人教版八年级数学下册18.2.1矩形 同步练习(包含答案)
18.2.1 矩形同步练习
一、填空题
1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．
(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四
边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．
(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形
是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A 角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC 于点E、F，连结CE，则CE的长______．
二、选择题
6．下列命题中不正确的是( )．
(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半
(B)矩形的对角线相等
(C)矩形的对角线互相垂直
(D)矩形是轴对称图形
7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．
(A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm
8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．
(A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm
9．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
(A) (B) (C) (D)
提高题
三、解答题
10．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．
11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。
13．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE 平分∠BAD ．
拓展题
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，．
(1)在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；
(2)若P 为BC 边上一点，且BP ＝2CP ，连结EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：AB ＝BF ；
②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。
3
AD
参考答案
1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点的直线；
(3)平行四边形；对角线相等；三个角．
2．5，5． 3． 4．60°． 5． 6．C ． 7．B ． 8．B ． 9．D ．
10．(1)提示：先证OA ＝OB ，推出AC ＝BD ；(2)提示：证△BOE ≌△COF ．
11．(1)略；(2)四边形ADCF 是矩形． 12．7.5．
13．提示：证明△BFE ≌△CED ，从而BE ＝DC ＝AB ，∴∠BAE ＝45°，可得AE 平分∠BAD ．
14．提示：(1)取DC 的中点E ，连接AE ，BE ，通过计算可得AE ＝AB ，进而得到
E B 平分 ∠AEC ．
(2)①通过计算可得∠BEF ＝∠BFE ＝30°，又∵BE ＝AB ＝2
3⋅234⋅6
13
∴AB＝BE＝BF：
②旋转角度为120°．。
人教版数学八年级下册：18.2.1 矩形 同步练习(附答案)
18．2.1矩形第1课时矩形的性质1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD2．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )A．8 B．6 C．4 D．2 3．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10.求：(1)矩形较短边的长；(2)矩形较长边的长；(3)矩形的面积．6．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若∠A ＝20°，则∠BDC ＝( )A ．30°B ．40°C ．45°D ．60° 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，点D 是AB 的中点，则CD ＝ ．8．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝12，则HE 等于( )A ．24B ．12C ．6D ．8 9．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E.若OE ∶ED ＝1∶3.AE ＝3，则BD ＝( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．2 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是( )A ．1 B.74 C ．2 D.12511．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E ，F ，连接PB ，PD.若AE ＝2，PF ＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．10 B．12 C．16 D．18 12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积．13．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F 分别是AD，BC的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第2课时 矩形的判定1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ．(写出一种情况即可)2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CE ∥AB ，且CE ＝12AB.求证：四边形CDBE 是矩形．3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AC ＝BD.试添加一个条件 ，使四边形ABCD 为矩形．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD.求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．6．下列命题正确的是( )A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是矩形7．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为边AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为 ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 ．10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.12．如图，在△ABC中，点Q是边AC上一个动点，过点Q作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求QC的长；(2)连接AE，AF.问：当点Q在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案：18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质1．D 2．C 3． 8． 4．2.5_cm ．5．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB. 又∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形． ∴AB ＝OA ＝12AC ＝5，即矩形较短边的长为5.(2)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝5，AC ＝10， 则BC ＝AC 2－AB 2＝102－52＝5 3. 即矩形较长边的长是5 3.(3)矩形的面积S ＝AB·BC ＝5×53＝25 3. 6．B 7．3． 8．B 9．C 10．B 11．C12．解：∵BE 为ED 所折， ∴BE ＝ED.∵AD ＝9，设AE ＝x ，则ED ＝BE ＝9－x ，在Rt △ABE 中，AB ＝3，AE ＝x ，BE ＝9－x. ∴BE 2＝AE 2＋AB 2. ∴(9－x)2＝x 2＋32. ∴x ＝4. ∴AE ＝4.∴S △ABE ＝12AB·AE ＝12×3×4＝6.13．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BFE ＋∠BEF ＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°.∴∠BEF ＝∠CFD. 在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)． ∴BF ＝CD.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD. 在△ABM 和△CDN 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD ，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O. 在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠EOA ＝∠FOC ，∠EAO ＝∠FCO ，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)． ∴EO ＝FO ，AO ＝CO. ∴O 为EF ，AC 中点．∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.第2课时 矩形的判定1．答案不唯一，如：AD ＝BC 或AB ∥CD 等． 2．证明：∵AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB.∴∠CDB ＝90°. ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝BD. ∵CE ∥AB ，∴CE ∥BD.∴四边形CDBE 为平行四边形．又∵∠CDB ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形．3．答案不唯一，如：AB ∥CD4．证明：∵在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AC ＝2AO ，BD ＝2OD.∵OA ＝OD ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别是∠DAB ，∠ADC 的平分线，∴∠FAD ＝∠BAE ＝12∠DAB ， ∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC. ∴∠FAD ＋∠FDA ＝90°.∴∠AFD ＝90°.同理：∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴∠AFD ＝∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是矩形．6．A7．A8． 12．9．125． 10．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ＝BC.∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE ＝∠FCE.∵E 为BC 的中点，∴EB ＝EC.∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF.又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AD ＝BC ，AD ＝AF ，∴BC ＝AF.∴四边形ABFC 是矩形．11．证明：(1)∵AB ∥DC ，FC ＝AB ，∴四边形ABCF 是平行四边形．又∵∠B ＝90°，∴四边形ABCF 是矩形．(2)∵四边形ABCF 是矩形，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.∴∠DAF ＝90°－∠D ，∠CGF ＝90°－∠ECD.∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠DAF ＝∠CGF.又∵∠EGA ＝∠CGF ，∴∠DAF ＝∠EGA.∴EA ＝EG.12．解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠QCE ＝∠BCE ，∠QCF ＝∠DCF.∵EF ∥BC ，∴∠QEC ＝∠BCE ，∠QFC ＝∠DCF.∴∠QEC ＝∠QCE ，∠QFC ＝∠QCF.∴QE ＝QC ，QF ＝QC.∴QE ＝QF.∵∠QCE ＋∠BCE ＋∠QCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠ECF ＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴QC ＝QE ＝12EF ＝5. (2)当点Q 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连接AE ，AF.当Q 为AC 的中点时，AQ ＝CQ ，∵EQ＝FQ，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．。
2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.1矩形 同步练习 (含解析)
18.2.1矩形同步练习一．选择题1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D2．如图，矩形ABCD的长BC＝20cm，宽AB＝15cm，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AE、ED的长分别为（）A．15cm和5cm B．10cm和5cm C．9cm和6cm D．8cm和7cm3．取一张长方形纸片，过长方形的任意一个顶点将纸片折叠（只折一次），那么折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．不确定4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE ＝EO，则AD的长是（）A．6B．2C．3D．25．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED ＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.210．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为．12．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F都在CD上，点P在AD上，连接PE，若EF＝PE，∠FBP＝∠ABP，2∠APB+∠DPE＝180°，则线段AP的长为．14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，△CEF为等腰直角三角形，CE＝EF，∠CEF＝90°，∠BAD的平分线交CF于点H，连接BH．若BH＝，AF＝，则△ABH的面积为．15．如图，矩形ABCD，O为对角线交点，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB 于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．参考答案一．选择题1．解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝20cm，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝15cm，∴DE＝AD﹣AE＝5cm，故选：A．3．解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD＝90°，∵AE是任意一条折痕，∴∠BAE+∠DAE＝90°，即折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是互余；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，故选：B．5．解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴MD长为5．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∴α+β+γ＝90°，∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∴2α+β＝90°，∴α+β+γ＝2α+β，∴α＝γ，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，∴OF＝tan30°×BO＝1，∴CF＝1，故选：A．8．解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．9．解：如图，设A′B′交AC于点E，tan∠DAC＝＝，设AA′＝x，A′D＝2﹣x，∵AD＝2，DC＝3，∴＝，∴A′E＝x，∵两个三角形重叠部分的面积是S＝AE×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，解当x＝1时，阴影部分的面积最大，AA′＝1，故选：A．10．解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．∴在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝BE．①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a．∴DH＝DC．根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED＝∠CED 正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°．又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD．∠HEB＝∠FDH＝45°，又BE＝DH＝a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH＝HF，③正确；④由△BHE≌△HFD得到HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝，则CF＝a﹣（）＝2a﹣，∴，即CF＝DF，∴④错误；⑤BC＝a，CF＝2a﹣，HE＝，∴BC﹣CF＝2HE，∴⑤正确；综上所述，正确的是①②③⑤共4个．故选：B．二．填空题11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案为：4．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．13．解：分别延长PE、BF，交于点G，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∵2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠APB＝∠GPB．在△P AB和△PGB中，，∴△P AB≌△PGB（ASA），∴PG＝P A，∠A＝∠G＝90°，在△DPG和△EFG中，，∴△DPE≌△GFE（AAS），∴DP＝DG，∴PE+GE＝DE+EF，即PG＝DF，∴PG＝DF＝P A，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴GF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣GF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP＝．故答案为：．14．解：如图，连接EH，延长AH交DC的延长线于N，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（SAS），∴AE＝CD，DE＝AF＝，∴AE＝CD＝AB，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠DAN＝∠N＝45°，∴AD＝DN，∴AF＝CN，在△AFH和△NCH中，，∴△AFH≌△NCH（AAS），∴FH＝HC，又∵∠ABC＝90°，∴BH＝FH＝HC＝，∴CF＝2，设BF＝x，则AB＝+x，∴AD＝2+x＝BC，∵CF2＝BF2+BC2，∴40＝x2+（2+x）2，∴x＝2，（负值舍去），∴BF＝2，BC＝4，∴BF＝2AF，∴S△AFH＝S△BFH，∵S△BFC＝×BF×BC＝×2×4＝8，∴S△BFH＝4，S△AFH＝2，∴S△ABH＝2+4＝6，故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABC1O是平行四边形，∴S△ABO＝S矩形ABCD，S△ABO＝S，∴S＝S矩形ABCD＝，同理可得：平行四边形ABC2O1的面积＝，平行四边形ABC3O2的面积＝，…∴平行四边形ABC2020O2019的面积＝．故答案为：．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．。
2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.1矩形 同步习题(含解析)
18.2.1矩形同步习题一．选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（）A．5B．C．D．3．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．15cm2D．48cm24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE．求AE的长（）A．B．3C．D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB＝6，∠ACB＝30°则MN的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图所示，矩形ABCD中，BC＝2AB，E为BC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是边BC的中点，AO＝，AD＝4，则OE的长为（）A．1B．C．2D．8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2B．4.5C．5.2D．5.59．如图，长方形ABCD中，F是BC上（不与B、C重合）的任意一点，图中面积相等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为．12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为AB，OA的中点．若MN＝2，CD＝4，则∠ACB的度数为．13．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．14．如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于F，则PE+PF的值为_____．三．解答题16．如图，在矩形ABCD中，点F是BC边上一点，DE⊥AF于E，且DE＝DC，求证：△ABF ≌△DEA．17．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．18．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．（1）求BC的长；（2）求证：CE⊥EF．参考答案一．选择题1．解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．2．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D．3．解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，∴斜边＝2×6＝12（cm），∴面积＝×12×4＝24（cm2）．故选：B．4．解：∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO＝BD＝2BE，∴BE＝EO，又∵AE⊥BO，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝30°，又∵AE⊥BD，∴AE＝AD＝3，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BO＝AB＝6，∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN＝BO＝3，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠ADC＝90°，∵BC＝2AB，AE＝AD，∴AE＝2AB，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，AC＝2AO＝2，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝2，∵E是边BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝CD＝1，故选：A．8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝S矩形ABCD，∴S△ABD＝S△AFD＝S矩形ABCD，S△ABF＝S△BFD，∴S△ADF＝S△BCD，S△ABE＝S△DEF，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，当OP⊥AD时，OP有最小值，∴OP＝OD＝3，故选：A．二．填空题11．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴∠DAB＝90°，DB＝AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝55°，∴∠ODA＝∠OAD＝55°，∴∠OBA＝90°﹣∠ADB＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35°．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵M，N分别为AB，OA的中点，∴BO＝2MN＝4，∴AO＝BO＝AB＝4，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，故答案为：30°．13．解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，∴OE＝BE＝，在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，∴DF＝，在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，∴OF＝，∴点D的坐标为（，﹣），故答案为：（，﹣）．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝7，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，∴S△EAB+S△ECD＝AD•h1+BC•h2＝AD（h1+h2）＝AD•AB＝矩形ABCD的面积＝×7×4＝14；故答案为：14．15．解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝14S矩形ABCD＝14×6×8＝12，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝22226810 AB AD+=+=，∴AO＝OD＝5，∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝24 5，故答案为：24 5．三．解答题16．证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥CF，又∵DE＝DC，DE⊥AF，∴DF平分∠CFE，∴∠CFD＝∠DFE，∵CB∥AD，∴∠CFD＝∠ADF，∠AFB＝∠DAE，∴∠DF A＝∠ADF，∴AF＝AD，在△ABF和△DEA中，，∴△ABF≌△DEA（ASA）．17．解：（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵点F是BC的中点，∴FC＝＝1，Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF＝，∴DE＝DF＝，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．18．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，∵AF＝2，∴BF＝1，∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，∴BC＝＝＝，∴BC的长是；（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，∴根据勾股定理得，EF＝＝，∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，∴根据勾股定理得，EC＝＝，∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，∴CE2+EF2＝CF2，∴△CEF是直角三角形，∴CE⊥EF．。
2020年人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习(解析版)
18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形基础闯关全练1．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分 3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA=2，则BD 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1.4．如图18-2-1-2，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，AB=1，∠AOB=60º，则AD=_______.5．如图18-2-1-3，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE=5，则AB 的长为_______.6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）A ．测量对角线是否互相平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是不是直角7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．当∠ABC=90º时，它是矩形 D.AC 与BD 互相平分 能力提升全练1．如图18-2-1-5，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC=62º．则∠DFE 的度数为（ ）A ．31ºB ．28ºC ．62ºD ．56º2．如图18-2-1-6，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为_______．3．如图18-2-1-7，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足A BCD 矩形PAB △S 31=S ，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA+PB 的最小值是_______.三年模拟全练一、选择题1．八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（ ）A ．48盆B ．49盆C ．50盆D ．51盆2．如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于D ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，∠BDE=15º，则∠COE 的度数为（ ）A ．75ºB ．85ºC ．90ºD ．65º3．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．如图18-2-1-10．在△ABC 中，∠C=90º，AC=6，BC=8，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值为（ ）A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.8二、填空题5．如图18-2-1-11，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，可添加的条件是___________.6．如图18-2-1-12，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5．则EF 的长为_________.三、解答题7．如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC 的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.(1)求证：BD=CD；(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．五年中考全练一、选择题1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 二、填空题2．如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=6，D是AB的中点，则CD=________．3．如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．4．如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．5．如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50º，则∠BEF的度数为________.三、解答题6．如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB=AF；(2)若AG=AB，∠BCD=120º，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．核心素养全练1．阅读以下材料，然后解答下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：(2)如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90º．在图18-2-1-19②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．2．长与宽之比为2：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF 是标准纸，请给予证明．(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．18.2特殊的平行四边形18.2.1 矩形1．D添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD 是矩形，故选D．2．C矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．3．A因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC，所以BD的长为4．4．答案3解析∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90º，∴AO=BO,∵∠A OB=60º，∴AO=BO=AB=1.∴BD=2,∴AD=3122222=-=-ABBD．5．答案10解析∵AD⊥BC，E为AC的中点，∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴AC=2DE=10.又AB=AC,∴ AB=10.6．D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．7.B因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC与BD互相平分，当∠A BC=90º时，它是矩形，所以选项A、C、D中结论正确，故选B．1．D ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠A DC=90º，∴∠FDB=90º-∠B DC=90º-62º=28º, ∵AD ∥BC,∴ ∠C BD =∠FDB=28º，∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,∴∠FBD=∠CBD=28º， ∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28º+28º=56º. 2．答案30解析如图，连接AE ，由作图可知MN 垂直平分AC ， ∴EA=EC=3，∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90º． ∴在Rt △ADE 中,AD=5232222=-=-DE AE ， ∴在Rt △ADC 中，AC=()()303252222=++=+DC AD .3．答案42解析 如图，设点P 到AB 的距离是h ，则21AB •h=31AB •AD ，即21×4h=31×4×3,∴h=2，可见点P 是直线EF(EF ∥AB,且EF 与AB 间的距离是2)上的动点，作点B 关于EF 的对称点B ′，连接AB ′交EF 于点P ，则此时PA+PB 的值最小，最小值为AB ′=24′22=+BB AB ．一、选择题1．A ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A ．2．A 由题意知∠C DE=∠CED=45º，又∠B DE=15º，所以∠CDO=60º，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC ，故△OCD 是等边三角形，从而有OC=OD=CE ，∠DCO=60º，∠OCB=30º，进而求得∠COE=230-180=75º．3.B 因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B ．4.D 连接PC ，∵PE ⊥CA,PF ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =∠C =90º，∴四边形ECFP 是矩形，∴EF=PC ，∴当PC 最小时，EF 也最小，又∵当CP ⊥AB 时，PC 最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC=1086⨯=⋅AB BC AC =4.8，故选D ． 二、填空题5．答案EF ⊥FC(答案不唯一)解析 连接AC ，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=21AC ，同理，HG ∥AC,HG=21AC ，∴EF ∥HG 、EF=HG 、∴四边形EFGH 是平行四边形，要使四边形EFGH 是矩形，则需有一个角为直角，如EF ⊥FG ．答案不唯一．6．答案5解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=21AB ，因此EF=5． 三、解答题7．解析 (1)证明：由题意知AF ∥BD,∴∠AFE =∠ECD ，∵E 为AD 的中点，∴AE=DE ，又∠A EF =∠D EC ，∴△AEF ≌△DEC(AAS),∴AF=CD ，又AF=BD ，∴BD=CD. (2)四边形AFBD 为矩形， 证明：∵AB=AC ， 由(1)知BD=CD ， ∴AD ⊥BC(三线合一)， 即∠A DB=90º．又∵AF ∥BD ，AF=BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形， ∴四边形AFBD 是矩形， 一、选择题1．B ∵∠A=∠B，AD ∥BC,∴∠A =∠B=90º，故A 选项能判定：∵∠A=∠C 是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B 选项不能判定：∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C 选项能判定，∵AB ⊥B C,∴∠B=90º，故D 选项能判定．故选B ． 二、填空题 2．答案3解析 ∵∠A CB=90º，D 为AB 的中点，∴CD=21AB=21×6=3． 3．答案 25解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=10,OD=21BD ，∴OD=5，∵P,Q 分别为AO 、AD 的中点，∴PQ=21OD=25．4．答案AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=9025或∠CDA=9025或∠DAC=9025或AB ⊥BC 等（答案不唯一）解析 根据矩形的判定可知：添加AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=90º或∠C DA=90º或∠DAC=90º或AB ⊥BC 等条件后可使平行四边形ABCD 是矩形． 5．答案70º解析 依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90º，所以∠B′EA=90º-50º=40º．所以∠B ′EB=180º-∠B′EA=140º，又∠B ′EF=∠BEF ，所以∠BEF=21∠B ′EB=70º． 三、解答题6．解析(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD,∴∠AFC =∠D CF,∵G 为AD 的中点，∴GA=GD ，又∠A GF=∠DGC ， ∴△AGF ≌△DGC(AAS),∴AF=CD,∴AB=AF. (2)四边形ACDF 是矩形， 证明：∵AF=CD ，AF ∥CD ， ∴四边形ACDF 是平行四边形． ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B AD =∠B CD=120º，∴∠FAG=60º,∵AB=AC=AF ，∴△AGF 是等边三角形，∴AG=GF ， ∵△AGF ≌△DGC,∴ FG=CG=21CF,∵AG=GD=21AD ，∴AD=CF ，∴四边形ACDF 是矩形．1．解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD 、矩形ABEF ．易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2倍，所以，Rt △ABC 的两个“友好矩形”的面积相等．(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE 、矩形CAFG 和矩形ABHK ，其中矩形ABHK 的周长最小． 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S ，矩形BCDE ， CAFG 及ABHK 的周长分别为L ₁，L ₂，L ₃，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则L ₁=a S 2+2a,L ₂=b S 2+2b,L ₃=c S2+2c, L ₁-L ₂=(a S 2+2a)-(b S 2+2b)=-ab S 2（a-b ）+2(a-b)=2(a-b)•abSab -,∵ab＞S,a ＞b,∴L ₁-L ₂＞0，即L ₁＞L ₂,同理可得，L ₂＞L ₃,∴L ₁＞L ₂＞L ₃， ∴L ₃最小，即矩形ABHK 的周长最小．2．解析(1)证明：∵矩形纸片ABCD 是标准纸，且AB ＜BC ， ∴2=ABBC. 由对开的含义知AF=21BC ，∴222221==⋅==AC AB BC AB AF AB , ∴矩形纸片ABEF 是标准纸．(2)是标准纸．理由如下：设AB=CD=a ，a ＞0．由图形折叠可知△ABE ≌△AFE ， ∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=21∠B AD=45º， 由图形折叠知DG ⊥EM ，∴∠A GD=90º,∴△ADG 是等腰直角三角形， 又由图形折叠知DG=CD=a ，∴在Rt △ADG 中，AD=a DG AG 222=+， ∴22==aaAB AD .∴矩形纸片ABCD 是标准纸，(3)∴第5次对开后所得的标准纸的周长为422+， 第2018次对开后所得的标准纸的周长为1008221+．。
人教版八年级数学下册18.2.1第1课时矩形的性质1同步练习题及答案.doc
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】18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第1课时矩形的性质1．我们把__________叫做矩形．2．矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．3．矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．4．如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有_______个直角三角形，•有____个等腰三角形．5．矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．6．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．7．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．83cm2B．43cm2C．23c m2D．8cm29．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）A．29° B．32° C．22° D．61°10．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BC O的周长差为4，•则AB的长是（）A．12 B．22 C．16 D．2611．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（） A．5 B．4 C． 23 D．712．如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且A E=AB，求∠CBE的度数．13．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC 边上的点F处，求CE的长．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．答案:1．有一个角是直角的平行四边形2．平行四边形，平行四边形（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等3．中心对称，轴对称，2 4．4，4 5．3 6．437．A 8．B 9．B 10．C 11．D 12．15°13．证四边形BDCE是平行四边形，得CE=•BD=AC14． 3 15．（1）s=52t （2）s=-52t+35 （3）略中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
人教版数学八年级下册18.2.1《矩形》精选练习 (含答案)
18.2.1《矩形》精选练习一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A.2条B.4条C.5条D.6条2.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD=120°，AC=10，则AB的长为（）A.10B.8C.6D.53.已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（）A. 它们周长都等于10cm，但面积不一定相等B. 它们全等，且周长都为10cmC. 它们全等，且周长都为5cmD. 它们全等，但周长和面积都不能确定4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD=90°，BO=DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.∠ABC=90°B.∠BCD=90°C.AB=CDD.AB∥CD5.已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=8，AB=6，则线段CE 的长度是( )A.3B.4C.5D.66.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，DE交BC于点F，若∠CFD=40°，则∠ABD的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°7.如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，若BE=1，BC=3，则CD 的长为（ ）A.6B.5C.4D.38.如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.0.5B.89C.2D.4 9.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF 上的点A /处，得到折痕BM ，BM 与FF 相交于点N.若直线B A ’交直线CD 于点O ，BC=5，EN=1，则OD 的长为（ ）A. B. C. D.10.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（ ）A.12B.18C.2+10D.2+21011.如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点.若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC 的面积为( )A.16B.24C.36D.5412.矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH.若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）A.1B.32C.22D.25 二、填空题13.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BC 相交于点O ，已知∠BOC=120°，DC=3cm ，则AC 的长为________cm.14.如图，在矩形ABCD 中，AD=4,AB=8.分别以点B,D 为圆心，以大于21BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F.作直线EF 分别与DC,DB,AB 交于点M,O,N ，则MN=__________.15.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别是边AB,AC 的中点,延长BC 到点F,使2CF=BC.若AB=10,则EF 的长是__________.16.如图，在一张长为8cm ，宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)，则剪下的等腰三角形的面积为______cm 2.17.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C/，BC/与AD交于点E，若AB=3,BC=4，则DE的长为_________.18.如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A 点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG= .三、解答题19.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高.点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE.（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC=6，∠DOC=60°，求四边形ADCE的面积.20.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD,BC于点E,F.（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB=6,AD=8，连接BE,DF，求四边形BFDE的周长.21.如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F.(1)求证：BF=BC.(2)若AB=4 cm，AD=3 cm，求CF的长.22.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN.（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD=4，AB=2，且MN⊥AC，求DM的长23.如图，在矩形ABCD中，AC,BC相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.24.如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若AB=3，BC=4，则：（1）试判断折叠后重叠部分三角形的形状，并证明；（2）求重叠部分的面积.参考答案1.答案为：D2.答案为：D3.答案为：B4.答案为：C5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：B8.答案为：C.9.答案为：B10.答案为：D11.答案为：B12.答案为：C13.答案为：6cm14.答案为：2.15.答案为：5．16.答案为：12.5或56或10.17.答案为：18.答案为：30°.19.（1）证明：∵点O是AC中点，∴OA=OC，又∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE的是矩形.（2）解：∵AD是等腰三角形BC边上的高，BC=6，∴BD=DC=3∵四边形ADCE的是矩形，∴OD=OC=0.5AC.∵∠DOC=60°，∴△DOC是等边三角形，∴OC=DC=3，∴AC=6.在Rt△ADC中，∠ADC=90°，DC=3，AC=6，由勾股定理得 AD=，∴四边形ADCE的面积S=AD×DC=3×=.20.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，，∴，又∵，在△DOE和△BOF中，，∴.（2）由（1）可得，，，∴四边形BFDE是平行四边形，在△EBO和△EDO中，，∴，∴，∴四边形BFDE是菱形，根据，设，可得，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长=25.21. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴∠CDB+∠DBC=90°，∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB=90°，∴∠ECB=∠CDB.∵∠CFB=∠CDB+∠DCF，∠BCF=∠ECB+∠ECF，∠DCF=∠ECF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC.(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=4，BC=AD=3.在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=5又∵BD·CE=BC·DC，∴CE=2.4∴BE=1.8∴EF=BF-BE=1.2.∴CF=cm22.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC，AM//NC∴在△AOM和△CON中∴△AOM△CON∴AM=NC又∵∴四边形ANCM为平行四边形.（2）∵四边形ANCM为平行四边形∵∴平行四边形ANCM是菱形∴AM=AN=NC∵AD=BC=4设BN的长度为x在Rt△ABN中，AB=2,AN=4-xx=1.5AN=AM=2.5∴DM=1.5.23.解：因为平分，所以.又因为，所以因为，所以△为等边三角形，所以因为，所以△为等腰直角三角形，所以.所以，，，此时.24.解：（1）△AFC是等腰三角形.理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，由图形折叠的性质可得到∠ACB=∠ACE，∴∠DAC=∠ACE.故△AFC是等腰三角形.（2）设AF=CF=x，则FD=4﹣x，在Rt△CDF中，（4﹣x）2+32=x2，解得：x=，AF=，∴S△AFC=AF×CD=××3=.故重叠部分面积为.。
人教版八年级下册数学 18.2.1 矩形 同步测试题(含答案)
18.2.1 矩形同步测试题1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变3.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD-DF4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD折叠,得到△EBD,DE与BC 交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )A. B.2 C.3 D.36.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是( )A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD7.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为( )A.14B.16C.17D.189.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是( )A.ED∥BCB.ED⊥ACC.∠ACE=∠BCED.AE=CE10.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.A.1个B.2个C.3个D.4个11.图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB 为直角三角时,AP= .12.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.13.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.14.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B 以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.参考答案1.【答案】D解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B 两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B解：当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.8.【答案】D 9.【答案】C10.【答案】C解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.11.【答案】3或3或3解：当∠APB=90°时,分两种情况讨论.情况一:如图①,∵O为AB中点,∴PO=AB,AO=BO.∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠PBA=30°.∴AP=AB=3;情况二:如图②,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∴△BOP为等边三角形.∴BP=AB=3.∴AP===3.当∠BAP=90°时,如图③,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴∠APO=30°,∴PO=2AO=6.∴AP===3.当∠ABP=90°时,如图④,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴PO=2BO=6.∴BP===3.∴AP===3.12.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD.∴BO=CO.∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,∴∠BEO=∠CFO=90°.又∵∠BOE=∠COF,∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,∴∠ANF=90°,∠CME=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD∥BC.∴∠FAN=∠ECM,AM=CN.∴AM-MN=CN-MN,即AN=CM.在△ANF和△CME中,∴△ANF≌△CME(ASA).∴AF=CE.又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8.设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4. 在Rt△CEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5. ∴四边形AECF的面积为CE·AB=5×6=30.14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA, ∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC,又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC,∴EF=BA=DA.∵DE=AF,DA=EF,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,∵∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-S△BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.。
人教版八年级数学下册《18.2.1矩形》专项练习题-带答案
人教版八年级数学下册《18.2.1矩形》专项练习题-带答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线相等B ．四个角都是直角C ．对角线互相垂直D ．是轴对称图形 2．已知矩形ABCD 的对角线4cm AC =，则BD =（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 3．如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，若⊥ADE ＝2⊥EDC ，则⊥BDE 的度数为（ ）A ．36°B ．30°C ．27°D ．18° 4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 都是矩形，而且点B 在EF 上，这两个矩形的面积分别是1S 和2S ，则1S ，2S 的关系是（ ）A ．12=S SB ．12S S <C ．12S S >D ．无法确定 5．如图，矩形ABCD 中，P 为AB 边上一动点（含端点），F 为CP 中点，当点P 由B 向A 运动时（ ）A ．由小变大B ．由大变小C ．先变大后边小D ．先变小后变大 6．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ．若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒8．如图90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，AB=4，BC=2，则点D 到点O 的最大距离是（ ）9．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，M 为AB 的中点，连接MD ，E 为MD 中点，连接BE 、二、填空题13．如图，用长为a 米的铝合金制成如图窗框，已知矩形AGHD ，矩形BFEG ，矩形EFCH的面积均相等，设AD 的长为b 米，则AB 的长是 米．（用含a ，b 的代数式表示）14．如图，四边形ABCO 是矩形，其中点A 和点C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B的坐标为()125，，CAO ∠的平分线与y 轴相交于点D ，则D 点的坐标为 ．三、解答题15．已知，如图所示，折叠长方形OABC 的一边BC ，使点B 落在AO 边的点D 处，已知()10,8B ，求：(1)求D 的坐标；(2)求E 的坐标．16．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，E ，F 分别是OC ，BC 的中点．若5cm EF =，求AC 的长．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()9,0，点C 的坐标为()0,3，以OA ，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度的值.沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，求AC EF参考答案：1．C2．D3．B4．A5．B6．D7．A8．B9．C10．30cm11．45或13512．3313．398a b-14．12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)()6,0(2)()10,316．20cmAC=17．30第1页共5页。
人教版八年级数学下册 矩形 同步课时练习(含解析)
人教版八年级下册18.2.1 矩形 同步课时练习一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A ．两组对边分别相等 B ．两组对角分别相等 C ．两条对角线互相平分D ．两条对角线相等2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）． ①对角线互相平分的四边形； ②对角线相等的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图,四边形ABCD 是平行四边形,两条对角线交于点O ,下列条件中,不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠ABC ＝∠BCDB ．∠ABC ＝∠ADC C ．AO ＝BOD ．AO ＝DO4．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8,它斜边上的中线长为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．25．如图,矩形ABCD 中,对角线,AC BD 交于点O ,120,2∠=︒=AOB AD ,则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．2B ．23C ．43D ．86．如图,折叠矩形ABCD ,使点D 落在点F 处,已知AB =8,BC =10,则EC 的长（ ）A ．5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm7．如图,在矩形纸片ABCD 中,6AB =,8AD =,点E 是边AD 上的一点,将AEB △沿BE 所在的直线折叠,使点A 落在BD上的点G 处,则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,3AB =,4BC =,过点O 作OM AC ⊥,交BC 于点M ,过点M 作MN BD ⊥,垂足为N ,则OM MN +的值为（ ）A ．245B ．165C ．125 D ．65二、填空题9．如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,且OA OC =,OB OD =,请你添加一个条件,使四边形ABCD 为矩形,你添加的条件是______________（填一个即可）.10．如图,矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ．若∠AOB ＝60°,BD ＝8,则AB 的长为 ___．11．如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是AB 边上的中线,且12CD AB +=,则AB 的长为______．12．在矩形ABCD 中对角线AC ,BD 交于点O ,且120AOD ∠=︒．若3AB =,则BC 长为_________． 13．如图,矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O 且AC =12,如果∠AOD =60°,则DC =__．14．在矩形ABCD 中,对角线BD 的垂直平分线交直线AB 于点E ．若BC ＝4,AE ＝3,则BD 的长为 _____． 15．如图,矩形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接DE 交对角线AC 于点F ,若2ADF DAC ∠=∠,3BE =,22CD =,则线段AC 的长为______．16．如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O 为原点,点A 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上OA =5；OC =4．在OC 边上取一点D ,将纸片沿AD 翻折,使点O 落在BC 边上的点E 处．则D 坐标为_______．三、解答题17．如图,矩形ABCD 中,点E ,F 分别在AB ,CD 边上,连接CE 、AF ,∠DCE =∠BAF ．试判断四边形AECF 的形状并加以证明．18．如图,在平行四边形ABCD 中,点P 是AB 边上一点（不与A ,B 重合）,过点P 作PQ ⊥CP ,交AD 边于点Q ,且∠QP A ＝∠PCB ．求证：四边形ABCD 是矩形．19．已知：如图,△ABC中,M是BA延长线上一点,AD是△ABC的中线,E是AC的中点,过点A作AF∥BC,与DE的延长线相交于点F．(1)求证：四边形ABDF是平行四边形．(2)如果AF平分∠MAC,求证：四边形ADCF是矩形．20．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E,且BD=BE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠DBC=30°,BO=6,求四边形ABED的面积．∥,与BO的延长线交于点D,连接21．如图,过ABC边AC的中点O,作OE AC⊥,交AB于点E,过点A作AD BC⊥于点F．CD,CE,若CE平分ACB∠,CE BO(1)求证：OC BC =． (2)四边形ABCD 是矩形．22．（1）问题：如图1,P 是矩形ABCD 内任意一点,通过构造直角三角形,利用勾股定理,你能发现22AP CP +与22BP DP +的数量关系为 ．（2）探究：如图2,P 是矩形ABCD 外任意一点,上面的结论是否成立？若成立,请写出证明过程：若不成立,请说明理由．（3）应用：如图3,在ABC 中,6CA =,8CB =,D 是ABC 内一点,且2CD =,90ADB ∠=︒,求AB 的最小值．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质进行判断．【详解】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质,故不符合题意；B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质,故不符合题意；C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质,故不符合题意；D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质,故符合题意．故选D【点睛】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质,熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键．2．B【解析】【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可．【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形,故①不符合题意；②对角线相等的四边形可以是等腰梯形,故②不符合题意；③对角线相等的平行四边形是矩形,故③符合题意；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故④符合题意．∴正确的是③④．故选B．【点睛】本题考查了矩形的判定,解题关键是熟记矩形的判定定理,准确进行判断．3．B【解析】【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠BCD,∴∠ABC＝90°,∴平行四边形ABCD为矩形,故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠ADC,∴不能判定平行四边形ABCD为矩形,故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO＝12AC,BO＝DO＝12BD,∵AO＝BO,∴AC＝BD,∴平行四边形ABCD为矩形,故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO＝12AC,BO＝DO＝12BD,∵AO＝DO,∴AC＝BD,∴平行四边形ABCD为矩形,故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定,矩形的判定,能熟练掌握和运用矩形的判定定理是解决本题的关键．4．A【解析】【分析】利用勾股定理求出斜边的长度,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：∵两条直角边的边长分别为6和8,根据勾股定理得：10,∴斜边上的中线的长为：11052⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,理解题意,熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分,以及18060AOD AOB =︒-=︒∠∠,可得AOD △是等边三角形,进而在ABD △中可得30ABD ∠=︒,根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得AB =即可求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形, ,90OA OB OD DAB ∴==∠=︒,120,2∠=︒=AOB AD ,∴18060AOD AOB =︒-=︒∠∠,∴AOD △是等边三角形, 60ADB ∴∠=︒,∴在ABD △中,30ABD ∠=︒,24BD AD ==AB ∴=∴矩形ABCD 的面积是2AD AB ⨯=⨯= 故选C. 【点睛】本题考查了矩形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,等边三角形的性质判定,掌握矩形的性质是解题的关键． 6．C 【解析】 【分析】根据矩形及折叠的性质可得10AD AF BC cm ===,8AB CD cm ==,在Rt ABF 中,利用勾股定理得出6BF cm =,4CF cm =,在Rt ECF 中,设EC xcm =,则()8DE x cm =-,继续利用勾股定理求解即可得．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形,且经过折叠,8AB cm =,10BC cm =, ∴10AD AF BC cm ===,8AB CD cm ==, 在Rt ABF 中,6BF cm ==, 4CF BC BF cm =-=,在Rt ECF 中,设EC xcm =,则()8DE x cm =-, ∴()8EF DE x cm ==-,∴222FC EC EF +=即()22248x x +=-, 解得：3x cm =, 即3EC cm =, 故选：C ． 【点睛】题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用,理解题意,结合图形,熟练运用勾股定理是解题关键． 7．B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得6BG AB AE EG BGE A ===∠=∠，， ,再由矩形的性质可得10BD = ,从而得到4DG BD BG =-= ,然后设AE x = ,则,8EG x DE x ==- ,在Rt DEG △ 中,由勾股定理,即可求解． 【详解】解：根据题意得： 6BG AB AE EG BGE A ===∠=∠，， , 在矩形纸片ABCD 中,90BGE A ∠==︒ ,∴10BD , ∴4DG BD BG =-= ,设AE x = ,则,8EG x DE x ==- , 在Rt DEG △ 中,222DG EG DE += , ∴()22248x x +=- ,解得：3x = , 即3AE = ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠,勾股定理,熟练掌握矩形的性质,折叠图形的性质是解题的关键． 8．C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得OA =OC =OB =OD =52,再由三角形的面积和差关系求解即可.【详解】解：∵AB =3,BC =4,∴矩形ABCD 的面积为3×4=12,BD =AC 5=,∴OA =OC =OB =OD =52,∴134BOCABCDS S ==,∵BOCBOMCOMSSS=+,∴151532222MN OM =⨯+⨯, ∴125MN OM +=. 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形的面积关系,正确理解并掌握矩形的性质是解题的关键. 9．OA OB = 【解析】 【分析】由OA OC =,OB OD =得到四边形ABCD 为平行四边形,再根据矩形的判定法则即可求解． 【详解】解：∵OA OC =,OB OD =, ∴四边形ABCD 为平行四边形,当OA=OB 时,此时平行四边形ABCD 的对角线相等, 得到：平行四边形ABCD 为矩形, 故答案为：OA=OB ,(答案不唯一) ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法及矩形的判定方法,属于基础题,熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决本类题的关键． 10．4 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分,得到OA ＝OB ,又由∠AOB ＝60°,得到△AOB 是等边三角形,即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形,∴OA ＝12 AC ,OB ＝12 BD ＝4,AC ＝BD , ∴OA ＝OB , ∵∠AOB ＝60°, ∴△AOB 是等边三角形,∴AB ＝OB ＝4；故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质,等边三角形的判定和性质,熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 11．8【解析】【分析】根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵∠ACB =90°,D 是AB 边的中点, 12CD AB ∴=, 12CD AB +=8AB ∴=故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．33【解析】【分析】根据矩形的性质求出AC ＝2AO ,AO ＝BO ,根据等边三角形的判定得出△AOB 是等边三角形,求出AB ＝AO ＝3,求出AC ,再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】解：根据题意画出图形,如图所示：120AOD ∠=︒,180120=60AOB ∴∠=︒-︒︒,四边形ABCD 是矩形,90ABC ∴∠=︒,AC BD =,AO OC =,BO DO =,AO BO ∴=,AOB ∴∆是等边三角形,AB AO BO,3AB=,3AO∴=,2236AC AO∴==⨯=由勾股定理得：BC==,故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质和判定,勾股定理等知识点,能灵活运用定理进行推理是解决此题的关键．13．【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD,然后判断出△AOD是等边三角形,再根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OD＝12AC＝12×12＝6,∠ADC=90°,∵∠AOD＝60°,∴△AOD是等边三角形,∴AD＝OA＝6,∴DC==故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定,解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．14．【解析】【分析】根据题意可知,需要分两种情况讨论,当点E在AD的上方时,当点E在AD的下方时,画出对应图形,借助勾股定理及垂直平分线的性质可得结论．【详解】解：根据题意,需要分两种情况：①当点E在AD的上方时,如图,则AE＝3,AD＝BC＝4,又∠EAD＝90°,由勾股定理可得ED＝5,∵OE是线段BD的垂直平分线,∴BE＝DE＝5,∴AB＝2,在Rt△ABD中,∠BAD＝90°,由勾股定理可知,BD＝25；②当点E在AD的下方时,如图,则AE＝3,AD＝BC＝4,又∠EAD＝90°,由勾股定理可得ED＝5,∵OE是线段BD的垂直平分线,∴BE＝DE＝5,∴AB＝8,在Rt△ABD中,∠BAD＝90°,由勾股定理可知,BD＝45；故答案为：255【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理的应用,作出正确辅助线是关键．15．26【解析】【分析】根据矩形的性质可得OA OD =,AD BC ∥,90BCD ∠=︒,AC BD =,设=DAC α∠,可得DBE BDE α∠=∠=,勾股定理求得EC ,进而求得BD ,即可求得AC 的长．【详解】解：连接BD ,如图,设=DAC α∠,四边形ABCD 是矩形∴OA OD =,AD BC ∥,90BCD ∠=︒,AC BD = ADO DAO α∴∠=∠=,EBD ADB α∠=∠=2ADF DAC ∠=∠,则2ADF α∠=BDE ADF ADB α∴∠=∠-∠=DE BE ∴=3=22CD =在Rt EDC 中,221EC DE DC =-314BC BE EC ∴=+=+=()222242226BD BC DC ∴=++=26AC BD ∴==故答案为：26【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,等角对等边,求得DE 的长是解题的关键．16．()0,2.5【解析】由折叠的性质可知OA =AE =5,然后根据勾股定理可得BE =3,则有CE =2,设D （0,x ）,则OD =DE =x ,CD =4-x ,进而根据勾股定理可建立方程求解．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形,OA =5；OC =4．∴5,4OA BC OC AB ====,90AOC B OCB ∠=∠=∠=︒,由折叠的性质可得：OA =AE =5,OD =DE ,在Rt △ABE 中,3BE ==,∴2CE BC BE =-=,设D （0,x ）,则OD =DE =x ,CD =4-x ,∴在Rt △DCE 中,由勾股定理得：()22242x x -+=, 解得：52x =, ∴()0,2.5D ,故答案为()0,2.5．【点睛】本题主要考查坐标与图形、矩形的性质、折叠的性质及勾股定理,熟练掌握坐标与图形、矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键．17．四边形AECF 是平行四边形,证明见解析．【解析】【分析】根据矩形的性质得出//DC AB ,可得出∠DF A =∠BAF ,进而得出∠DCE =∠DF A ,证得//FA CE ,再根据平行四边形的判定得出即可．【详解】解：四边形AECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形,∴//DC AB ,∴∠DF A =∠BAF ,又∵∠DCE =∠BAF ,∴∠DCE =∠DF A∴//FA CE ,本题考查了矩形的性质,平行线的判定以及平行四边形的判定,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 18．见解析【解析】【分析】根据垂直的性质可得90QPC ∠=︒,利用各角之间的等量关系可得90B ∠=︒,再由矩形的判定定理即可证明．【详解】证明：∵PQ CP ⊥,∴90QPC ∠=︒,∴1809090QPA BPC ∠+∠=︒-︒=︒,∵QPA PCB ∠=∠,∴90BPC PCB ∠+∠=︒,∴()18090B BPC PCB ∠=︒-∠+∠=︒,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是矩形．【点睛】题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换,理解题意,结合图形,熟练运用矩形的判定定理是解题关键． 19．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE ∥AB ,再由已知AF ∥BC 即可判定四边形ABDF 是平行四边形；（2）由（1）及AD 为中线可得四边形ADCF 是平行四边形,再由平行条件及平分条件可得AB =AC ,从而可得AD ⊥BC ,即可得结论．(1)∵AD 是△ABC 的中线,E 是AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AB ．∵AF ∥BC ,∴四边形ABDF 是平行四边形．(2)∴AF＝BD．∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD,∴AF＝CD．∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形．∵AF平分∠MAC,∴∠MAF＝∠CAF．∵AF∥BC,∴∠MAF＝∠B,∠CAF＝∠ACB,∴∠B＝∠ACB,∴AB＝AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC＝90°,∴平行四边形ADCF是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定,掌握平行四边形的判定是解题的关键．20．(1)见解析(2)四边形ABED的面积为【解析】【分析】（1）根据已知条件推知四边形ABEC是平行四边形,则对边相等：AC=BE,依据等量代换得到对角线AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形；（2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB是等边三角形,则易求OB=AB=6,所以通过勾股定理求得BC的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,又∵点E在DC的延长线上,∴AB∥CE,又∵BE∥AC,∴AC =BE ,又BD =BE ,∴AC =BD ,∴平行四边形ABCD 是矩形；(2)解：∵在矩形ABCD 中,∠DBC =30°,OA =OB , ∴∠ABD =60°,∴△AOB 是等边三角形,∴AB =BO =6,∴BD =2BO =2×6=12,又∵四边形ABEC 是平行四边形,∴CE =AB =6,∴DE =CD +CE =12,在Rt △ABC 中,BC =∴四边形ABED 的面积=12（6+12）× 【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,等边三角形的判定和性质,熟记性质是解题的关键．21．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到OCE BCE ∠=∠,由垂直的定义得到90CFB CFO ︒∠∠==,根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到DAO BCO ∠=∠,ADO CBO ∠=∠,根据全等三角形的性质得到AD BC =,推出四边形ABCD 是平行四边形,根据全等三角形的性质得到90EOC EBC ︒∠∠==,于是得到四边形ABCD 是矩形.(1)解：∵CE 平分ACB ∠,∴OCE BCE ∠=∠,∵BO CE ⊥,∴90∠∠==︒CFO CFB ,OCE BCE CF CFCFO CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA OCF BCF △△≌,∴OC BC =．(2)解：∵点O 是AC 的中点,∴OA OC =,∵AD BC ∥,∴DAO BCO ∠=∠．ADO CBO ∠=∠,在OAD △与OCB 中,DAO BCO OA OCADO CBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA OAD OCB △△≌,∴AD BC =,∵AD BC ∥,∴四边形ABCD 是平行四边形,∵OE AC ⊥,∴90EOC ∠=︒,在OCE △与BCE 中,CE CE OCE BEC OC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()SAS OCE BCE △△≌∴90∠∠==︒EBC EOC ,∴四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键．22．（1）22AP CP +22BP DP =+；（2）成立,证明见解析；（3）2 ．【分析】（1）过点P 作MN 垂直于AD 、BC ,垂足分别为M 、N ,又勾股定理得到边之间的关系,再根据四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,等量代换边,进而得到结论；（2）过点P 作MN 垂直于AD 、BC ,垂足分别为M 、N ,又勾股定理得到边之间的关系,再根据四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,等量代换边,进而得到结论；（3）以AD 、BD 为边作矩形ADBE ,连接CE 、DE ,由题意得, 22CD CE +22CA CB =+,计算得出CE 的值,当C 、D 、E 三点共线时,DE 最小,即AB 最小,计算得出结果即可．【详解】（1）如图,过点P 作MN 垂直于AD 、BC ,垂足分别为M 、N90AMP BNP DMP CNP ∴∠=∠=∠=∠=︒由勾股定理得,222AP AM MP =+ ,222BP BN NP =+,222DP DM MP =+,222CP CN NP =+又 四边形ABCD 为矩形∴四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,AM BN DM CN ∴==∴22AP MP -=22BP NP -,22DP MP -=22CP NP -∴22AP CP +22BP DP =+；故答案为：22AP CP +22BP DP =+；（2）成立,理由如下：如图,90AMP BNP DMP CNP∴∠=∠=∠=∠=︒由勾股定理得,222AP AM MP=+,222BP BN NP=+,222DP DM MP=+,222CP CN NP=+又四边形ABCD为矩形∴四边形AMNB、四边形DMNC为矩形,AM BN DM CN∴==∴22AP MP-=22BP NP-,22DP MP-=22CP NP-∴22AP CP+22BP DP=+,仍然成立；（3）如图,以AD、BD为边作矩形ADBE,连接CE、DEAB DE∴=由题意得, 22CD CE+22CA CB=+6CA=,8CB=,2CD=2222268CE∴+=+解得6CE=当C、D、E三点共线时,DE最小,即AB最小AB∴的最小值DE=的最小值62=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理即线段最小值问题,熟练掌握上述知识点是解题的关键．。
人教版八年级数学下册 18.2.1 矩形 同步练习(含答案)
2019年八年级数学下册矩形同步练习一、选择题1.对角线相等且互相平分的四边形是（）A.一般四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形2.下列三个命题中，是真命题的有（）①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分4.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A.14B.16C.17D.185.如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是（）A.△EBD是等腰三角形，EB=EDB.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C.折叠后得到的图形是轴对称图形D.△EBA和△EDC一定是全等三角形6.一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边上中线长为（）A.20B.10C.18D.257.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.78.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A.30°B.60°C.90°D.120°9.如图,D为△ABC内部一点,E、F两点分别在AB、BC上,且四边形DEBF为矩形,直线CD交AB于G点.若CF=6,BF=9,AG=8,则△ADC的面积为何？（）A.16B.24C.36D.5410.将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A. cm2B.8cm2C. cm2D.16cm2二、填空题11.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则BD的长为．12.将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=70°，则∠AED= ．13.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD= ．14.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= ．15.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E,∠DAE=3∠EAB，则∠ACD的度数为．16.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．若AB=6cm，BC=8cm，则线段FG的长为三、解答题17.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°。