南京工业大学概率论与数理统计试题及答案

南京工业大学 概率统计 试题（A ）卷（闭）2004 -2005 学年第 二 学期 使用班级 江浦校区03级所在院(系) 班 级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五六七 八 九 总分 得分一.填空(18分)1.(4分)设P (A )=0.35， P (A ∪B )=0.80，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= 。

2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，ξ~N (1，4)，且21}{=≥a P ξ，则a = 。

3．(4分)设随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x f对ξ独立观察3次，记事件“ξ≤2”出现的次数为η，则=ηE ，=ηD 。

4.(3分)若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的概率是 。

5.(4分) 设总体),(~2σμN X ，X 是样本容量为n 的样本均值，则随机变量∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i X X 12σξ服从 分布，=ξD 。

二.选择(每题3分，计9分)1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A )2．设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ，42)，η~N (μ，52)，而 }5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ，则( )。

(A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1<p 2(C )只对μ的个别值，才有p 1=p 2 (D )对任何实数μ，都有p 1>p 2 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若ηξξηE E E ⋅=)(，则（ ）。

(A )ηξξηD D D ⋅=)( (B )ηξηξD D D +=+)( (C )ξ和η独立 (D )ξ和η不独立三(12分)、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。

假设电源电压ξ服从正态分布N (200, 252)，试求(已知()788.08.0=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率β。

四(15分)、设随机变量(ξ，η)的联合概率密度 ⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(y x xe y x f y(1)求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η独立性。

(2)求ηξζ+=的概率密度函数；(3)求ξηρ。

五(8分)、已知随机变量ξ只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为c21，c43，c85，c 167，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE 。

六（8分）某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。

设每个电话分机是否使用外线相互独立的，设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？(已知()90.0)282.1(,8413.0)0.1(,788.08.0=Φ=Φ=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)七. (10分) 设总体X ～N (2,σμ)，其中μ已知，而2σ未知，(x 1，x 2，…，x n )为来自总体的样本值。

试求2σ的矩估计量和极大似然估计量。

八(8分)、某门课程考试成绩),(~2σμN X 。

从其中任意抽出10份试卷的成绩为：74，95，81，43，62，52，86，78，74，67试求该课程平均成绩μ的置信区间。

取置信度为95.01=-α。

(已知2281.2)10(,2622.2)9(,8125.1)10(,8331.1)9(025.0025.005.005.0====t t t t )九(12分)、设某厂生产的灯泡寿命(单位：h )X 服从正态分布),(2σμN ，μ0=1000为μ 的标准值，2σ为未知参数，随机抽取其中16只，测得样本均值x =946，样本方差s 2=1202。

试在显著性水平α=0.05下，考察下列问题：(1)这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异(即检验H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000)？(2)这批灯泡是否合格(即检验0H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000)？南京工业大学 概率统计 试题（A ）卷（闭）标准答案及评分标准2004 -2005 学年第 二 学期 使用班级 江浦校区03级一.填空（18分）1、0.45； ……………………………2分9/13。

……………………………4分 2. 1。

……………………………3分 3．189/64； ……………………………2分 189/4096。

……………………………4分 4.0.6。

……………………………3分 5.)1(2-n χ； ……………………………2分 )1(2-n 。

……………………………4分 二.选择（9分）1．(C )。

……………………………3分2．(A )。

……………………………3分 3．(D )。

……………………………3分 三（12分）、 解：引进事件：A 1={电压不超过200V }，A 2={电压在200V ～240V }，A 3={电压超过240V }，B ={电子元件损坏}。

……………………………1分由于ξ~N (220, 252)，因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=2522020025220}200{)(1ξξP P A P212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= …………………………3分 )25220200()25220240(}240200{)(2-Φ--Φ=≤≤=ξP A P576.0)8.0()8.0(=-Φ-Φ= ………………………5分.212.0576.0212.01}240{)(3=--=>=ξP A P …………………………6分 由题设知 P (B |A 1)=0.1, P (B |A 2)=0.001, P (B |A 3)=0.2。

（1）由全概率公式)|()()(31ii iA B P A P B P ∑===α0642.02.0212.0001.0576.01.0212.0=⨯+⨯+⨯= ………………9分（2）由贝叶斯公式009.00642.0001.0576.0)()|()()|(222≈⨯===B P A B P A P B A P β ……………………12分四（15分）、解： （1）⎪⎩⎪⎨⎧≤>===-∞+-∞+∞-⎰⎰.0,00,),()(x x xe dy xe dy y x f x f x x y ξ⎪⎩⎪⎨⎧≤>===--∞+∞-⎰⎰.0,00,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y yη 由于)()(),(y f x f y x f ηξ⋅≠，故ξ与η不独立。

………4分(2)dx x z x f z f ),()(-=⎰+∞∞-ζ显然仅当x z x -<<0，即z x <<20时，上述积分不等于零，故⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+==-=----∞+∞-⎰⎰.0,00,)12(),()(2/0)(z z e z e dx xe dx x z x f z f zz z x z ζ ……8分 （3）2)(0=⋅==⎰⎰+∞-+∞∞-dx xex dx x xf E xξξ；6)(0222=⋅==⎰⎰+∞-+∞∞-dx xex dx x f x E xξξ；2)(22=-=ξξξE E D 。

…………………10分 同理，3=ηE ，=ηD 3；8),()(0=⋅==⎰⎰⎰⎰+∞+∞-+∞∞-+∞∞-xydy xexy dx dxdy y x xyf E ξη。

故 2328)(),(=⋅-=⋅-=ηξξηηξE E E Cov 。

…………………14分 于是，32322),(=⨯=⋅=ηξηξρξηD D Cov …………………15分五（8分）、由于c21+c43+c85+c167=1，因此1637=c 。

………………………2分 32.0}0{}1{}0{}0,1{}0|1{=≠-==≠≠<=≠<ξξξξξξξP P P P P ……………………5分37113716167285143021)1(=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅-=ξE ………………………8分 六（8分）、以ξ表示同时使用外线的分机数，则ξ~B (200，0.05。

………………1分 设总机需设x 根外线，则有{}%90≥≤x P ξ， 即 90.095.005.020005.020095.005.020005.0200≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-x P ξ ……………………3分由中心极限定理，有90.05.910≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φx , 由题设所给数据得 282.15.910≥-x ……………………6分 解得 95.13≥x故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

……………………8分 七（10分）、解 矩估计 由于 222)(EX EXDX -==σ，令 ∑===ni i X nA EX12221即22)(A EX DX =+，又已知 μ=EX 。

故 2σ的矩估计量为∑∑==∧-=-=-=ni ini iX nX nA 12122222)(11μμμσ。

………………………5分极大似然估计μ已知时，似然函数为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅=∑=-n i i n x L 122222)(21exp )2()(μσπσσ，因此 ∑=---=ni ixn L 12222)(21)2ln(2)(ln μσπσσ，令0)(2112)(ln 124222=-+-=∑=ni ixn d L d μσσσσ。

解得2σ的极大似然估计为：∑=∧-=ni iXn122)(1μσ。

………………………10分八（8分）、解：由题设得到 x =2.71)679574(101=+++ ，51.245)(9121012=-=∑=i ix x s。

………………3分 又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值2622.2)9(025.0=t 。

………………5分 故置信区间为]41.82,99.59[]1051.2452622.22.71,1051.2452622.22.71[=+-。

……………8分九（12分）、解：(1)待验假设H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000 由于题设方差2σ未知，故检验用统计量为 )1(~/20--=n t nS X T μ ……………2分由α =0.0513.2)15(025.02/==⇒t t α又由946=x 、s 2=1202，可算得统计量观测值t 为8.116/1201000946/220-=-=-=ns x t μ ……………4分因13.2)15(8.1||025.0=<=t t ，故考虑接受H 0，从而认为这批灯泡的平均寿命与标准值的差异不显著。