒一端靠近大头针，大头针被吸引D．丁图中，将铁棒一端靠近验电器，验电器铝箔片没有张开4．下面4个实验中，能确定钢棒具有磁性的是（）A．用钢棒的中间部分接近铁屑、大头针，发现不能吸引B．用钢棒靠近条形磁体，发现相互排斥C．用钢棒接近条形磁体时被吸引D．用细线将钢棒吊起来，使它在水平面内自由转动，静止时总是指向一定的方向5．三根钢棒位置如图所示。

已知B棒有磁性，那么（）A．A棒有磁性，C棒没有B．A棒一定没有磁性，而C棒有磁性C．A棒可能有磁性，也可能没有磁性D．C棒可能有磁性，也可能没有磁6．如图所示，两根完全相同的铁块A和B，如图甲所示放置时，B被吸住掉不下来；如图乙所示放置时，A不能被吸住而掉下来，此现象说明（）A．A、B 都是磁体B．A、B 都不是磁体C．A 是磁体，B 不是磁体D．A 不是磁体，B 是磁体7．如图所示，A是铁棒，B是小磁针，用磁铁的N极靠近铁棒，发现小磁针原靠近铁棒下端的一极被排斥，而另一极被吸引过来。

分析这一现象可知，下列符合实验事实的是（）A．铁棒A被磁化时上端为N极，小磁针被吸引的一极为N极B．铁棒A被磁化时上端为N极，小磁针被吸引的一极为S极C．铁棒A被磁化时上端为S极，小磁针被吸引的一极为N极D．铁棒A被磁化时上端为S极，小磁针被吸引的一极为S极8．如图，将M棒用细线自由悬挂起来使之呈静止状态。

鲁教版(五四制)九年级物理下册：20.1“能源”知识归纳练习题(无答案)

20.1“能源”知识归纳练习题一、单选题1.下列能源属于不可再生能源的是（）A. 水能B. 风能C. 潮汐能D. 煤炭2.下面所列的各种能源中，属于可再生能源的是（）A. 石油B. 核能C. 风能D. 煤炭3.日本地震导致核泄漏，受福岛核电站事故的影响，中国国家发展改革委员会近日表示政府将调低2020年核电装机容量，将用于填补这部分电力缺口的可再生能源可能是（）A. 太阳能B. 煤C. 石油D. 天然气4.下列能源中，属于不可再生能源的是（）A.水能B.风能C.太阳能D.天然气5.可以直接从自然界获得的能源叫一次能源，必须通过消耗一次能源才能获得的能源叫二次能源。

下列能源中，属于二次能源的是（）A.煤B.石油C.天然气D.电能6.能源、信息、材料是现代社会发展的三大支柱，下列说法正确的是（）A. 光纤通信是利用电信号来传递信息B. 太阳能、风能和水能都是可再生资源C. 塑料和铜都是好的绝缘材料D. 超导材料主要是应用在电饭锅等电器上7.在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，人们应特别重视开发利用的能源是（）A. 太阳能B. 石油C. 煤炭D. 天然气8.下列关于能源、能量转化及其获取的说法正确的是（）A. 化石能源是可再生能源B. 能量在转化或转移的过程中遵守能量守恒定律C. 太阳能不是清洁能源D. 核能只能通过重核裂变获取9.如图所示的是我国2012年的能源消耗结构图，有关能源问题以下说法正确的是（）A. 我国消耗的能源以可再生能源为主B. 煤属于化石能源C. 目前核电站获得核能的途径是核聚变D. 水力发电是将内能转化为电能10.小明对《能源与可持续发展》这一章进行了总结性反思，其中正确的是（）A. 能量是守恒的，不会有能源危机B. 化石能源、水能、核能，不能在短期内从自然界得到补充，这类能源称为不可再生能源C. 能量转化和转移具有方向性D. 目前世界上的核电站都是利用核聚变获取核能11.关于能源的利用，下列说法中不正确的是（）A. 核能也是来自于太阳能B. 能源的利用过程，实质上是能的转化和转移的过程C. 化学能归根结底来自于太阳能D. 现代社会使用的能源主要是煤、石油和天然气12.我国的能量资源正在逐步得到应用，下列能源中属于不可再生能源的是（）A. 太阳能B. 风能C. 潮汐能D. 天然气13.中东地区局势动荡，给全球的石油市场带来了重大的冲击，这是因为中东的石油产量受到影响会使市场上原油的供应量下降，导致油价上涨。

习题20.1 正式稿 -精简稿2

20.1 平均数 加权平均数 专题练习题(含答案)

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

职场练习题

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

部编版语文四年级下册20.1芙蓉楼送辛渐同步练习题2-精品

20.1 平均数 加权平均数 专题练习题(含答案)

人教版九年级全册物理 20.1磁现象 磁场 同步练习题(含解析)

鲁教版(五四制)九年级物理下册：20.1“能源”知识归纳练习题(无答案)

20.1 平均数加权平均数专题练习题(含答案)

20.1 平均数加权平均数专题练习题(含答案)

人教版九年级全册物理 20.1磁现象磁场同步练习题(含解析)