高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教师用书文新人教A版

第一章集合与常用逻辑用语[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在5分左右，题目注重基础，属容易题．2．从考查知识点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题．3．从命题思路看：(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查．(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查．(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查．(4)通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2018年，本章内容考查的重点是：①集合的关系及其基本运算；②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；③充分条件，必要条件的判断．[导学心语]根据近5年的全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：1．全面系统复习，深刻理解知识本质(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系．(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义．2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律(1)子集的个数及判定问题．(2)集合的运算问题．(3)充分条件、必要条件的判断问题．(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题．(5)特称命题、全称命题的否定问题．3．重视数学思想方法的应用(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用Venn图或数轴更直观地求解．(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假．第一节集合————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B A∩B ∁U A意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}B [集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故选B.]4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则∁A B ＝( ) A ．{4,8} B ．{0,2,6} C ．{0,2,6,10}D ．{0,2,4,6,8,10}C [∵集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}， ∴∁A B ＝{0,2,6,10}．]5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．2 [集合A 表示圆心在原点的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素．]集合的基本概念( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0D ．0或98(1)C (2)D [(1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1； 当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.][规律方法] 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．[变式训练1] 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.【导学号：31222001】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98.]集合间的基本关系(1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(1)B (2)(－∞，4] [(1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.][规律方法] 1.B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解．[变式训练2] (1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A ＝{x |x ＞0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( )A ．{1,2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1,0,1}D ．R(2)(2017·湖南师大附中模拟)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R}，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( ) 【导学号：31222000】A．2 B．－1C．－1或2 D．2或 2(1)A (2)A [(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}．因为B＝{1，m}，且A⊆B，所以m＝2.]集合的基本运算☞角度1 求集合的交集或并集(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2(2)(2017·郑州调研)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1](1)D (2)A [(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0,1]．]☞角度2 集合的交、并、补的混合运算(1)(2016·山东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}(2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图1­1­1)表示的集合是( )图1­1­1A．[－1,1) B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)(1)A (2)D [(1)∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．][规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．易错警示：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．[思想与方法]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．[易错与防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．课时分层训练(一) 集合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( )A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}D[∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}．]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B AD[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴B A.]3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) 【导学号：31222002】A．1 B．2C ．3D ．4D [由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．(2016·山东高考)设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [由已知得A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝{x |x >－1}．]5．(2017·衡水模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}A [由题意得∁UB ＝{2,5,8}，∴A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]6．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) 【导学号：31222003】A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]7．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}D [∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图， ∴∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．] 二、填空题8．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 4－4x 2＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. －2 [由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2.]9．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,4} [因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．]10．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A －B＝________.[－1,0) [由x(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1,0)．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅲ改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则(∁R S)∩T ＝( )A．[2,3] B．(－∞，－2]∪[3，＋∞)C．(2,3) D．(0，＋∞)C[易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S＝(2,3)．∴(∁R S)∩T＝(2,3)．]2．(2017·郑州调研)设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图1­1­2中阴影部分表示的区间是( )图1­1­2A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________. 【导学号：31222004】(－∞，－2] [由4≤2x≤16，得2≤x≤4，则A＝[2,4]，又B＝[a，b]，且A⊆B.∴a≤2，b≥4，故a－b≤2－4＝－2.因此a－b的取值范围是(－∞，－2]．]4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x ＜3}，则A∪B＝________.{x|x＞－2} [A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]。