专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)
2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准
即 t 4 − ( x1 + x 2 )t 2 + x1 ⋅ x 2 + 4t 2 − 2( y 1 + y 2 )t + y 1 ⋅ y 2 = 0 ， 即 t 4 − 14t 2 − 16t − 3 = 0 ， 即 (t 2 + 4t + 3)(t 2 − 4t − 1) = 0 ． 从而点 C 与点 A 显然 t 2 − 4t − 1 ≠ 0 ， 否则 t 2 − 2 ⋅ 2t − 1 = 0 ， 则点 C 在直线 x − 2 y − 1 = 0 上， 或点 B 重合． 所以 t 2 + 4t + 3 = 0 ，解得 t 1 = −1, t 2 = −3 ． 故所求点 C 的坐标为 (1,−2) 或 (9,−6) ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上．
1 ．设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {−1, 3, 5, 8} ，则集合 A = ． 解 显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3(a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) = (−1) + 3 + 5 + 8 = 15 ， 故 a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 5 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5 ＝0，5－8＝－3，因此，集合 A = {−3, 0, 2, 6} ．
2011 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10
一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．
二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式
0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质：
（1）110,,,-n a a a 均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有
)()()()(21k r f r f r f m f ≠．
三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k i
j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ． 证明：4
)(2
n r f n <．
四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． A B
C
D
Q
P。
全国高中数学联赛试题参考答案(0000)
2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。
2011年全国高中数学联合竞赛
ａ ＝ ｔ （ ∈ Ｒ， ｔ ±１ ， ｌ ２ 一３ ｔ 且 ≠ ）
ａｎ＋ ：
的 值 域 为
ｌ
３ 设 口 ｂ为正实 数 ， ． 、 且
＋
— 一 （Ｎ． — 等 【 一 ． ＋ ） ・
则 数列 ｛ 中整 数项 的个数 为一 ａ｝
２ ６
中 等 数 学
二 、４ （０分 ） 明 ： 证 对任 意整数 ｎ ｎ ４ ， （ ＞ ） １
存 在一 个 次多项式
）＝ ” ｎ ｌ ～ 戈 ＋ａ ＿ ＋… ＋ ｌ ａ ａ ＋ ０
：
— —
— —
—
一
．
ｓＯ ） ｉ － ｎ４ （
① ②
四 、５ （０分 ） 设 是一个 ３× ９的方 格表 ， 在每一 个小 方格 内各填一个 正 整数．若 Ａ中
的一 个 ／ ×ｎ １ － Ｆ （ ≤ｍ≤３ １ ≤９ 方 格 表 的 ｔ ， ≤ｎ ）
再由 式①中等号成立的条件， ａ ＝ ． 得 ｂ １
所有数 的 和 为 １ ０的 倍 数 ， 称 其 为 “ 矩 则 好
、
填空 题 （ 每小题 ８分 ， ６ 共 ４分 ）
１设集合 Ａ＝｛ ．ａ ，３ａ ｝若 ／ 中所 ． ａ ，２ａ ，４． Ｉ 有三元子集 的三 个元素之和组成 的集 合为
Ｂ＝｛ ，，， ｝则集合 Ａ＝一 一ｌ３５ ８ ， ２ ．函 数 ，（ ） ：
一
ｆ） 糍）（ ＋＋）１ （ ａ 一 ，Ｏ６２＝ ｆａｂ１４． １ ｇ ２
设 ＝ｓ０詈． Ｍ ｉ 一） ｎ
则 一 √ ≤ ＜ ， １且 ≠０ ＿
具 有 如下性 质 ： （ห้องสมุดไป่ตู้） 。ａ 一， 均 为正整 数 ； １ ａ ， ａ
2011答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1． 设集合{}1234A a a a a =，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1358B =-，，，，则集合A = ．【解析】 {3026}-，，，显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 12343()(1)35815a a a a +++=-+++=，故12345a a a a +++=，于是集合A 的四个元素分别为5(1)653255--=-=-，，=0，5-8=-3，因此，集合{3026}A =-，，， 2．函数()f x =的值域为 ．【解析】((1)-∞+∞，，设ππtan 22x θθ=-<<，，且π4θ≠，则111cos ()πtan 1sin cos )4θf x θθθθ===---．设π)4u θ=-，则1u <≤，且0u ≠，所以1()((1)f x u =∈-∞+∞，，．3．设a b ，为正实数()()23114a b ab a b+-=≤，则log a b = ． 【解析】 1-由11a b+≤，得a b +≤．又2222()4()44()48()a b ab a b ab ab ab +=+-=+⋅≥，即a b +≥， ①于是a b +=， ②再由不等式①中等号成立的条件，得1ab =．与②联立解得11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或11a b ⎧=⎪⎨⎪⎩，，故log 1a b =-．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)02πθ∈，，那么θ的取值范围是 ． 【解析】 π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，不等式55cos sin θθ-<337(sin cos )θθ-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>，又351()7f x x x =+是()-∞+∞，上的增函数，所以sin cos θθ>，故π5π2π2π+()44k θk k +<<∈Z ．因为[02π)θ∈，，所以θ的取值范围是π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）【解析】 由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有31755!5!3600C C ⋅-⋅=种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有2227551()5!5!114002C C C ⋅⋅-⋅=所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000．6． 在四面体中ABCD ，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．【解析】设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过ABD △的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线 上．由题设知，ABD △是正三角形，则点N 为ABD △的中心．设P N ，分别为AB CD ，的中点，则N 在DP 上，且ON DP OM CD ⊥⊥，．P NMCDBOAcos sin θθ=在DMN △中，12213233DM CD DN DP ===⋅==，．由余弦定理得2221212MN =+-⋅=，故MN四边形DMON的外接圆的直径sin MNOD θ=== 故球O的半径R =7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A B ，两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则C点的坐标为 ．【解析】 ()12-，或()96-，设21122()()(2)A x y B x y C t t ，，，，，，由22104x y y x --=⎧⎨=⎩，，得2840y y --=，则128y y +=，124y y ⋅=-．又11222121x y x y =+=+，，所以12121212122()21842()11x x y y x x y y y y +=++=⋅=⋅+++=，．因为90ACB ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，即有 221212()()(2)(2)0t x t x t y t y --+--=， 即42141630t t t ---=，即2(43)(41)0t t t t 2++--=．显然2410t t --≠，否则22210t t -⋅-=，则点C 在直线210x y --=上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以2430t t ++=，解得1213t t =-=-，． 故所求点C 的坐标为()12-，或()96-，．8．已知()200200C 1295nnn n a n -==，，，，则数列{}n a 中整数项的个数为 ． 【解析】 152004005π36200C2n n n a --=⋅⋅要使(195)n a n ≤≤为整数，必有200400536n n--，均为整数，从而6|4n +． 当28142026323844505662687480n =，，，，，，，，，，，，，时，200400536n n--和均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86n =时，86385200C 32n a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=⋅中， 200！中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 同理可计算得86！中因数2的个数为82，114！中因数2的个数为110， 所以86200C 中因数2的个数为197-82-110=5，故86a 是整数．当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92！中因数2的个数为88，108！中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197-88-105=4，故不是整数． 因此，整数项的个数为14115+=．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9． （本小题满分16分）设函数()()lg 1f x x =+，实数()a b a b <，满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，求a b ，的值． 【解析】 ∵1()()2b f a f b +=-+，∴11|lg(1)||lg(1)||lg()||lg(2)|22b a b b b ++=-+==+++， ∴12a b +=+或(1)(2)1a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴(1)(2)1a b ++=．………………4分又由()|lg(1)|f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+．所以10(10621)110(1)6(2)6(2)12a b a b b b +++=+++=++>+．…………8分从而1010(10621)|lg[6(2)]|lg[6(2)]22f a b b b b b ++=++=++++．又(10621)412f a b g ++=，所以10lg[6(2)]4lg22b b ++=+，故106(2)162b b ++=+．……………………12分解得13b =-或1b =-（舍去）．把13b =-代入(1)(2)a b ++1=解得25a =-．所以2153a b =-=-，．10．（本小题满分20分）已知数列{}n a 满足：123a t =-（t ∈R 且1t ≠±）．()()()1*12321121n n n n n n ta t t a n a t ++-+--=∈+-N⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若0t >，试比较1n a +与n a 的大小．【解析】 （1）由原式变形得112(1)(1)21n n n n n t a a a t ++-+=+-，则112(1)12(1)1112121n n n n n nn n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-． 记11n n n a b t +=-，则11121222211n n n b a t b b b t t ++-====+--，．………………5分 又111111122n n b b b +=+=，，从而有1111(1)22n nn b b =+-⋅=， 故121n n a t n+=-，于是有2(1)1n n t a n -=-．……………………10分 （2）112(1)2(1)1n n n n t t a a n n-+---=-+ 11112(1)[(1)(1)(1)](1)2(1)2(1)[(1)[(1)()()](1)(1)n n n n n n n n n t n t t t n t t n n t t nt t tt t t t t nn n n -----=++++-+++++--=-+++=-+-++-++11．（本小题满分20分）作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A B ，两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．⑴ 证明：PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； ⑵ 若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．【解析】 ⑴ 设直线11221:()()3l y x m A x y B x y =+，，，，．将13y x m =+代入221364x y +=中，化简整理得2226930x mx m ++-=．于是有2121293632m x x m x x -+=-=，，PA PB k k ==……………………5分则PA PB k k +==，上式中，分子122111((33x m x x m x =+-++-12122222()32936(3)323123120x x m x x m m m m m m m =+-+--=⋅+---=--+-+=，从而，0PA PB k k ==．又P 在直线l 的上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =10分（2）若60APB ∠=︒时，结合（1）的结论可知PA PB k k = 直线PA的方程为：y x =-，代入221364x y +=中，消去y 得1418(130x x +-+-=．它的两根分别是1x和1x ⋅，即1x =所以1|||PA x -= ．…………15分同理可求得||PB =．所以11||||sin6022PAB S PA PB =⋅⋅⋅︒=△．…20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，P Q ，分别是圆内接四边形ABCD 的对角线AC BD ，的中点．若BPA DPA ∠=∠，证明：AQB CQB ∠=∠．ABCDQEPFQDCB A【解析】 延长线段DP 与圆交地另一点E ，则CPE DPA BPA ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故AB CE =，从而CDP BDA ∠=∠．………………10分又ABD PCD ABD PCD ∠=∠△△，所以，于是AB PCBD CD=，即AB CD PC BD ⋅=⋅…………………………20分从而有11()22AB CD AC BD AC BD AC BQ ⋅=⋅=⋅=⋅，即AB BQ AC CD=． 又ABQ ACD ∠=∠，ABQ ACD △△所以，所以QAB DAC ∠=∠．…………30分 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则CAB DAF BC DF ∠=∠=，． 又因为Q 为BD 的中点，所以CQB DQF ∠=∠．又AQB DQF ∠=∠，所以AQB CQB ∠=∠．…………40分 二、（本题满分40分）证明：对任意整数4n ≥，存在一个n 次多项式 ()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：⑴011n a a a -，，，均为正整数；⑵对任意正整数m ，及任意k （2k ≥）个互不相同的正整数12k r r r ，，，，均有 ()()()()12k f m f r f r f r ≠．【解析】 令()(1)(2)()2f x x x x n =++++ ①……………………10分将①的右边展开即知()f x 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式． 下面证明()f x 满足性质（2）． 对任意整数t ，由于4n ≥，故连续的n 个整数12t t ++，，t n +中必有一个为4的倍数，从而由①知()2(mod4)f t ≡……………………20分因此，对任意(2)k k ≥个正整数12k r r r ，，，，有 12()()()20(mod4)k k f r f r f r ≡≡．但对任意正整数m ，有()2(mod4)f m ≡，故 12()/()()()(mod4)k f m f r f r f r ≡，从而12()()()()k f m f r f r f r ≠．所以()f x 符合题设要求．……………………40分三、（本题满分50分）设()124n a a a n ，，，≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数r ，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=<<-≤≤的三元数组()i j k ，，的个数记为()n f r ． 证明：()24n n f r <【解析】 对给定的(1)j j n <<，满足1i j k n <<≤≤，且j ik ja a r a a -=- ①的三元数组（i j k ，，）的个数记为()j g r ．…………………………10分注意到，若i j ，固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因i j <，即i 有1j -种选法，故()1j g r j -≤．同样地，若j k ，固定，则至多有一个i 使得①成立．因k j >，即k 有n j -种选法，故()j g r n j -≤．从而()min{1}j g r j n j --≤，……………………30分因此，当n 为偶数时，设2n m =，则有 1121222121()()()()(1)(1)(2)(2)22n m m n j j jj j j mmm j j m f r g r g r g r m m m m j m j ---===-==+=+---+-=+∑∑∑∑∑≤2224n m m m =-<=．……………………40分当n 为奇数时，设21n m =+，则有12221221()()()()(1)(211)n mmn j j jj j j m mmj j m f r g r g r g r j m -===+==+=++-++-∑∑∑∑∑≤224n m =<．………………………………50分四、（本题满分50分）设A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个()1319m n m n ⨯≤≤，≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． 【解析】 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为129i i i a b c i =，，，，，，．记11()0129kkk i k i i i i S a T b c k ===+=∑∑，，，，，，，这里000S T ==．……………………10分我们证明：三组数019019;S S S T T T ，，，，，，及00S T +，1199S T S T ++，，都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m n S S ≡，则10(mod10)nin m i m aS S =+=-≡∑，即第1行的第1m +至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．………20分 又假如存在09(mod10)m n m n m n T T <≡≤≤，，，使，则1()0(mod10)niinm i m b c TT =++=-≡∑，即第2行至第3行、第1m +列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m m n n S T S T +≡+．…………30分 因此上述断言得证．故999()01295(mod10)kkkk k k k S T ST ===≡≡+≡++++≡∑∑∑，所以999()550(mod10)k k k k k k k S T S T ===+≡+≡+≡∑∑∑，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．……………………40分另一方面，构造如下一个3×9的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．缩上所述，50分。
2011年全国高中数学联赛模拟卷(7)(一试+二试,附详细解答)
2011年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________1. 集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ⊆, 则a 的取值范围是___________2. 某人投两次骰子, 先后得到点数,m n , 用来作为一元二次方程20x mx n ++=的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ 3. 过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切 于点D ，且与平面ABC相切。
若45,60AD BAD CAD BAC =∠=∠=︒∠=︒则四面体ABCD 的外接球的半径r ＝________4. 如图, ,M N 分别为正六边形ABCDEF 的对角线AC ,CE 的内分点,且AM AC ＝CNCE＝λ, 若B ,M ,N 三点共线,则λ=______________ 5. 已知2()(3f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是6. 对所有的实数x 及1t ≤≤222(2)()x t x at ++++＞18, 则实数a 的取值范围是 ______ .7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式：1()2n n n a c b +=(n Z ∈), 则称△ABC 为 “n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3次幂平均三角形”, 则角B 的最大值是 ______ . 8. 设,,u v w 为复数, 其中()22,3,25w a bi a b a b =+≥+=,3u w v -=, 若1v =, 则当u 的辐角主值最小时,uw的值为_____________ 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 9．定义域为实数集R 的函数f (x )同时满足以下3个条件：①x ＞0时，f (x )＞0，②f (1)＝2，③对任意m ，n R ∈，都有f (m ＋n ) ＝f (m )＋f (n )．设集合22{(,)(3)(4)24}A x y f x f y =+≤，{(,)()()(3)0}B x y f x f ay f =-+=，21{(,)|()()()}2C x y f x f y f a ==+，若A ∩B ≠Ф 且A ∩C ≠Ф，试求实数a 的取值范围．10. 已知双曲线方程1222=-y x ，是否存在过焦点的直线l ，交双曲线于A 、B 两点，使得∠AOB ＝π2． 若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由。
2011全国数学联赛加试(A卷)
全国数学联赛加试（A 卷）
1本题40分。
如图，P 、Q 分别是圆内接四边形ABCD 对角线AC 、BD 中点。
若BPA D PA ∠=∠ 证明:AQB CQB ∠=∠
2本题40分。
证明：对于任意整数n ≥4。
存在一个n 次多项式
1110()n n n F x x a x a x
a --=+++ 具有如下性质：
（1）1231,,n a a a a - 为正整数。
（2）对任意正整数m ，及任意k(k ≥2)个互补相同的正整数12,k r r r ，
均有
123()()()()()k f m f r f r f r f r ≠
3本题50分。
设 123,,,(4)n a a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a ＜＜＜。
对任意正实数r,满足
(1)j i k j a a r r j k n a a -=-≤＜＜≤的三元数组（i,j,k ）的个数记为()n f r 证明：2()4n n f r <
4本题50分。
设A 使一个3X9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数，称A 中的一个mXn （1≤m ≤3，1≤n ≤9）方格表示为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数，称A 中的一个1X1的小方格为坏格，若它不包含于任何一个“好矩形”，求A 种“坏格”个数
的最大值。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
9．（本小题满分 16 分）已知实数 x, y, z 满足：x ≥ y ≥ z ，x + y + z = 1，x 2 + y 2 + z 2 = 3 ．求
实数 x 的取值范围． 解 令 x = 1+ t ．由 x + y + z = 1得 z = −t − y ，代入 x 2 + y 2 + z 2 = 3 ，得
2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（B 卷）第 4 页（共 5 页）
x 2 − 4 pq x − 2qy1 y2 = 0 ．
①
y1 + y2
y1 + y2
由于 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切，所以方程①的判别式
化简整理得
Δ
=
⎜⎜⎝⎛ −
)=
2009a1006
=1，
于是 a1006
=
1 2009
，所以
S 2011
= 2011( a1
+ a 2011 )09
．
2．已知复数 z 的模为 1， 若 z = z1 和 z = z2 时|z+1+i|分别取得最大值和最小值，则
z1 − z2 =
．
解 易知|1+i|-|z|≤|z+1+i|≤|1+i|+|z|，即 2 −1 ≤|z+1+i|≤ 2 +1 ．
2
2
又 x ≥ y ，所以 1+ t ≥ − t + 4 − 4t − 3t 2 ，即 2 + 3t ≥ 4 − 4t − 3t 2 ，解得 t ≥ 0 ． 2
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（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。
2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。
现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M （m ，0），当椭圆的离心率满足 1322<<e 时，求实数m 的取值范围。
11.（本小题满分20分）映射f 的定义域是{}1,2,,20A = 的全体真子集，值域包含于{}1,2,,10 ，满足条件：对任意,B C A ⊆，都有()()(){}min ,f B C f B f C = ，求这种映射的个数．加 试一、（本题满分40分）设A B C D E 、、、、为直线l 上顺次排列的五点，AC BCCE CD=，F 在直线l 外的一点，连结FC 并延长至点G ，恰使FAC AGD ∠=∠，FEC EGB ∠=∠同时成立.求证：FAC FEC ∠=∠。
二、（本题满分40分）已知：,,0a b c≥，2a b c ++=，求证：()()()1111bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++。
三、（本题满分50分）设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，d k，满足1=d1<d2<…<d k = n。
再设D = d1d2＋d2d3＋…＋d k－1d k。
(i) 证明：D<n2；(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。
四、（本题满分50分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．参考答案一试1. 答：1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,23B a =-+，要使C B ⊆，只需C 中的最大元素在B 当中，所以()22223,23a a a ⎧-≤+⎪⎨≤+⎪⎩，得132a ≤≤。
2. 答：97 设AO 交BC 于点D ，由角平分线定理知23BD AB DC AC ==，于是3255AD AB AC =+ ，又54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD +====+，所以()5121293939A O A D AB AC A B A BB C==+=++5299AB AC =+ ，因此79λμ+=。
3. 答：(),1-∞利用函数图象进行分析易得结果。
4. 答：6110若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是1n。
如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了12,,,n a a a ，则概率为1211111112011999999n a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，所以所求概率为 1211111112011999999n p a a a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑111111111*********20091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11111111111110099981098⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注意到()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相除即得6111110001001010p =⨯⨯=。
5. 答：916π 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。
设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690my my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634my y m +=-+，122934y y m =-+，于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-=。
因为()2222222111111163491599611m m m m m m +==≤++++++++，所以内切圆半径12384F PQS r ∆=≤，因此其面积最大值是916π。
6. 答：501当2n ≥时，将原式变形为()()()12111n n a a n n n n n n+=-+-+，令()1n n a b n n =-，则有()121n n b b n n +=-+，叠加可得21122n b b n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，于是()()()21122n n n a a n n -=---。
由20072008a ，得2200720062008200620052a ⨯⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，化简得()26mod2008a ≡。
由2008n a ，得()()()()21120m o d20082n n a n n ----≡，将上述关于2a 的结果代入得()()()110mod1004n n +-≡，于是质数()()25111n n -+且n 是奇数，所以满足条件的最小的n 是501。
7. 答：16将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。
与第一个几何体形成的截面是12，所以面积是()()22222201216h h ππ--=-，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
8. 答：815令2u t =，原方程化为3321()(3)0.x y u x y u x y-+++=- ① 233221(3)4()523(53)().x y x y x yx xy y x y x y ∆=+--⋅-=+-=-+所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，,3,3,(53)()0x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪-+<⎩或,3,3,(53)()0,30.x y x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪-+≥⎪⎪+<⎩ 点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为124181363.2525ABO BCOS S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=9. （本小题满分16分）解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下面用数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤。
假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+⨯+⨯++⨯--21111212212n n n n n n n n n n -++⎛⎫=++⨯++⨯ ⎪--⎝⎭112n n n a n n++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+⨯=⨯≤⨯<。
所以数列{}n a 中的最大值是45103a a ==。
10.（本小题满分20分）解：椭圆过定点A （1，0），则,1,12b c a -==,12b e -=∵1322<<e ，∴330<<b 。
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线)0(≥=x x y的交点，就必过椭圆与射线)0(≥-=x x y 的交点。
联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≥=1)0(222b y x x x y ，解得 21b b y x +==。
∵330<<b ，∴210<<x 。
设抛物线方程为：)(22m x p y --=，1,0>>m p 。
又 ∵12-=m p， ∴ ))(1(2m x m y --= ① 把 x y =，210<<x 代入①得0)1(4)1(42=---+m m x m x ，1>m ，210<<x 。
令)1(4)1(4)(2---+=m m x m x x f ，1>m ，210<<x ， ∵ )(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0内有根且单调递增， ∴⎪⎩⎪⎨⎧>---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛<--=0)1(4)1(241210)1(4)0(m m m f m m f ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>42342301〈〈或m m m综上得：4231+<<m 。
11.（本小题满分20分）解：记{}/i A A i =，其中1,2,,20i = 。
首先任意设定()()()1220,,,f A f A f A 的值，则对于A 的任意真子集B ，记{}12/,,,i i in A B a a a = ，则()()()()(){}1212min ,,,i i in i i in f B f A A A f A f A f A == ，因此，映射f 可由()()()1220,,,f A f A f A 的值完全确定。