数学模型数学建模 第二次作业 微分方程实验
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析实验二：微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；[4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1）微分方程例1 求解一阶微分方程21y dxdy+= (1) 求通解输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学
2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。
其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。
其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。
数学建模及数学实验
握相关学科的基本理论和知识，以便更好地进行数学建模和实验。
02 03
提高计算机技能
在现代数学建模和实验中，计算机技能尤为重要。建议学习者提高自己 的计算机编程、算法设计和数据分析能力，以便更高效地处理大规模数 据和复杂模型。
关注前沿动态
随着科学技术的发展，新的数学建模和实验方法不断涌现。建议学习者 关注前沿动态，了解最新的研究进展和应用案例，以便更好地把握学科 发展方向。
03
数学实验的基本方法
数值计算实验
数值计算实验是数学实验中的 一种重要方法，它通过数值计
算来求解数学问题。
数值计算实验通常使用数值计 算软件，如MATLAB、Python 等，进行数学公式的计算和模
拟。
数值计算实验可以用于解决各 种数学问题，如微积分、线性 代数、概率统计等。
数值计算实验的优点是能够快 速得到近似解，并且可以通过 调整参数来观察不同情况下的 结果。
人工智能与大数据分析
人工智能和大数据技术的发展将为数学建模和数学实验提 供更丰富的数据资源和更高效的技术手段，推动其进一步 发展。
复杂系统与多学科协同
面对复杂系统的挑战，需要多学科协同合作，共同开展数 学建模和数学实验研究，以解决实际问题。
05
结论
对数学建模和数学实验的总结
数学建模与数学实验的关系
数学建模和数学实验是相辅相成的。数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程，而数学实验则是通过实验手段验 证数学理论或解决数学问题的方法。在实际应用中，数学建模和数学实验常常相互渗透，共同推动问题的解决。
应用领域
数学建模和数学实验在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学、生物学等。通过建立数学模型和进行 数学实验，可以深入理解各种现象的本质，预测其发展趋势，为实际问题的解决提供有力支持。
数学建模试验报告-微分方程
学号
班级
问题：（微分方程）
讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.
（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.
（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.
.
问题的分析和假设：
问题分析：
求解的Matlab程序代码：
建立.M文件，，如下：
functiondx=lab4(t,x)
dx=zeros(3,1);
k=;
r=;
a=1;
dx(1)=k*x(1);
dx(2)=r*x(2);
dx(3)=a*(k-r)*x(3);
主程序：
[t,x]=ode45('lab4',[2011 2100],[134735 00 ]);
(1) 由图像可以看出：总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入是增长的
(2) 当人口激增时，在一定程度上，人口平均资金积累和国民平均收入都会减少，人们的生活水平会下降，国家应实施宏观调控，来控制人口增长，以保证人民的生活水平进一步提高。
figure(1),plot(t,x(:,1),'k*')
xlabel('时间[年]'),ylabel('总资金积累量[亿元]')
figure(2),plot(t,x(:,2),'m-')
hold on
xlabel('时间[年]'),ylabel('人口总数')
figure(3),plot(t,x(:,3),'r+')
建模实验报告
建模实验报告摘要：本实验主要针对建模方法进行研究与探索，分别采用了数学模型、统计模型和物理模型进行建模实验。
实验结果表明，不同的建模方法对于问题的解决和分析具有不同的优势和适用性，选择合适的建模方法能够有效提高问题的解决效率和精确度。
1.引言建模是指将实际问题转化为数学模型、统计模型或物理模型等形式的一种方法。
通过建模，我们可以抽象出实际问题中的关键因素和变量，进一步分析和解决问题。
本实验将重点研究数学模型、统计模型和物理模型的建模方法，并通过实验验证其有效性和适用性。
2.数学模型的建模方法数学模型是以数学的形式描述实际问题的模型。
在本实验中，我们采用了几种常见的数学建模方法，包括代数方程模型、微分方程模型和最优化模型。
2.1 代数方程模型代数方程模型是一种通过代数方程来描述问题的模型。
我们可以采用一系列代数方程来表示问题中的变量和关系，进而通过求解方程组来得到问题的解。
在实验中，我们以一个简单的线性方程组作为例子，通过代数方程模型计算方程组的解。
2.2 微分方程模型微分方程模型是一种通过微分方程来描述问题的模型。
微分方程可以描述问题中的变量和其变化率之间的关系。
在实验中，我们以一个经典的弹簧振动模型为例，通过微分方程模型求解系统的振动频率和振幅。
2.3 最优化模型最优化模型是一种通过寻找最优解来描述问题的模型。
最优化模型可以用于解决各种优化问题，如线性规划、整数规划等。
在实验中，我们以一个简单的线性规划问题为例，通过最优化模型求解问题的最优解。
3.统计模型的建模方法统计模型是一种通过统计理论和方法来描述问题的模型。
在本实验中，我们主要研究了回归分析和时间序列分析两种常见的统计建模方法。
3.1 回归分析回归分析是一种通过建立变量之间的回归关系来描述问题的模型。
在实验中，我们以一个销售数据的回归分析为例，通过建立销售额和广告投入之间的回归关系，预测未来的销售额。
3.2 时间序列分析时间序列分析是一种通过统计和数学方法来描述时间序列的模型。
数学建模作业实验2微分方程实验
数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。
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2 微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dtdy dy dy dy y y x y dt dt dt dt⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解：（1）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0, 0)，利用直接法判断其稳定性。
在点P(0,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得其特征值λ1=1，λ2=1； p=-(λ1+λ2)=-2<0，q=λ1λ2=1>0；对照稳定性的情况表，可知平衡点(0, 0)是不稳定的。
图形如下：（2）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0, 0)， 利用直接法判断其稳定性。
解得其特征值λ1=-1，λ2=2；p=-(λ1+λ2)=-1<0，q=λ1λ2=-2<0；易知平衡点(0, 0)是不稳定的。
（3）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0, 0)，利用直接法判断其稳定性。
解得其特征值λ1=0 + 1.4142i，λ2=0 - 1.4142i；p=-(λ1+λ2)=0，q=λ1λ2=1.4142；易知平衡点(0, 0)是不稳定的。
（4）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(1, 0)，利用直接法判断其稳定性。
解得其特征值λ1=-1，λ2=-2；p=-(λ1+λ2)=3，q=λ1λ2=2；易知平衡点(1, 0)是稳定的。
2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。
设病菌的数目为N ，单位成员的增长率为r1，则由Malthus 生长律有1dNr N dt=⋅，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N 1/2成比例，其比例系数为r2，求N 满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解：根据题意列出N 满足的微分方程：1212dNr N r N dt =- (1)得到其解为N 1=0, N 2=2221/r r ； 由(1)得：11222121221()()2d N r r N r N r N dt -=-⋅- (2)解得N=2221/4r r画出N （t ）的图形，即微分方程的解族，如下图所示：可以判断出其中N 1=0是不稳定的；N 2=2221/r r 是稳定的。
3、单种群开发模型考虑单种群开发方程：1-x-Ex dx x r dt N=（） 在不求解的情况下，绘出其解族曲线。
(2)用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率为E*= 2r解：由本问题的目标出发，渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。
平衡点：满足F(x)=1-x-Ex dx x r dt N=（）= 0 (1) 的点称为方程的平衡点。
解得的两个平衡点为：0(1)Ex N r=-，10x =容易算出两个解E-r 和r-E称平衡点是稳定的是指：对方程(1)的任一个解()x x t =，恒有lim ()*t x t x →∞= (2)判断平衡点x *是否稳定，可根据一阶近似方程：()'(*)(*)dxF x F x x x dt=⋅- (3) 判断。
该方程的一般解为：(*)()*F x t x t C e x =⋅+于是有下述结论：若F'(x*)<0，则x *是稳定平衡点；若F'(x*)>0，则x *不是稳定平衡点。
应用上述近似判别法，所以有当E<r 时， 01F'(x )<0,F'(x )>0⇒ x 0是稳定平衡点，x 1不是；当E>r 时， 01F'(x )>0, F'(x )<0⇒ x 0不是稳定平衡点，x 1是；结果分析：当捕捞适度(即：E<r)时,可使渔场产量稳定在0(1)Ex N r=-， 从而获得持续产量Ex 0，而当捕捞过度（即：E>r ）时，渔场产量将减至x 1=0，破坏性捕捞，从而是不可持续的。
进一步讨论：如何控制捕捞强度E 使得持续产量Ex 0最大：00()(1)E h x Ex N E r==-2(1)02m dh E r N E dx r =-=⇒= 结论：最优捕捞率为*2rE = 。
4、Gompertz 模型设渔场鱼量增长服从Gompertz 模型：xNrx dt dx ln =，其中r 为固有增长率，N 为最大种群数量。
若单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x。
解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln )( （1） 令()0=x F ，得0ln=-Ex xNrx rENex -=0，01=x ．则有平衡点为1,0x x . 又()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． 推出平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.（2）最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h Ex()x f由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得到最大产量的捕捞强度r E m =， 从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0。
5、有限资源竞争模型：微分方程1111112222221122[(1)][(1)]dx x a c b x b x dt dx x a c b x b x dt⎧=-+--⎪⎪⎨⎪=-+--⎪⎩是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设c1>a1，c2>a2。
试用微分方程稳定性理论分析：（1）如果1212a a c c >，则1()0();x t t →→∞（2）如果1212a a c c <则2()0();x t t →→∞（3）用图形分析方法来说明上述两种情况解：（1）令111111122222221122()[(1)]0()[(1)]0dx f x x a c b x b x dt dx f x x a c b x b x dt ⎧==-+--=⎪⎪⎨⎪==-+--=⎪⎩得方程的平衡点为P 0（0,0），P 1（1111c a c b -,0），P 2（0, 2222c ac b -）. 对平衡点P 0（0,0），系数矩阵112200c a A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 又c 1>a 1，c 2>a 2则p=-[(c 1-a 1)+(c 2-a 2)] <0，所以该平衡点不稳定。
以此类推：对平衡点P 1（1111c ac b -,0）：系数矩阵211111112111()()0b c a a c b A c a c a c c -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦则p=2112111a c c a c a c --+，q= 11211221)()[())]a c c a c a c -----（c ，若1212a a c c >，且假设c1>a1，c2>a2，则q<0不稳定而对于P2（0, 2222c a c b -），有p>0，且q>0稳定，此时1()0();x t t →→∞，说明物种1最终要灭亡。
（2） 而如果1212a a c c <的情况下则方程在P1（1111c a c b -,0）稳定，其他点不稳定，此时2()0();x t t →→∞说明物种2最终会灭亡。
6、考虑Lorenz 模型'1123'223'31223()()()()()()()()()()()()x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t βσσρ⎧=-+⎪=-+⎨⎪=-+-⎩ 其中σ=10，ρ=28，β=8/3，且初值为,x 1（0）=x 2（0）=0，x 3（0）=ε，ε为一个小常数，假设ε=10-10，且0≤t≤100。
（1）用函数ode45求解，并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图； （2）适当地调整参数σ，ρ，β值，和初始值x 1（0），x 2（0）=0，x 3（0），重复一的工作，看有什么现象发生。
解：1 .建立自定义函数，在edit 中建立“Lorenz.m”的M 文件.程序如下：function dy = Lorenz(~,y) dy=zeros(3,1);dy(1)=10*(-y(1)+y(2));dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3); dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3; end2.在edit 中建立“Lzdis.m”的M 文件，用来求解和绘图。
程序如下：[t,y]=ode45('Lorenz',[0,30],[12,2,9]); figure(1) plot(t,y(:,1)) figure(2) plot(t,y(:,2)) figure(3) plot(t,y(:,3)) figure(4)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) 3.运行得到如下的结果：Figure(1)是y(1) 即x 1 关于t 的变化关系图0510********-20-15-10-505101520Figure(2)是y(2) 即x 2关于t 的变化关系图Figure(3)是y(3) 即x 3关于t 的变化关系图51015202530-25-20-15-10-5051015202505101520253051015202530354045Figure(4)为)x\1\x2 x3的空间关系图4．验证“蝴蝶效应”洛伦兹方程的解对初始值十分敏感，现对x2的初始值稍加修改，将2改为2.01和1.99，让后求解x3的数值解。
用edit命令建立“lzsensi.m”的M文件，程序如下：clfhold[t,u]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,2,9]);plot(t,u(:,3),'Color','r');[t,v]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,2.01,9]);plot(t,v(:,3),'Color','b');[t,w]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,1.99,9]);plot(t,w(:,3),'Color','k');运行得到不同初始条件下的x3关于t的图形：黑色线（k ）表示初值条件为[12,1.99,9]时的x 3-t 图形 绿色线（b ）表示初值条件为[12,2,9]时的x 3-t 图形 红色线（r ）表示初值条件为[12,2.01,9]时的x 3-t 图形容易看出：随着时间的推移，三条曲线的吻合程度越来越差，差距越来越大，变化也越来越不明显，成为混沌状态。