南京工业大学概率论与数理统计试题及答案

南京工业大学 概率统计 试题（A ）卷（闭）

2004 -2005 学年第 二 学期 使用班级 江浦校区03级

所在院(系) 班 级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五

六

七 八 九 总分 得分

一.填空(18分)

1.(4分)设P (A )=0.35， P (A ∪B )=0.80，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= 。

2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，ξ~N (1，4)，且

2

1}{=

≥a P ξ，则a = 。

3．(4分)设随机变量ξ的概率密度为??

???<<=其他,04

0,81

)(x x x f

对ξ独立观察3次，记事件“ξ≤2”出现的次数为η，则=ηE ，=ηD 。 4.(3分)若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的概率是 。

5.(4分) 设总体),(~2σμN X ，X 是样本容量为n 的样本均值，则随机变量

∑

=???

? ??-=

n

i i X X 1

2

σξ服从 分布，=ξD 。 二.选择(每题3分，计9分)

1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A )

2．设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ，42)，η~N (μ，52)，而 }5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ，则( )。

(A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1

(C )只对μ的个别值，才有p 1=p 2 (D )对任何实数μ，都有p 1>p 2 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若ηξξηE E E ?=)(，则（ ）。

(A )ηξξηD D D ?=)( (B )ηξηξD D D +=+)( (C )ξ和η独立 (D )ξ和η不独立

三(12分)、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种

电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压ξ服从正态分布N (200, 252

)，试求(已知()788.08.0=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)：

（1）该电子元件损坏的概率α；

（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率β。

四(15分)、设随机变量(ξ，η)的联合概率密度 ??

?<<=-其它

,

00,

),(y x xe y x f y

(1)求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η独立性。

(2)求ηξζ+=的概率密度函数；(3)求ξηρ。

五(8分)、已知随机变量ξ只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为c

21，

c

43，

c

85

，

c 167

，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE 。

六（8分）某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线相互独立的，设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？

(已知()90.0)282.1(,8413.0)0.1(,788.08.0=Φ=Φ=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)

七. (10分) 设总体X ～N (2,σμ)，其中μ已知，而2

σ未知，(x 1，x 2，…，x n )为来自总体的样本值。试求2σ的矩估计量和极大似然估计量。

八(8分)、某门课程考试成绩),(~2σμN X 。从其中任意抽出10份试卷的成绩为：

74，95，81，43，62，52，86，78，74，67

试求该课程平均成绩μ的置信区间。取置信度为95.01=-α。

(已知2281.2)10(,2622.2)9(,8125.1)10(,8331.1)9(025.0025.005.005.0====t t t t )

九(12分)、设某厂生产的灯泡寿命(单位：h )X 服从正态分布),(2σμN ，μ0=1000为μ 的标准值，2σ为未知参数，随机抽取其中16只，测得样本均值x =946，样本方差s 2

=1202

。 试在显著性水平α=0.05下，考察下列问题：

(1)这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异(即检验H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000)？

(2)这批灯泡是否合格(即检验0H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000)？

南京工业大学 概率统计 试题（A ）卷（闭）

标准答案及评分标准

2004 -2005 学年第 二 学期 使用班级 江浦校区03级

一.填空（18分）

1、0.45； ……………………………2分

9/13。 ……………………………4分 2. 1。 ……………………………3分 3．189/64； ……………………………2分 189/4096。 ……………………………4分 4.0.6。 ……………………………3分 5.)1(2-n χ； ……………………………2分 )1(2-n 。 ……………………………4分 二.选择（9分）

1．(C )。 ……………………………3分2．(A )。 ……………………………3分 3．(D )。 ……………………………3分 三（12分）、 解：引进事件：A 1={电压不超过200V }，A 2={电压在200V ～240V }，A 3={电压超过240V }，B ={电子元件损坏}。 ……………………………1分

由于ξ~N (220, 252)，因此

?

?????-≤-=≤=2522020025220

}200{)(1ξξP P A P

212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= …………………………3分 )25

220

200(

)25

220

240(

}240200{)(2-Φ--Φ=≤≤=ξP A P

576.0)8.0()8.0(=-Φ-Φ= ………………………5分

.212.0576.0212.01}240{)(3=--=>=ξP A P …………………………6分 由题设知 P (B |A 1)=0.1, P (B |A 2)=0.001, P (B |A 3)=0.2。

（1）由全概率公式

)|()()(3

1

i

i i

A B P A P B P ∑==

=α

0642.02.0212.0001.0576.01.0212.0=?+?+?= ………………9分

（2）由贝叶斯公式

009.00642

.0001

.0576.0)

()

|()()|(222≈?=

=

=B P A B P A P B A P β ……………………12分

四（15分）、解： （1）??

???≤>===

-∞

+-∞

+∞

-??

.0,00

,),()(x x xe dy xe dy y x f x f x x y ξ

??

???≤>===--∞

+∞-??.0,00,2

1),()(20

y y e y dx xe dx y x f y f y y y

η 由于)()(),(y f x f y x f ηξ?≠，故ξ与η不独立。 ………4分

(2)dx x z x f z f ),()(-=

?

+∞∞

-ζ

显然仅当x z x -<<0，即z x <<20时，上述积分不等于零，故

??

???≤>-+==-=

----∞+∞

-??

.0,00

,)12

(),()(2/0

)(z z e z e dx xe dx x z x f z f z

z z x z ζ ……8分 （3）2)(0

=?=

=

?

?

+∞

-+∞∞

-dx xe

x dx x xf E x

ξξ；

6)(0

2

2

2

=?=

=

?

?

+∞

-+∞

∞

-dx xe

x dx x f x E x

ξξ

；

2)(2

2

=-=ξξ

ξE E D 。

…………………10分 同理，3=ηE ，=ηD 3；

8),()(0

=?=

=

?

?

??

+∞

+∞

-+∞

∞

-+∞

∞

-x

y

dy xe

xy dx dxdy y x xyf E ξη。

故 2328)(),(=?-=?-=ηξξηηξE E E Cov 。 …………………14分 于是，3

23

22),(=?=

?=

η

ξηξρξηD D Cov …………………15分

五（8分）、由于c

21+c

43+

c

85+

c

167

=1，因此1637

=

c 。 ………………………2分 32.0}

0{}1{}

0{}0,1{}0|1{=≠-==

≠≠<=

≠<ξξξξξξξP P P P P ……………………5分

37113716167285143021)1(=?

??? ?

?

?+?+?+?-=ξE ………………………8分 六（8分）、以ξ表示同时使用外线的分机数，则ξ~B (200，0.05。 ………………1分 设总机需设x 根外线，则有{}%90≥≤x P ξ， 即 90.095.005.020005

.020095

.005.020005

.0200≥???

??

?

???-≤

???-x P ξ ……………………3分

由中心极限定理，有

90.05

.910≥?

??

?

??-Φx , 由题设所给数据得 282.15.910

≥-x ……………………6分 解得 95.13≥x

故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使

用。 ……………………8分 七（10分）、解 矩估计 由于 22

2

)(EX EX

DX -==σ

，令 ∑==

=n

i i X n

A EX

1

2

22

1

即22

)(A EX DX =+，

又已知 μ=EX 。故 2σ的矩估计量为

∑∑==∧

-=

-=

-=n

i i

n

i i

X n

X n

A 1

2

1

2

2

2

22

)(1

1

μμ

μ

σ

。 ………………………5分

极大似然估计

μ已知时，似然函数为：?

??

???

--

?=∑

=-

n i i n x L 1

22

2

2

2

)(21exp )

2()(μσ

πσ

σ，

因此 ∑=--

-=n

i i

x

n L 1

2

2

2

2

)(21)2ln(2

)(ln μσ

πσ

σ，

令

0)(2112)(ln 1

2

4

2

2

2

=-+

-

=∑=n

i i

x

n d L d μσ

σ

σ

σ。

解得2

σ的极大似然估计为：∑=∧

-=

n

i i

X

n

1

2

2

)(1

μσ。 ………………………10分

八（8分）、解：由题设得到 x =

2.71)679574(10

1=+++ ，51.245)(9

1

2

10

1

2

=-=

∑=i i

x x s

。

………………3分 又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值2622.2)9(025.0=t 。 ………………5分 故置信区间为

]41.82,99.59[]10

51

.2452622

.22.71,1051

.2452622

.22.71[=+-。 ……………8分

九（12分）、解：(1)待验假设H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000 由于题设方差2σ未知，故检验用统计量为 )1(~/2

0--=n t n

S X T μ ……………2分

由α =0.0513.2)15(025.02/==?t t α

又由946=x 、s 2=1202

，可算得统计量观测值t 为

8.116

/120

1000946/2

2

0-=-=

-=

n

s x t μ ……………4分

因13.2)15(8.1||025.0=<=t t ，故考虑接受H 0，从而认为这批灯泡的平均寿命与标准值的差异不显著。 ……………6分

(2)待验假设为0H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000。 ……………8分 因为2σ未知，故仍选用统计量 )1(~/2

0--=

n t n

S X T μ。 ………… 10分

由α =0.0575.1)15()1(05.0==-?t n t α，而统计量观测值亦同(1)，即8.1-=t ， 因75.1)15(8.105.0-=-<-=t t ，故拒绝H 0，即可以认为这批灯泡不合格。

……………12分