重庆八中高一下期末数学试卷

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2019-2020学年重庆八中高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年重庆八中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5−S2=a13，a4=9，则S10=()A. 100B. 110C. 120D. 1302.的三个内角A、B、C成等差数列，，则一定是A.直角三角形B.等边三角形C.非等边锐角三角形D.钝角三角形A. AB. BC. CD. D3.对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是()A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④4.某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某校高一年级有13名排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么，完成上述2项调查宜采用的抽样方法是()A. ①用简单随机抽样，②用系统抽样B. ①用分层抽样，②用简单随机抽样C. ①用系统抽样，②用分层抽样D. ①用分层抽样，②用系统抽样5.由一组数据(x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)得到的线性回归方程为y=a+bx，则下列说法正确的是()A. 直线y=a+bx必过点(x,y)B. 直线y=a+bx至少经过点(x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)中的一点C. 直线y=a+bx是由(x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)中的两点确定的D. (x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)，这n个点到直线y=a+bx的距离之和最小6. 已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出以下三个命题：①若l ⊥m ，m//α，则l ⊥α；②若l ⊥m ，l ⊥α，则m//α； ③若m//α，l ⊥α，则l ⊥m.其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 37.函数f (x )在R 上是减函数，则有A. f (3)< f (5)B. f (3)≤ f (5)C. f (3)> f (5)D. f (3)≥ f (5)8.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 3=3a 1，a 2=3a 1−1，则数列{Snn}的前10项和为( ) A. 552B. 55C. 652D. 659.在△ABC 中，若a = 2，，，则B 等于( )A.B. 或C.D.或10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A.B.C.D. 311. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于y 轴对称，向量a ⃗ =(1,0)，点A(x,y)满足不等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+a ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0，则x −y 的取值范围( )A. [1−√22,1+√22] B. [1−√2,1+√2] C. [−√22,√22] D. [−√2,√2]12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =6，c =4，sin B2=√33，则b =( )A. 9B. 36C. 6√2D. 6二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 如图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，C 点在以O 为圆心|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |为半径的圆弧AB 上，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的范围是：______ ．14. 如图，飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m ，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度约为 .(√3≈1.73，精确到个位数)15. 若x >0，y >0，则2xx+2y +x+y x的最小值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知一个棱柱有8个面，它的所有侧棱长的和等于24cm ，则每条侧棱的长等于 (1) cm ，若此棱柱的一底面的面积为2cm 2，且高等于侧棱长，则此棱柱的体积为 (2) cm 3．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，△ABC 的两边AB =2，AC =1，点D 在BC 边上，且满足|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，点M 为AD 的中点，过点M 的直线l 分别交AB 、AC 于点P 、Q ，已知：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中0<λ≤1，0<μ≤1)，△ABC 和△APQ 的面积分别为S 1、S 2． (Ⅰ)求△ABC 的面积的最大值； (Ⅱ)求证：1λ+2μ的值为一个定值； (Ⅲ)求S 2S 1的取值范围．18.已知首项为3，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且−2S2，S3，4S4成等差2数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．19.在2018年3月开封市第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：(Ⅰ)若成绩不低于130的为特别优秀，语文和数学两科都特别优秀的共有3人，如果从两课都特别优秀或一科特别优秀的同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．(Ⅱ)根据以上数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．文特别优秀文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计；②参考数据：①K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.500.40…0.0100.0050.001 k00.4550.708… 6.6357.87910.82820.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′−BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点．(1)求证：EF//平面A′CD(2)设正方形ABCD边长为a，求折后所得三棱锥A′−BCD的侧面积．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知cos C2=√64(Ⅰ)求cos C的值；(Ⅱ)若ab=6，且sin2A+sin2B=1316sin2C，(1)求a，b，c的值；(2)若a，b，c成等差数列，已知f(x)=√bsinωx+(a−c)cos2ωx2(x∈R)，其中ω>0对任意的t∈R，函数f(x)在x∈[t,t+π)的图象与直线y=−1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求出函数f(x)的单调增区间．22.在等差数列{a n}中，a1=1，a5=9，数列{a n}、{b n}满足a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a nb n=6−a n+2b n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{2+a nb n}的前n项的和S n．【答案与解析】1.答案：C解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5−S 2=a 13，则a 5+a 4+a 3=3a 4=a 13， ∵a 4=9， ∴a 13=27， ∴{a 1+3d =9a 1+12d =27，解得a 1=3，d =2 ∴S 10=10×3+10×92×2=120，故选：C ．根据等差中项的性质可得3a 4=a 13，即可得到{a 1+3d =9a 1+12d =27，解得求出首项和公差，利用求和公式即可求出．本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：B解析：试题分析：的三个内角A 、B 、C 成等差数列，所以，，又，所以，．设为边上的中点，则，又，所以，，即，故△ABC 为等边三角形，选．考点：等差数列，平面向量的数量积，平面向量的垂直．3.答案：D解析：解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：极差是91−78=13①是错误的；众数是83，②是错误的；中位数是83+852=84，∴③是正确的； 78+83+83+85+90+916=85，∴④是正确的．正确的是③④；故选D根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．4.答案：B解析：解：由于①中，不同个体的差异较大，∴应采用分层抽样方法；由于②中，个体数量较小，个体之间差异不大，∴应采用简单随机抽样，故选：B．根据分层抽样方法与简单随机抽样方法的特征，可得答案．本题考查了三种抽样方法，熟练掌握分层抽样方法与简单随机抽样方法的特征是解题的关键．5.答案：A解析：解：∵线性回归方程为y=a+bx，∴y=a+bx必过点(x,y)，故选：A．本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知(x,y)在回归直线上．在回归分析中，回归直线方程y=a+bx必过点(x,y)是很重要的性质．6.答案：C解析：解：l，m是平面α外的两条不同直线，①，若l⊥m，m//α，可能l//α或l⊥α，故①错误；②，若l⊥m，l⊥α，由线面垂直的性质和线面平行的判定定理可得m//α，故②正确；③，若m//α，l⊥α，由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可得l⊥m，故③正确．其中正确个数为2．故选：C．由线面平行的性质和判定，以及线面的位置关系可判断①；由线面垂直的性质和线面平行的判定定理，可判断②；由线面平行和线面垂直的性质定理可判断③．本题考查空间线线、线面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的判定和性质的运用，考查推理能力，属于基础题．7.答案：C解析：因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)，故选C．8.答案：C解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+2d =3a 1a 1+d =3a 1−1，所以a 1=1，d =1，S n =n(n+1)2，所以S nn =n+12，数列{S nn }的前10项和T 10=10(1+10+12)2=652，故选：C ．求出数列的首项与公差，然后求解数列{Snn}的通项公式，然后求解和即可．本题考查数列的求和的方法，等差数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力，是基础题．9.答案：B解析：试题分析：由正弦定理得，所以，因为a <b ，所以或，选B ．考点：正弦定理的应用10.答案：C解析：试题分析：由三视图可知，该几何体为一条侧棱垂直于底面的三棱锥，底面是边长为2 的正三角形，垂直于底面的侧棱长为2 ，则最长棱的棱长为考点：三视图11.答案：B解析：解：由题得：B(−x,y)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2x,0)．∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+a ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−2x ≤0 ∴不等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+a ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0，转化为(x −1)2+y 2≤1，故点A 在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．设x −y =k ，则圆心到直线x −y −k =0的距离d =√2≤1，解得1−√2≤k ≤1+√2，故选B先求出点B 的坐标，并用点A 的坐标表示出，利用向量的数量积的基本运算及性质即可求解本题主要考查了向量在几何中的应用，向量的基本运算以及计算能力和转化思想的应用，属于中档题．12.答案：D解析：解：∵a =6，c =4，sin B2=√33，∴cosB =1−2sin 2B2=1−2×(√33)2=13，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√36+16−2×6×4×13=6．故选：D ．由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos B 的值，根据余弦定理即可计算得解b 的值．本题主要考查了二倍角公式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.答案：[1,√2]解析：由题意作图如下，可知x +y =cosa +sina(0≤a ≤π2)，从而可得其取值范围．本题考查了平面向量的基本定理及其几何意义，属于基础题．解：如下图：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosa OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sina OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =cosa +sina =√2sin(a +π4)(0≤a ≤π2)，因为0≤a ≤π2，所以π4≤a +π4≤3π4，所以√22≤sin(a +π4)≤1，即x +y ∈[1,√2].故答案为[1,√2].14.答案：2335m解析：本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于中档题．先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．解：∵∠A=15°，∠DBC=45°，∴∠ACB=30°，AB=50×420=21000(m)，∴在△ABC中，BCsinA =ABsin∠ACB，∴BC=21000×sin15°12=10500(√6−√2)，∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°=10500(√6−√2)×√22=10500(√3−1)≈10500(1.73−1)=7665，山顶的海拔高度=10000−7665=2335m，故答案为2335m．15.答案：52解析：解：2xx+2y +x+yx=21+2yx+1+yx，令t=1+2yx (t>1)，则yx=t−12，∴2xx+2y +x+yx=2t+t−12+1=2t+t2+12≥2√2t⋅t2+12=52，当且仅当x=2y时取得等号．故填：52．2x x+2y +x+yx=21+2yx+1+yx，换元后即可得到其最小值．本题考查了基本不等式，换元法，考查分析解决问题的能力，计算能力，属于中档题．16.答案：48解析：解：由棱柱有8个面，得棱柱为六棱柱，设棱柱的侧棱长为a，则6a=24，所以a=4．若此棱柱的一底面的面积为2cm2，且高等于侧棱长等于4cm，则其体积V=2×4=8cm3．故答案为：4；8．由已知可得棱柱为六棱柱，由侧棱长的和求得每条侧棱的长，再由体积公式求体积．本题考查棱柱的结构特征和棱柱体积的求法，是基础题．17.答案：解：(1)由已知得S △ABC =12AB ×AC ×sin∠BAC =sin∠BAC ，又∵∠BAC ∈(0,π)，∴当∠BAC =π2时，(S △ABC )max =1．(2)∵△ABC 的两边AB =2，AC =1，点D 在BC 边上，且满足|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=21，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵M 是AD 的中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ① ∵P ，M ，Q 三点共线，∴PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ② 又∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ③，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ④，将①③④代入②式化简得 (16−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =μt AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴{16−λ=−λt 13=μt两式相除消去t 整理后得1λ+2μ=6(定值)．(3)由题意S 2=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠PAQ ，S 1=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠BAC ， ∴S2S 1=|AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λμ，又1λ+2μ=6，∴λ=μ6μ−2≤1得25≤μ≤1， ∴S 2S 1=μ26μ−2，(25≤μ≤1) 令ω=μ26μ−2，∵ω′=6μ(μ−23)(6μ−2)2，当25≤μ≤23时，ω′<0，ω(μ)递减，当23<μ≤1时，ω′>0，ω(μ)递增，∴ωmin =ω(23)=29，又ω(1)=14，ω(25)=25∴ωmax =25，∴S 2S 1取值范围是[29,25].解析：(1)由利用三角形的面积公式结合正弦函数的性质可知，当∠BAC =90°时，三角形ABC 面积最大；(2)由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可得线段AD 是∠BOC 的角平分线，则BD =23BC ，则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 也可用基底表示，再根据P ，M ，Q 三点共线列出关于λ，μ的方程，问题获解；(3)利用三角形的面积公式容易将面积之比转化为边长之比，结合第(2)问的结果将比值转化为关于λ或μ的函数求值域．本题综合性较强，以考查向量在几何中的应用为载体，考查了函数的值域的求法等等，有一定难度．18.答案：解：(Ⅰ)由题意得2S3=−2S2+4S4，即(S4−S2)+(S4−S3)=0，亦即(a4+a3)+a4=0，∴a4a3=−12，∴公比q=−12，…4分于是数列{a n}通项公式为a n=32(−12)n−1(n∈N∗).…5分(Ⅱ)b n=n|a n|=n⋅32⋅(12)n−1=3n2n，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=321+622+923+⋯+3n2n，①1 2T n=322+623+⋯+3(n−1)2n+3n2n+1，②…8分①−②得，12T n=321+322+323+⋯+32n−3n2n+1=312×(1−12n)1−12−3n2n+1=3−3n+62n+1，∴T n=6−3n+62n，…11分∴T n+b n=6−62n<6….12分．解析：(Ⅰ)由题意得2S3=−2S2+4S4，由此求出公比q=−12，从而能求出数列{a n}通项公式．(Ⅱ)b n=n|a n|=n⋅32⋅(12)n−1=3n2n，由此利用错位相减法能求出T n=6−3n+62n，并求出T n+b n=6−62n<6．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.答案：解：(Ⅰ)我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为：p1=1−0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为：p2=0.002×20=0.04，数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人，记两科都优秀的3人分别为A1、A2、A3，单科优秀的3人分别为B1、B2、B3，从中随机抽取2人，共有：(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A1,B3)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A2,B3)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A3,B3)、(B1,B2)、(B1,B3)、(B2,B3)15种，其中这两人两科成绩都优秀的有：(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3)3种，这两人两科成绩都优秀的概率：P=315=15．(Ⅱ)2×2列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀314数学不特别优秀29496合计595100∴K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(3×94−1×2)24×96×5×95=245057≈42.982>6.635；∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．解析：(Ⅰ)列出所有基本事件，利用古典概型计算即可；(Ⅱ)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．20.答案：解：(1)证明：根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，由于A′F⊥BD于F，A′D=A′B，∴F为BD的中点．又∵E为BC的中点，∴EF//CD．再根据CD⊂平面A′CD，而EF不在平面A′CD内，∴EF//平面A′CD．(2)连接CF，∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，∴A′F⊥平面BCD，∴∠A′FC=90°．∴A′C2=A′F2+FC2=(√22a)2+(a)2=a2．∴△A′BC和△A′DC都为边长为a的等边三角形．∴S 侧=S A′BD +S A′BC +S A′CD =12⋅√2a ⋅√22a +解析：(1)根据题意，F 为BD 的中点．又E 为BC 的中点，可得EF//CD.再根据直线和平面平行的判定定理证得EF//平面A′CD ．(2)连接CFCF ，根据AA′F ⊥平面BCD ，可得∠A′FC =90°，△A′BC 和△A′DC 都为边长为a 的等边三角形，再根据S 侧=S A′BD +S A′BC +S A′CD ，运算求得结果21.答案：解：(Ⅰ)cosC =2cos 2C 2−1=2×(√64)2−1=−14；(Ⅱ)(1)若ab =6，且sin 2A +sin 2B =1316sin 2C ，根据正弦定理得：a 2+b 2=1316c 2，则根据余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ， ∴c 2=16，∴c =4， ∴{a =2b =3或{a =3b =2； (2)取a =2，b =3.c =4，则f(x)=2sin(ωx −π6)−1，由题意得：T =π，∴ω=2，f(x)=2sin(2x −π6)−1，则−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， ∴x ∈[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)时，f(x)单调递增．解析：(Ⅰ)根据二倍角的余弦函数公式结合已知条件，即可求出cos C 的值；(Ⅱ)(1)利用正弦定理化简已知的等式，得到一个关系式，再利用余弦定理表示出另外一个关系式，即可求出c 的值，进一步求出a 与b 的值；(2)根据a ，b ，c 成等差数列确定出a ，b ，c 的值，代入f(x)中，利用周期公式由f(x)的周期求出ω的值，确定出f(x)的解析式，根据正弦函数的单调增区间即可求出f(x)的增区间．本题考查灵活运用正弦、余弦定理，考查运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，考查学生分析问题，解决问题的能力，是一道中档题．22.答案：(Ⅰ)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=1，a 5=9，∴9=1+4d ，解得d =2．∴a n =1+2(n −1)=2n −1．数列{a n}、{b n}满足a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a nb n=6−a n+2b n(n∈N∗).∴n=1时，a1b1=6−a3b1，可得1b1=6−5b1，解得b1=1．n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1=6−a n+1b n−1(n∈N∗).∴a nb n =a n+1b n−1−a n+2b n，即2a n+1b n=a n+1b n−1，∴b nb n−1=2．∴{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．(Ⅱ)由(I)可得：b n=2n−1．∴2+a nb n =2n+12n−1，数列{2+a nb n }的前n项的和S n=3×1+5×12+7×(12)2+⋯+(2n+1)×(12)n−1，∴12S n=3×12+5×(12)2+⋯+(2n−1)×(12)n−1+(2n+1)×(12)n，1 2S n=3+2[12+(12)2+⋯(12)n−1]−(2n+1)×(12)n=3+2×12(1−12n−1)1−12−(2n+1)×(12)n，∴S n=10−2n+52n−1．解析：(I)利用等差数列的通项公式可得a n，利用数列递推关系与等比数列的通项公式即可得出．(II)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

重庆八中2010-2011学年高一下学期期末考试数学试题.pdf

重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级数学试题一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知数列为等比数列，且，则公比（A）（B）（C）（D）（2）已知中，，那么角（A）（B）（C）（D）（3）已知，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（4）若，那么下列不等式中正确的是（A）（B）（C）（D）（5）袋内装有个球，每个球上都记有从到的一个号码，设号码为的球重克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.任意取出球，其重量大于号码数的概率（B）（C）（D）（6）实数均为正数，且，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（7）为了解某校身高在的高一学生的情况，随机地抽查了该校名高一学生，得到如图所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前组的频数成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，身高在的学生数为，则的值分别为（A）（B）（C）（D）（8）若执行如图所示的程序框图，当输入，则输出的值为（A）（B）（C）（D）（9）锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（A）（B）（C）（D）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知等差数列，若，则__________. （12）某校有教师人，男学生人，女学生人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取的人数为人，则__________. （13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在的三个顶点处，则处不安装红灯的概率为__________. （14）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为.根据图所示的程序框图，若知分别为，则输出的结果为__________. （15）在中，内角的对边分别为，若，且，则的面积最大值为__________. 三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设是公差大于的等差数列，，. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）已知的平均数是，方差是. （Ⅰ）求数据的平均数和方差；（Ⅱ）若是的平均数，是的平均数.试用表示. （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问2分，（Ⅲ）小问7分．）已知数列的通项公式为，为了求数列的和，现已给出该问题的算法程序框图. （Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整；（Ⅱ）求时，输出的值；（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出伪代码. （19）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）已知函数，. （Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）若的定义域为，求当时的取值范围. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知变量. （Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求的概率；（Ⅱ）若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求的概率. （21）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列，其前项和为，且满足. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：当时，. 重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级数学试题参考答案选择题 9．由题意得，又，所以即 10．因为，所以，所以用分组求和可得，所以显然最小整数为．填空题 11． 12． 13． 14． 15． 15．由余弦定理可得，所以，化简可得即当且仅当时等号成立，所以三角形的面积，所以最大值为．三、解答题 16．解：（Ⅰ）由题意由得…………………………3分化简得解得或（舍）所以………………6分（Ⅱ）由题意………………8分所以 ………13分 17．解：（Ⅰ）由题意有设数据的平均数和方差分别为，则 ………5分 ……………………………9分（Ⅱ） …………13分 18．解：（Ⅰ）第①处填第②处填………………4分（Ⅱ）时，………………6分（Ⅲ） ………………………13分 19．解：（Ⅰ）由题意得所以的定义域为……………………4分（Ⅱ）因为，所以即由于的定义域为，所以，所以………………6分由以上结论可得且即 ①当时， ②当时，………………12分 20．解：设事件为“”．当，时，对成立的条件为．（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．…………6分（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．构成事件的区域为．所以所求的概率为．…………12分 21．解：（Ⅰ）因为……① ，所以得（舍）且……②， ①-②得化简得因为数列各项均为正数，所以即所以为等差数列，经检验，也符合该式 ………………………………5分（Ⅱ）当时，得证…………12分图4 图3 图2 图1。

重庆市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案

高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

【名校试卷】2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期末考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列说法正确的是 A ．ac >bc B ．2a>2bC ．a 2>b 2D ．1a <1b2．设集合A ={x |x 2−2x −3≤0 }，B ={x |0<x <4 }，则A ∩B = A ．[-1,4 ） B ．[-1,3 ） C ．（0,3 ] D ．( 0,4 ) 3．已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M,N 两点，则ΔMNF 2的周长为A ．16B ．8C ．25D ．324．已知m ≠0，若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行，则m 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A ．6B ．5C ．4D ．36．下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)内单调递增的为 A ．y =x 2+2x B ．y =2|x | C ．y =2x −2−xD ．y =log 12|x |−17．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为23π且|a ⃑|=1 , |b ⃑⃑|=12，则(a ⃑+2b⃑⃑)•b ⃑⃑= A ．−14 B ．14 C ．12 D ．−328．已知实数x,y 满足约束条件{3x −y −3≤0x −2y +4≥03x +4y +12≥0 ，则z =2x −y 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．59．在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ,sinθ)到直线mx +y −3=0的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=3且a n +16=S n +nSn+1−S n +1，则以下说法中正确的个数是①a 2=5； ②当n 为奇数时，a n =3n ； ③a 2+a 4+...+a 2n =3n 2+2n A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若正数a ，b 满足1a +1b =1，则1a−1+9b−1的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．1612．已知向量a ⃑=(3,0),b ⃑⃑=(−5,5),c ⃑=(2,k)，若b ⃑⃑⊥(a ⃑+c ⃑)，则k =__________ 13．直线x +√3y −2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于________ 14．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且C =23π，若ΔABC 的面积S =√312c ，则ab 的最小值为___________15．设点M 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P,Q ,且满足|MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|,则椭圆的离心率为________。

重庆市第八中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题

重庆市第八中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，41a =-，则5=S （）A ．10B ．5C ．0D ．2-2．已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b 方向上的投影为（）A ．2B ．72C ．27D ．73．已知某班级17位同学某次数学联合诊断测试成绩的茎叶图如图所示，则这17位同学成绩中位数为（）A ．91B ．92C ．94D ．954．总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7961 9507 8403 1379 5103 2094 4316 83171869 6254 0738 9261 5789 8106 4138 4975A ．20B ．18C ．17D ．165．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润依次统计如表：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，则a 为（）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-6．设α，β是两个不同的平面，是m ，n 两条不同的直线，下列说法正确的是（） A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥C ．m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若n ⊂α，//m n ，m β⊥，则αβ⊥ 7．如果实数m ，n ，满足：0m n <<，则下列不等式中不成立的是（）A ．m n >B ．11m n m >-C ．11n m <D ．220n m -< 8．在数列{}n a 中，11a =-，23a =-，23n n a a +=-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S =（）A ．4-B ．1-C ．0D ．39．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B C b c =，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形10．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，己知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为214π3R ，设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则21V V =（）A ．2B ．32C ．12D ．111．设,,a b c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知D 是BC 边的中点，且2221a b c --=，则AB DA DB →→→⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭等于（）A ．2BC ．12D ．12．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C a c A+=cos 2C C +=，则+a b 的取值范围是（）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6, 13．设D 为ABC 的边AC 靠近A 的三等分点，13BD BA BC λ=+，则λ=________. 14．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.15．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足：AB AD ⊥，BC CD ⊥，2AD AB =，CD BC =，设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的体积分别为1V ，2V ；三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别为3V ，4V .则1V 与2V 的大小关系是：________3V 与4V 的大小关系是：________（用“>”“=”“<”填空）17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，()2,4c =-. （1）若()//(2)ma c a c +-，求m ；（2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.18．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，16b =，30b =，记{}n a 前n 项和为n T ，222n n n T =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S .19．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学.某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程平方.其频率分布直方图如图：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45.（1）（i ）求直方图中a ，b 值（ii ）若评分的平均值不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少1人评分在[90,100]内的概率20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是长方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，E 是PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）若点F 在线段PB （不包含端点）上，二面角A PD B --为45︒，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长.21．如图，在ABC 中，2AB =，π3B ∠=，点D 在线段BC 上.（1）若1cos 3ADC ∠=-，求AD 的长；（2）若2BD DC =，sin BAD CAD ∠=∠，求ABC 的面积22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a ，232a ，12a 成等差数列，且1152a ≠，430S =.（1）求等比数列{}n a 的通项公式（2）若2log n n b a =，111(1)n n nn c b b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求n c 前2020项和2020T ；（3）若112(1)n n n nd d a -+=-，13521m m P d d d d -=++++，2462m m Q d d d d =++++，m G 是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，对任意*,s t ∈N ，s t G G ρ-≤ ，求ρ取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】求出等差数列{}n a 的首项和公差后可求5S .【详解】因为23a =，41a =-，故13242d --==--，故12(2)5a a =--=，故()55455252S ⨯=⨯+⨯-=，故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的计算，依据题设条件求出基本量即可，本题属于基础题. 2．A【解析】【分析】第一个向量在第二个向量上的投影，等于两向量的数量积除以第二个向量的模，根据题意即可计算得解．【详解】(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，||7a ∴=， 7·cos 602a b a b b =︒=， ∴a 在b 方向上的投影为7||a b b =．故选：A ．【点睛】本题考查两向量数量积的几何意义，属于基础题．3．B【解析】【分析】本题根据茎叶图写出数据从小到大或从大到小顺序，然后最中间的数据就是中位数．【详解】数据从小到大或从大到小顺序，然后最中间的数据就是中位数．将所有数排序，76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103.114，中位数为第9项92，故选：B．【点睛】本题考查根据茎叶图来计算中位数，是基础性题目．4．D【解析】【分析】利用随机数表从给定位置开始依次取两个数字，根据与20的大小关系可得第5个个体的编号.【详解】从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，小于或等于20的5个编号分别为：07，03，13，20，16，故第5个个体的编号为16.故选：D.【点睛】本题考查随机数表抽样，此类问题理解抽样规则是关键，本题属于容易题.5．B【解析】【分析】计算平均数x、y，代入回归方程中求得a；【详解】解：计算平均数为1(8.27.887.98.1)85x=⨯++++=，1(9289898793)90 5y=⨯++++=．代入回归方程中，得90128a=⨯+，解得6a =-，故选：B ．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的问题，属于基础题．6．D【解析】【分析】选项A 可考虑直线n 是否在平面α内作出判断；选项B 找到反例即可作出判断；选项C 中满足条件的,αβ的所有情况都考虑到即可判断；选项D 根据面面垂直的判定定理判断即可.【详解】选项A ，直线n 可能在平面α内，错误；选项B ，两个垂直平面内的直线未必垂直，也可以平行，错误；选项C ，α与β相交或平行，错误；选项D ，n ⊂α，//n m ，且m β⊥，则必有n β⊥，根据面面垂直的判定定理知，αβ⊥，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了面面平行的判定，面面垂直的判定，考查了空间想象力，属于中档题. 7．B【解析】【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断正确与否，即可得出正确答案.【详解】对于选项A ：0m n << ，m n > 成立，故A 选项成立，对于选项B ：0m n << ，0n -> ，0m n m >->，所以11m n m <-，故B 选项不成立，对于选项C ：0m n <<， 11m n> ，故C 选项成立，对于选项D ：0m n <<，0n m +< ，0n m ->，所以220n m -<，故D 选项成立故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.8．A【解析】【分析】由已知结合数列递推公式分别求出数列的前几项，可得数列是周期为4的周期数列，则2022S 可求．【详解】由11a =-，23a =-，23n n a a +=-，得33a =，41a =，51a =-，63a =-，73a =，81a =，91a =-，⋯，可知数列{}n a 是周期数列，且周期为4．则2022123412505()4S a a a a a a =+++++=-．故选：A ．【点睛】本题考查数列递推公式，考查数列的函数特性，训练了数列周期性的应用，是中档题． 9．A【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B C b c=， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b c b B c C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =， 22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 10．C 【解析】【分析】设圆柱的高为h ，表示出表面积可得43h R =，再分别表示出1V ，2V ，由此能求出21V V【详解】设酒杯上部分高为h ，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh R πππ=⨯+=，解得43h R =， ∴23143V R h R ππ==，332142233V R R ππ=⨯=，∴2112V V =．故选：C ．【点睛】本题主要考查圆柱、球体的表面积与体积公式，考查运算求解能力，是中档题． 11．C 【解析】【分析】根据向量的线性运算及数量积的定义可得cos AB DA DB bc A →→→⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，利用余弦定理及条件即可求解. 【详解】设M 是AB 边上的中点，又D 是BC 边的中点，所以2DM CA =,)2cos cos AB DA DB AB AB CA bc A bc A DM π→→→→→→→=⎛⎫∴⋅+=⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭(, 2221a b c --=,2221cos 22b c a A bc bc+-∴==-， ∴11()22AB DA DB bc bc →→→⎛⎫⋅+=-⨯-= ⎪⎝⎭，故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，向量的线性运算，余弦定理，属于难题. 12．D 【解析】【分析】cos 2sin()26C C C π+=+=，可得3C π=；再结合正弦定理余弦定理，将cos cos sin sin3sin A C B Ca c A+=中的角化边，化简整理后可求得c =；根据锐角ABC ∆和3C π=，可推出(6A π∈，)2π，再根据可得4sin a A =，4sin b B =，于是24(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A π+=+=+-，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．【详解】cos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈，(0,)2C π∈，3C π∴=．由正弦定理知，sin sin B bA a=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc+-=，cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，∴22211223b c a bbc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b ≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =，锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=++=+，(6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(6，．故选：D ．【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 13．23【解析】【分析】利用三角形法则推出2133BD BA BC =+，与已知比较可得λ．【详解】解：如图，1121()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+，则23λ=，故答案为：23【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．14【解析】【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求．【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇，做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠．即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=，所以23x =，x =/小时）．【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．15．3+【解析】【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s =，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+．故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题． 16．= < 【解析】【分析】由AB AD ⊥，BC CD ⊥，可得ABD ∆与ACD ∆的外接圆相同（四点共圆），说明三棱锥P ACD -的外接球相同，得到12V V =；利用已知条件，推出C 到AD 的距离大于B 到AD的距离，然后推出34V V <．【详解】解：AB AD ⊥，BC CD ⊥，90BAD BCD ∴∠=∠=︒，ABD ∴与ACD △的外接圆相同（四点共圆），则三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球相同，12V V ∴=；连接BD ，2AD AB =，ABD ADB ∴∠>∠，CD BC =，CBD CDB ∴∠=∠，得ABC ∠为钝角，C ∴到AD 的距离大于B 到AD 的距离，ABDACDSS∴<，而三棱锥P ABD -与三棱锥P ACD -的高相同，故34V V <，故答案为：=；<．【点睛】本题考查直线与直线垂直的判定，几何体的体积与面积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题． 17．（1）2-；（2）225. 【解析】【分析】（1）可以求出(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，根据()//(2)ma c a c +-即可得出m 的值；（2）可以求出(2,2)a b k +=-+，根据()a a b ⊥+即可求出k 的值，进而可得出(3λμ-，2)(2λμ-=-，4)，从而可得出λ，μ的值．【详解】（1）(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，()//(2)ma c a c +-，240m ∴+=，解得2m =-；（2）(2,2)a b k +=-+，且()a a b ⊥+，∴()22(2)0a a b k +=-++=，解得1k =-， ∴(3,2)(2,4)c a b λμλμλμ=+=--=-，∴3224λμλμ-=-⎧⎨-=⎩，解得14585λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴225λμ+=．【点睛】本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．18．（1）n a n =，93n b n =-；（2）228,14832,4n n n n S n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩. 【解析】【分析】（1）根据{}n b 是等差数列，16b =，30b =，即可得{}n b 的通项公式，利用{}n a 前n 项和为222n n nT =+，令2n =，可求2T ， 212=T a a +，可得2a ，即可求出{}n a 公差，从而求出{}n a 的通项公式（2）由（1）可知92n n n c a b n =+=-，92,1429,4n n n c n n -≤≤⎧=⎨->⎩，分14n ≤≤和4n >两段求和即可. 【详解】由{}n a 前n 项和为222n n nT =+，且{}n a 是等差数列，知212=2+1=T a a +，又因为11a =，所以2=2a ，即公差1d = 所以()1+1n a n n =-=；由16b =，30b =知公差为31331b b -=-- ，所以()()613=93n b n n =+-⨯--.（2）由（1）知92n n nc a b n =+=-，92,1429,4n n n c n n -≤≤⎧=⎨->⎩，当14n ≤≤时，279282n nS n n n +-=⨯=-；当4n >时，2129(7531)(4)8322n n S n n n +-=++++⨯-=-+，所以228,14832,4n n n n S n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩. 【点睛】本题主要考查了等差数列求通项公式，以及等差数列求和，属于中档题. 19．（1）（i ）0.01a =，0.04b =；（ii ）满意，理由见解析；（2）910. 【解析】【分析】（1）()i 利用频率分布直方图的性质能求出a ，b ． ()ii 由频率分布直方图能求出评分的平均值．（2）由题知评分在[60，70)和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70)内的为2人，评分在[90，100)的有3人，记评分在[90，100)内的3位学生为a ，b ，c ，评分在[60，70)内的2位学生为D ，E ，从这5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少1人评分在[90，100]内的概率．【详解】解：（1）（i ）由已知得(0.0050.03)100.45a ++⨯=，解得0.01a =，又(0.015)100.55b +⨯=，∴0.04b =. （ii ）由频率分布直方图得评分的平均值为550.05650.17503850.4950.1580⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴该校学生对线上课程满意.（2）由题知评分在[60,70)和[90,100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60,70)内的为2人，评分在[90,100)的有3人，记评分在[90,100]内的3位学生为a ，b ，c ，评分在[60,70)内的2位学生D ，E ，则从5人中任选2人的所有可能结果为：(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b c ，(,)b D ，(,)b E ，(,)c D ，(,)c E ，(,)D E ，共10种，∴这2人中至少一人评分在[90,100]的概率为910P =. 【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，属于基础题．20．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ，推导出//OE PA ，由此能证明//PA 平面BDE ．（2）求出二面角的平面角45ADB ∠=︒，AD DC ⊥，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DF 的长．【详解】解：（1）证明：连接ACBD O =，连接OE ，底面ABCD 为长方形，∴O 为对角线AC ，BD 的中点，又E 是PC 中点，∴//OE PA ，∵OE 在平面BDE 内，PA 不在平面BDE 内，∴//PA 平面BDE ；（2）由PD ⊥底面ABCD ，知PD AD ⊥，PD BD ⊥，即二面角A PD B --的平面角45ADB ∠=︒，又90A ∠=︒，可知2AD AB CC ===，底面ABCD 为正方形，AD DC ⊥，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，2PD DC ==，有(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B ，假设PB 上存在点F ，使得PB DEF ⊥平面，设(01)PF PB λλ=<<，(,,)F x y z ，则(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-， ∴(2,2,22)F λλλ-，∴(2,2,22)DF λλλ=-，(2,2,2)PB =-，由0PB DF ⋅=得442(22)0λλλ+--=，解得13λ=，∴224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2||3DF ⎛== . 【点睛】本题考查线面平行的证明和利用空间向量求线段的长度，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．21．（1；（2【解析】【分析】（1）根据诱导公式，易知1cos cos 3ADB ADC ∠=-∠=，再由同角三角函数的平方关系知，sin ADB ∠=ABD △中，由正弦定理，代入数据即可得解；（2）在ABD △、ACD △中分别利用正弦定理，可得sin sinsin sin BD CAD AB ADCBAD CD ADB AC∠∠=∠∠，代入已知条件可求得AC =再在ABC中，由余弦定理，可解得3BC =，最后根据1sin 2ABC SAB BC B =即可得解．【详解】解：（1）由1cos 3ADC ∠=-，得1cos cos 3ADB ADC ∠=-∠=，∴sin ADB ∠=，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB=∠23=AD =；（2）在BDA 中，由正弦定理，sin sin BD BA BAD BDA=∠∠①，在CDA 中，由正弦定理，sin sin DC AC CAD CDA=∠∠②，又sin sin BDA CDA ∠=∠，2BD DC =，sin BAD CAD ∠=∠，由①②得，AC = 由余弦定理可得，2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅，即2742BC BC =+-，解得3BC =或1-（舍负），，∴1sin 22ABC S BA BC B =⋅⋅=△. 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及诱导公式、同角三角函数的平方关系等基础公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（1）2n n a =；（2）20202021-；（3）1[2，)+∞．. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠．可知若1q =时，原题意不成立；当1q ≠时，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；（2）2log n n b a n ==，11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++，由裂项相消法求和；（3）由已知可得，212n n d d +=-，利用等比数列的求和公式分别求得m P 与m Q ，得到m G ，再由数列的函数特性分类求出m G 的范围，则答案可求．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠．若1q =，由430S =，求得1152a =，与1152a ≠矛盾；若1q ≠，由已知有21114132(1)301a q a q a a q q ⎧=+⎪⎨-=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩． ∴2n n a =；（2）2log n n b a n ==，11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++，则20201232020T c c c c =+++⋯+11111112020(1)()()()22334202020212021=-+++-+-⋯++=-；（3）由已知可得，11121()21()2n n n nn n d d d d -+++⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则212n n d d +=-． 111[1()]212[1()]1321()2m m m d P d --==----，221[1()]212[1()]1321()2m m m d Q d --==----．21[1()]32m m G =--．当m 为偶数时，21(1)32m m G =-单调递增，1()2m min G =，1[2m G ∈，2)3；当m 为奇数时，21(1)32m m G =+单调递减，()1m max G =，2(3m G ∈，1]．故11()()122m max m min G G ρ-=-=． ρ∴取值范围为1[2，)+∞．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前n项和的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和以及数列的单调性与最值，是难题．。

重庆八中2010-2011学年高一下学期期末考试数学试题

重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级数学试题命题：曾昌涛赵天友审核：曾昌涛打印：赵天友校对：赵天友一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知数列}{na为等比数列，且8,141==aa，则公比=q（A）1（B）2（C）4（D）8（2）已知ABC∆中，60,3,2===Bba，那么角=A（A）135（B）90（C）45（D）30（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2yxyx，则yxz2-=的最小值为（A）2（B）0（C）2-（D）4-（4）若0<<ba，那么下列不等式中正确的是（A）ba11>（B）ba11<（C）2bab<（D）2aab>（5）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重1262+-nn克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（A）61（B）31（C）21（D）32（6）实数ba,均为正数，且2=+ba，则ba21+的最小值为（A）3（B）223+（C）4（D）223+（7）为了解某校身高在mm78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在mm74.1~66.1的学生数为n，则nm,的值分别为（A）78,27.0（B）83,27.0（C）78,81.0（D）83,09.0（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n，则输出p 的值为（A ）4- （B ）1 （C ）2 （D）5 （9）锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c ba ,,，若2B A =，则ba的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足不等式12516<--n S n 的最小整数是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知等差数列}{n a ，若1359a a a ++=，则24a a +=__________.（12）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则=n __________.（13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处不安装红灯的概率为__________.（14）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为4321,,,x x x x .根据图3所示的程序框图，若知4321,,,x x x x 分别为5.0,5.1,2,1，则输出的结果S 为__________.图2（15）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325a b c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S . （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）已知)100,(,,,21>∈*n N n x x x n 的平均数是x ，方差是2s .（Ⅰ）求数据23,,23,2321+++n x x x 的平均数和方差；（Ⅱ）若a 是10021,,,x x x 的平均数，b 是101102,,,n x x x 的平均数.试用,,a b n 表示x .（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问2分，（Ⅲ）小问7分．）已知数列}{n a 的通项公式为nn n a 2⋅=，为了求数列}{n a 的和，现已给出该问题的算法程序框图.（Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整；（Ⅱ）求4=n 时，输出S 的值；（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出伪代码.（19）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）已知函数)(log )(22x x x f -=，)(log )(2a ax x g -=.（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若)(x g 的定义域为),1(+∞，求当)()(x g x f >时x 的取值范围. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）图3 图4已知变量π3sinS =. （Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求0≥S 的概率；（Ⅱ）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个数，求0≥S 的概率. （21）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列}{n a ，其前n 项和为n S ，且满足n n n a a S +=22. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}1{2na 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，222123nnT n -+>. 重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级数学试题参考答案一、选择题BCDAD DACCC9．由题意得22264222B A A A A B A ππππππ⎧⎧+>+>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩，又 sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A ====，所以2cos 2cos 2cos 46A ππ<< 2cos bA a=<10．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166()3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n--<⇒>显然最小整数为7．二、填空题11． 6 12．220 13．34 14．541515．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角形ABC 的面积1125sin 224216S ab C =≤⨯⨯=，所以最大值为16．三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意2112()10a d a d +=+-由12a =得222(2)10d d +=+-…………………………3分化简得2280d d +-=解得2d =或4d =-（舍）所以2(1)22n a n n =+-⨯=………………6分（Ⅱ）由题意12n n b -=………………8分所以1122()()()n n n S a b a b a b =++++++1212()()n n a a a b b b =+++++++ 1(242)(122)n n -=+++++++2(22)1221212nn n n n n +-=+=++--………13分17．解：（Ⅰ）由题意有12nx x x x n+++=设数据23,,23,2321+++n x x x 的平均数和方差分别为''2,x s ，则'12(32)(32)(32)n x x x x n++++++=123()232n x x x x n +++=+=+ ………5分'2'2'2'2121[(32)(32)(32)]n s x x x x x x n =+-++-+++-2222121[9()9()9()]9n x x x x x x s n=-+-++-= ……………………………9分（Ⅱ）1212100101()()n n x x x x x x x x x n n+++++++++==100(100)a n bn+-=…………13分 18．解：（Ⅰ）第①处填S S a b =+⋅第②处填2b b =………………4分（Ⅱ）4n =时，2341222324298S =⨯+⨯+⨯+⨯=………………6分（Ⅲ）0S = 1i = 1a =2112b WHILE i n S S a b i i a a b b WEND PRINT SEND=<==+*=+=+=*………………………13分19．解：（Ⅰ）由题意20x x ->得01x x <>或所以()f x 的定义域为{|01}x x x <>或……………………4分（Ⅱ）因为)(log )(2a ax x g -=，所以0ax a ->即(1)0a x -> 由于)(log )(2a ax x g -=的定义域为),1(+∞，所以10x ->，所以0a >………………6分)()(x g x f >由以上结论可得1x > 且2x x ax a ->-即(1)()0x x a -->①当01a <≤时，1x >②当1a >时，x a >………………12分20．解：设事件A 为“0≥S ”．当03a ≤≤，02b ≤≤时，对sin 03a bS π-=≥成立的条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．…………6分（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．…………12分21．解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……① ，所以21112a a a =+得110a =或（舍）且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+= 因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a-=+ 所以}{na 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式 ………………………………5分（Ⅱ）当3n ≥时，22222222222222222111112312221()2231111111(11)2223311(1)212221(1)21223(1)12222221(1)21223(1)121312(3)222n T n n n n nn n n n n n n n n =+++=+++=++++++++>++=+++++⨯⨯-⨯=+-+-++-+--=-+=+ 2n 得证…………12分。

2021-2022学年重庆市第八中学校高一(艺术班)下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年重庆市第八中学校高一（艺术班）下学期期末数学试题一、单选题1．下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是（） A ．众数 B ．极差C ．方差D ．标准差【答案】A【分析】利用众数、极差、方差、标准差的定义直接求解．【详解】解：对于A ，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能能反映样本数据的离散程度大小，故A 错误；对于B ，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故B 正确；对于C ，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C 正确；对于D ，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D 正确．故选：A ．2．已知向量(),2a x =，()2,b y =，()2,4c =-，且//a c ，b c ⊥，则a b -=A ．3 BC D ．【答案】B【解析】根据题意，得到440440x y --=⎧⎨-=⎩求出,x y ，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为向量(),2a x =，()2,b y =，()2,4c =-，且//a c ，b c ⊥，所以440440x y --=⎧⎨-=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,2a =-，()2,1b =，所以(3,1)a b -=-，因此()3a b -=-=故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.3．某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（）A ．4月至7月的月平均计划销售额为22万元B ．4月至7月的月平均实际销售额为27万元C ．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D ．这4个月内，总的计划销售额没有完成【答案】C【分析】A.B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数的定义求解判断；D.根据平均计划销售额和平均实际销售额大小比较判断.【详解】A.4月至7月的月平均计划销售额为()1451520253042⨯+++=，故错误；B.4月至7月的月平均实际销售额为()5520302040421+++=⨯，故错误；C.4月至7月的月实际销售额的中位数为()12030252⨯+=，故正确；D.因为554522>，可知这4个月内，总的计划销售额已经完成，故错误；故选：C.4．设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AF BF +的值是 A ．2 B ．3C ．4D ．43【答案】C【详解】分析：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF 则四边形2AFBF 是平行四边形，根据椭圆的定义得到AF BF +=2a 得解.详解：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF因为OA=OB,OF=O 2F ,所以四边形2AFBF 是平行四边形. 所以2BF AF =,所以AF BF +=|AF|+2||AF =2a=4, 故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形2AFBF 是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了. 5．如图在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =，BC b =，则BE =（）A ．1124ab B ．1536a b +C ．2233ab D ．1324a b +【答案】D【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为2BC AD =，DE EC =，所以()()111113222224BE BD BC BA AD BC BA BC BC BA BC ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭，又BA a =，BC b =，所以1324BE a b +=.故选：D.【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 6．已知两点()()4,8,2,4A B -，点C 在直线1y x =+上，则AC BC +的最小值为（） A ．13B ．9 C 74 D ．10【答案】C【分析】根据给定条件求出B 关于直线1y x =+的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答. 【详解】依题意，若()2,4B 关于直线1y x =+的对称点(,)B m n '， ∴41242122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩，∴(3,3)B '，连接AB '交直线1y x =+于点C '，连接BC '，如图，在直线1y x =+上任取点C ，连接,,AC BC B C '，显然，直线1y x =+垂直平分线段BB '，则有||||||||||||||||||AC BC AC B C AB AC B C AC BC '''''''+=+≥=+=+，当且仅当点C 与C '重合时取等号，∴22min ()||(43)(83)74AC BC AB '+=--+-AC BC + 74. 故选：C7．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1:335则该棱台的侧面积为（） A ．16 B ．10C 1333D ．30【答案】A【分析】设上底面边长为x ，则下底面边长为3x 3x ，根据勾股定理求出1x =，再根据勾股定理求出侧面等腰梯形的高为2，最后根据梯形的面积公式可求出结果. 【详解】设上底面边长为x ，则下底面边长为3x 3x ， 2x ，下底面正方形对角线长为32x ， 5)22232253x x x -=+⎝⎭，解得1x =， ()2231522-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以该棱台的侧面积为()141322⨯+⨯=16. 故选：A.8．已知圆221)68):((C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】首先根据题意得到若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则以AB 为直径的圆O 与圆C 有交点.从而得到圆O 与圆C 内切时，m 取得最大值，再求最大值即可. 【详解】圆221)68):((C x y -+-=，圆心()6,8C ，半径1r =.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则以AB 为直径的圆O 与圆C 有交点. 如图所示：当圆O 与圆C 内切时，m 取得最大值.22max168111m CO.故选：D二、多选题 9．设复数13i1iz -=+，则（） A ．|z |5=B ．z 的虚部为2 C ．12i z =-D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【答案】AD【分析】利用复数的除法化简复数，即可判断各选项的正误. 【详解】由13i (13i)(1i)12i 1i 2z ---===--+，对应点位于第三象限，所以|z |=z 的虚部为-2，12i z =-+．故选：AD10．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的有（） A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,//m n m α⊥，则n α⊥ C ．若//,m αβα⊥，则m β⊥ D ．若,m αβα⊥⊥，则//m β【答案】AC【分析】结合空间中直线与平面的位置关系进行判定，也可以通过举例说明命题错误. 【详解】对于A ，因为//,m n m α⊥，所以n α⊥，A 正确；对于B ，因为,//m n m α⊥时，,n α也可以平行，所以B 错误；对于C ，因为//,m αβα⊥，所以m β⊥，C 正确；对于D ，因为,m αβα⊥⊥时，直线m 也可能在平面β内，所以D 错误；故选：AC.11．已知直线:10l kx y k --+=和圆22:4O x y +=，则下列说法正确的是（）． A ．直线l 恒过定点1,1 B ．直线l 与圆O 相交C ．当1k =时，直线l 被圆O 截得的弦长为2D ．直线l 被圆O 截得的最短弦的长度为【答案】BD【分析】把直线方程10kx y k --+=变形为()11y k x -=-，即可求出直线l 过的定点，从而判断选项A ；根据定点在圆内，可判断选项B ；把1k =代入直线方程，根据直线过圆心，可求出弦长为直径，从而判断选项C ；根据点()1,1P 为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，从而可判断选项D. 【详解】直线:10l kx y k --+=整理得()11y k x -=-，故直线过定点()1,1P ，故A 错误；由于点()1,1在圆O 内，故直线l 与圆O 相交，B 正确；当1k =时，直线:0l x y -=过圆心O ，故直线l 被圆O 截得的弦为直径，其长为4，C 错误；当点()1,1P 为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，此时的弦长为22222r OP -=，故D 正确．故选：BD ．12．在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB △，AFD △和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则下列结论中正确的是（）A ．PA EF ⊥B ．三棱锥M AEF -的体积为4C ．三棱锥P AEF -外接球的表面积为24πD ．过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的最小值为π 【答案】ACD【分析】根据线面垂直可判断A ；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B ；求得三棱锥P AEF -外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C ；将三棱锥P AEF -补成长方体，确定最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D. 【详解】对于A ：由题意知,,,,AP PE AP PF PEPF P PE PF ⊥⊥=⊂平面PEF ，所以AP ⊥ 平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，所以PA EF ⊥ ，故A 正确；对于B ：4,2,PA PE PF PE PF ===⊥,因为M 为BE 的中点，所以111114224222323M AEF P AEF A PEF V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=,故B 错误；对于C ：因为,,PA PE PF 两两垂直，故三棱锥P AEF -的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径2224226R ++==,故外接球表面积24π24πS R ==，故C 正确；对于D ：将三棱锥P AEF -补成如图所示长方体，4,2PA PE PF ===，设长方体外接球球心为O ，即为三棱锥P AEF -的外接球球心过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，22215OM +此时截面圆半径为22651,r R OM --= 此时截面圆的面积为2ππr = ，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的最小值为π，故D 正确, 故选：ACD三、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为6:5:4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为________. 【答案】45【分析】计算出高一年级学生人数占全部年级人数的比例，根据其抽取的人数，可求得结果. 【详解】由题意得;高一年级学生人数占比为626545=++ ，故根据按年级用分层抽样的方法抽取若干人，抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为218455÷= ，故答案为：4514．已知非零向量,a b 满足a b a b +=-，则a 与b 的夹角为__________. 【答案】2π 【分析】直接把a b a b +=-两边同时平方化简即得解. 【详解】因为a b a b +=-，所以222222()(),22a b a b a a b b a a b b →→→→→→→→→→→→+=-∴++=-+，所以=0a b a b →→→→∴⊥，.所以a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π 15．在一个由三个元件A,B,C 构成的系统中，已知元件A,B,C 正常工作的概率分别是12，13，14，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．【答案】16【分析】先求出A,B 都不工作的概率，可得A,B 至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统正常工作的概率.【详解】由题意可知A,B 都不工作的概率为111(1)(1)233--=，所以A,B 至少有一个能正常工作的概率为12133-=，故这个系统正常工作的概率为211346⨯=，故答案为：1616．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为_____．【答案】22【详解】试题分析：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则2211221x y a b+=①，2222221x y a b +=②，∵M 是线段AB 的中点，∴12121,122x x y y ++==，∵直线AB 的方程是()1112y x =--+，∴()121212y y x x -=--，∵过点M （1，1）作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，即22212022a b c b a b ⎛⎫+-⋅=∴=∴= ⎪⎝⎭2c e a ∴== 【解析】椭圆的简单性质四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3c =，1b =，120C =． (1)求B 的大小； (2)求ABC 的面积S 【答案】(1)30； (2)34.【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角A ，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在ABC 中，3c =，1b =，120C =，由正弦定理得sin sin b c B C =即3si 1si 20n n1B =，所以1sin1201sin 23B ⨯==，因为b c <，所以B C <，因为060B <<，所以30B =（2）因为180A B C ++=，所以1801803012030A B C =--=--=，所以ABC 的面积为113sin 13sin 30224S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AD 的中点，N 是1DC 的中点.(1)求证：MN平面ABCD ；(2)求证：11D B B C ⊥. 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）连接1,AC D C ，易得MN AC ∥，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据正方体的结构特征可得11BC B C ⊥，11C D ⊥平面11BCC B ，则有111C D B C ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得1B C ⊥平面11BC D ，再根据线面垂直的性质即可得证.【详解】（1）证明：连接1,AC D C ，则1DC 与1CD 互相平分，因为M 是1AD 的中点，N 是1DC 的中点，所以点N 为1D C 的中点，所以MN AC ∥，又AC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，所以MN 平面ABCD ；（2）证明：连接111,,BD BC B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11BC B C ⊥，11C D ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以111C D B C ⊥，又1111C D BC C ⋂=，111,C BC D ⊂平面11BC D ，所以1B C ⊥平面11BC D ，又1BC ⊂平面11BC D ，所以11D B B C ⊥.19．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第5,6 组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】(1)71.67，70.5 (2)35【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第5,6 组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1）设中位数为x ,平均数为x ,因为前三个矩形面积为()0.0100.0150.020100.45++⨯=，故()()0.0100.0150.02010700.0300.5x ++⨯+-⨯=，解得71.67x ≈；()10450.010550.015650.020750.030850.0159705510.0.0x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）2000.0151030⨯⨯=人，2000.011020⨯⨯=人,即第五组有30人，第六组有20人,30533020⨯=+人，20523020⨯=+人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人, 设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为,,a b c ，第六组的两人为,D E ,则共有抽法为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a D a E b c b D b E c D c E D E ，共10种，其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率63105=．20．已知圆C 的圆心C 在直线32y x =+上，且圆C 过()0,0A ，()2,2B 两点，(1)求圆C 的标准方程；(2)过点()3,0作圆C 的切线l ，求切线l 的方程.【答案】(1)()2224x y +-=(2)0y =或125360x y +-=【分析】（1）求出线段AB 的中垂线方程，和直线32y x =+，即求得圆心坐标，接着求得半径，可得答案；（2）设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得答案.【详解】（1）∵1AB k =，∴线段AB 的中垂线斜率为-1.又线段AB 的中点为()1,1，∴线段AB 的中垂线方程为()11y x -=--，即2y x =-+. 由2,32,y x y x =-+⎧⎨=+⎩可得02x y =⎧⎨=⎩,即()0,2C ，∴半径为2AC =， ∴圆C 的标准方程为()2224x y +-=.（2）由题知，切线l 的斜率存在，设切线l 的斜率为k ，则():3l y k x =-，即30kx y k --=. ∴22321kk --=+，解得10k =，2125k =-, ∴l 的方程为0y =或125360x y +-=.21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33-. 【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛=-- ⎝⎭，()2,0,0CB =，222PA ⎛= ⎝⎭，()0,1,0AB =. 设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则 0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =-.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,0.y =⎪=⎩可取()1,0,1m =.则3cos ,3n m n m n m ⋅==- 所以二面角A PB C --的余弦值为【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22．已知椭圆2222:1(0)x y S a b a b +=>>的离心率e =12F F 、，点(2,P 在椭圆S 上，过2F 的直线l 交椭圆S 于A ，B 两点.(1)求椭圆S 标准方程；(2)求1ABF 的面积的最大值.【答案】(1)22184x y += (2)【分析】（1）由已知条件，列出关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可得答案；（2）设:2l x my =+，联立椭圆方程，由韦达定理及1121212ABF SF F y y =-求出1ABF 的面积，然后利用均值不等式即可求出1ABF 的面积的最大值. 【详解】（1）解：设椭圆S 的半焦距为(0)c c >，由题意22222,21,c a a b c a⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆S 的标准方程为22184x y +=；（2）解：由（1）得12(2,0)(2,0)F F -、，设:2l x my =+，代入22184x y +=，得()222440m y my ++-=，设()()1122,,A x y B x y 、，则12122244,22m y y y y m m +=-=-++，∴12y y -==，∴112121211ABF S F F y y m =-=≤=++当且仅当211m +=即0m =时，等号成立，故1ABF 的面积的最大值为。

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重庆八中高一下期末数学试卷The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020重庆八中（下）期末考试高一年级数学试题一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知数列}{n a 为等比数列，且8,141==a a ，则公比=q （）（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8（2）已知ABC ∆中， 60,3,2===B b a ，那么角=A （）（A ） 135（B ） 90（C ） 45（D ） 30（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则y x z 2-=的最小值为（）（A ）2（B ）0（C ）2-（D ）4-（4）若0<<b a ，那么下列不等式中正确的是（）（A ）b a 11>（B ）ba 11<（C ）2b ab <（D ）2a ab >（5）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重1262+-n n 克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）（A ）61（B ）31（C ）21（D ）32（6）实数b a ,均为正数，且2=+b a ，则ba 21+的最小值为（）（A ）3（B ）223+（C ）4（D ）223+ （7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为（）（A ）78,27.0（B ）83,27.0（C ）78,81.0（D ）83,09.0（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n ，则输出p 的值为（）（A ）4-（B ）1（C ）2（D ）5（9）把一个体积为27cm 3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 3的27个小正方体,现在从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为（）图2A ．127B ．827C ．2627D ．1927（10）锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是（）（A ）2)（B ）3)（C ）(2,3)（D ）3,22) （11）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足,0,01615<>S S 则3151212315,,,,S S S S a a a a 中最大的项为（）99a S 88a S 77a S 66a S （12）已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足不等式12516<--n S n 的最小整数是（）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.（13）已知等差数列}{n a ，若1359a a a ++=，则24a a +=__________.（14）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则=n __________. （15）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处不安装红灯的概率为__________.（16）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S . （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）已知)100,(,,,21>∈*n N n x x x n 的平均数是x ，方差是2s . （Ⅰ）求数据23,,23,2321+++n x x x 的平均数和方差；（Ⅱ）若a 是10021,,,x x x 的平均数，b 是101102,,,n x x x 的平均数.试用,,a b n 表示x .（19）设数列{}n a 的前n 项和22n S n =，{}n b 为等比数列，且11b a =，1122)(b a a b =-，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T （20）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）已知函数)(log )(22x x x f -=，)(log )(2a ax x g -=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若)(x g 的定义域为),1(+∞，求当)()(x g x f >时x 的取值范围. （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知变量π3sin ba S -=.（Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求0≥S 的概率；（Ⅱ）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个数，求0≥S 的概率.（22）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列}{n a ，其前n 项和为n S ，且满足n n n a a S +=22. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}1{2na 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，222123n nT n -+>. 重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级数学试题参考答案一、选择题 BCDADDACCCBC10．由题意得22264222B A A A A B A ππππππ⎧⎧+>+>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩，又sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A ====，所以2cos 2cos 2cos 46A ππ<<2cos bA a<=<12．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166()3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n --<⇒>显然最小整数为7．二、填空题 13．614．22015．3416．25316．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角形ABC 的面积11253253sin 224S ab C =≤⨯⨯=，所以最大值为253．三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意2112()10a d a d +=+-由12a =得222(2)10d d +=+-…………………………3分化简得2280d d +-=解得2d =或4d =-（舍）所以2(1)22n a n n =+-⨯=………………6分（Ⅱ）由题意12n n b -=………………8分所以1122()()()n n n S a b a b a b =++++++2(22)1221212nn n n n n +-=+=++--………13分18．解：（Ⅰ）由题意有12nx x x x n+++=设数据23,,23,2321+++n x x x 的平均数和方差分别为''2,x s ，则123()232n x x x x n +++=+=+………5分2222121[9()9()9()]9n x x x x x x s n=-+-++-=……………………………9分（Ⅱ）1212100101()()n n x x x x x x x x x n n+++++++++==100(100)a n b n+-=…………13分19 ．20．解：（Ⅰ）由题意20x x ->得01x x <>或所以()f x 的定义域为{|01}x x x <>或……………………4分（Ⅱ）因为)(log )(2a ax x g -=，所以0ax a ->即(1)0a x -> 由于)(log )(2a ax x g -=的定义域为),1(+∞，所以10x ->，所以0a >………………6分)()(x g x f >由以上结论可得1x > 且2x x ax a ->-即(1)()0x x a --> ①当01a <≤时，1x >②当1a >时，x a >………………12分21．解：设事件A 为“0≥S ”．当03a ≤≤，02b ≤≤时，对sin 03a bS π-=≥成立的条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．…………6分（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．…………12分22．解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……①，所以21112a a a =+得110a =或（舍）且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+= 因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a -=+ 所以}{n a 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式………………………………5分（Ⅱ）当3n ≥时，得证…………12分。